利用递推公式求数列通项公式

利用递推公式求数列通项公式

数列的通项公式是研究数列性质的基础,合理应用递推关系构造新数列求出通项公式就变得很重要了,下面介绍几种常见的类型。

类型1:已知数列{an｝的前n项和sn,求数列的通向公式an 方法:利用an与sn的关系,

例1.已知数列{an｝的前n项和 sn=n2-10n(n=1,2,3……),求数列的通向公式。

解:当n=1时,a1=s1=-9

当n≥2时,an=sn-sn-1=n2-10n-[(n-1)2-10(n-1)]=2n-11① 又当n=1时由①式可得a1=-9 ∴an=2n-11

变式提升:已知数列{an｝中,其前n项的和sn=2+3n,求数列的通向公式。答案:

类型2:已知数列{an｝满足an=an-1

+q(n)求通向公式(其中q(n)是关于n的代数式) 方法:叠加法

例2:已知数列{an｝中,a1=1,且 an+1-an=3n-n,求数列{an｝的通向公式。

解:因为an+1-an=3n-n 所以an-an-1=3n-1-(n-1)

an-1-an-2=3n-2-(n-2) …… a2-a1=31-1

将以上n-1式子左右两边各相加可得: an-a1=(3+32+……3n-1)-[1+2+……(n-1)] 即

所以数列{an｝的通向公式:

变式提升:已知数列{an｝中,a1=1,且an+1=an+2n+2n+1,求数列{an｝的通向公式。 答案:an=2n+n2-2

类型3:已知数列{an｝满足an=q(n)·an-1求通向公式(其中q(n)是关于n的表达式) 方法:叠乘法

例3:在数列{an｝中,已知(n2+n)an+1=(n2+2n+1)an,且a1=1,求数列{an｝的通向公式。

解:由(n2+n)an+1=(n2+2n+1)an 可得 ∴, ………

将以上n-1个式子左右两边各相乘可得: 即an=a1·n=n

所以数列{an｝的通向公式an=n

变式提升:已知数列{an｝是首项为2,且各项均为正数的数列,且(n+1)a2n +1-na2n +an+1an=0(n∈n*),求数列{an｝的通向公式。 答案:

类型4:已知数列{an｝满足an=pan-1 +q(p≠0,q≠0)求通向公式。 方法:可用待定系数法化为 an-a=λ(an-1-a)

例4:已知数列{an｝中,首项为2,且an=3an-1+6,求数列{an｝的通向公式。

解:设an-λ=3(an-1-λ), ∴an=3an-1-2λ 又∴an=3an-1+6, ∴-2λ=6λ=-3 ∴an+3=3(an-1+3),即

所以数列{an+3｝是以a1+3=5为首项,以3为公比的等比数列。 ∴an+3=5·3n-1,即an=5·3n-1-3

变式提升:已知数列{an｝满足a1=9,且3an+1+an=4求数列{an｝的通向公式。 答案:

类型5:已知数列{an｝满足

,

求数列{an｝的通向公式。 方法:取倒数法

例5:已知数列{an｝中,a1=1,,求数列{an｝的通向公式。 解:由,取倒数可得:,即

∴数列是以为首项,以为公差的等差数列 ,∴数列{an｝的通向公式为 变式提升:已知数列{an｝中, ,且,求数列{an｝的通向公式。 答案:

类型6:已知数列{an｝满足

(p≠0,p≠1),求数列{an｝的通向公式。 方法:取对数

例6:已知数列{an｝中,a1=3且 an+1=an2,求数列{an｝的通向公式。

解:∵a1=3且an+1=an2,a>0 ∴lgan+1=lgan,即lgan+1=2lgan

∴数列{lgan｝是以lg3为首项,以2为公比的等比数列 ∴lgan=lg3·2n-1=lg3n-1,∴an=32n-1 数列{an｝的通向公式∴an=32n-1

变式提升:正整数列{an｝中,an2=4an,a1=1求数列{an｝的通向

公式。 答案:

类型7:数列{an｝满足an=pan=1+q(n)求数列{an｝的通向公式。 方法:待定系数法

例7:已知数列{an｝满足,a1=3,且an=2an-1+2n+1,求数列{an｝的通向公式。

解:设an-(an+b)=2[an-1-(a(n-1)+b)] ∴an=2an-1-an+2a-b

∴an+(2n+5)=2[an-1+2(n-1)+5]

∴数列{an+(2n+5)｝是以a1+2×1+5=10为首项,以2为公比的等比数列

∴an+(2n+5)=10·2n-1 ∴an=10·2n-1-2n-5 ∴数列{an｝的通向公式 an=10·2n-1-2n-5

变式提升:已知a1=1,an=3an-1 +2n-3,求数列{an｝的通向公式。 答案:an=2×3n-1-n。