一、选择题（共8个小题，每小题2分，共16分。下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的） 1．如图所示的主视图对应的几何体是（ ）
A． B． C． D．
解：A、主视图为，故此选项不合题意；
B、主视图为，故此选项符合题意；
C、主视图为，故此选项不合题意；
D、主视图为答案：B．
，故此选项不合题意．
2．我国自主研发的“复兴号”CR300AF型动车于12月21日在贵阳动车所内运行，其最高运行速度为250000m/h，其中数据250000用科学记数法表示为（ ） A．25×104
B．2.5×104
C．2.5×105
D．2.5×106
解：250000＝2.5×105， 答案：C．
3．如图，数轴上A，B两点对应的数分别是a和b，对于以下四个式子：①2a﹣b；②a+b；③|b|﹣|a|：④，其中值为负数的是（ ）
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④
解：根据图示，可得b＜﹣3，0＜a＜3， ①2a﹣b＞0； ②a+b＜0； ③|b|﹣|a|＞0；
④＜0．
故其中值为负数的是②④． 答案：D．
4．下列运算正确的是（ ） A．22＝﹣4
﹣
B．（a3）4+（a3）4＝a0
﹣
C．32+32+32＝36
解：A、22＝，故本选项错误；
﹣
D．（﹣a）（﹣a）2＝﹣a3
B、（a3）4与（a3）4不是同类项，不能合并，故本选项错误；
﹣
C、32+32+32＝33，故本选项错误； D、（﹣a）（﹣a）2＝﹣a3，故本选项正确； 答案：D．
5．如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝40°，那么∠2的度数（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．90°
解：∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，
∴∠3＝180°﹣90°﹣∠1＝50°， ∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝50°． 答案：B．
6．为了估计水塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获30条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2.5%左右，则鱼塘中鱼的条数估计为（ ） A．600条
B．1200条
C．2200条
D．3000条
解：30÷2.5%＝1200条 答案：B．
7．将一个边长为4cm的正方形与一个长，宽分别为8cm，2cm的矩形重叠放在一起，在下列四个图形中，重叠部
分的面积最大的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A、S阴影＝2×4＝8（cm2）；
B、设重叠的平行四边形的较短边为x，则较长边为
+4（4﹣x）可求x＝
由正方形的面积＝重叠部分的面积+2个小直角三角形面积，可得16＝2×
，
∴S重叠部分＝2×2×
＝
C、图C与图B对比，因为图C的倾斜度比图D的倾斜度小，所以，图C的底比图B的底小，两图为等高不等底，所以图C阴影部分的面积小于图B阴影部分的面积； D、S重叠部分＝答案：B．
8．如图，第①个图形中共有5个小黑点，第②个图形中共有9个小黑点，第③个图形中共有13个小黑点，…按此规律排列下去，则第⑤个图形中小黑点的个数为（ ）
＝8
﹣4
A．17
B．21
C．25
D．29
解：第①个图形中共有5个小黑点，即5＝4×1+1； 第②个图形中共有9个小黑点，即9＝4×2+1； 第③个图形中共有13个小黑点，即13＝4×3+1； …，
按此规律排列下去，
则第⑤个图形中小黑点的个数为4×5+1＝21（个）． 答案：B．
二、填空题（共8个小题，每题2分，共16分） 9．使代数式
有意义的x的取值范围是 x＞﹣3 ．
解：由题意可得：x+3＞0， 解得：x＞﹣3． 答案：x＞﹣3．
10．如图，点A、B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最小值为
﹣ ．
解：∵A（2，0），B（0，2）， ∴OA＝OB＝2，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1， ∴C在⊙B上，且半径为1， 取OD＝OA＝2，连接CD，
∵M为线段AC的中点，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OM＝CD，
当OM最小时，即CD最小，而D，B，C三点共线时，
当C在线段DB上时，OM最小， ∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°， ∴BD＝∴CD＝2
OB＝2﹣1，
﹣， ﹣， ，
∴OM＝CD＝即OM的最小值为答案：
﹣．
11．若某个正多边形的每一个外角都等于其相邻内角的，则这个正多边形的边数是 8 ． 解：设外角是x度，则相邻的内角是3x度． 根据题意得：x+3x＝180， 解得x＝45．
则多边形的边数是：360°÷45°＝8． 答案：8． 12．方程组解：
的解为 ，
．
①﹣②，得4y＝4，解得y＝1，
把y＝1代入②，得x﹣1＝1，解得x＝2， 故方程组的解为答案：
．
．
13．如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是 （400，800） ．
解：连接AC，
由题意可得：AB＝300m，BC＝400m， 在△AOD和△ACB中
∵，
∴△AOD≌△ACB（SAS）， ∴∠CAB＝∠OAD， ∵B、O在一条直线上， ∴C，A，D也在一条直线上，
∴AC＝AO＝500m，则CD＝AC+AD＝800m， ∴C点坐标为：（400，800）． 答案：（400，800）．
14．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则
的值是 2+
．
解：∵四边形EFGH为正方形， ∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°， ∵OG＝GP，
∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°， ∴∠PBG＝22.5°， 又∵∠DBC＝45°， ∴∠GBC＝22.5°， ∴∠PBG＝∠GBC，
∵∠BGP＝∠BGC＝90°，BG＝BG， ∴△BPG≌△BCG（ASA）， ∴PG＝CG．
设OG＝PG＝CG＝x， ∵O为EG，BD的交点， ∴EG＝2x，FG＝
x，
∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”， ∴BF＝CG＝x， ∴BG＝x+
x，
+1）2+x2＝（4+2
＝2+
，
）x2，
∴BC2＝BG2+CG2＝x2（∴答案：2+
＝．
15．在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中：甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%；乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%． 对于此次测试，给出下列三个结论：
①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率；
②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率； ③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定． 其中所有正确结论的序号是 ②③ ．
解：由题意得，甲校学生成绩优秀率在50%与70%之间，乙校学生成绩的优秀率在40%与60%之间，不能确定哪个学校的优秀率大，①错误；
②甲乙两校所有男生的优秀率在60%与70%之间，甲乙两校所有女生成绩的优秀率在40%与50%之间，所以甲乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲乙两校所有女生成绩的优秀率，②正确；
③甲校学生成绩的优秀率与学校的男女生的比例有关，不能由甲乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系确定，③正确；
所以正确的结论序号是②③． 答案：②③．
16．如图．在Rt△ABC中，AC＝3，∠ABC＝90°，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥BD交BC边于点E．若AD＝1，则图中阴影部分的面积为 1
解：如图，作DH⊥BC于H，
∵∠ABC＝90°，BD是△ABC的角平分线，
∠DBC＝∠ABD＝45°， ∵DE⊥BD， ∴∠DEB＝45°，
∴△BDE是等腰直角三角形， 设DH＝BH＝EH＝a， ∵DH∥AB
∴△CDH∽△CAB， ∴
，
∵AD＝1，AC＝3， ∴
，
∴AB＝a，CE＝a， ∵AB2+BC2＝AC2， ∴
，
，
．
∴图中阴影部分的面积＝
解法二：将△DEC绕点D顺时针旋转90°得到△DBT．
∵∠DEC＝∠DBT＝135°，∠ABD＝45°， ∴∠ABD+∠DBT＝180°， ∴A，B，T共线，
∴图中阴影部分的面积＝S△ADT＝×AD×DT＝1． 答案：1．
三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第
27-28题，每小题7分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17．（5分）计算：解：＝2﹣1+4×＝1+2＝1
18．（5分）解不等式组：
．
﹣2
﹣2
．
解：，
由①得x≥， 由②得x＜2，
所以，原不等式组得解集为≤x＜2．
19．（5分）已知：如图，OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB的中点．求证：∠A＝∠B．
证明：∵OA，OB为⊙O的半径，C，D分别为OA，OB的中点， ∴OA＝OB，OC＝OD． 在△AOD与△BOC中， ∵
，
∴△AOD≌△BOC（SAS）． ∴∠A＝∠B．
20．（5分）先化简，再求值：（2a﹣1）2+2a（3﹣2a），其中a＝1． 解：原式＝4a2﹣4a+1+6a﹣4a2 ＝2a+1， 当a＝1时， 原式＝2×1+1
＝3．
21．（5分）（Ⅰ）解方程 x2+2x+1＝4；
（Ⅱ）利用判别式判断方程2x2﹣3x﹣＝0的根的情况． 解：（Ⅰ）解方程 x2+2x﹣3＝0， 因式分解，得（x﹣1）（x+3）＝0， 于是得x﹣1＝0，或x+3＝0， x1＝1，x2＝﹣3．
（Ⅱ）解：a＝2，b＝﹣3，c＝﹣，
∵△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣）＝9+12＝21＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．
22．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若AB＝6，BC＝10，求EF的长．
证明：（1）∵AD∥BC，AE∥DC， ∴四边形AECD
是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，E是BC的中点， ∴AE＝CE＝BC， ∴四边形AECD是菱形； （2）过A作AH⊥BC于点H， ∵∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10， ∴AC＝∵∴AH＝
， ，
，
∵点E是BC的中点，BC＝10，四边形AECD是菱形， ∴CD＝CE＝5，
∵S▱AECD＝CE•AH＝CD•EF，
∴EF＝AH＝．
法二：连接ED交AC于O， 由题意得：AC＝8，计算得ED＝6．
．
计算得5EF＝6×4， EF＝
．
23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对于函数y＝（x＞0），它的图象是双曲线在第一象限内的一部分，如图1，这条曲线将第一象限分成了三个部分，即曲线上方、曲线下方和曲线上． （1）对于函数y＝（x＞0）的图象而言，
①点P（3，1）在 曲线上方 （填“曲线上方”、“曲线下方”、“曲线上”）．
②横、纵坐标满足不等式y＜的点在 曲线下方 （填“曲线上方”、“曲线下方”、“曲线上”）．
（2）已知m＞0，将在第一象限内满足不等式组的所有点组成的区域记为W．
①当m＝1时，请在图2中画出区域W（用阴影部分标示）；
②若A（1，2），B（2，4）两点恰有一个点在区域W内，结合图象，直接写出m的取值范围．
解：（1）①在函数y＝图象上，当x＝3时，y＝， ∴点P（3，1）在曲线上方；
②y＝为曲线，横、纵坐标满足不等式y＜的点在曲线下方． 答案：①曲线上方；②曲线下方． （2）①由题意知，区域W满足
，
∴区域W满足在y＝的上方且在y＝x+1的下方，如图：
②当点A（1，2）在区域W内时， 得1＜m＜2，
当点B（2，4）在区域W内时， 得2＜m＜8，
∴m的取值范围为1＜m＜8且m≠2．
24．为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查，调查结果统计如图所示（其中男生收看3次的人数没有标出）． 根据上述信息，解答下列问题：
（1）该班级女生人数是 20 ，女生收看“两会”新闻次数的中位数是 3 ；
（2）对于某个群体，我们把一周内收看热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体多某热点新闻的“关注指数”，如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低5%，试求该班级男生人数；
（3）为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明给出了男生的部分统计量，根据你所学过的统计知识，适当计算女生的有关统计量，进而比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小．
统计量 该班级男生
平均数（次） 中位数（次）
3
3
众数（次）
4
方差 2
… …
， ，
解：（1）该班级女生人数是2+5+6+5+2＝20， 女生收看“两会”新闻次数的中位数是3； 答案：20，3．
（2）由题意：该班女生对“两会”新闻的“关注指数”为设该班的男生有x人 则
＝60%，解得：x＝25．
所以，男生对“两会”新闻的“关注指数”为60%
答：该班级男生有25人．
（3）该班级女生收看“两会”新闻次数的平均数为女生收看“两会”新闻次数的方差为：∵2＞
，
＝3，
＝
，
∴男生比女生的波动幅度大．
25．（5分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，BC，AD与⊙O相切于点A，交BC的延长线于点D，点E是劣弧BC的中点，连接AE，CE． （1）求证：∠DAC＝∠AEC；
（2）延长CE，AB交于点G，使得GB＝AB，若AC＝2，求⊙O的半径．
（1）证明：∵AD是⊙O的切线，AB是⊙O的直径， ∴AD⊥AB． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°． 即AC⊥BD．
∴∠DAC＝∠ABC＝∠AEC． 即∠DAC＝∠AEC．
（2）解：过B作BF∥AC，交CG于F，连接OE． ∵BG＝AB，AC＝2， ∴BF＝AC＝×2＝． ∵点E是弧BC的中点， ∴OE⊥BC． ∵AC⊥BD， ∴OE∥AC． ∵O是AB的中点，
∴OE是梯形ABFC的中位线．
∴OE＝
所以⊙O的半径为．
．
26．已知二次函数y＝x2﹣2mx+2m2﹣1（m为常数）． （1）若该函数图象与x轴只有一个公共点，求m的值．
（2）将该函数图象沿过其顶点且平行于x轴的直线翻折，得到新函数图象． ①则新函数的表达式为 y＝﹣x2+2mx﹣1 ，并证明新函数图象始终经过一个定点；
②已知点A（﹣2，﹣1）、B（2，﹣1），若新函数图象与线段AB只有一个公共点，请直接写出m的取值范围． 解：（1）∵△＝（﹣2m）2﹣4（2m2﹣1）＝0， ∴m＝±1，
即函数图象与x轴只有一个公共点时，m的值为±1；
（2）①∵y＝x2﹣2mx+2m2﹣1＝（x﹣m）2+m2﹣1，顶点坐标为（m，m2﹣1）， 则图像沿x轴翻折后，顶点坐标不变，开口向下，a＝﹣1，
∴翻折后抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m）2+m2﹣1＝﹣x2+2mx﹣1，
答案：y＝﹣x2+2mx﹣1； 当x＝0时，y＝﹣1， 故新函数过定点（0，﹣1）；
②设定点为C（0，﹣1），而点A（﹣2，﹣1）、B（2，﹣1），即点A、B、C在同一直线上，
新抛物线的对称轴为x＝m，
当m＞0时，如上图实线部分，新函数图象与线段AB只有一个公共点，则函数不过点B，即m＞1， 当m＜0时，同理可得：m＜﹣1， 从图象看，当m＝0时，也符合题意，
故m的取值范围为：m＞1或m＜﹣1或m＝0．
27．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝16．动点P从点A出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PQ⊥AB交AC或BC于点Q（点Q与点A、B、C不重合），以PQ为斜边作Rt△PQR，其中∠RQP＝∠B，且点R与点C始终在直线PQ的同侧．设点P运动的时间为t秒． （1）AC的长是 12 ．
（2）用含t的代数式表示线段PR的长．
（3）当点R落在∠ABC的平分线上时，求t的值．
（4）M为边AB的中点，点R关于直线AB的对称点为N，当直线MN与△ABC的边平行时，直接写出此时t的值．
解：（1）如图1中，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴AC＝答案：12．
（2）如图1中，过点C作CH⊥AB于H．
＝12，
∵•AB•CH＝•AC•BC， ∴CH＝∴AH＝当0＜t＜
时， ，
＝
＝
，
∵QP⊥AB， ∴∠APQ＝90°， 又∵∠A＝∠A， ∴△ACB∽△APQ， 设AP＝5t， ∴∴∴PQ＝
， ， ，
∵∠RQP＝∠B，∠PRQ＝∠ACB＝90°， ∴△PRQ∽△ACB， ∴
，
∴
∴PR＝4t．
，
如图2中，当＜t＜4时，PQ＝（20﹣5t）×，PR＝PQ＝9﹣t．
（3）如图3中，取AB的中点T，连接CT，过点R作RW⊥AB于W，RK⊥BC于K，连接BR，过点P作PJ⊥KR交KR的延长线于J，延长QR交AB于G．
∵∠ACB＝90°，AT＝TB， ∴CT＝AT＝BT＝10， ∴∠TCB＝∠TBC， ∵AH＝
，
＝
，
∴HT＝10﹣
∵∠PQR+∠QPR＝90°，∠QPR+∠BPR＝90°， ∴∠BPR＝∠PQR， ∵∠PQR＝∠ABC， ∴∠BPR＝∠ABC， ∵PJ∥BC， ∴∠JPB＝∠ABC， ∴∠JPR＝2∠ABC，
∵∠CTH＝∠TCB+∠TBC＝2∠ABC， ∴∠CTH＝∠JPR， ∵∠CHT＝∠J＝90°， ∴△RJP∽△CHT， ∴∴
＝＝
＝＝
， ，
∴RJ＝t，
∵JK＝（20﹣5t）＝12﹣3t，
∴RK＝JK﹣JR＝12﹣3t﹣∵RW⊥AB， ∴RW＝×4t＝
t，
t＝12﹣t，
∵点R在∠ABC的角平分线上，RW⊥AB，RK⊥BC， ∴RK＝RW， ∴12﹣解得t＝
（4）如图4﹣1中，当直线QR经过点M时，MN∥AC，满足条件，此时AP+PM＝10，
t＝．
t，
可得5t+×4t＝10， 解得t＝1．
如图4﹣2中，当MN∥AC时，满足条件，
此时PM＝5t﹣10＝解得，t＝
，
（20﹣5t）﹣2×
（4﹣t）×
如图4﹣3中，当MN∥BC时，
PM＝5t﹣10＝2××（20﹣5t）××， 解得t＝
，
或
．
综上所述，满足条件的t的值为1或
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，点P坐标为（2，3），点Q为图形M上一点．我们将线段PQ长度的最大值与最小值之间的差定义为点P视角下图形M的“宽度”．
（1）如图，⊙O半径为2，与x轴，分别交于点A，B．
①在点P视角下，⊙O的“宽度”为 4 ，线段AB的“宽度”为 2 ；
②点G（m，0）为x轴上一点．若在点P视角下，线段AG的“宽度”为2，求m的取值范围； （2）⊙C的圆心在x轴上，且半径为r（r＞0），一次函数y＝﹣
与x轴，y轴分别交于点D，E．若
线段DE上存在点K，使得在点K视角下，⊙C的“宽度”可以为2，求圆心C的横坐标xC的取值范围． 解：（1）①如图，作直线OP交⊙O于E，F． ∵PE﹣PE＝4，
∴在点P视角下，⊙O的“宽度”为4． 连接PA，PB． ∵PB＝3，PA＝∴PA﹣PB＝5﹣3＝2， ∴线段AB的“宽度”为2，
＝5，
答案：4；2．
②当M在点A右侧时，当m＞6时，PM＞PA，此时线段AG的“宽度”大于2，不符合题意， 当﹣2＜m＜2时，PA﹣PM＜2 ∴2≤m≤6．
当M在点A左侧时，PA＝5，PM＝7， ∴∴
．
．
综上所述，2≤m≤6或
（2）∵⊙C的“宽度”为2， ∴r≥1． 当r＞1时，
∴点K出现在⊙C内部，其轨迹为以点C为圆心，半径为1的圆． 又∵点K在线段DE上．
∴该轨迹圆需要与线段DE有交点．如图2﹣1．
当C在点D左侧时，⊙C与DE相切时，C（4，0），如图2﹣2中，
当C在点D右侧时，经过点D时，C（7，0）．
综上所述，r＞1时，满足条件的xC为：4≤xC≤7．
当r＝1时，在圆外任何一点的视角下，⊙C的“宽度”均为2． 所以xC为任意实数．
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