2019-2020学年江苏省南通市崇川区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）已知点A（a，﹣1）与B（2，b）是关于原点O的对称点，则（ ） A．a＝﹣2，b＝﹣1 B．a＝﹣2，b＝1 C．a＝2，b＝﹣1
D．a＝2，b＝1
2．（3分）若y＝（m﹣2）x+3x﹣2是二次函数，则m等于（ ）
A．﹣2
B．2
C．±2
D．不能确定
3．（3分）如图，△OAB绕点O顺时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB＝45°，则∠BOC等于（
A．55°
B．45°
C．40°
D．35°
4．（3分）下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（ ） A．都含有一个50°的内角 B．都含有一个70°的内角 C．都含有一个80°的内角
D．都含有一个100°的内角
5．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC＝40°，则∠A等于（ ）
A．60°
B．50°
C．40°
D．30°
6．（3分）反比例函数y＝和正比例函数y＝mx的部分图象如图，由此可以得到方程
＝mx的实数根为（
A．x＝1
B．x＝2
C．x1＝1，x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣2
））
7．（3分）将抛物线y＝x向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得新抛物线的解析式是（ ） A．y＝（x﹣1）+2 B．y＝（x﹣2）+1
2
2
2
C．y＝（x+1）﹣2 D．y＝（x+2）﹣1
，则边AB的长是（ ）
D．5
22
8．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，tanA＝A．
B．3
C．4
9．（3分）在直径为100cm的圆柱形油桶内装入一些油后，截面如本题图所示，若油面宽AB＝80cm，则油的最大深度为（ ）
A．20cm
B．30cm
C．40cm
D．60cm
（k＞0）在第
，
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A，B，与反比例函数
一象限的图象交于点E，F，过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C，若则△OEF与△CEF的面积之比是（ ）
A．2：1
B．3：1
C．2：3
D．3：2
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）将一枚质地均匀的硬币抛掷2次，硬币正面均朝上的概率是 ． 12．（3分）抛物线y＝2（x﹣1）+2的顶点坐标 ．
13．（3分）已知圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的侧面积为 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB＝1.3，则DE＝ ．
2
15．（3分）若反比例函数y＝
的图象在第二、四象限，则k的取值范围是 ．
16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，若平行四边形ABCD的面积是1，则△BCF的面积是 ．
17．（3分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点E，则sin∠AED的值是 ．
18．（3分）已知y＝﹣x+2x+3，若﹣1＜x＜2，则y的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）（1）计算：
sin60°+2cos60°﹣tan45°
22
（2）已知二次函数y＝ax+3x+c的图象经过点（﹣1，3），（0，4），求该二次函数的解析式．
20．（8分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A逆时针方向旋转90°得到△AB′C′． （1）在正方形网格中，画出△AB′C′； （2）计算出点B所经过路径的长．
21．（8分）甲、乙、丙三位歌手进入“我是歌手”冠、亚、季军决赛，他们通过抽签来决定演唱顺序， （1）求甲第一位出场的概率； （2）求甲比乙先出场的概率．
22．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，且BD＝DE，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C． （1）求证：DM＝BD； （2）若OA＝CD＝
，求阴影部分的面积．
23．（8分）如图，直线y＝﹣x+6与双曲线y＝（1）求m的值及点B的坐标； （2）直接写出不等式﹣x+6＞
的解集．
交于A、B两点，点A，B的横坐标分别为1，5．
24．（8分）如图，为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点处观测气球，测得仰角为27°，然后他向气球方向前进了50m，此时观测气球，测得仰角为45°．若小明的眼睛离地面1.6m，求气球离地面的高度（精确到0.1m）．
（下列数据供参考：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）
25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD为角平分线． （1）求证：△BCD∽△ACB； （2）若BD＝4，求AB•CD的值．
26．（7分）如图，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t． （1）求小球飞行3s时的高度；
（2）问：小球的飞行高度能否达到21m？请说明理由．
2
27．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，CD是斜边AB上的高，点E为边AC上一点（点E不与点A、C重合），连接DE，作CF⊥DE，CF与边AB、线段DE分别交于点F、G． （1）求线段CD、AD的长；
（2）设CE＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）连接EF，当EF∥CD时，求CE的长．
28．（14分）Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y＝于点D（m，2），与BC边交于点E（n，4），△BDE的面积为2． （1）求m与n的数量关系； （2）当tan∠BAC＝
时，求反比例函数的解析式和直线AB的解析式；
（k＞0）在第一象限内的图象与AB边交
（3）设点P是线段AB边上的点，在（2）的条件下，是否存在点P，以B，C，P为顶点的三角形与△BDE相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）已知点A（a，﹣1）与B（2，b）是关于原点O的对称点，则（ ） A．a＝﹣2，b＝﹣1 B．a＝﹣2，b＝1
C．a＝2，b＝﹣1
D．a＝2，b＝1
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．根据条件就可以求出a，b的值．
【解答】解：∵点A（a，﹣1）与点B（2，b）是关于原点O的对称点， ∴a＝﹣2，b＝1， 故选：B．
【点评】此题考查关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．根据对称点坐标之间的关系可以得到方程或方程组问题． 2．（3分）若y＝（m﹣2）xA．﹣2
B．2
+3x﹣2是二次函数，则m等于（ ）
C．±2
D．不能确定
【分析】根据二次函数的定义求解即可． 【解答】解：由题意，得 m﹣2＝2，且m﹣2≠0， 解得m＝﹣2， 故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的定义：一般地，形如y＝ax+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
3．（3分）如图，△OAB绕点O顺时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB＝45°，则∠BOC等于（ ）
2
2
2
A．55°
B．45°
C．40°
D．35°
【分析】首先根据旋转角定义可以知道∠AOC＝80°，而∠AOB＝45°，然后根据图形即可求出∠BOC． 【解答】解：∵△OAB绕点O顺时针旋转80°到△OCD的位置， ∴∠AOC＝80°， 而∠AOB＝45°，
∴∠BOC＝80°﹣45°＝35°． 故选：D．
【点评】此题主要考查了旋转的定义及性质，其中解题主要利用了旋转前后图形全等，对应角相等等知识． 4．（3分）下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（ ） A．都含有一个50°的内角 C．都含有一个80°的内角
B．都含有一个70°的内角 D．都含有一个100°的内角
【分析】根据等腰三角形的性质和内角和定理，等腰三角形的顶角可能是钝角或锐角、直角，但底角只能是锐角，由两角相等的两个三角形相似，得出D能判定，A、B、C不能判定．
【解答】解：A、等腰三角形的一个50°的内角，这个角可能是顶角，也可能是底角， ∴都含有一个50°的内角的两个等腰三角形不一定相似， ∴选项A不符合题意； 同理：B、C也不符合题意； D、等腰三角形有一个100°的内角，
这个角只能是顶角，顶角相等的两个等腰三角形的底角都相等， ∴都含有一个100°的内角的两个等腰三角形一定相似； ∴选项D符合题意； 故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定方法、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握相似三角形的判定方法，熟知等腰三角形的顶角的范围是解决问题的关键．
5．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC＝40°，则∠A等于（ ）
A．60°
B．50°
C．40°
D．30°
【分析】由等腰三角形的性质得出∠OCB＝∠OBC＝40°，由三角形内角和定理得出∠BOC＝100°，由圆周角定理得出∠A＝
∠BOC＝50°即可．
【解答】解：∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∴∠A＝
∠BOC＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是解题的关键． 6．（3分）反比例函数y＝
和正比例函数y＝mx的部分图象如图，由此可以得到方程
＝mx的实数根为（ ）
A．x＝1
B．x＝2
C．x1＝1，x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣2
【分析】由反比例函数y＝和正比例函数y＝mx相交于点C（1，2），根据反比例函数与正比例函数是中心对
称图形，可得另一个交点为：（﹣1，﹣2）继而求得答案． 【解答】解：如图，∵反比例函数y＝∴另一个交点为：（﹣1，﹣2）， ∴方程
＝mx的实数根为：x1＝1，x2＝﹣1．
和正比例函数y＝mx相交于点C（1，2），
故选：C．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 7．（3分）将抛物线y＝x向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得新抛物线的解析式是（ ） A．y＝（x﹣1）+2 B．y＝（x﹣2）+1
2
2
2
2
C．y＝（x+1）﹣2 D．y＝（x+2）﹣1
22
【分析】先确定抛物线y＝x的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移所得对应点的坐标为（﹣2，﹣1），然后根据顶点式写出新抛物线解析式．
【解答】解：抛物线y＝x的顶点坐标为（0，0），点（0，0）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位所得对应点的坐标为（﹣2，﹣1），
所以新抛物线的解析式为y＝（x+2）﹣1． 故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 8．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，tanA＝A．
B．3
C．4
，则边AB的长是（ ）
D．5
2
2
【分析】根据锐角三角函数和勾股定理解直角三角形即可． 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3， tanA＝
＝
，
∴AC＝4， 根据勾股定理，得 AB＝
＝
＝5，
则边AB的长是5． 故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义、勾股定理，解决本题的关键是掌握锐角三角函数定义．
9．（3分）在直径为100cm的圆柱形油桶内装入一些油后，截面如本题图所示，若油面宽AB＝80cm，则油的最大深度为（ ）
A．20cm
B．30cm
C．40cm
D．60cm
【分析】首先过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，根据垂径定理即可求得AD的长，又由⊙O的直径为100cm，求得OA的长，然后根据勾股定理，即可求得OD的长，继而求得油的最大深度． 【解答】解：过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，
∴AD＝AB＝×80＝40cm，
∵⊙O的直径为100cm， ∴OA＝OE＝50cm， 在Rt△AOD中，OD＝
＝30cm，
∴DE＝OE﹣OD＝50﹣30＝20（cm）． ∴油的最大深度为20cm． 故选：A．
【点评】此题考查了垂径定理的知识．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法，注意勾股定理的应用． 10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A，B，与反比例函数
（k＞0）在第
，
一象限的图象交于点E，F，过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C，若则△OEF与△CEF的面积之比是（ ）
A．2：1
B．3：1
C．2：3
D．3：2
【分析】根据E，F都在反比例函数的图象上得出假设出E，F的坐标，进而分别得出△CEF的面积以及△OEF的面积，然后即可得出答案．
【解答】解：设△CEF的面积为S1，△OEF的面积为S2，过点F作FG⊥BO于点G，EH⊥AO于点H，
∴GF∥MC， ∴
＝
，
∵ME•EH＝FN•GF， ∴
＝
＝
，
），则F点坐标为：（3x，﹣
）＝
k，
（
+
）（3x﹣x）＝
k
），
设E点坐标为：（x，∴S△CEF＝
（3x﹣x）（
∵S△OEF＝S梯形EHNF+S△EOH﹣S△FON＝S梯形EHNF＝
∴＝＝．
故选：A．
【点评】此题主要考查了反比例函数的综合应用以及三角形面积求法，根据已知表示出E，F的点坐标是解题关键，有一定难度，要求同学们能将所学的知识融会贯通．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）将一枚质地均匀的硬币抛掷2次，硬币正面均朝上的概率是
．
【分析】列举出所有情况，看正面都朝上的情况数占总情况数的多少即可． 【解答】解：如图所示：
共4种情况，正面都朝上的情况数有1种，所以概率是
．
故答案是．
【点评】考查概率的求法；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．
12．（3分）抛物线y＝2（x﹣1）+2的顶点坐标 （1，2） ． 【分析】利用抛物线顶点式y＝a（x﹣h）+k直接求出顶点坐标即可． 【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）+k的顶点坐标为（h，k）， ∴y＝2（x﹣1）+2的顶点坐标是（1，2）． 故答案为（1，2）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，顶点式y＝a（x﹣h）+k的顶点坐标为（h，k），对称轴是直线x＝h． 13．（3分）已知圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的侧面积为 15π ． 【分析】根据勾股定理求出圆锥的母线长，根据扇形面积公式计算即可． 【解答】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4， ∴圆锥的母线长为
＝5，
2
2
2
2
2
则圆锥的底面周长为2×3×π＝6π， 则该圆锥的侧面积为：故答案为：15π．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，圆锥的侧面积：S侧＝
•2πr•l．
×6π×5＝15π，
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB＝1.3，则DE＝ 3.9 ．
【分析】根据题意求出OA、OD，根据位似变换的概念得到△ABO∽△DEO，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可．
【解答】解：∵A（1，0），D （3，0），
∴OA＝1，OD＝3， ∵△ABC与△DEF位似， ∴AB∥DE， ∴△ABO∽△DEO， ∴
＝
，即
＝
，
解得，DE＝3.9， 故答案为：3.9．
【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，掌握位似变换的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 15．（3分）若反比例函数y＝
的图象在第二、四象限，则k的取值范围是 k＜﹣1 ．
【分析】根据反比例函数的性质得k+1＜0，然后解不等式即可． 【解答】解：根据题意得k+1＜0， 解得k＜﹣1． 故答案为：k＜﹣1．
【点评】考查了反比例函数的性质，反比例函数的性质：反比例函数y＝
（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，
双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，若平行四边形ABCD的面积是1，则△BCF的面积是
．
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，求证△AEF∽△BCF，然后利用其对应边成比例即可求得AE：BC＝1：2，再根据两三角形相似面积比等于相似比的平方即可求出问题答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，
∵点E为AD的中点， ∴AE＝DE，
∴AE：BC＝AE：AD＝1：2， ∵AD∥BC， ∴△AEF∽△BCF， ∴
＝
＝
，
∵平行四边形ABCD的面积是1， ∴S△ABC＝
，
S△ABC＝
，
∴△BCF的面积＝故答案为：
．
【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识点，难度不大，属于基础题． 17．（3分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点E，则sin∠AED的值是
．
【分析】连接BC、AD，求出∠ADC＝45°+45°＝90°，由勾股定理得出AD＝CD＝边形ACBD是平行四边形，得出DE＝CE＝数定义即可得出答案．
【解答】解：连接BC、AD，如图所示： 由正方形的性质得：∠ADC＝45°+45°＝90°， 由勾股定理得：AD＝CD＝∵AC∥BD，AC＝BD， ∴四边形ACBD是平行四边形， ∴DE＝CE＝∴AE＝
CD＝
＝
，
＝
，
＝
， CD＝
，由勾股定理得出AE＝
＝
＝
，证明四，由三角函
∴sin∠AED＝＝＝；
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握解直角三角形，证明四边形ACBD是平行四边形是解题的关键．
18．（3分）已知y＝﹣x+2x+3，若﹣1＜x＜2，则y的取值范围是 0＜y≤4 ．
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得当﹣1＜x＜2时对应的y的取值范围． 【解答】解：∵y＝﹣x+2x+3＝﹣（x﹣1）+4，
∴该函数的对称轴是直线x＝1，该函数开口向下，有最大值y＝4， ∵﹣1＜x＜2，
∴当x＝1时，该函数取得最大值y＝4，该函数的最小值大于x＝﹣1时的函数值y＝0， ∴当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是0＜y≤4， 故答案为：0＜y≤4．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）（1）计算：
sin60°+2cos60°﹣tan45°
22
2
2
（2）已知二次函数y＝ax+3x+c的图象经过点（﹣1，3），（0，4），求该二次函数的解析式． 【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入求解即可；
（2）将点（﹣1，3），（0，4）代入二次函数y＝ax+3x+c可得解． 【解答】（1）解：原式＝＝
；
2
2
，
（2）解：∵二次函数y＝ax+3x+c的图象经过点（﹣1，3），（0，4），
∴，
解得a＝2，c＝4，
∴该二次函数的解析式y＝2x+3x+4．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值及待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数的解析式的方法是解题的关键．
20．（8分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A逆时针方向旋转90°得到△AB′C′． （1）在正方形网格中，画出△AB′C′； （2）计算出点B所经过路径的长．
2
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B′、C′，从而可得到△AB′C′； （2）点B经过的路线为以点A为圆心，AB为半径，圆心角为90°的弧，然后根据弧长公式求解即可． 【解答】解：（1）如图，△AB′C′为所作；
（2）AB＝
＝5，
＝
π．
所以点B经过的路线长度＝
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了弧长公式和扇形面积公式．
21．（8分）甲、乙、丙三位歌手进入“我是歌手”冠、亚、季军决赛，他们通过抽签来决定演唱顺序， （1）求甲第一位出场的概率； （2）求甲比乙先出场的概率．
【分析】（1）由甲、乙、丙三位歌手进入“我是歌手”冠、亚、季军决赛，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）利用列举法可得：出场情况为：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲共6种情况，继而可求得答案．
【解答】解：（1）∵甲、乙、丙三位歌手进入“我是歌手”冠、亚、季军决赛， ∴甲第一位出场的概率为
（2）∵出场情况为：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲共6种情况， ∴甲比乙先出场的情况有：甲乙丙，甲丙乙，丙甲乙， ∴甲比乙先出场的概率为：
＝
．
；
【点评】此题考查了列举法求概率的知识．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 22．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，且BD＝DE，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C． （1）求证：DM＝BD； （2）若OA＝CD＝
，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接BE，根据弦、弧之间的关系证明DB＝DE，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）连接OD，根据已知和切线的性质证明△OCD为等腰直角三角形，得到∠DOC＝45°，根据S阴影＝S△OCD﹣S扇OBD计算即可． 【解答】解（1）连接BE， ∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°， ∵BD＝DE， ∴∠DEB＝∠DBE，
又∵∠DEB+∠DEM＝∠M+∠DBE＝90°， ∴∠DEM＝∠M， ∴DM＝DE， 又∵DE＝DB， ∴DM＝DB； （2）连接OD，
∵CD与⊙O相切于点D， ∴OD⊥CD， 又∵OD＝OA＝CD＝∴∠DOC＝45°， ∴阴影部分的面积是
（
）﹣
2
，
＝1﹣．
【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法． 23．（8分）如图，直线y＝﹣x+6与双曲线y＝（1）求m的值及点B的坐标； （2）直接写出不等式﹣x+6＞
的解集．
交于A、B两点，点A，B的横坐标分别为1，5．
【分析】（1）先把x＝5代入y＝﹣x+6求得B的坐标，然后根据待定系数法即可求得m的值； （2）根据图象求得即可．
【解答】解：（1）把x＝5代入y＝﹣x+6得，y＝1， ∴点B（5，1）， ∵双曲线y＝
经过B点，
∴m＝5×1＝5；
（2）由图象可知不等式﹣x+6＞
的解集为x＜0或1＜x＜5．
【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握数形结合思想的运用．
24．（8分）如图，为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点处观测气球，测得仰角为27°，然后他向气球方向前进了50m，此时观测气球，测得仰角为45°．若小明的眼睛离地面1.6m，求气球离地面的高度（精确到0.1m）．
（下列数据供参考：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）
【分析】在Rt△ACD和Rt△BCD中，设CD＝x，分别用x表示AD和BD的长度，然后根据已知AB＝50m，列出方程求出x的值，继而可求得气球离地面的高度． 【解答】解：设CD＝x， 在Rt△BCD中， ∵∠CBD＝45°， ∴BD＝CD＝x， 在Rt△ACD中， ∵∠A＝27°，
∴＝tan27°，
，
则AD＝∵AB＝50m， ∴AD﹣BD＝
﹣x＝50，
解得：x≈52.0，
∴气球离地面的高度约为52.0+1.6＝53.6（m）． 答：气球离地面的高度约为53.6m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形． 25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD为角平分线． （1）求证：△BCD∽△ACB； （2）若BD＝4，求AB•CD的值．
【分析】（1）根据已知条件得到AD＝BD＝BC，则易证△ABC∽△BDC； （2）通过（1）中的相似三角形的对应边成比例来计算． 【解答】（1）证明：∵∠A＝36°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝72°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝
∠ABC＝36°，
∵∠A＝∠CBD，∠C＝C， ∴△BCD∽△ACB； 解：（2）∵△BCD∽△ACB， ∴
2
，
即BC＝CD•AC，
∵∠CBD＝36°，∠C＝72°， ∴∠BDC＝∠C＝72°， ∴BC＝BD＝4，
∴CD•AB＝CD•AC＝16．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，角平分线定义，相似三角形的性质和判定，黄金分割等知识点的综合运用．
26．（7分）如图，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t． （1）求小球飞行3s时的高度；
（2）问：小球的飞行高度能否达到21m？请说明理由．
2
【分析】（1）把t＝3代入函数关系式解方程即可得到结论； （2）把h＝21代入函数关系式所得方程无实根，于是得到结论． 【解答】解：（1）当t＝3时，即h＝20×3﹣5×9＝15m． 答：小球飞行3s时的高度是15m； （2）小球的飞行高度不能达到21m； 理由：当h＝21时，即5t﹣20t+21＝0． ∵△＝（﹣20）﹣4×5×21＜0， ∴方程5t﹣20t+21＝0无实根， ∴小球的飞行高度不能达到21m．
【点评】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据题意建立方程是解决问题的关键．
27．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，CD是斜边AB上的高，点E为边AC上一点（点E不与点A、C重合），连接DE，作CF⊥DE，CF与边AB、线段DE分别交于点F、G． （1）求线段CD、AD的长；
（2）设CE＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）连接EF，当EF∥CD时，求CE的长．
2
2
2
【分析】（1）由直角三角形的性质分别求出BC，AC，CD，AD的长； （2）通过证明△CDE∽△BFC，可得（3）由平行线分线段成比例可求解．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8， ∴BC＝4，AC＝
BC＝4
，
，即可求y关于x的函数解析式；
∵∠A＝30°，CD⊥AB， ∴CD＝
AC＝2
，AD＝
CD＝6；
（2）∵CF⊥DE，CD⊥AB， ∴∠CDG+∠EDF＝∠CFD+∠EDF， ∴∠CDG＝∠CFD， 同理可得∠ACD＝∠B， ∴△CDE∽△BFC ∴∴∴y＝
（
≤x＜4
）
（3）∵EF∥CD， ∴
∴＝
解得x＝ （负值已舍）
【点评】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，直角三角形的性质，证明△CDE∽△BFC是本题的关键．
28．（14分）Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y＝于点D（m，2），与BC边交于点E（n，4），△BDE的面积为2． （1）求m与n的数量关系； （2）当tan∠BAC＝
时，求反比例函数的解析式和直线AB的解析式；
（k＞0）在第一象限内的图象与AB边交
（3）设点P是线段AB边上的点，在（2）的条件下，是否存在点P，以B，C，P为顶点的三角形与△BDE相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意得到方程，即可得到结论；
（2）如图，过点E作DF⊥BC于点F．根据三角函数的定义得到BF＝1，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）如图，作PG⊥BC于G，①当△BED∽△BCP时，②当△BED∽△BPC时，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：（1）由题意得，4n＝2m， 整理，得m＝2n，
∴m与n的数量关系为m＝2n； （2）如图，过点E作DF⊥BC于点F． 在Rt△BDF中，tan∠BDF＝tan∠BAC＝∴BF＝1， ∵
BE•DF＝
（n+1）•2＝2．
＝
，
∴n＝1，
∴反比例函数的解析式y＝
，一次函数解析式y＝2x﹣2；
（3）如图，作PG⊥BC于G，
①当△BED∽△BCP时，∠BED＝∠BCP，∴DF⊥BC，PG⊥BC， ∴DF∥PG， ∴△BDF∽△BPG， ∴∴
＝＝
， ，即
＝
，
＝
，
∴PG＝3， ∴P（1.5，1）；
②当△BED∽△BPC时，∴
＝
， ，
＝
，
∴BP＝
∵＝，即＝．
∴PG＝2.4， ∴P（1.8，1.6），
综上所述，点P的坐标为（1.5，1）或（1.8，1.6）．
【点评】本题考查了反比例函数的综合题，反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积的计算，相似三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，正确的作出辅助线是解题的关键．
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