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平面三自由度微动工作台的输入耦合分析

来源：二三娱乐

平面三自由度微动工作台的输入耦合分析———王　华　张宪民　欧阳高飞

平面三自由度微动工作台的输入耦合分析

王　华1　张宪民2　欧阳高飞2

1.汕头大学,汕头,515063　　2.华南理工大学,广州,510641

　　摘要:基于线性分析理论,建立了柔性铰链式平面三自由度精密定位平台的分析模型;提

出了一种计算该类工作台输入耦合的线性求解方法,该方法具有求解简便和计算量小等优点;针对微动工作平台的特点建立了有限元分析模型,通过有限元仿真,验证了线性法的正确性;讨论了有关参数对工作台输入耦合的影响程度,给出了对输入耦合有较大影响的设计参数。研究结果对设计低耦合输入微动工作平台具有指导意义。

关键词:柔性铰链;微动工作台;输入耦合;有限元中图分类号:TH112.5　　　文章编号:1004-132Ⅹ(2005)05-0337-04CoupledInputAnalysisofaPlanar3-DOFMicro-positioningStage

WangHua1　ZhangXianmin2　OuyangGaofei2

1.ShantouUniversity,Shantou,515063

2.SouthChinaUniversityofTechnology,Guangzhou,510641

Abstract:Theanalysismodelofa3-DOFmicro-positioningstagewithflexurehingesisestab2lishedbasedonthelinearizationtheory.Alinearschememethodwaspresentedtocalculatethecou2pledinputs,whichhasmanyadvantagessuchassimplificationandsmallamountofcalculation.Ac2cordingtothecharacteristicsofthestage,afiniteelementanalysismodelwasdeveloped.Thecorrect2nessofthelinearanalysismethodwasvalidatedbyusingthefiniteelementsimulationtechnique.Fi2nally,theinfluencesofthedesignparameterstothecoupledinputswerediscussed,andthekeypa2rametersareidentified,whichisimportanttodesignalow-coupledinputsstage.

Keywords:micro-positioningstages;coupledinput;flexurehinge;finiteelement

0　引言

生物工程显微操作、医学显微外科手术、光纤对接、大规模集成电路以及未来进行原子操作的系统均离不开具有亚微米甚至纳米定位分辨率的多自由度微动工作台。微动工作台通常采用压电元件作为驱动装置,柔性铰链机构作为传动装置。然而,在多输入系统中,当其中一个输入端有位移输入时,由于柔性铰链发生弹性形变,会使其他各输入端产生一定量的位移变化,其位移比值即为输入耦合,它的大小表征系统各输入量之间的相互影响程度。输入耦合的存在使工作台的控制难度和精度都受到一定程度的影响,因此设计时要求输入耦合尽可能小,以降低各输入量之间的相互干涉,从而使工作台控制难度降低,以达到提高设计精度的目的。

目前,在设计精密定位工作台时,很多设计者都提到输入耦合对工作台精度的影响[1～3],但详细地对柔性铰链式多输入工作台进行输入耦合分

收稿日期:2004-05-18

基金项目:国家自然科学基金资助项目(50375051);教育部科学技术资助重点项目(104149);广东省自然科学基金重点项目

(036548);高等学校优秀青年教师教学科研奖励计划资助项目

析的文献还很少见。本文以文献[4]提出的线性分析理论为基础,推导出系统的输入耦合方程,并对输入耦合的影响因素进行了分析和探讨,为设计低耦合的精密工作台提供了理论依据。

1　微动工作台的结构

图1是笔者设计的压电陶瓷(PZT)驱动的

图1　微动工作台简图

θZ平面三自由度微动工作台结构柔性铰链式XY简图。该工作台采用平面整体式结构,整个工作台是在一块金属板上由线切割机切割而成的,它具有结构紧凑、低摩擦、无间隙以及各部分热膨胀系

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数相同等优点。

如图1所示,三个压电陶瓷驱动器和对应的传动机构沿输出工作台中心旋转120°对称分布,其输出位移经过两级位移放大机构放大后,通过传动机构驱动输出工作台实现平面运动。

2　输入耦合的计算

2.1　柔性铰链的刚度计算

图3　两级位移放大机构

本文只考虑柔性铰链沿Z轴的转角刚度,所有柔性铰链都为直角正圆铰链。根据文献[5],柔性铰链绕Z轴的转角刚度K为

EbR22s3(6s2+4s+1)[+(2s+1)(4s+1)12

两闭环机构的公共铰链,需要建立9个方程求解。

设闭环机构1中各连杆长度为li,初始角为βi,建立如图4所示的坐标系。

12s4(2s+1)arctan

(4s+1)5/2

4s+1]-1(1)

s=R/t

式中,E为材料的弹性模量;b为铰链宽度;R为铰链的切割半径;t为铰链厚度。

2.2　工作台的建模

图4　闭环机构1

由于柔性铰链的变形集中在铰链的圆弧部分,所以可以忽略柔性铰链圆弧以外的变形,因此可以假设连接各铰链的连杆为刚体,柔性铰链可以等效为连接扭转弹簧的转动副,驱动器可以等效为压缩弹簧,这样就得到如图2所示的工作台计算模型。微动工作台由18个柔性铰链((1),

(2),…,(18))和13个刚体(Ⅰ,Ⅱ,…,ⅩⅢ)组

在工作台未变形前,末端铰链(6)的中心坐标为

x6=y6=

i=1

βlicosi

(3)

i=1

βlisini

成,其中刚体Ⅴ为输出工作台。

式中,li为连杆长度;βi为连杆初始角,均为已知量。

工作台变形后,闭环1中前5个铰链的变形都对末端铰链(6)的位移产生影响。假设末端铰

链的总变形满足线性叠加原理,由于柔性铰链作

θθ微小转动,因此可以假设sin(Δi)≈Δi,θcos(Δ以铰链(1)变形为例,当铰链(1)转i)≈1。θ角变化为Δ1时,末端铰链(6)相对于基座转过角

θ度-Δ1,变形后的新坐标为

(x6)1≈

′

i=1

βθβli(cosi+Δ1sini)

(4)

图2　工作台的计算模型

(y′6)1≈

i=1

βθβli(sini-Δ1cosi)

设PZT1的驱动力为F1,另外两个输入端的输入力为0,同时PZT1的输出位移为d1,由图3所示的几何关系,l1=R3+R4,R2=R3+θ2010mm,连杆Ⅲ的转角Δ1为

Δθ1=

(R1+R2)d1R1R3

(2)

与其对应的末端铰链(6)中心的位移变化为

(Δx6)1≈(x6)1-x6=Δθ1

′

i=1

βlisini

(5)

(Δy6)1≈(y′θ6)1-y6=-Δ1

i=1

βlicosi

同理可得铰链(j)变形引起的末端铰链(6)中心的位移变化为

(Δx6)(Δy6)

图2中有9个柔性铰链形成两个闭环机构,其中闭环机构1由铰链(1)～铰链(6)组成,如图4所示。闭环机构2由铰链(1)～铰链(3)、铰链

(7)～铰链(9)组成,其中铰链(1)～铰链(3)为

θ=Δj

i=j

6lsinβ

i=j

θ=-Δj

6lcosβi

(6)

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由于铰链(6)端固定,其最终的位移为0,则

Δx6=Δy6=Δθ6=-j=1

ηηηp=[0　…　10　20　30]

(Δx6)(Δy6)

==-6

j=1

θj

6Δ

i=j

βlisini=0

式中,C为9×0阶矩阵。

将式(13)变形为

(7)

j=1

θj

6Δ

i=j

βlicosi=0

γ=C-1pF1(14)

j=1

θj]6Δ

j=1

θ6Δ

通过式(14)可以求出在力F1作用下铰链(1)

～铰链(9)的转角,再结合图3,可以求出其他铰链的转角,因此就可以求出另外两个输入端的位移变化(d2,d3),则系统的输入耦合分别为

d2d3ζζ|　　|1=|2=|

(15)

则式(7)可写成下面的矩阵形式:

Αψ=δ

(8)

同理可求得闭环机构2的运动方程

φ=δB

δ=[0　0　0]

ψ=[ΔθΔθΔθΔθΔθΔθ1　2　3　4　5　6]Tφ=[ΔθΔθΔθΔθΔθΔθ1　2　3　7　8　9]

(9)

各铰链在发生弹性变形时,都会产生一个大

θθ小为KiΔi的力矩,其方向随着Δi的方向变化而变化,为了简化计算,统一规定在图4所示坐标系

下,相邻的两连杆机构,后一级机构对前一级机构

θ的作用力矩大小和方向与KiΔi一致,反之则为

θ-KiΔi。

式中,A、B均为3×6阶矩阵。

由上面的推导得到6个方程(式(8)和式

(9)),还需要建立3个方程求解。因为工作台具有3个自由度,理论上需要有三个输入才能确定输出工作台的位移变化,但在只有一个输入的情况下,由于柔性铰链受自身弹性变形的制约,在不考虑外部载荷作用的情况下其输出也是确定的,因此可以对输出工作台作力学分析建立另外3个方程,其受力情况见图5。

通过对输出工作台进行受力分析,可以确定其所受转角的高阶项可得

θθθF1x=λ11F1+λ12Δ1+λ13Δ2+λ14Δ3θθθF1y=λ15F1+λ16Δ1+λ17Δ2+λ18Δ3θM3=λ19Δ3

式中,λij为常系数。

(10)

3　建立工作台的有限元模型

本文使用有限元(FEM)分析软件ANSYS

仿真工作台的变形。

表1为工作台材料的基本参数,工作台材料为铝合金。表2给出了工作台PZT1端的铰链和连杆的一组几何参数值,各柔性铰链切割半径R相等,由于机构旋转对称,其他两端对应参数值也相等。图6为工作台网格划分图。

表1　材料的相关参数

弹性模量

(GPa)

图5　受力简图

的力和力矩与各柔性铰链转角的关系,忽略铰链

图6　工作台网格图

泊松比

0.3269

材料密度

(kg/m3)

剪切模量

(GPa)

同理可得另外两点的力和力矩表达式。建立输出工作台中心点O的力和力矩平衡方程

682.7×10326

可得

FOx=0FOy=0MO=0

(11)

表2　工作台的几何参数

单位:mm

把力和力矩的表达式代入式(11),计算并整理

ηθθθ11Δ1+η12Δ2+…+η19Δ9=η10F1ηθθθ21Δ1+η22Δ2+…+η29Δ9=η20F1ηθθθ31Δ1+η32Δ2+…+η39Δ9=η30F1(12)

58.3

40.0

t10

30.7

t11

27.6

t12

4.0

1.51.20.53.03.01.012.0

　　下面对上述一组参数下输入耦合的理论解

(13)

将式(8)、式(9)、式(12)重组变形为

γ=pF1C

γ=[ΔθΔθΔθ1　2　…　9]

和有限元值进行计算和比较,表3给出了这组参

数下理论线性解和有限元仿真的数值结果。

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表3　数值结果

参数理论线性解有限元仿真解

μm)d1(

10.0010.00

d2(μm)

d3(μm)

ζ1

0.060.04

ζ2

0.180.11

影响较大,因此设计

时要合理选取这几个参数值,以避免输入耦合偏高带来的不良影响。当l3为30mm时,输入耦合分别为ζ1=0.007和ζ2=0.001,这时输入耦合

0.610.38

1.841.13

　　从数值结果可以看出,理论线性解(XXJ)和有限元值(FEM)基本吻合。其误差主要来自于两个方面:①线性法忽略了除柔性铰链以外其他构件的变形影响,如各连杆的弯曲变形所引起的误差,也忽略了柔性铰链轴向等方向的变形所引起的误差,所以理论值一般要比有限元值大;②利用式(1)计算柔性铰链的刚度时也存在一定的误差。当式(1)中的s>10时,用线性法计算输入耦合将会产生较大的计算误差。

1.l32.R13.R34.l25.R2

图11　连杆长度对输入

耦合ζ2的影响

达到最小值。上述曲

线是在一组特定的参数值情况下得到的,当参数值和表3中的初始值不同时,各参数对输入耦合的影响程度可能会有所不同,但对于任意一组合理的参数值,都可以通过参数优化使其输入耦合达到最小。当然,在保证输入耦合较小的前提下,还要考虑工作台的整体尺寸和动态特性等因素,从而使其具有良好的综合性能。

4　输入耦合的影响因素分析

以表3中输入耦合为例,当驱动器的最大输

μm时,对另外两端的输入影响约为出位移为40

μm和4.4μm,这对要达到亚微米级定位精度116

的微动工作台来说,其影响是不能忽视的,因此有必要探讨各参数变化对输入耦合的影响程度。从输入耦合的计算分析可知,其大小与柔性铰链和各连杆的几何参数有关,以表2中的参数值为初始值,改变其中部分参数值,同时保持其他参数值不变,就可以描绘出各参数变化与输入耦合之间的关系。

图7～图11中的曲线图显示了工作台的部

5　结论

在借鉴了现有的对柔性铰链式微动工作台研究成果的基础上,提出了用线性法对平面三自由度微动工作台的输入耦合进行分析和计算,可以比较简便、准确地对该类工作台的主要结构参数进行优化设计,为设计低耦合的精密工作台提供了一些理论依据。

参考文献:

[1]　RyuJW,GweonDG,MoonKS.OptionalDesign

ofFlexureHingeBasedonWaferStage,PrecisionEngineering,1997,21(1):18～28

[2]　RyuJW,LeeSQ,GweonDG,etal.InverseKine2

maticsModelingofaCoupledFlexureHingeMech2anism.Mechatronics,1999,9:657～674

[3]　毕树生,于清军,宗光华.微操作手自由度的选择.

1.输入耦合ζ2.输入耦合ζ1　2

1.t22.t33.t124.t105.t1

中国机械工程,2003,14(4):327～329

[4]　HerI,ChangJC.ALinearSchemefortheDis2

placementAnalysisofMicropositioningStageswithFlexureHinges,JournalofMechanicalDesign,1994,116(9):770～776

[5]　吴鹰飞,周兆英.柔性铰链的设计计算.工程力学,

2002,19(6):136～140

(编辑　郭　伟)

作者简介:王　华,男,1980年生。汕头大学机械电子工程系硕士研究生。主要研究方向为精密定位。张宪民,男,1964年生。华南理工大学机械工程学院教授、博士研究生导师。欧阳高飞,男,1978年生。华南理工大学机械工程学院博士研究生。

图7　工作台厚度对输入　　耦合的影响

图8　铰链厚度对输入　

　　耦合ζ1的影响

　1.t12.t103.t124.t25.t3

1.l32.R13.R34.l25.R2

图9　图纸铰链厚度对输入　图10　连杆长度对输入　　耦合ζ2的影响

　　耦合ζ1的影响

分几何参数和输入耦合的关系。可以看出,铰链

厚度t2、t3、t12以及连杆长度l2、l3对输入耦合的・380・

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