一、选择题（每小题后面代号为A、B、C、D的四个选项中，只有一个正确，将它选出来并将答题卡上对应的选项涂黑，选对一题3分，不选和选错0分，本题满分为30分）
1. 在平面直角坐标系内，点𝐴的坐标是(2, 3)，则点𝐴关于原点中心对称点的坐标是( ) A.(−2, 3)
2. 用配方法解一元二次方程𝑥2−2𝑥−1=0时，下列配方正确的是( ) A.(𝑥−1)2+1=0 B.(𝑥+1)2+1=0 C.(𝑥−1)2−1=0 D.(𝑥−1)2−2=0
3. 关于𝑥的一元二次方程𝑥2+𝑘𝑥−2＝0（𝑘为实数）根的情况是（ ） A.有两个不相等的实数根 C.没有实数根
4. 如图，点𝐴，𝐵，𝐶均在⊙𝑂上，当∠𝑂𝐵𝐶=40∘时，∠𝐴的度数是( )
B.有两个相等的实数根 D.不能确定
B.(−3, −2)
C.(−2, −3)
D.(2, −3)
A.50∘
5. 某公司今年4月的营业额为2800万元，按计划第二季度的总营业额达到9800万元，设该公司5月，6月的营业额的月平均增长率为𝑥，根据题意列方程，则下列方程正确的是( )
A.2800(1+𝑥)2=9800 B.2800(1+𝑥%)2=9800
C.2800(1+𝑥)+2800(1+𝑥)2=9800 D.2800+2800(1+𝑥)+2800(1+𝑥)2=9800
6. 如图，在平面直角坐标系中，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷四个顶点的坐标分别为𝐴(−1, 2)，𝐵(−1, −1)，𝐶(2, −1)，𝐷(2, 2)，当双曲线𝑦=𝑥(𝑘>0)与正方形有四个交点时，𝑘的取值范围是（ ）
𝑘
B.55∘ C.60∘ D.65∘
试卷第1页，总25页
A.0<𝑘<1
7. 如图，等腰△𝐴𝐵𝐶的顶角∠𝐴=36∘，若将其绕点𝐶顺时针旋转36∘，得到△𝐴′𝐵′𝐶，点𝐵′在𝐴𝐵边上，𝐴′𝐵′交𝐴𝐶于𝐸，连接𝐴𝐴′．有下列结论：①△𝐴𝐵𝐶≅△𝐴′𝐵′𝐶；②四边形𝐴′𝐴𝐵𝐶是平行四边形；③图中所有的三角形都是等腰三角形；其中正确的结论是( )
B.1<𝑘<4
C.𝑘>1
D.0<𝑘<2
A.①②
8. 如图，⊙𝑂与正五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸的边𝐴𝐵，𝐷𝐸分别相切于点𝐵，𝐷，则劣弧𝐵𝐷所对的圆心角∠𝐵𝑂𝐷的大小为( )
B.①③
C.②③
D.①②③
A.108∘
9. 在平面直角坐标系中，二次函数𝑦=−𝑥2+2𝑥+3的图象交𝑥轴于点𝐴，𝐵（点𝐴在点𝐵的左侧）．若把点𝐵向上平移𝑚(𝑚>0)个单位长度得点𝐵1，若点𝐵1向左平移𝑛(𝑛>0)个单位长度，将与该二次函数图象上的点𝐵2重合；若点𝐵1向左平移(𝑛+2)个单位长度，将与该二次函数图象上的点𝐵3重合．则𝑛的值为( ) A.1
10. 观察等式：1+2+22=23−1；1+2+22+23=24−1；1+2+22+23+24=25−1；若1+2+22+...+29=210−1=𝑎，则用含𝑎的式子表示210+211+212...+218+219的结果是（ ） A.𝑎20−1
B.𝑎2+𝑎
C.𝑎2+𝑎+1
D.𝑎2−𝑎
B.2
C.3
D.4
B.118∘
C.144∘
D.120∘
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二、填空题（本大题共6小题，每题3分，满分为18分）
已知𝑎是方程𝑥2−2𝑥−2020=0的一个根，则𝑎2−2𝑎的值等于________．
二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象与𝑥轴相交于(−1, 0)和(5, 0)两点，则该抛物线的对称轴是________．
如图，△𝐴𝐵𝐶的内切圆⊙𝑂与𝐵𝐶，𝐶𝐴，𝐴𝐵分别相切于点𝐷，𝐸．𝐹．且𝐴𝐵=5，𝐴𝐶=12，𝐵𝐶=13，则⊙𝑂的半径是________．
圆锥形的烟囱冒的底面直径是80𝑐𝑚，母线长是50𝑐𝑚，制作100个这样的烟囱冒至少需要________𝑚2的铁皮（结果保留𝜋）．
如图，在边长是4×4，小正方形边长为1的正方形网格图中，线段𝐴𝐵的两个端点都在格点上，若以𝐴𝐵为斜边，则可以作出________个格点直角三角形，并在答题卡的图中作出其中面积最大的格点直角三角形．
已知抛物线𝑦=𝑥2+(𝑚+1)𝑥−𝑚−2(𝑚>0)与𝑥轴交于𝐴，𝐵两点，与𝑦轴交于点𝐶，不论𝑚取何正数，经过𝐴，𝐵，𝐶三点的⊙𝑃恒过𝑦轴上的一个定点，则该定点的坐标是________．
三．解答题（本大题8小题，共72分）
解方程：
(1)𝑥2−3𝑥−4=0；
(2)2𝑥2−2√2𝑥+1=0.
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已知反比例函数𝑦=，当𝑥=1时，𝑦=3；试先求𝑘值，再解关于𝑡的方程．
𝑥
𝑡𝑡−1
𝑘
−1=
𝑘
𝑡2−1
．
市实验中学计划在暑假第二周的星期一至星期五开展暑假社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．
(1)甲同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期三的概率是________；
(2)乙同学随机选择两天，其中有一天是星期三的概率是多少？（列表或画树形图或列举）
如图，𝐴𝐵为⊙𝑂的直径，弦𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，垂足为点𝑃，直线𝐵𝐹与𝐴𝐷延长线交于点𝐹，且∠𝐴𝐹𝐵=∠𝐴𝐵𝐶．
(1)求证：直线𝐵𝐹是⊙𝑂的切线；
(2)若𝐶𝐷=2√5，𝐵𝑃=1，求⊙𝑂的半径．
在函数学习中，我们经历了“确定函数表达式--利用函数图象研究其性质--运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数𝑎(𝑎≥0)
图象．同时我们也学习了绝对值的意义|𝑎|={ ，结合上面经历的学习过程，
−𝑎(𝑎<0)现在来解决下面的问题：在函数𝑦=|𝑘𝑥−1|+𝑏中，当𝑥=2时，𝑦=−3；𝑥=0时，𝑦=−2．
(1)求这个函数的表达式；
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(2)用列表描点的方法画出该函数的图象；请你先把下面的表格补充完整，然后在下图所给的坐标系中画出该函数的图象；
𝑥 … −6 (3)观察这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
(4)已知函数𝑦=
−2𝑥
−4 −2 0 2 4 6 … 𝑦 … ________ 0 −1 −2 −3 −2 ________ … (𝑥>0)的图象如图所示，与𝑦=|𝑘𝑥−1|+𝑏的图象两交点的坐标
分别是(2√3+4, √3−2)，(2√2−2, −√2−1)，结合你画的函数图象，直接写出|𝑘𝑥−1|+𝑏≤
已知抛物线𝐺:𝑦=𝑥2+(𝑘−5)𝑥+1−𝑘，其中𝑘为常数． (1)求证：无论𝑘为何值，抛物线𝐺总与𝑥轴有两个交点；
(2)若抛物线𝐺的图象不经过第三象限，求𝑘的取值范围；
(3)对于一个函数，当自变量𝑥取𝑎时，函数值𝑦也等于𝑎，我们称𝑎为这个函数的对等值．若函数𝑦=𝑥2+(𝑘−5)𝑥+1−𝑘有两相异的对等值𝑥1，𝑥2，且𝑥1<2<𝑥2，求𝑘的最大整数值．
金松科技生态农业养殖有限公司种植和销售一种绿色羊肚菌，已知该羊肚菌的成本是12元/千克，规定销售价格不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天该羊肚菌的销售量𝑦（千克）与销售价格𝑥（元/千克）的函数关系如下图所示：
−2𝑥
的解集．
(1)求𝑦与𝑥之间的函数解析式；
(2)求这一天销售羊肚菌获得的利润𝑊的最大值；
(3)若该公司按每销售一千克提取1元用于捐资助学，且保证每天的销售利润不低于
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3600元，问该羊肚菌销售价格该如何确定．
如图(1)已知矩形𝐴𝑂𝐶𝐷在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，∠𝐶𝐴𝑂=60∘，𝑂𝐴=2，𝐵点的坐标为(2, 0)，动点𝑀以每秒2个单位长度的速度沿𝐴→𝐶→𝐵运动（𝑀点不与点𝐴、点𝐵重合），设运动时间为𝑡秒．
(1)求经过𝐵，𝐶，𝐷三点的抛物线解析式；
(2)点𝑃在(1)中的抛物线上，当𝑀为𝐴𝐶中点时，若△𝑃𝐴𝑀≅△𝑃𝐷𝑀，求点𝑃的坐标；
(3)当点𝑀在𝐶𝐵上运动时，如图(2)过点𝑀作𝑀𝐸⊥𝐴𝐷，𝑀𝐹⊥𝑥轴，垂足分别为𝐸，𝐹，设矩形𝐴𝐸𝑀𝐹与△𝐴𝐵𝐶重叠部分面积为𝑆，求𝑆与𝑡的函数关系式，并求出𝑆的最大值；
(4)如图(3)点𝑃在(1)中的抛物线上，𝑄是𝐶𝐴延长线上的一点，且𝑃，𝑄两点均在第三象限内，𝑄，𝐴是位于直线𝐵𝑃同侧的不同两点，若点𝑃到𝑥轴的距离为𝑑，△𝑄𝑃𝐵的面积为2𝑑，求点𝑃的坐标．
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参考答案与试题解析
2021年湖北省荆州市松滋市中考数学一模试卷
一、选择题（每小题后面代号为A、B、C、D的四个选项中，只有一个正确，将它选出来并将答题卡上对应的选项涂黑，选对一题3分，不选和选错0分，本题满分为30分） 1.
【答案】 C
【考点】
关于原点对称的点的坐标 【解析】
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，根据关于原点对称点的坐标原则得出结论． 【解答】
解：点𝐴(2, 3)关于原点的对称点的坐标为(−2, −3). 故选𝐶. 2.
【答案】 D
【考点】
解一元二次方程-配方法 【解析】
先常数项移到方程右边，再把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【解答】
解：𝑥2−2𝑥=1， 𝑥2−2𝑥+1=2， (𝑥−1)2=2，
(𝑥−1)2−2=0． 故选𝐷. 3. 【答案】 A
【考点】 根的判别式 【解析】
利用一元二次方程的根的判别式即可求 【解答】
由根的判别式得，△＝𝑏2−4𝑎𝑐＝𝑘2+8>0 故有两个不相等的实数根 4. 【答案】 A
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【考点】
等腰三角形的性质与判定 圆周角定理
【解析】
先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠𝐵𝑂𝐶的度数，然后根据圆周角定理可得到∠𝐴的度数． 【解答】
解：∵ 𝑂𝐵=𝑂𝐶，
∴ ∠𝑂𝐶𝐵=∠𝑂𝐵𝐶=40∘，
∴ ∠𝐵𝑂𝐶=180∘−40∘−40∘=100∘， ∴ ∠𝐴=∠𝐵𝑂𝐶=50∘．
21
故选𝐴. 5.
【答案】 D
【考点】
由实际问题抽象出一元二次方程 【解析】
设该公司5月，6月的营业额的月平均增长率为𝑥，根据计划第二季度的总营业额达到9800万元，即可得出关于𝑥的一元二次方程，此题得解． 【解答】
解：设该公司5月，6月的营业额的月平均增长率为𝑥，
依题意，得：2800+2800(1+𝑥)+2800(1+𝑥)2=9800． 故选𝐷. 6.
【答案】 A
【考点】
反比例函数系数k的几何意义 反比例函数的性质
【解析】
求出正方形边长，数形结合求出𝑘的范围． 【解答】
解：把点𝐵(−1, −1)代入𝑦=(𝑘>0)得𝑘=−1×(−1)=1，
𝑥𝑘
由图象可知：当双曲线𝑦=(𝑘>0)与正方形有四个交点时，
𝑥
𝑘
𝑘的取值范围上0<𝑘<1. 故选𝐴. 7.
【答案】 D
【考点】 旋转的性质
平行四边形的判定
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等腰三角形的判定 全等三角形的性质
【解析】
根据旋转不变性，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定一一判断即可． 【解答】
解：由旋转不变性可知：△𝐴𝐵𝐶≅△𝐴′𝐵′𝐶，故①正确； ∵ 𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=36∘， ∴ ∠𝐵=∠𝐴𝐶𝐵=72∘， ∵ 𝐶𝐵=𝐶𝐵′，
∴ ∠𝐵=∠𝐶𝐵′𝐵=72∘，∠𝐵𝐶𝐵′=∠𝐴𝐶𝐵′=36∘， ∴ ∠𝐴𝐶𝐴′=36∘， ∴ ∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝐴′， ∴ 𝐴𝐵 // 𝐴′𝐶， ∵ 𝐴𝐵=𝐶𝐴′，
∴ 四边形𝐴′𝐴𝐵𝐶是平行四边形，故②正确； ∵ ∠𝐵=∠𝐵𝐵′𝐶=72∘， ∴ △𝐶𝐵𝐵′是等腰三角形. ∵ ∠𝐸𝐴𝐵=∠𝐸𝐵′𝐴=36∘， ∴ △𝐸𝐴𝐵′是等腰三角形. ∵ ∠𝐶𝐵′𝐸=∠𝐶𝐸𝐵′=72∘， ∴ △𝐶𝐸𝐵′是等腰三角形. ∵ ∠𝐸𝐶𝐴′=∠𝐸𝐴′𝐶=36∘， ∴ △𝐸𝐶𝐴′是等腰三角形. ∵ ∠𝐴′𝐴𝐸=∠𝐴𝐸𝐴′=72∘， ∴ △𝐴′𝐴𝐸是等腰三角形.
∵ ∠𝐴𝐴′𝐵′=∠𝐴𝐵′𝐴′=36∘， ∴ △𝐴𝐴′𝐵′是等腰三角形. ∵ ∠𝐴𝐶𝐵′=∠𝐶𝐴𝐵′=36∘， ∴ △𝐴𝐶𝐵′是等腰三角形. ∵ 𝐶𝐴=𝐶𝐴′，
∴ △𝐶𝐴𝐴′是等腰三角形.
又∵ △𝐴𝐵𝐶和△𝐴′𝐵′𝐶是等腰三角形，
∴ 图中所有三角形都是等腰三角形，故③正确. 故选𝐷. 8.
【答案】 C
【考点】
多边形的外角和 多边形的内角和 切线的性质
【解析】
根据正多边形内角和公式可求出∠𝐸、∠𝐷，根据切线的性质可求出∠𝑂𝐴𝐸、∠𝑂𝐶𝐷，从而可求出∠𝐴𝑂𝐶，然后根据圆弧长公式即可解决问题． 【解答】
解：∵ 五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸是正五边形，
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∴ ∠𝐸=∠𝐴=180−
∘
360∘5
=108∘．
∵ 𝐴𝐵、𝐷𝐸与⊙𝑂相切， ∴ ∠𝑂𝐵𝐴=∠𝑂𝐷𝐸=90∘，
∴ ∠𝐵𝑂𝐷=(5−2)×180∘−90∘−108∘−108∘−90∘=144∘. 故选𝐶. 9. 【答案】 A
【考点】
抛物线与x轴的交点
二次函数图象与几何变换 二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
根据题意写出𝐵2，𝐵3的坐标，再由对称轴方程列出𝑛的方程，求得𝑛即可． 【解答】
解：令𝑦=0，则−𝑥2+2𝑥+3=0，解得，𝑥1=3，𝑥2=−1， ∴ 𝐵(3, 0)，
由题意得，𝐵1(3, 𝑚)，𝐵2(3−𝑛, 𝑚)，𝐵3(1−𝑛, 𝑚)， 函数图象的对称轴为直线𝑥=
−1+32
=1，
∵ 点𝐵2，𝐵3在二次函数图象上且纵坐标相同， ∴
3−𝑛+1−𝑛
2
=1，
∴ 𝑛=1. 故选𝐴． 10.
【答案】 B
【考点】
规律型：数字的变化类 列代数式
【解析】
由已知规律可得：1+2+22+...+29+210+211+212+...+218+219＝220−1，再由已知1+2+22+...+29＝210−1＝𝑎，可求210+211+212+...+218+219＝220−1−210+1＝220−210＝𝑎(𝑎+1)． 【解答】
解：由已知可得1+2+22+...+29+210+211+212+...+218+219=220−1， ∵ 1+2+22+...+29=210−1=𝑎，
∴ 210+211+212...+218+219=220−1−210+1=220−210， ∵ 210−1=𝑎，
∴ 220−210=𝑎(𝑎+1). 故选𝐵.
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，满分为18分） 【答案】 2020
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【考点】
一元二次方程的解 【解析】
将𝑥＝𝑎代入方程可得：𝑎2−2𝑎＝2020，从而可求出答案． 【解答】
解：将𝑥=𝑎代入方程可得：𝑎2−2𝑎=2020. ∴ 原式=2020. 故答案为：2020. 【答案】 𝑥=2 【考点】
抛物线与x轴的交点 【解析】
根据抛物线的与横轴的交点到对称轴的距离相等，可知其对称轴为与横轴两交点的和的一半． 【解答】
解：∵ 二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象与𝑥轴相交于(−1, 0)和(5, 0)两点， ∴ 其对称轴为：𝑥=
−1+52
=2．
故答案为：𝑥=2. 【答案】 2
【考点】
三角形的内切圆与内心 切线长定理 正方形的判定 勾股定理的逆定理
【解析】
根据勾股定理的逆定理可得三角形𝐴𝐵𝐶为直角三角形，再根据切线长定理即可求解． 【解答】
解：如图，连接𝑂𝐷、𝑂𝐸、𝑂𝐹，
∵ △𝐴𝐵𝐶的内切圆⊙𝑂与𝐵𝐶，𝐶𝐴，𝐴𝐵分别相切于点𝐷，𝐸．𝐹， ∴ 𝑂𝐸⊥𝐴𝐶，𝑂𝐹⊥𝐴𝐵，𝐴𝐸=𝐴𝐹， ∵ 𝐴𝐵=5，𝐴𝐶=12，𝐵𝐶=13， 即52+122=132，
∴ △𝐴𝐵𝐶为直角三角形， ∴ ∠𝐴=90∘，
∴ 四边形𝐴𝐸𝑂𝐹是正方形， ∴ 𝑂𝐸=𝑂𝐹=𝐴𝐸=𝐴𝐹， 设⊙𝑂的半径是𝑟，
则𝐴𝐹=𝐴𝐸=𝑟，𝐵𝐹=𝐵𝐷=5−𝑟，𝐸𝐶=𝐷𝐶=12−𝑟，
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∵ 𝐵𝐷+𝐷𝐶=𝐵𝐶=13， ∴ 5−𝑟+12−𝑟=13， 解得𝑟=2．
所以⊙𝑂的半径是2． 故答案为：2. 【答案】 20𝜋
【考点】 圆锥的计算 弧长的计算
【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：∵ 烟囱冒的底面直径是80𝑐𝑚， ∴ 底面圆周长为：80𝜋𝑐𝑚，
∴ 一个烟囱冒的面积为2×80𝜋×50=2000𝜋𝑐𝑚2． 制作100个这样的烟囱冒需要铁皮：200000𝜋𝑐𝑚2=20𝜋𝑚2． 故答案为：20𝜋. 【答案】 4
【考点】
作图—应用与设计作图 勾股定理的逆定理 勾股定理
【解析】
根据勾股定理的逆定理判断直角三角形即可画出． 【解答】
解：如图所示：
1
线段𝐴𝐵的两个端点都在格点上，
以𝐴𝐵为斜边，可以作出4个格点直角三角形， △𝐴𝐵𝐶的面积最大． 故答案为：4． 【答案】 (0, 1) 【考点】
二次函数的性质 点与圆的位置关系
二次函数图象上点的坐标特征 【解析】
试卷第12页，总25页
根据已知条件得到求出𝑂𝐴＝2，𝑂𝐵＝𝑚+2，𝑂𝐶＝𝑚+2，判断出∠𝑂𝐶𝐵＝∠𝑂𝐴𝐹，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】
解：令𝑦=0，
∴ 𝑥2+(𝑚+1)𝑥−𝑚−2=0， ∴ (𝑥−1)[𝑥+(𝑚+2)]=0， ∴ 𝑥=1或𝑥=−(𝑚+2)， ∴ 𝐴(1, 0)，𝐵(−𝑚−2, 0)， ∴ 𝑂𝐴=1，𝑂𝐵=𝑚+2， 令𝑥=0，
∴ 𝑦=−𝑚−2， ∴ 𝐶(0, −𝑚−2)， ∴ 𝑂𝐶=𝑚+2， 如图，
∵ 点𝐴，𝐵，𝐶在⊙𝑃上， ∴ ∠𝑂𝐶𝐵=∠𝑂𝐴𝐹，
在𝑅𝑡△𝐵𝑂𝐶中，tan∠𝑂𝐶𝐵=𝑂𝐶=𝑚+2=1， 在𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐹中，tan∠𝑂𝐴𝐹=𝑂𝐴=
𝑂𝐹
𝑂𝐹1
𝑂𝐵
𝑚+2
=1，
∴ 𝑂𝐹=1，
∴ 点𝐹的坐标为(0, 1). 故答案为：(0, 1).
三．解答题（本大题8小题，共72分） 【答案】
解：(1)∵ 𝑥2−3𝑥−4=0， ∴ (𝑥+1)(𝑥−4)=0， 则𝑥+1=0或𝑥−4=0， 解得：𝑥1=−1，𝑥2=4； (2)∵ 2𝑥2−2√2𝑥+1=0， ∴ (√2𝑥−1)2=0， 则√2𝑥−1=0， 解得：𝑥1=𝑥2=
√2． 2
【考点】
解一元二次方程-因式分解法 解一元二次方程-配方法 【解析】
试卷第13页，总25页
（1）利用十字相乘法将左边因式分解，再得到两个一元一次方程，解之可得； （2）利用完全平方公式将左边因式分解，再进一步求解可得． 【解答】
解：(1)∵ 𝑥2−3𝑥−4=0，
∴ (𝑥+1)(𝑥−4)=0， 则𝑥+1=0或𝑥−4=0， 解得：𝑥1=−1，𝑥2=4； (2)∵ 2𝑥2−2√2𝑥+1=0，
∴ (√2𝑥−1)2=0， 则√2𝑥−1=0， 解得：𝑥1=𝑥2=【答案】
解：把𝑥=1，𝑦=3代入𝑦=𝑥得：3=1， 解得：𝑘=3，
𝑡𝑡−1
3
𝑘
𝑘
√2． 2
−1=
𝑡2−1
，
去分母得：𝑡(𝑡+1)−(𝑡2−1)=3， 𝑡2+𝑡−𝑡2+1=3， 𝑡=2，
检验：把𝑡=2代入最简公分母𝑡2−1≠0， ∴ 原分式方程的解为𝑡=2， 因此：𝑘=3，𝑡=2． 【考点】
待定系数法求反比例函数解析式 反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数的性质 【解析】
首先把𝑥＝1，𝑦＝3代入𝑦=𝑥得𝑘的值，再把𝑘的值代入分式方程解方程可得𝑡的值． 【解答】
解：把𝑥=1，𝑦=3代入𝑦=得：3=，
𝑥
1
𝑘
𝑘
𝑘
解得：𝑘=3， −1=𝑡2−1， 𝑡−1
去分母得：𝑡(𝑡+1)−(𝑡2−1)=3， 𝑡2+𝑡−𝑡2+1=3， 𝑡=2，
试卷第14页，总25页
𝑡
3
检验：把𝑡=2代入最简公分母𝑡2−1≠0， ∴ 原分式方程的解为𝑡=2， 因此：𝑘=3，𝑡=2． 【答案】
1 2(2)画树状图如图所示：
共有20个等可能的结果，乙同学随机选择两天， 其中有一天是星期三的结果有8个，
∴ 乙同学随机选择两天，其中有一天是星期三的概率为【考点】
列表法与树状图法 概率公式
【解析】
依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可． 【解答】
解：(1)甲同学随机选择连续的两天，共有4个可能结果，其中有一天是星期三的结果有2个，概率为4=2. 故答案为：2.
(2)画树状图如图所示：
1
2
1
820
=. 5
2
共有20个等可能的结果，乙同学随机选择两天， 其中有一天是星期三的结果有8个，
∴ 乙同学随机选择两天，其中有一天是星期三的概率为20=5. 【答案】
(1)证明：∵ 弧𝐴𝐶=弧𝐴𝐶， ∴ ∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐶， ∵ ∠𝐴𝐹𝐵=∠𝐴𝐵𝐶， ∴ ∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐹𝐵，
试卷第15页，总25页
8
2
∴ 𝐶𝐷 // 𝐵𝐹， ∵ 𝐶𝐷⊥𝐴𝐵， ∴ 𝐴𝐵⊥𝐵𝐹，
∵ 𝐴𝐵是圆的直径，
∴ 直线𝐵𝐹是⊙𝑂的切线； (2)解：连接𝑂𝐶，
则⊙𝑂的半径𝑟=𝑂𝐶=𝑂𝐵． ∴ 𝑂𝑃=𝑟−1, ∵ 𝐴𝐵⊥𝐶𝐷，
∴ 𝐶𝑃=𝐷𝑃=2𝐶𝐷=√5， ∴ 在𝑅𝑡△𝑂𝐶𝑃中 𝑂𝐶2=𝑂𝑃2+𝐶𝑃2， 即𝑟2=(𝑟−1)2+5, 解得𝑟=3， 即𝑂的半径为3. 【考点】 圆周角定理
切线的判定与性质 垂径定理 勾股定理
【解析】
（1）由圆周角定理得出∠𝐴𝐵𝐶＝∠𝐴𝐷𝐶，由已知得出∠𝐴𝐷𝐶＝∠𝐴𝐹𝐵，证出𝐶𝐷 // 𝐵𝐹，得出𝐴𝐵⊥𝐵𝐹，即可得出结论；
（2）设⊙𝑂的半径为𝑟，连接𝑂𝐷．由垂径定理得出𝑃𝐷＝𝑃𝐶=2𝐶𝐷=√5，得出𝑂𝑃＝𝑟−1在𝑅𝑡△𝑂𝑃𝐷中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】
(1)证明：∵ 弧𝐴𝐶=弧𝐴𝐶，
∴ ∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐶， ∵ ∠𝐴𝐹𝐵=∠𝐴𝐵𝐶， ∴ ∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐹𝐵， ∴ 𝐶𝐷 // 𝐵𝐹， ∵ 𝐶𝐷⊥𝐴𝐵， ∴ 𝐴𝐵⊥𝐵𝐹， ∵ 𝐴𝐵是圆的直径，
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1
1
∴ 直线𝐵𝐹是⊙𝑂的切线； (2)解：连接𝑂𝐶，
则⊙𝑂的半径𝑟=𝑂𝐶=𝑂𝐵． ∴ 𝑂𝑃=𝑟−1, ∵ 𝐴𝐵⊥𝐶𝐷，
∴ 𝐶𝑃=𝐷𝑃=2𝐶𝐷=√5， ∴ 在𝑅𝑡△𝑂𝐶𝑃中 𝑂𝐶2=𝑂𝑃2+𝐶𝑃2， 即𝑟2=(𝑟−1)2+5, 解得𝑟=3， 即𝑂的半径为3.
【答案】
解：(1)把𝑥=0，𝑦=−2；𝑥=2，𝑦=−3代入𝑦=|𝑘𝑥−1|+𝑏中， 得：−2=|−1|+𝑏，−3=|2𝑘−1|+𝑏， ∴ 𝑏=−3，𝑘=2， ∴ 𝑦=|2𝑥−1|−3． 1,−1
(3)当𝑥>2时，𝑦随𝑥增大而增大；当𝑥<2时，𝑦随𝑥减小而减小． (4)观察图象可知不等式|𝑘𝑥−1|+𝑏≤【考点】
反比例函数与一次函数的综合 待定系数法求一次函数解析式 一次函数的性质 一次函数的图象
【解析】
（1）利用待定系数法构建方程组即可解决问题． （2）利用描点法即可解决问题．
（3）观察图象，写出函数的性质即可． （4）求出点𝐸，𝐹的坐标即可解决问题．
试卷第17页，总25页
−2𝑥
1
11
的解集为：2√2−2≤𝑥≤2√3+4．
【解答】
解：(1)把𝑥=0，𝑦=−2；𝑥=2，𝑦=−3代入𝑦=|𝑘𝑥−1|+𝑏中，
得：−2=|−1|+𝑏，−3=|2𝑘−1|+𝑏， ∴ 𝑏=−3，𝑘=，
21
∴ 𝑦=|2𝑥−1|−3． (2)∵ 𝑥=−6时，𝑦=1， 𝑥=6时，𝑦=−1， 故答案为：1，−1． 函数图象如图所示：
1
(3)当𝑥>2时，𝑦随𝑥增大而增大；当𝑥<2时，𝑦随𝑥减小而减小． (4)观察图象可知不等式|𝑘𝑥−1|+𝑏≤
−2𝑥
的解集为：2√2−2≤𝑥≤2√3+4．
【答案】
(1)证明：∵ 𝛥=(𝑘−5)2 −4(1−𝑘)=𝑘2−6𝑘+21=(𝑘−3)2+12>0， ∴ 无论𝑘为何值，抛物线𝐺总与𝑥轴有两个交点；
(2)解：∵ 𝑦=𝑥2+(𝑘−5)𝑥+1−𝑘的图象不经过第三象限， 又𝑎=1>0，𝛥=(𝑘−5)2−4(1−𝑘)=(𝑘−3)2+12， ∴ 抛物线与𝑥轴有两个交点，
设抛物线与𝑥轴交点的横坐标分别为𝑥1，𝑥2， ∴ 𝑥1+𝑥2=5−𝑘>0，𝑥1⋅𝑥2=1−𝑘≥0， 解得𝑘≤1，
∴ 𝑘的取值范围为𝑘≤1；
(3)解：依题意，得：𝑥2+(𝑘−5)𝑥+1−𝑘=𝑥， ∴ 𝑥2+(𝑘−6)𝑥+1−𝑘=0， ∵ 𝛥=(𝑘−4)2+16>0， ∴ 𝑘为任意实数，
又𝑥1+𝑥2=6−𝑘，𝑥1𝑥2=1−𝑘， ∵ (𝑥1−2)(𝑥2−2)<0， ∴ 𝑥1𝑥2−2(𝑥1+𝑥2)+4<0， ∴ 1−𝑘−2(6−𝑘)+4<0， ∴ 𝑘<7，
∴ 综上，𝑘的最大整数值为6．
试卷第18页，总25页
【考点】
抛物线与x轴的交点
二次函数图象上点的坐标特征 二次函数图象与系数的关系 根的判别式
【解析】
（1）求出△＝(𝑘−3)2+12>0，即可判断抛物线𝐺总与𝑥轴有两个交点；
（2）由已知可得：𝑥1+𝑥2＝5−𝑘>0，𝑥1𝑥2＝1−𝑘≥0，根据韦达定理即可求𝑘的范围；
（3）依题意，得：𝑥2+(𝑘−5)𝑥+1−𝑘＝𝑥，所以𝑥2+(𝑘−6)𝑥+1−𝑘＝0，由△＝(𝑘−4)2+16>0，𝑥1+𝑥2＝6−𝑘，𝑥1𝑥2＝1−𝑘，所以(𝑥1−2)(𝑥2−2)<0，即可求𝑘．
【解答】
(1)证明：∵ 𝛥=(𝑘−5)2 −4(1−𝑘)=𝑘2−6𝑘+21=(𝑘−3)2+12>0，
∴ 无论𝑘为何值，抛物线𝐺总与𝑥轴有两个交点；
(2)解：∵ 𝑦=𝑥2+(𝑘−5)𝑥+1−𝑘的图象不经过第三象限，
又𝑎=1>0，𝛥=(𝑘−5)2−4(1−𝑘)=(𝑘−3)2+12， ∴ 抛物线与𝑥轴有两个交点，
设抛物线与𝑥轴交点的横坐标分别为𝑥1，𝑥2， ∴ 𝑥1+𝑥2=5−𝑘>0，𝑥1⋅𝑥2=1−𝑘≥0， 解得𝑘≤1，
∴ 𝑘的取值范围为𝑘≤1；
(3)解：依题意，得：𝑥2+(𝑘−5)𝑥+1−𝑘=𝑥，
∴ 𝑥2+(𝑘−6)𝑥+1−𝑘=0， ∵ 𝛥=(𝑘−4)2+16>0， ∴ 𝑘为任意实数，
又𝑥1+𝑥2=6−𝑘，𝑥1𝑥2=1−𝑘， ∵ (𝑥1−2)(𝑥2−2)<0， ∴ 𝑥1𝑥2−2(𝑥1+𝑥2)+4<0， ∴ 1−𝑘−2(6−𝑘)+4<0， ∴ 𝑘<7，
∴ 综上，𝑘的最大整数值为6．
【答案】
解：(1)①当12≤𝑥≤20时，
设𝑦=𝑘𝑥+𝑏，代入点(12, 2000)，(20, 400)，
试卷第19页，总25页
2000=12𝑘+𝑏，得{
400=20𝑘+𝑏，解得{
𝑘=−200，𝑏=4400，
∴ 𝑦=−200𝑥+4400；
②当20<𝑥≤24时，𝑦=400．
−200𝑥+4400(12≤𝑥≤20)，
400(20<𝑥≤24).
(2)①当12≤𝑥≤20时， 𝑊=(𝑥−12)𝑦
=(𝑥−12)(−200𝑥+4400) =−200(𝑥−17)2+5000
当𝑥=17时，𝑊的最大值为5000； ②当20<𝑥≤24时， 𝑊=(𝑥−12)𝑦 =400𝑥−4800．
当𝑥=24时，𝑊的最大值为4800． ∵ 5000>4800，
∴ 最大利润为5000元． 综上，𝑦={
(3)①当12≤𝑥≤20时， 𝑊=(𝑥−12−1)𝑦
=(𝑥−13)(−2000𝑥+4400) =−200(𝑥−17.5)2+4050，
令−200(𝑥−17.5)2+4050=3600， 𝑥1=16，𝑥2=19，
∴ 定价为16≤𝑥≤19； ②当20<𝑥≤24时，
𝑊=400(𝑥−13)=400𝑥−5200≥3600， ∴ 22≤𝑥≤24．
综上，销售价格确定为16≤𝑥≤19或22≤𝑥≤24． 【考点】
待定系数法求一次函数解析式 二次函数的应用
【解析】
（1）①当12≤𝑥≤20时，设𝑦＝𝑘𝑥+𝑏．代(12, 2000)，(20, 400)，求得𝑘和𝑏；②当20<𝑥≤24时，𝑦＝400．
（2）分别写出①当12≤𝑥≤20时，②当20<𝑥≤24时，相应的函数关系式并求得其最大值，两者相比较，取较大者即可；
（3）分两种情况：①当12≤𝑥≤20时，②当20<𝑥≤24时，分别令其𝑊值等于或者大于等于3600，即可得解． 【解答】
①当12≤𝑥≤20时，设𝑦＝𝑘𝑥+𝑏．代(12, 2000)，(20, 400)， 2000=12𝑘+𝑏得{
400=20𝑘+𝑏
试卷第20页，总25页
𝑘=−200解得{
𝑏=4400
解：(1)①当12≤𝑥≤20时，
设𝑦=𝑘𝑥+𝑏，代入点(12, 2000)，(20, 400)， 2000=12𝑘+𝑏，得{
400=20𝑘+𝑏，𝑘=−200，𝑏=4400，解得{
∴ 𝑦=−200𝑥+4400； ②当20<𝑥≤24时，𝑦=400． 综上，𝑦={
−200𝑥+4400(12≤𝑥≤20)，
400(20<𝑥≤24).
(2)①当12≤𝑥≤20时，
𝑊=(𝑥−12)𝑦
=(𝑥−12)(−200𝑥+4400) =−200(𝑥−17)2+5000
当𝑥=17时，𝑊的最大值为5000； ②当20<𝑥≤24时， 𝑊=(𝑥−12)𝑦 =400𝑥−4800．
当𝑥=24时，𝑊的最大值为4800． ∵ 5000>4800， ∴ 最大利润为5000元． (3)①当12≤𝑥≤20时，
𝑊=(𝑥−12−1)𝑦
=(𝑥−13)(−2000𝑥+4400) =−200(𝑥−17.5)2+4050， 令−200(𝑥−17.5)2+4050=3600， 𝑥1=16，𝑥2=19， ∴ 定价为16≤𝑥≤19； ②当20<𝑥≤24时，
𝑊=400(𝑥−13)=400𝑥−5200≥3600， ∴ 22≤𝑥≤24．
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综上，销售价格确定为16≤𝑥≤19或22≤𝑥≤24． 【答案】
解：(1)∵ 四边形𝐴𝑂𝐶𝐷是矩形，
∴ 𝐶𝐷=𝐴𝑂=2，∠𝐴𝑂𝐶=90∘，且∠𝐶𝐴𝑂=60∘，𝑂𝐴=2， ∴ 𝑂𝐶=2√3，
∴ 点𝐶(0, 2√3)，点𝐷(−2, 2√3)，
设抛物线解析式为𝑦=𝑎(𝑥+1)2+𝑐，代入点𝐵(2, 0)，𝐶(0, 2√3)， 9𝑎+𝑐=0,∴ {
𝑎+𝑐=2√3,𝑎=−4,
解得：{
9√3𝑐=4,∴ 抛物线解析式为： 𝑦=−
√3(𝑥4
√3+1)2+
9√34
=−
√32𝑥4
−
√3𝑥2
+2√3，
(2)∵ 𝑀为𝐴𝐶中点， ∴ 𝑀𝐴=𝑀𝐷，
∵ △𝑃𝐴𝑀≅△𝑃𝐷𝑀， ∴ 𝑃𝐴=𝑃𝐷，
∴ 点𝑃在𝐴𝐷的垂直平分线上 ∴ 点𝑃纵坐标为√3， ∴ −
√32𝑥4
√3𝑥2
−+2√3=√3，
∴ 𝑥1=−1+√5，𝑥2=−1−√5， ∴ 点𝑃(−1+√5, √3)或(−1−√5, √3). (3)如图2，
∵ 𝐴𝑂=𝐵𝑂=2，𝐶𝑂⊥𝐴𝐵， ∴ 𝐴𝐶=𝐵𝐶=4，∠𝐶𝐴𝑂=60∘， ∴ △𝐴𝐶𝐵是等边三角形， 由题意可得：𝐶𝑀=2𝑡−4，
𝐵𝐹=2(8−2𝑡)=4−𝑡，𝑀𝐹=4√3−√3𝑡，𝐴𝐹=𝑡． ∵ 四边形𝐴𝐸𝑀𝐹是矩形，
∴ 𝐴𝐸=𝑀𝐹，𝐸𝑀=𝐴𝐹，𝐸𝑀 // 𝐴𝐵，
试卷第22页，总25页
1
∴ ∠𝐶𝑀𝐻=∠𝐶𝐵𝐴=60∘，∠𝐶𝐻𝑀=∠𝐶𝐴𝑂=60∘， ∴ △𝐶𝑀𝐻是等边三角形， ∴ 𝐶𝑀=𝑀𝐻=2𝑡−4， ∵ 𝑆=(2𝑡−4+𝑡)(4√3−√3𝑡)
21
=−
3√3(𝑡28
−)2+
3
88√33
，
当𝑡=3时，𝑆最大=
12
8√3. 3
(4)∵ 𝑆△𝐴𝐵𝑃=×4×𝑑=2𝑑，
又𝑆△𝐵𝑃𝑄=2𝑑， ∴ 𝑆△𝐴𝐵𝑃=𝑆△𝐵𝑃𝑄， ∴ 𝐴𝑄 // 𝐵𝑃，
设直线𝐴𝐶解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏， 把𝐴(−2, 0)，𝐶(0, 2√3)代入其中，得 {2√3=𝑏,
0=−2𝑘+𝑏,𝑘=√3,∴ {
𝑏=2√3,∴ 直线𝐴𝐶解析式为：𝑦=√3𝑥+2√3，
设直线𝐵𝑃 的解析式为𝑦=√3𝑥+𝑛，把𝐵(2, 0)代入其中，得 0=2√3+𝑛， ∴ 𝑏=−2√3，
∴ 直线𝐵𝑃解析式为：𝑦=√3𝑥−2√3， ∴ −
√32𝑥4
−
√3𝑥2
+2√3=√3𝑥−2√3，
∴ 𝑥1=2（舍去），𝑥2=−8， ∴ 𝑃(−8, −10√3)． 【考点】
二次函数综合题
待定系数法求二次函数解析式
【解析】
（1）由直角三角形的性质可求点𝐶，点𝐷坐标，由待定系数法可求解析式；
（2）由全等三角形的性质可得𝐷𝑀＝𝐴𝑀，𝑃𝐷＝𝐴𝑃，可得点𝑃在𝐴𝐷的垂直平分线上，可求点𝑃的纵坐标，代入可求解；
（3）由题意可证△𝐴𝐶𝐵是等边三角形，可得𝐶𝑀＝2𝑡−4，𝐵𝐹=2(8−2𝑡)＝4−𝑡，𝑀𝐹＝4√3−√3𝑡，𝐴𝐹＝𝑡，即可求重叠部分面积，由二次函数的性质可求解； （4）先求出直线𝐴𝐶，𝐵𝑃的解析式，即可求点𝑃坐标．
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1
【解答】
解：(1)∵ 四边形𝐴𝑂𝐶𝐷是矩形，
∴ 𝐶𝐷=𝐴𝑂=2，∠𝐴𝑂𝐶=90∘，且∠𝐶𝐴𝑂=60∘，𝑂𝐴=2， ∴ 𝑂𝐶=2√3，
∴ 点𝐶(0, 2√3)，点𝐷(−2, 2√3)，
设抛物线解析式为𝑦=𝑎(𝑥+1)2+𝑐，代入点𝐵(2, 0)，𝐶(0, 2√3)， 9𝑎+𝑐=0,∴ {
𝑎+𝑐=2√3,𝑎=−,
4
解得：{
9√3𝑐=4,∴ 抛物线解析式为： 𝑦=−
√3(𝑥4
√3+1)2+
9√34
=−
√32𝑥4
−
√3𝑥2
+2√3，
(2)∵ 𝑀为𝐴𝐶中点，
∴ 𝑀𝐴=𝑀𝐷， ∵ △𝑃𝐴𝑀≅△𝑃𝐷𝑀， ∴ 𝑃𝐴=𝑃𝐷，
∴ 点𝑃在𝐴𝐷的垂直平分线上 ∴ 点𝑃纵坐标为√3， ∴ −
√32𝑥4
−
√3𝑥2
+2√3=√3，
∴ 𝑥1=−1+√5，𝑥2=−1−√5， ∴ 点𝑃(−1+√5, √3)或(−1−√5, √3). (3)如图2，
∵ 𝐴𝑂=𝐵𝑂=2，𝐶𝑂⊥𝐴𝐵， ∴ 𝐴𝐶=𝐵𝐶=4，∠𝐶𝐴𝑂=60∘， ∴ △𝐴𝐶𝐵是等边三角形，
试卷第24页，总25页
由题意可得：𝐶𝑀=2𝑡−4，
𝐵𝐹=(8−2𝑡)=4−𝑡，𝑀𝐹=4√3−√3𝑡，𝐴𝐹=𝑡．
21
∵ 四边形𝐴𝐸𝑀𝐹是矩形，
∴ 𝐴𝐸=𝑀𝐹，𝐸𝑀=𝐴𝐹，𝐸𝑀 // 𝐴𝐵，
∴ ∠𝐶𝑀𝐻=∠𝐶𝐵𝐴=60∘，∠𝐶𝐻𝑀=∠𝐶𝐴𝑂=60∘， ∴ △𝐶𝑀𝐻是等边三角形， ∴ 𝐶𝑀=𝑀𝐻=2𝑡−4， ∵ 𝑆=(2𝑡−4+𝑡)(4√3−√3𝑡)
21
=−
3√3(𝑡283
−3)2+
88√33
，
当𝑡=时，𝑆最大=
1
8√3. 3
(4)∵ 𝑆△𝐴𝐵𝑃=2×4×𝑑=2𝑑，
又𝑆△𝐵𝑃𝑄=2𝑑， ∴ 𝑆△𝐴𝐵𝑃=𝑆△𝐵𝑃𝑄， ∴ 𝐴𝑄 // 𝐵𝑃，
设直线𝐴𝐶解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏， 把𝐴(−2, 0)，𝐶(0, 2√3)代入其中，得 {2√3=𝑏, 0=−2𝑘+𝑏,𝑘=√3,∴ {
𝑏=2√3,∴ 直线𝐴𝐶解析式为：𝑦=√3𝑥+2√3，
设直线𝐵𝑃 的解析式为𝑦=√3𝑥+𝑛，把𝐵(2, 0)代入其中，得 0=2√3+𝑛， ∴ 𝑏=−2√3，
∴ 直线𝐵𝑃解析式为：𝑦=√3𝑥−2√3， ∴ −
√32𝑥4
−
√3𝑥2
+2√3=√3𝑥−2√3，
∴ 𝑥1=2（舍去），𝑥2=−8， ∴ 𝑃(−8, −10√3)．
试卷第25页，总25页
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