2014年辽宁省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分）
1．（5分）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（ ） A．{x|x≥0}
B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}
2．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（ ） A．2+3i B．2﹣3i 3．（5分）已知a=
C．3+2i D．3﹣2i ，b=log2，c=log
，则（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b
4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
5．（5分）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（ ） A．p∨q
B．p∧q
C．（￢p）∧（￢q）
D．p∨（￢q）
6．（5分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
第1页（共23页）
A．8﹣ B．8﹣ C．8﹣π D．8﹣2π
8．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（ ） A．﹣ B．﹣1 C．﹣ D．﹣
9．（5分）设等差数列{an}的公差为d，若数列{2A．d＞0
B．d＜0
C．a1d＞0 D．a1d＜0
，
}为递减数列，则（ ）
10．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=
则不等式f（x﹣1）≤的解集为（ ）
A．[，]∪[，] B．[﹣，﹣]∪[，] C．[，]∪[，] D．[﹣，﹣]∪[，] 11．（5分）将函数y=3sin（2x+对应的函数（ ） A．在区间[C．在区间[﹣
，，
]上单调递减 B．在区间[]上单调递减 D．在区间[﹣
，，
]上单调递增 ]上单调递增
）的图象向右平移
个单位长度，所得图象
12．（5分）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
第2页（共23页）
A．[﹣5，﹣3] B．[﹣6，﹣] C．[﹣6，﹣2] D．[﹣4，﹣3]
二、填空题（共4小题，每小题5分）
13．（5分）执行如图的程序框图，若输入n=3，则输出T= ．
14．（5分）已知x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+4y的最大值
为 ．
15．（5分）已知椭圆C：
+
=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦
点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|= ． 16．（5分）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，++的最小值为 ．
第3页（共23页）
三、解答题
17．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•
=2，cosB=，b=3，求：
（Ⅰ）a和c的值； （Ⅱ）cos（B﹣C）的值．
18．（12分）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示：
喜欢甜品 60 10 70 不喜欢甜品 20 10 30 合计 80 20 100 南方学生 北方学生 合计 （Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率． 附：X2=
P（x2＞k） 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 19．（12分）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点． （Ⅰ）求证：EF⊥平面BCG； （Ⅱ）求三棱锥D﹣BCG的体积．
附：锥体的体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高．
第4页（共23页）
20．（12分）圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）． （Ⅰ）求点P的坐标；
（Ⅱ）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y=x+PAB的面积为2，求C的标准方程．
交于A、B两点，若△
21．（12分）已知函数f（x）=π（x﹣cosx）﹣2sinx﹣2，g（x）=（x﹣π）+
﹣1．
证明：
（Ⅰ）存在唯一x0∈（0，（Ⅱ）存在唯一x1∈（
四、选考题，请考生在22-24三题中任选一题作答，多做则按所做的第一题给分选修4-1：几何证明选讲
22．（10分）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，
第5页（共23页）
），使f（x0）=0；
，π），使g（x1）=0，且对（Ⅰ）中的x0，有x0+x1＞π．
连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F． （Ⅰ）求证：AB为圆的直径； （Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED．
选修4-4：坐标系与参数方程
23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．
（Ⅰ）写出C的参数方程；
（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
选修4-5：不等式选讲
24．设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N． （Ⅰ）求M；
（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤．
第6页（共23页）
2014年辽宁省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分）
1．（5分）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（ ） A．{x|x≥0}
B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}
【解答】解：A∪B={x|x≥1或x≤0}， ∴CU（A∪B）={x|0＜x＜1}， 故选：D．
2．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（ ） A．2+3i B．2﹣3i
C．3+2i D．3﹣2i
【解答】解：由（z﹣2i）（2﹣i）=5，得：
，
∴z=2+3i． 故选：A．
3．（5分）已知a=
，b=log2，c=log
，则（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b 【解答】解：∵0＜a=＜20=1，
b=log2＜log21=0， c=log
=log23＞log22=1，
∴c＞a＞b． 故选：D．
4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ 第7页（共23页）
）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错； B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确； C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；
D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错． 故选B．
5．（5分）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（ ） A．p∨q
B．p∧q
C．（￢p）∧（￢q）
D．p∨（￢q）
【解答】解：若•=0，•=0，则•=•，即（﹣）•=0，则•=0不一定成立，故命题p为假命题，
若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题，
则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题， 故选：A．
6．（5分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵AB=2，BC=1， ∴长方体的ABCD的面积S=1×2=2， 圆的半径r=1，半圆的面积S=
，
则由几何槪型的概率公式可得质点落在以AB为直径的半圆内的概率是，
第8页（共23页）
故选：B．
7．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．8﹣ B．8﹣ C．8﹣π D．8﹣2π
【解答】解：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱， 正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2， ∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π． 故选：C．
8．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（ ） A．﹣ B．﹣1 C．﹣ D．﹣
【解答】解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上， ∴﹣=﹣2， ∴F（2，0）， ∴直线AF的斜率为故选：C．
9．（5分）设等差数列{an}的公差为d，若数列{2
第9页（共23页）
=﹣．
}为递减数列，则（ ）
A．d＞0 B．d＜0 C．a1d＞0 D．a1d＜0
}为递减数列， ＜1，
【解答】解：∵数列{2∴∴
＜1，即
＜1，
∴a1（an+1﹣an）=a1d＜0 故选：D
10．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=，
则不等式f（x﹣1）≤的解集为（ ）
A．[，]∪[，] B．[﹣，﹣]∪[，] C．[，]∪[，] D．[﹣，﹣]∪[，] 【解答】解：当x∈[0，]，由f（x）=，即cosπx=， 则πx=
，即x=，
当x＞时，由f（x）=，得2x﹣1=， 解得x=，
则当x≥0时，不等式f（x）≤的解为≤x≤，（如图） 则由f（x）为偶函数，
∴当x＜0时，不等式f（x）≤的解为﹣≤x≤﹣， 即不等式f（x）≤的解为≤x≤或﹣≤x≤﹣， 则由≤x﹣1≤或﹣≤x﹣1≤﹣， 解得≤x≤或≤x≤，
即不等式f（x﹣1）≤的解集为{x|≤x≤或≤x≤}，
第10页（共23页）
故选：A．
11．（5分）将函数y=3sin（2x+对应的函数（ ） A．在区间[C．在区间[﹣
，，
]上单调递减 B．在区间[]上单调递减 D．在区间[﹣
，，
]上单调递增 ]上单调递增 个单位长度， ]．
）的图象向右平移
个单位长度，所得图象
【解答】解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移
）+
得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣即y=3sin（2x﹣当
函
数
递
）． 增
时
，．
取k=0，得
．
，由
，得
∴所得图象对应的函数在区间[故选：B．
]上单调递增．
12．（5分）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣5，﹣3] B．[﹣6，﹣] C．[﹣6，﹣2] D．[﹣4，﹣3] 【解答】解：当x=0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；
第11页（共23页）
当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥令f（x）=
，则f′（x）=
=﹣
，
（*），
当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增， f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；
当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤
，
由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；
综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]． 故选：C．
二、填空题（共4小题，每小题5分）
13．（5分）执行如图的程序框图，若输入n=3，则输出T= 20 ．
第12页（共23页）
【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求T=1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+3+…+i）的值，
当输入n=3时，跳出循环的i值为4， ∴输出T=1+3+6++10=20． 故答案为：20．
14．（5分）已知x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+4y的最大值
为 18 ．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立
∴C（2，3）．
，解得，
化目标函数z=3x+4y为直线方程的斜截式，得：由图可知，当直线∴zmax=3×2+4×3=18． 故答案为：18．
．
过点C时，直线在y轴上的截距最大，即z最大．
15．（5分）已知椭圆C：
+
=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦
第13页（共23页）
点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|= 12 ． 【解答】解：如图：MN的中点为Q，易得∵Q在椭圆C上，∴|QF1|+|QF2|=2a=6， ∴|AN|+|BN|=12． 故答案为：12．
，
，
16．（5分）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，++的最小值为 ﹣1 ． 【解答】解：∵4a2﹣2ab+b2﹣c=0， ∴=
由柯西不等式得， [
][
]≥[2（a﹣）+
×2
]2=|2a+b|2
故当|2a+b|最大时，有
∴
，c=b2
=
∴++=
当b=﹣2时，取得最小值为﹣1． 故答案为：﹣1
第14页（共23页）
三、解答题
17．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•
=2，cosB=，b=3，求：
（Ⅰ）a和c的值； （Ⅱ）cos（B﹣C）的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵
•
=2，cosB=，
∴c•acosB=2，即ac=6①， ∵b=3，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4， ∴a2+c2=13②，
联立①②得：a=3，c=2； （Ⅱ）在△ABC中，sinB=由正弦定理
=
=
==
， ，
得：sinC=sinB=×
∵a=b＞c，∴C为锐角， ∴cosC=
=
=，
×
=
．
则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=×+
18．（12分）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示：
喜欢甜品 60 10 70 不喜欢甜品 20 10 30 合计 80 20 100 南方学生 北方学生 合计 （Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．
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附：X2=
P（x2＞k） 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 ≈4.762＞3.841，
【解答】解：（Ⅰ）由题意，X2=
∴有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”； （Ⅱ）从这5名学生中随机抽取3人，共有=3种情况，
∴至多有1人喜欢甜品的概率
19．（12分）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点． （Ⅰ）求证：EF⊥平面BCG； （Ⅱ）求三棱锥D﹣BCG的体积．
附：锥体的体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高．
．
=10种情况，有2名喜欢甜品，有
【解答】（Ⅰ）证明：∵AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°， ∴△ABC≌△DBC， ∴AC=DC，
∵G为AD的中点，
第16页（共23页）
∴CG⊥AD． 同理BG⊥AD， ∵CG∩BG=G， ∴AD⊥平面BGC， ∵EF∥AD， ∴EF⊥平面BCG；
（Ⅱ）解：在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB的延长线于O， ∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直， ∴AO⊥平面BCD， ∵G为AD的中点，
∴G到平面BCD的距离h是AO长度的一半． 在△AOB中，AO=ABsin60°=∴VD﹣BCG=VG﹣BCD=
=
，
×
=．
20．（12分）圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）． （Ⅰ）求点P的坐标；
（Ⅱ）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y=x+PAB的面积为2，求C的标准方程．
交于A、B两点，若△
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【解答】解：（Ⅰ）设切点P的坐标为（x0，y0），且x0＞0，y0＞0． 则切线的斜率为﹣
，故切线方程为 y﹣y0=﹣
（x﹣x0），即x0x+y0y=4．
此时，切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成的三角形的面积S=•再根据
+
=4≥2x0•y0，可得当且仅当x0=y0=
时，
•=．
x0•y0取得最大值为2，即S取得最小值为=4， 故此时，点P的坐标为（（Ⅱ）设椭圆的标准方程为
，+）．
=1，a＞b＞0，∵椭圆C过点P，∴
+
=1．
由
求得b2x2+4x+6﹣2b2=0，
∴x1+x2=﹣由 y1=x1+
，x1•x2=，y2=x2+
．
，可得AB=
|x2﹣x1|=
•
=
•
=
由于点P（
，
．
）到直线l：y=x+
的距离d=
，
△PAB的面积为S=•AB•d=2，可得 b4﹣9b2+18=0，解得 b2=3，或 b2=6，
第18页（共23页）
当b2=6 时，由当b2=3时，由
++
=1求得a2=3，不满足题意；
=1求得a2=6，满足题意，故所求的椭圆的标准方程为
+
=1．
21．（12分）已知函数f（x）=π（x﹣cosx）﹣2sinx﹣2，g（x）=（x﹣π）+
﹣1．
证明：
（Ⅰ）存在唯一x0∈（0，（Ⅱ）存在唯一x1∈（
），使f（x0）=0；
，π），使g（x1）=0，且对（Ⅰ）中的x0，有x0+x1＞π．
）时，f′（x）=π+πsinx﹣2cosx＞0，
【解答】解：（Ⅰ）当x∈（0，∴f（x）在（0，
）上为增函数，
）=
﹣4＞0，
又f（0）=﹣π﹣2＜0，f（∴存在唯一x0∈（0，（Ⅱ）当x∈[
），使f（x0）=0；
，π]时，
+
﹣1
化简可得g（x）=（x﹣π）=（π﹣x）
+
﹣1，
令t=π﹣x，记u（t）=g（π﹣t）=﹣求导数可得u′（t）=
，
﹣t+1，t∈[0，]，
由（Ⅰ）得，当t∈（0，x0）时，u′（t）＜0，当t∈（x0，∴函数u（t）在（x0，由u（
）上为增函数，
）时，u（t）＜0，
）时，u′（t）＞0，
）=0知，当t∈[x0，
第19页（共23页）
∴函数u（t）在[x0，
）上无零点；
函数u（t）在（0，x0）上为减函数，
由u（0）=1及u（x0）＜0知存在唯一t0∈（0，x0），使u（t0）=0， 于是存在唯一t0∈（0，设x1=π﹣t0∈（∴存在唯一x1∈（∵x1=π﹣t0，t0＜x0， ∴x0+x1＞π
四、选考题，请考生在22-24三题中任选一题作答，多做则按所做的第一题给分选修4-1：几何证明选讲
22．（10分）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F． （Ⅰ）求证：AB为圆的直径； （Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED．
），使u（t0）=0，
，π），则g（x1）=g（π﹣t0）=u（t0）=0， ，π），使g（x1）=0，
【解答】证明：（Ⅰ）∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD， ∵PD为切线，∴∠PDA=∠DBA， ∵∠PGD=∠EGA， ∴∠DBA=∠EGA，
∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD， ∴∠BDA=∠PFA， ∵AF⊥EP， ∴∠PFA=90°． ∴∠BDA=90°，
第20页（共23页）
∴AB为圆的直径； （Ⅱ）连接BC，DC，则 ∵AB为圆的直径， ∴∠BDA=∠ACB=90°，
在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD， ∴Rt△BDA≌Rt△ACB， ∴∠DAB=∠CBA， ∵∠DCB=∠DAB， ∴∠DCB=∠CBA， ∴DC∥AB， ∵AB⊥EP， ∴DC⊥EP， ∴∠DCE为直角， ∴ED为圆的直径， ∵AB为圆的直径， ∴AB=ED．
选修4-4：坐标系与参数方程
23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．
（Ⅰ）写出C的参数方程；
（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程． 【解答】解：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，
第21页（共23页）
∴x2+=1，即曲线C的方程为 x2+
=1，化为参数方程为 （0≤θ
＜2π，θ为参数）． （Ⅱ）由
，可得
，
，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），
则线段P1P2的中点坐标为（，1），
再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1=（x﹣），即x﹣2y+=0．
再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0， 即 ρ=
选修4-5：不等式选讲
24．设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N． （Ⅰ）求M；
（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤． 【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2|x﹣1|+x﹣1≤1 可得解①求得1≤x≤，解②求得 0≤x＜1． 综上，原不等式的解集为[0，]． （Ⅱ）证明：
由g（x）=16x2﹣8x+1≤4，求得﹣≤x≤， ∴N=[﹣，]， ∴M∩N=[0，]．
∵当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，
①，或
②．
．
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∴x2f（x）+x[f（x）]2 =xf（x）[x+f（x）]=﹣故要证的不等式成立．
≤，
第23页（共23页）
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