(完整)华中师范大学数学分析期末考试试题2

数学分析期末考试试题

一、叙述题:（每小题6分，共18分）

1、 牛顿—莱不尼兹公式 2、

an1n收敛的cauchy收敛原理

3、 全微分

二、计算题：（每小题8分，共32分）

1、limx0x20sint2dtx4

2、求由曲线yx2和xy2围成的图形的面积和该图形绕x轴旋转而成的几何体的体积。

xn3、求的收敛半径和收敛域，并求和

n1n(n1)2u4、已知ux ，求

xy三、（每小题10分，共30分）

1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数 yzn! nnn102、讨论反常积分xp1exdx的敛散性

3、讨论函数列Sn(x)x21n2x(,)的一致收敛性

四、证明题（每小题10分，共20分）

xn111、设xn0,1(n1,2)，证明xn发散

xnnn1xy2、证明函数f(x,y)x2y20

x2y20x2y20 在（0，0)点连续且可偏导,但它在该点不可微.,

1

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参考答案

一、1、设f(x)在连续，F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，则成立f(x)dxF(b)F(a)

ab2、0.N0,使得mnN，成立an1an2am

3、设DR2为开集，[a,b]zf(x,y),(x,y)D是定义在D上的二元函数，P0(x0,y0)为D中的一定点，若存在只与点有关而与x,y无关的常数A和B，使得zAxByo(x2y2)则称函数

f在点P0(x0,y0)处是可微的,并称AxBy为在点P0(x0,y0)处的全微分

二、1、分子和分母同时求导

x22xsinx41lim（8分)

x0x03x66x52、 、两曲线的交点为（0，0），（1，1)（2分）

11所求的面积为：(xx2)dx（3分）

0313所求的体积为:(xx5)dx（3分）

0100limsint2dt1(n1)(n2)xn1,收敛半径为1，收敛域 3、 解：设f(x)，limn1n1n(n1)n(n1)[-1，1］（2分）

x1xxn111ln(1x),(0x1)(3分) f(x)2ln(1x),(0x1),f(x)f'(t)dt10x(n1)xxn1'x=0级数为0，x=1，级数为1，x=-1,级数为1—2ln2(3分）

21ulnx1u4、解： =xz（3分）（5分） xzlnxxzyzzxxyyyy三、1、解、有比较判别法，Cauchy,D’Alembert,Raabe判别法等（应写出具体的内容4分）

(n1)!1n(n1)n1limlim(1)e1（4分)由D’Alembert判别法知级数收敛（1分） nnn!n1nn2、解：xp1exdxxp1exdxxp1exdx（2分）,对xp1exdx，由于x1pxp1ex1(x0)故

001011p>0时x01p1x（4分）；xedx收敛

1p1x由于xxedx，

2p1xe（4分)故对一切的pxp1exdx0(x)1收敛,综上所述p>0,积分收敛

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3、解：Sn(x)x21收敛于x（4分）limsupSn(x)x0所以函数列一致收敛性（6分）

nx(,)n2四、证明题（每小题10分,共20分） 1、证明:

x3x4xx112n21xnx2,(n2)（6分） nnn1x2x3xn1x223n1n11发散，由比较判别法知级数发散（4分) n2n12、证明:0|xyxy22||xy|（4分）

(x,y)(0,0)limxyxy22=0所以函数在（0，0）点连续，（3分)又

0xy0,fx(0,0),fy(0,0)存在切等于0，(4分）但lim不存在,故函数在（0，0）点不可

x0x(x,y)(0,0)x2y2lim微（3分）

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