2018年贵州省高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅲ)

2018年贵州省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅲ）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（ ） A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2} 2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（ ） A．﹣3﹣i B．﹣3+i

C．3﹣i D．3+i

3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）

A． B． C． D．

4．（5分）若sinα=，则cos2α=（ ） A． B． C．﹣ D．﹣

5．（5分）（x2+）5的展开式中x4的系数为（ ） A．10 B．20 C．40 D．80

2+y2=26．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）

上，则△ABP面积的取值范围是（ ） A．[2，6] B．[4，8] C．[

，3

] D．[2

，3

]

7．（5分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（ ）

第1页（共26页）

A． B．

C． D．

8．（5分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），则p=（ ） A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3

9．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为则C=（ ） A．

B．

C．

D．

，

10．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9A．12

B．18

，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（ ） C．24

D．﹣

11．（5分）设F1，F2是双曲线C：=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O

|OP|，则C

是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=的离心率为（ ） A．

B．2

C．

D．

12．（5分）设a=log0.20.3，b=log20.3，则（ ）

A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b

第2页（共26页）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2+），则λ= ．

14．（5分）曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a= ． 15．（5分）函数f（x）=cos（3x+

）在[0，π]的零点个数为 ．

16．（5分）已知点M（﹣1，1）和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB=90°，则k= ．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．（12分）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3． （1）求{an}的通项公式；

（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m．

18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：

超过

不超过m

第3页（共26页）

m

第一种生产方

式 第二种生产方

式

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附：K2=P（K2≥k）

k

， 0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828 所在平面垂

19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧直，M是

上异于C，D的点．

（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；

（2）当三棱锥M﹣ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．

20．（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：AB的中点为M（1，m）（m＞0）． （1）证明：k＜﹣；

（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且|

|成等差数列，并求该数列的公差．

+

+=1交于A，B两点，线段

+=．证明：||，||，

21．（12分）已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x．

（1）若a=0，证明：当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0； （2）若x=0是f（x）的极大值点，求a．

第4页（共26页）

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为数），过点（0，﹣

，（θ为参

）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．

（1）求α的取值范围；

（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．

[选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣1|． （1）画出y=f（x）的图象；

（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．

第5页（共26页）

2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）

参与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（ ） A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}

【分析】求解不等式化简集合A，再由交集的运算性质得答案． 【解答】解：∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}， ∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}． 故选：C．

【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题．

2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（ ） A．﹣3﹣i B．﹣3+i

C．3﹣i D．3+i

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：（1+i）（2﹣i）=3+i． 故选：D．

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．

3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）

第6页（共26页）

A． B． C． D．

【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法，判断选项的正误即可． 【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A．

故选：A．

【点评】本题看出简单几何体的三视图的画法，是基本知识的考查．

4．（5分）若sinα=，则cos2α=（ ） A． B． C．﹣ D．﹣

【分析】cos2α=1﹣2sin2α，由此能求出结果． 【解答】解：∵sinα=，

∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=． 故选：B．

【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

5．（5分）（x2+）5的展开式中x4的系数为（ ） A．10 B．20 C．40 D．80

【分析】由二项式定理得（x2+）5的展开式的通项为：Tr+1=

r=

（x2）5﹣r（）

，由10﹣3r=4，解得r=2，由此能求出（x2+）5的展开式中x4的

系数．

第7页（共26页）

【解答】解：由二项式定理得（x2+）5的展开式的通项为： Tr+1=

（x2）5﹣r（）r=

，

由10﹣3r=4，解得r=2，

∴（x2+）5的展开式中x4的系数为故选：C．

【点评】本题考查二项展开式中x4的系数的求法，考查二项式定理、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

2+y2=26．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）

=40．

上，则△ABP面积的取值范围是（ ） A．[2，6] B．[4，8] C．[

，3

] D．[2

，3

]

，

），∈

【分析】求出A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|=2点P到直线x+y+2=0的距离：d=[

，设P（2+

=

]，由此能求出△ABP面积的取值范围．

【解答】解：∵直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点， ∴令x=0，得y=﹣2，令y=0，得x=﹣2， ∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|=

=2

，

，

），

∵点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，∴设P（2+∴点P到直线x+y+2=0的距离： d=

=

，

∵sin（）∈[﹣1，1]，∴d=∈[]，

∴△ABP面积的取值范围是： [

故选：A．

【点评】本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的距

第8页（共26页）

，]=[2，6]．

离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

7．（5分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（ ）

A． B．

C． D．

【分析】根据函数图象的特点，求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可． 【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B． 函数的导数f′（x）=﹣4x3+2x=﹣2x（2x2﹣1）， 由f′（x）＞0得2x（2x2﹣1）＜0， 得x＜﹣

或0＜x＜

，此时函数单调递增，

由f′（x）＜0得2x（2x2﹣1）＞0， 得x＞

或﹣

＜x＜0，此时函数单调递减，排除C，

故选：D．

【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数过定点以及判断函数的单调性是解决本题的关键．

8．（5分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），则p=（ ）

第9页（共26页）

A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3

【分析】利用已知条件，转化为二项分布，利用方差转化求解即可．

【解答】解：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，看做是重复事件，满足X～B（10，p）， P（x=4）＜P（X=6），可得p

．

，可得1﹣2p＜0．即

因为DX=2.4，可得10p（1﹣p）=2.4，解得p=0.6或p=0.4（舍去）． 故选：B．

【点评】本题考查离散型离散型随机变量的期望与方差的求法，重复事件的应用，考查转化思想以及计算能力．

9．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为则C=（ ） A．

B．

C．

D．

，

【分析】推导出S△ABC=能求出结果．

=，从而sinC==cosC，由此

【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c． △ABC的面积为∴S△ABC=∴sinC=

∵0＜C＜π，∴C=故选：C．

【点评】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

10．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边

第10页（共26页）

，

==cosC， ．

，

三角形且面积为9A．12

B．18

，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（ ） C．24

D．

【分析】求出，△ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可．

【解答】解：△ABC为等边三角形且面积为9

，可得

，解得AB=6，

球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图： O′C=

=

，OO′=

=2，

则三棱锥D﹣ABC高的最大值为：6， 则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：故选：B．

=18

．

【点评】本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．

11．（5分）设F1，F2是双曲线C：

﹣

=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O

|OP|，则C

是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=的离心率为（ ） A．

B．2

C．

D．

【分析】先根据点到直线的距离求出|PF2|=b，再求出|OP|=a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|cos∠PF2O，代值化简整理可得

a=c，问题得以解决．

﹣

=1（a＞0．b＞0）的一条渐近线方程为y=x，

【解答】解：双曲线C：

∴点F2到渐近线的距离d=

=b，即|PF2|=b，

第11页（共26页）

∴|OP|=∵|PF1|=∴|PF1|=

|OP|， a，

=

=a，cos∠PF2O=，

在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|COS∠PF2O，

∴6a2=b2+4c2﹣2×b×2c×=4c2﹣3b2=4c2﹣3（c2﹣a2）， 即3a2=c2， 即

a=c，

，

∴e==

故选：C．

【点评】本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，余弦定理，离心率，属于中档题．

12．（5分）设a=log0.20.3，b=log20.3，则（ ）

A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b 【分析】直接利用对数的运算性质化简即可得答案． 【解答】解：∵a=log0.20.3=

，b=log20.3=

，

∴=，

，

∵

，

，

∴ab＜a+b＜0． 故选：B．

【点评】本题考查了对数值大小的比较，考查了对数的运算性质，是中档题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2+），

第12页（共26页）

则λ= ．

=（4，2），再由向量平行的性质能求

【分析】利用向量坐标运算法则求出出λ的值．

【解答】解：∵向量=（1，2），=（2，﹣2）， ∴

=（4，2），

∵=（1，λ），∥（2+）， ∴

，

解得λ=． 故答案为：．

【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

14．（5分）曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a= ﹣3 ． 【分析】球心函数的导数，利用切线的斜率列出方程求解即可． 【解答】解：曲线y=（ax+1）ex，可得y′=aex+（ax+1）ex， 曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2， 可得：a+1=﹣2，解得a=﹣3． 故答案为：﹣3．

【点评】本题考查函数的导数的应用切线的斜率的求法，考查转化思想以及计算能力．

15．（5分）函数f（x）=cos（3x+

）在[0，π]的零点个数为 3 ．

）=0，可得3x+

=

+kπ，k∈Z，即

【分析】由题意可得f（x）=cos（3x+x=

+kπ，即可求出．

【解答】解：∵f（x）=cos（3x+）=0，

第13页（共26页）

∴3x+∴x=

=+kπ，k∈Z，

+kπ，k∈Z，

，

当k=0时，x=

当k=1时，x=π， 当k=2时，x=π， 当k=3时，x=∵x∈[0，π]， ∴x=

，或x=π，或x=π，

π，

故零点的个数为3， 故答案为：3

【点评】本题考查了余弦函数的图象和性质以及函数零点的问题，属于基础题．

16．（5分）已知点M（﹣1，1）和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB=90°，则k= 2 ．

【分析】由已知可求过A，B两点的直线方程为y=k（x﹣1），然后联立直线与抛物线方程组可得，k2x2﹣2（2+k2）x+k2=0，可表示x1+x2，x1x2，y1+y2，y1y2，由∠AMB=90°，向量的数量积为0，代入整理可求k． 【解答】解：∵抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0）， ∴过A，B两点的直线方程为y=k（x﹣1）， 联立

可得，k2x2﹣2（2+k2）x+k2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则 x1+x2=

，x1x2=1，

∴y1+y2=k（x1+x2﹣2）=，y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=﹣4， ∵M（﹣1，1），

第14页（共26页）

∴

=（x1+1，y1﹣1），

•

=（x2+1，y2﹣1）， =0

∵∠AMB=90°，∴

∴（x1+1）（x2+1）+（y1﹣1）（y2﹣1）=0， 整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2﹣（y1+y2）+2=0， ∴1+2+

﹣4﹣+2=0，

即k2﹣4k+4=0， ∴k=2． 故答案为：2

【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的相交关系的应用，解题的难点是本题具有较大的计算量．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．（12分）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3． （1）求{an}的通项公式；

（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m．

【分析】（1）利用等比数列通项公式列出方程，求出公比q=±2，由此能求出{an}的通项公式．

（2）当a1=1，q=﹣2时，Sn=

，由Sm=63，得Sm=

=63，m∈N，

无解；当a1=1，q=2时，Sn=2n﹣1，由此能求出m． 【解答】解：（1）∵等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3． ∴1×q4=4×（1×q2）， 解得q=±2， 当q=2时，an=2n﹣1，

当q=﹣2时，an=（﹣2）n﹣1，

∴{an}的通项公式为，an=2n﹣1，或an=（﹣2）n﹣1． （2）记Sn为{an}的前n项和．

第15页（共26页）

当a1=1，q=﹣2时，Sn=由Sm=63，得Sm=当a1=1，q=2时，Sn=

==，

=63，m∈N，无解；

=

=2n﹣1，

由Sm=63，得Sm=2m﹣1=63，m∈N， 解得m=6．

【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：

超过m

不超过m

第一种生产方

式 第二种生产方

式

第16页（共26页）

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附：K2=P（K2≥k）

k

， 0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

【分析】（1）根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；

（2）根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表； （3）列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论． 【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据知，

第一种生产方式的工作时间主要集中在72～92之间， 第二种生产方式的工作时间主要集中在65～85之间， 所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；

（2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后， 排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为m=由此填写列联表如下；

=80；

超过m 15 5 20

不超过m

5 15 20

总计 20 20 40

第一种生产方式 第二种生产方式

总计

（3）根据（2）中的列联表，计算 K2=

=

=10＞6.635，

∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．

【点评】本题考查了列联表与性检验的应用问题，是基础题．

19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧直，M是

上异于C，D的点．

所在平面垂

（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；

（2）当三棱锥M﹣ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．

第17页（共26页）

【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明MC⊥平面ADM即可．

（2）根据三棱锥的体积最大，确定M的位置，建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用向量法进行求解即可．

【解答】解：（1）证明：在半圆中，DM⊥MC， ∵正方形ABCD所在的平面与半圆弧∴AD⊥平面DCM，则AD⊥MC， ∵AD∩DM=D， ∴MC⊥平面ADM， ∵MC⊂平面MBC， ∴平面AMD⊥平面BMC． （2）∵△ABC的面积为定值，

∴要使三棱锥M﹣ABC体积最大，则三棱锥的高最大， 此时M为圆弧的中点，

建立以O为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图 ∵正方形ABCD的边长为2，

∴A（2，﹣1，0），B（2，1，0），M（0，0，1）， 则平面MCD的法向量=（1，0，0）， 设平面MAB的法向量为=（x，y，z） 则

=（0，2，0），=2y=0，•

=（﹣2，1，1）， =﹣2x+y+z=0，

所在平面垂直，

由•

令x=1，

则y=0，z=2，即=（1，0，2）， 则cos＜，＞=

==，

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则面MAB与面MCD所成二面角的正弦值sinα==．

【点评】本题主要考查空间平面垂直的判定以及二面角的求解，利用相应的判定定理以及建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键．

20．（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：AB的中点为M（1，m）（m＞0）． （1）证明：k＜﹣；

（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且|

|成等差数列，并求该数列的公差．

+

+

=．证明：|

|，|

|，

+

=1交于A，B两点，线段

【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法得6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，k=

=﹣

=﹣

又点M（1，m）在椭圆内，即得k＜﹣，

，解得m的取值范围，即可

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2=2 由

+

+

=，可得x3﹣1=0，由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，

|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=．即可证明|FA|+|FB|=2|FP|，求得A，B坐标再求公差．

【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），

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∵线段AB的中点为M（1，m）， ∴x1+x2=2，y1+y2=2m 将A，B代入椭圆C：

+

=1中，可得

，

两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0， 即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0， ∴k=

=﹣

=﹣

点M（1，m）在椭圆内，即解得0＜m∴

，

．

（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3）， 可得x1+x2=2， ∵

+

+

=，F（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0，y1+y2+y3=0，

∴x3=1，y3=﹣（y1+y2）=﹣2m

∵m＞0，可得P在第四象限，故y3=﹣，m=，k=﹣1

由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=． 则|FA|+|FB|=4﹣

，∴|FA|+|FB|=2|FP|，

联立

，可得|x1﹣x2|=

所以该数列的公差d满足2d=∴该数列的公差为±

．

|x1﹣x2|=，

【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查了点差法、焦半径公式，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用与计算能力的考查．属于中

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档题．

21．（12分）已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x．

（1）若a=0，证明：当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0； （2）若x=0是f（x）的极大值点，求a．

【分析】（1）对函数f（x）两次求导数，分别判断f′（x）和f（x）的单调性，结合f（0）=0即可得出结论；

（2）令h（x）为f′（x）的分子，令h″（0）计算a，讨论a的范围，得出f（x）的单调性，从而得出a的值．

【解答】（1）证明：当a=0时，f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x，（x＞﹣1）．

，

，

可得x∈（﹣1，0）时，f″（x）≤0，x∈（0，+∞）时，f″（x）≥0 ∴f′（x）在（﹣1，0）递减，在（0，+∞）递增， ∴f′（x）≥f′（0）=0，

∴f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x在（﹣1，+∞）上单调递增，又f（0）=0． ∴当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0． （2）解：由f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x，得 f′（x）=（1+2ax）ln（1+x）+

﹣2=

，

令h（x）=ax2﹣x+（1+2ax）（1+x）ln（x+1）， h′（x）=4ax+（4ax+2a+1）ln（x+1）．

当a≥0，x＞0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增， ∴h（x）＞h（0）=0，即f′（x）＞0，

∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，故x=0不是f（x）的极大值点，不符合题意． 当a＜0时，h″（x）=8a+4aln（x+1）+显然h″（x）单调递减， ①令h″（0）=0，解得a=﹣．

∴当﹣1＜x＜0时，h″（x）＞0，当x＞0时，h″（x）＜0， ∴h′（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，

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，

∴h′（x）≤h′（0）=0，

∴h（x）单调递减，又h（0）=0，

∴当﹣1＜x＜0时，h（x）＞0，即f′（x）＞0， 当x＞0时，h（x）＜0，即f′（x）＜0，

∴f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减， ∴x=0是f（x）的极大值点，符合题意； ②若﹣＜a＜0，则h″（0）=1+6a＞0，h″（e＜0，

∴h″（x）=0在（0，+∞）上有唯一一个零点，设为x0， ∴当0＜x＜x0时，h″（x）＞0，h′（x）单调递增， ∴h′（x）＞h′（0）=0，即f′（x）＞0，

∴f（x）在（0，x0）上单调递增，不符合题意； ③若a＜﹣，则h″（0）=1+6a＜0，h″（

﹣1）=（1﹣2a）e2＞0，

﹣1）=（2a﹣1）（1﹣e

）

∴h″（x）=0在（﹣1，0）上有唯一一个零点，设为x1， ∴当x1＜x＜0时，h″（x）＜0，h′（x）单调递减， ∴h′（x）＞h′（0）=0，∴h（x）单调递增， ∴h（x）＜h（0）=0，即f′（x）＜0，

∴f（x）在（x1，0）上单调递减，不符合题意． 综上，a=﹣．

【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性与极值的计算，零点的存在性定理，属于难题．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为数），过点（0，﹣

，（θ为参

）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．

（1）求α的取值范围；

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（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．

【分析】（1）⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=时，直线l的方程为x=0，成立；当α≠的直线l的方程为y=tanα•x+＜1，进而求出

或

），联立

时，过点（0，﹣

）且倾斜角为α

，从而圆心O（0，0）到直线l的距离d=

，由此能求出α的取值范围．

，得（m2+1）y2+2

+2m2

（2）设直线l的方程为x=m（y+

﹣1=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出AB中点P的轨迹的参数方程． 【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为

（θ为参数），

∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1， 当α=当α≠

时，过点（0，﹣时，过点（0，﹣

）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立； ）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+

，

∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点， ∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1， ∴

或

，

， ）．

），

＜1，

综上α的取值范围是（

（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3）， 联立

，得（m2+1）y2+2

+2m2﹣1=0，

，

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=﹣+2，

=，=﹣，

∴AB中点P的轨迹的参数方程为，（m为参数），（﹣1＜m＜1）．

【点评】本题考查直线直线的倾斜角的取值范围的求法，考查线段的中点的参数方程的求法，考查参数方程、直角坐标方和、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查数形结合思想的灵活运用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

[选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣1|． （1）画出y=f（x）的图象；

（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．

【分析】（1）利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可． （2）将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可．

【解答】解：（1）当x≤﹣时，f（x）=﹣（2x+1）﹣（x﹣1）=﹣3x， 当﹣＜x＜1，f（x）=（2x+1）﹣（x﹣1）=x+2，

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当x≥1时，f（x）=（2x+1）+（x﹣1）=3x，

则f（x）=对应的图象为：

画出y=f（x）的图象；

（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b， 当x=0时，f（0）=2≤0•a+b，∴b≥2， 当x＞0时，要使f（x）≤ax+b恒成立，

则函数f（x）的图象都在直线y=ax+b的下方或在直线上， ∵f（x）的图象与y轴的交点的纵坐标为2， 且各部分直线的斜率的最大值为3，

故当且仅当a≥3且b≥2时，不等式f（x）≤ax+b在[0，+∞）上成立， 即a+b的最小值为5．

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【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用不等式和函数之间的关系利用数形结合是解决本题的关键．

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