２００９年江苏高考数学试卷的设置符合烤试说 的要求．与２００８年试卷相比，今年的试 卷在难度上有大幅下降，内容涉及教材中各板块知识．所涉内容均是高中数学的重点 知识，层次分明，淡化技巧，多数试题既有常规解法，同时在知识的应用上又有一定的灵 活性．下面笔者对各板块的知识点的考查情况、答题中的失分原因及对策作一分析． ２００９年江苏高考数学 。江苏连云港锦屏高级中学车树勤杨廷军 ／／『 ＼、 合（必修①） 第１１１已知集合Ａ＝ ｌｏｇ２ｘ≤ ２｝，日＝（一。。，ａ），若Ａ Ｃ＿Ｂ，则实数ａ的取 则他的满意度为 ：如果他买进该 的原因主要是题干太长．首先没能读 Ｉｎ＋ａ 懂题目给出的信息．其次是参数太 多．弄混了它们之间的关系． 产品的单价为ｎ元，则他的满意度为 ．如果一个人对两种交易（卖出 （１）对于第（Ⅱ）问给出ｍＡ和ｍ 的关系，没有正确代入 ： 的式子． 另外，即使正确代入了．在求最值时不 凡十ａ 值范围是（ｃ，＋∞），其中ｃ＝一试题答案：４ 或买进）的满意度分别为ｈ 和ｈ ，则他 对这两种交易的综合满意度为 ． ／，４ 、 会将好 ＼／ 变形到能用基本不等式求解的形式， 故求不出最值． 现假设甲生产Ａ，Ｂ两种产品的单 ｌｉｔ（必修①） ！与导数（选修文ｌ一１、选修理２＿２） 第３题 函￣Ｊｇｆ．（ｘ）＝ｘ３—１５ｘ２—３３ｘ＋６ 的单调减区间为一 试题答案：（一１，１１）． 件成本分别为１２元和５元．乙生产Ａ，Ｂ 两种产品的单件成本分别为３元和２０ 元，设产品Ａ，Ｂ的单价分别为ｍＡ元和 ｍ 元，甲买进Ａ与卖出曰的综合满意 度为ｈ ，乙卖出Ａ与买进Ｂ的综合满意 度为ｈ （２）对于第（Ⅱ）问，没有对第（Ｉ） 问的ｈ 和ｈＬ的式子进行处理；不知 道怎么选取ｍＡ，ｍＢ的值． 应对策略：（１）最值问题一般考 第９题在平面直角坐标系ｘＯｙ 虑用导数或基本不等式来求解．但看 中，点尸在曲线Ｃ：＇， ３ ｌＯｘ＋３ Ｌ，且在 （Ｉ）求ｈ 和ｈ 关于ｍＡ，ｍ 的表达 到 的式子有根号且里面是分式，用 导数求解较复杂，故用基本不等式求 第二象限内．已知曲线Ｃ在点Ｐ处的 切线的斜率为２，则点Ｊｐ的坐标为试题答案：（一２，１５）． ＭｌＯｌ 已知。： 二 ．函数 ２ ——式；￣／ＴｔＡ＝÷ｍ口时，求证：＾ ＝ ． ） 一 解．在第（Ｉ）问的基础上得到 。，对 （１Ｉ）设 ＝÷ｍ ，当ｍＡ，ｍ 分别 ） 为多少时，甲、乙两人的综合满意度 均最大？最大的综合满意度为多少？ 该式子根号中的部分变形为 ： （ｍ ２０）（ｍ ５１ ｍ ｍＢ ≤！＋２５ ． ９ ） ，若实数ｍ，ｎ满足 厂（ｍ）ｆ（ｎ），则 ｍ，ｎ的大小关系为一试题答案：ｍ＜ 第１９题按照某学者的理论．假 （Ⅲ）记（ＩＩ）中最大的综合满意 度为ｈ。，试问能否适当选取ｍＡ，ｍＢ的 值，使得ｈ ≥ ０和ｈ ≥ ０同时成立， 但等号不同时成立？试说明理由． 失分原因：本小题满分１６分，但 （２）由第（ＩＩ）问ｆ ÷，把＾ 和 。的 式子相乘看其乘积能否大于 ．因为 设一个人生产某产品单件成本为。 元，如果他卖出该产品的单价为ｍ元． ４６ 平均得分是３．８３分，得分率低．失分 。＝＼／ ； 焉＝ ≤ ９ ．所 （２）求二次函数的最值Ｊ－口］题，多 ｆ一２ａ２，。≥０， 借助函数图象，由其单调性及 的取 值范围来求函数的最值．把这两段配 ｇ（ｎ） ｛ ｌ．。＜０．（Ⅲ）（ｉ）当 ３ 。 一以，当 ≥÷，ｈ。≥÷时，有 ＝＾。＝ 三．方成顶点式．确定对称轴时发现两段 的对称轴在ｙ轴的两侧，到底对应的 故不存在．解决第（１１Ｉ）问要紧扣 ３ 对称轴在哪侧不确定，只有把ａ分成 ０≥０和Ⅱ＜０两种情况．由此画出分段 函数的图象再分别求出每一段的最 小值．通过比较得到最小值． 第（Ⅱ）问的结果．此外，如果忽视了 “等号不同时成立”的条件．就会得到 存在 ＝ 。＝— 的错误结果． ３ 孚］Ｕ［孚 ［－孚，孚） 时． ∈Ｉ ａ＋Ｘ／塑３－２ａ￣ 【 ３ ，＋ （３）第（ｍ）问讨论时要有一个分 试题答案：（Ｉ）略；（Ⅱ）当ｍＡ＝６， （ｉｉ） （＿ ，一孚 ∈ 类的标准，不能遗漏．在求解时，要 ｍｓ＝ｌＯ时．甲乙两人同时取到最大综 合满意度．且最大的综合满意度为 对参数的取值范围进行讨论．本小 ３ １Ｕｆ ３ ）． 问分类的标准是借助第（ＩＩ）问的结 ÷；（１１Ｉ）略． 果，按照第一段函数的最小值是否 第２０题设ａ为实数，函数厂（ ）＝ 大于１来分类．第一类．最小值大于 ／ 、兰■ （必修④和必修⑤）ｌ ２＋（ ）Ｉ ． 等于１时，当ａ≥０时，最小值为 ， （Ｉ） ０）≥１，求ａ的取值范围； 第４题 函数ｙ＝Ａ ｓｉｎ（ ＋ ）（Ａ， （ＩＩ）拟 ）的最小值； 若２ ≥１，即。≥ 时， ∈（。，＋∞）； ， 为常数， ＞０，∞＞０）在闭区间上的 （Ⅲ）设函数ｈ（ ）ｉ厂（ ）， ∈（ａ， 图象如图ｌ所示，则∞＝ ． ＋∞），直接写出（不需给出演算步骤） ０时’剐、值为 若 ， ｜Ｙ 不等式ｈ（ｘ）≥１的解集． － 失分原因：本小题满分ｌ６分，但 即。≤一 ／一 时， （。，＋。。）．第二 平均得分是２．９３分，得分率偏低． （１）第（Ⅱ）问错在分类讨 类，最小值小于１时，当ａ≥０，２ ＜１ 孚 Ｄ １ 论不清，将其改成分段函数厂（ ）＝ 时，即０≤。＜ ，由 （ ）＝ ｚ＋（ 一 图１ 号 等 ，在这两段里分 ≥１得 Ｊ 试题答案：３． ｌ（ ＋ ）乏一２ａ２， ≤８， 【 ３ ）Ｊ ．当 第１５题 设向量ｎ＝（４ｃｏｓｃ￣。 别求最小值时没有分Ⅱ≥０和ａ＜Ｏ两种 ａ＜Ｏ时，又分两种情况，若２ ≤１， ｓｉｎａ），ｂ＝－（ｓｉｎｆｌ，４ｃｏｓ１ｆ），ｃ＝－（ｃｏｓ￣，４ｓｉＩ ）． 情况． （Ｉ）若口与西一２ｃ垂直，求ｔａｎ（ｏｔ＋１ｆ） （２）第（Ⅲ）问错在审题不清，题 即一 ≤ｎ＜０时，解得 ∈ 的值： 目告诉 ∈（ａ，＋∞），则只须讨论第 （１Ｉ）问中的分段函数中的一段即可． ［！ 翌 ）；若等 ， （１１）求１６ ｌ的最大值； （Ⅲ）若ｔａｎａｔａｎｆｌ＝１６，求证：ａ／／ｂ． 漏分口≥０和ａ＜Ｏ两种情况讨论．当其 试题答案：（Ｉ）２；（ＩＩ）４、／２； 最小值大于等于１时，可知 Ｅ（口，＋∞） 孚 孚时，解 （１ｌＩ）略． 满足题意．但遗漏了当最小值不大于 １时，得把ｈ（ｘ）≥１转化为一元二次不 等式来解的结果． 】Ｕｆ ３，憎） 应对策略：（１）本题以大家都很 解答第（ＩＩＩ）问的关键是能根据 爿（必修⑤） 熟悉的二次函数为载体．在解不等式 分段函数图象进行分类讨论．因为分 第１４题设｛％｝是公比为ｑ的等 时，要熟悉一元二次不等式的求解方 类的情况较多．结合图形看会比较清 比数列，ｌｑＩ＞ｌ，令６ ， ＋ｌ（肛１，２，…）， 法，对合有参数（特别是参数在二次 楚．所以数形结合是帮助理解题意的 若数列｛ｂ ｝有连续四项在集合｛一５３， 项系数时）的不等式更要讨论二次项 一种重要途径． 一２３，ｌ９，３７，８２｝中，则嘶＝ ． 系数为零的情况． 试题答案：（Ｉ ≤一Ｌ（１１ ） ＝ 失分原因：（１）不能正确判断公 比的正负；（２）－＆－ｉｆ－个数中错选出四 到直线的距离等都是常考点．点到直 个数． 线和圆（必修②） 线的距离公式是直线和圆中的一个 应对策略：把｛ｂ ｝中的数减去１得 常用公式．第（Ⅱ）问的求解思路其实 到｛％｝中的数，由五个数两负三正来 第１８题在平面直角坐标系ｘＯｙ 比较清晰，因为圆Ｃ 与圆 的半径相 判断，则一５４，一２４在｛％｝中，且一５４，一２４ 中，已知圆Ｃ１：（ ＋３） ＋（ｙ—１） －－－４￣圆 等，直线Ｚ 被圆Ｃ，截得的弦长与直线 中间还有一个数，由此可求得公比． ：（ －４）２＋（ ５） Ｚ２被圆Ｃ 截得的弦长相等，所以圆Ｃ 试题答案：一９． Ｖ 的圆心到直线Ｚ。的距离和圆 的圆 第１７题设｛％｝是公差不为零的 等差数列，Ｓ为其前ｒｔ项和，满足 ＋ Ｏ 心到直线ｆ７的距离相等，列出等式即 可．但字母运算较复杂． （２）由于考纲已明确规定直线与 碚＝ ＋ ，ＳＦ７． （Ｉ）求数列｛％｝的通项公式及前 ＼／０ 圆锥曲线的关系对文科考生不再要 ．求．所以直线与圆的位置关系成为必 ｎ项和Ｓ ； 做大题中的考查重点．２００８年考题是 （Ⅱ）试求所有的正整数ｍ，使得 求出含参数的圆的方程后．讨论圆是 图２ 为数列ｔａ．／中的项 否经过定点问题，和今年考题类似， １５／，ｔｉｔ＋２ （Ｉ）若直线Ｚ过点Ａ（４，０），且被 此类问题有两种处理策略，一是令参 失分原因：本小题满分１４分，平 圆 截得的弦长为２、／３，求直线Ｚ的 数为两个特殊值．得到具体的两个圆 均得分是７．８８分． 方程： 的方程求得交点后再代入含参数方 第（Ⅱ）问失分较多，关键是 （Ⅱ）设Ｐ为平面上的点，满足：存 程验证：二是像本题一样求直线过定 不知道把 ＋ｌ这一项的通项公 在过点Ｐ的无穷多对互相垂直的直线 点．把方程整理为关于参数的一元一 ａｍ＋２ Ｚ。和ｆ ，它们分别与圆Ｃ 和圆Ｃ 相交， 次或一元二次方程，由于参数ｋ取值 式写出来．不会分析转化成 ＝ 且直线Ｚ 被圆Ｃ 截得的弦长与直线 的任意性．可令其参数 白系数和常 被圆Ｃ２截得的弦长相等，试求所有满 数项都为零．即可解出定点坐标． （％ －４）（Ⅱ ．厂２） ６＋—８—＋２—而导致 足条件的点Ｐ的坐标． 试题答案：（Ｉ）ｙ＝０或７ｘ＋２４ ２８＝ 斛２ 失分原因：本小题满分１６分，平 ０；（Ｈ）ＰＩ ３ ／ ＼ ５失分．没有注意‰为奇数这一条件． 均得分是５．６１分，得分率较低． ２ Ｊ￣ ２ ｋ ２，一 应对策略：（１）要求熟练掌握求 （１）第（Ｉ）问易漏解ｋ－－０． 等差、等比数列的通项与前／２项和的 （２）第（Ⅱ）问是直线过定点问题． 方法，求非等差、等比数列的通项与 想不出点Ｐ的位置．不会由题意转化 体几何（必修②） 前／ｔ＇项和的方法．如用于求通项的累加 为圆心Ｃ 到直线ｆｌ与圆心Ｃ２到直线２ 法、累乘法等，以及用于求和的错位相 的距离相等．在设出点Ｐ坐标为（ｍ， 第１２题设 和８为不重合的两 减法、裂项法、分组求和法等． ｎ），写出直线Ｚ１，ｆ２的方程，列出方程 个平面．给出下列命题： （２）充分利用通项公式的结构特 Ｉ ４ 】 １ （１）若 内的两条相交直线分别 征，我们发现％为奇数．可以将 ： Ｉ ＿ｌ＋ －ｋｍＩ １～ ＋ ｍｌ 平行于卢内的两条直线，则 平行于ＪＢ； 、／ ｚ＋ １／ ＋１ （２）若 外一条直线Ｚ与 内的一条 （２ｍ－７）（２ｍ－５）用分离常数的方法 Ｗ ｋ 直线平行，则２和Ｏ／平行； ——２ｍ一３ 后不会求解是失分的关键所在．由于 （３）设 和 相交于直线Ｚ，若Ｏ／内有 一进行分离，得到２ｍ－９＋ ；或者应 关于ｋ的方程有无穷多解，存在过点Ｐ 条直线垂直于２，则 和 垂直； ２ｍ－３ 的无穷多对互相垂直的直线ｆ。和Ｚ２，化 （４）直线Ｚ与 垂直的充分必要条 用换元法．令２ｍ－３ ．则 ＋一８简得（２－ｍ—ｎ）ｋ＝ｍ－ｎ一３或（，Ｈ—ｎ＋８） ＝ 一 件是Ｚ与Ｏ／内的两条直线垂直． ％Ｈ２ ｔ ｍ＋ｎ一５关于ｋ的方程有无穷多解，有 上面命题中，真命题的序号是 ６．再进行求解．但是在换元以后还要 ｆ２哪删，或ｆｍ ＋８＝０，即可求得Ｐ ——（写出所有真命题的序号）． 注意ｔ是奇数这一限制条件，否则会产 Ｉ，ｎ—ｎ一３－－０ 【ｍ＋／２—５＝０． 试题答案：（１）（２）． 生错误． 点的坐标． 第１６题如图３，在直三棱柱 试题答案：（Ｉ）ｏ￣＝２ｎ一７，Ｓｏ＝ｎ 一 应对策略：（１）与圆的位置有关 Ａ曰Ｃ．Ａ。 Ｃ１中，Ｅ，Ｆ分另０是Ａｌ ，Ａ１Ｃ ６ｎ；（ＩＩ）ｍ＝ｌ，２． 的问题，求圆的切线方程、研究圆心 的中点，点Ｄ在日 Ｃ 上，Ａ Ｄ上日ｌＣ． ４８ Ｃ １（ａ＞ｂ＞Ｏ）的四个顶点，肋其右焦点， ｉ概率与统计（必修⑧） 直线Ａ 与直线曰。瑚交于点 ，线段 Ｄ 与椭圆的交点 恰为线段ＯＴ的中 第５矗现有５根竹竿，它们的长 点，则该椭圆的离心率为一 Ｅ、 ＼ ‘ 度（单位：ｍ）分别为２．５，２．６，２．７，２．８， ’， Ｃ ２．９．若从中一次随机抽取２根竹竿，则 ／。 它们的长度恰好相差０．３ｍ的概率为 Ｂ， ’ １ 图３ 试题答案： ． ５ 求证：（Ｉ）ＥＦ／／平￣ＡＢＣ； Ａ ｆ ＼～ ０ Ｌ ： 第６墨某校甲、乙两个班级各 曰， （ＩＩ）平面 ｌ肋上平面ＢＢｌＣｌＣ 有５名编号为１，２，３，４，５的学生进行投 图５ 失分原因：本小题满分１４分，平 篮练习，每人投１０次，投中的次数如 失分原因：（１）写错直线Ａ。脚 。Ｔ 均得分是ｌ１．８７分，得分率较高．（１）证 表１：则题中两组数据的方差中较小 的方程，以至求错交点 坐标；（２）不 明ＥＦ／／平面ＡＢｃ时．只写ＥＦ／／ＢＣ而漏 的一个为ｓ ． 知道由 点坐标求出肘点坐标．或求出 了条件 平面ＡＢＣ，ＢＣ ｃ平面 表１ Ｍ点坐标后代人椭圆方程化简得０．ｃ关 ＡＢＣ；（２）证明面面垂直时只写ＡｌＤ上 学生、焉 ２Ｉ号３号４号 ５ 甲班 ６ ７ ７ ８ ７ 系式．不会转化为关于离心率的式子． 平面ＢＢ Ｃ Ｃ，漏了条件 ｌＤｃ平面 乙班 ６ ７ ６ ７ ９ 应对策略：用０，ｂ，ｃ表示交点 ，得 Ａ ＦＤ，导致条件不完备． ，＇ 出Ｍ点的坐标．代入椭圆方程得到０．ｃ 试题答案： ． 应对策略：（１）立体几何的线面 的关系式．进而求得离心率．圆锥曲 关系是重点考查内容。涉及空间直线 线的离心率的计算问题是高考常考 与直线、直线与平面、平面与平面的 常新的话题．考查直线、圆、椭圆三者 结合的题目的可能性较大．苏教版教 平行与垂直的性质与判定，其中平面 算法（必修③） 材对韦达定理已不作要求，因此高考 图形的折叠和以旋转体为载体的线 第７思图４是一个算法的流程 对圆锥曲线的要求有所降低． 面位置关系的论证尤为重要．此外． 图，最后输出的 ＝ 《考试说明》中要求有探究性问题的 试题答案：２、／７—５． 出现．因此今后的高考可能以探究性 问题为主要命题来源．重点考查线面 垂直与平行的问题．只要我们能熟 ＿｜推理与证明 （选修文１ 、选修理２－２） 练运用平行与垂直的判定定理和性 质．解决这类题目就不在话下． 第８囊在平面上，若两个正三 （２）三视图是近年高考的常考 角形的边长的比为１：２，则它们的面积 题．解决之道在于看懂三视图和直观 比为１：４．类似地，在空间中，若两个 图之间的转化．在立体几何里，垂直 正四面体的棱长的比为１：２，则它们的 是热点，中点是常考点，正方体是基 体积比为——． １ 本的模型． 试题答案： ． 试题答案：略． 图４ 试题答案：２２． ／ 、 、、■ 目 、平霞向量（必修④） ｊ复数 圆锥盛线 （选修文１—２、选修理２－－２） 第２置已知向量ａ和向量６的夹 （选修文１—１、选修理２—１） 第１囊若复 ｌ－４＋２９ｉ，ｚ￣－－６＋９ｉ， 角为３０￣，ＩａＩ＝２，Ｉ西Ｊ＝ ，贝０向量口 Ｍ１３思如图５。在平面直角坐标 其中ｉ是虚数单位，则复数（Ｚｔ ：）ｉ的 和向量６的数量积口・西＝ ． 系 中，Ａ，，Ａ ２，ＢＩ，Ｂ２为椭圆詈＋吾＝ 实部为——． 试题答案：３． 试题答案：一２０．缝