一．选择题（共15小题，满分30分，每小题2分） 1．方程x2﹣2x=0的解是（ ） A．0
B．2
C．0或﹣2
D．0或2
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：x2﹣2x=0， x（x﹣2）=0， x=0，x﹣2=0， x1=0，x2=2， 故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
2．关于x的一元二次方程 kx2+2x﹣1=0有两个不相等实数根，则k 的取值范围是（ ） A．k＞﹣1
B．k≥﹣1
C．k≠0
D．k＞﹣1且k≠0
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=22﹣4k×（﹣1）＞0，然后解两个不等式求出它们的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且△=22﹣4k×（﹣1）＞0， 所以k＞﹣1且k≠0． 故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根． 3．下列说法正确的是（ ） A．邻边相等的平行四边形是矩形 B．一组邻边相等的矩形是正方形
C．一组邻边互相垂直的四边形是菱形
D．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形
【分析】A、由邻边相等的平行四边形是菱形，可得出结论A不正确； B、由一组邻边相等的矩形是正方形，可得出结论B正确； C、由选项C的论述结合菱形的判定定理，可得出结论C不正确；
D、由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得出结论D不正确． 此题得解．
【解答】解：A、∵邻边相等的平行四边形是菱形， ∴结论A不正确；
B、∵一组邻边相等的矩形是正方形， ∴结论B正确；
C、∵由一组邻边互相垂直，无法证出该四边形为菱形， ∴结论C不正确；
D、∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ∴结论D不正确． 故选：B．
【点评】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定以及平行四边形的判定，牢记平行四边形、菱形、矩形及正方形的各判定定理是解题的关键．
4．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同．小张通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是（ ） A．6
B．16
C．18
D．24
【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数计算白球的个数，即可求出答案．
【解答】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%， ∴摸到白球的频率为1﹣15%﹣45%=40%， 故口袋中白色球的个数可能是40×40%=16个． 故选：B．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
5．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
【分析】由四边形ABCD为矩形，得到对角线互相平分且相等，得到OD=OC，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形DECO为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱
形得到四边形DECO为菱形，根据AC的长求出OC的长，即可确定出其周长． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD， ∴OA=OB=OC=OD=2， ∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形DECO为平行四边形， ∵OD=OC，
∴四边形DECO为菱形， ∴OD=DE=EC=OC=2，
则四边形OCED的周长为2+2+2+2=8， 故选：B．
【点评】此题考查了矩形的性质，以及菱形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
6．已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5=0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（ ） A．﹣2＜a＜﹣1 B．2＜a＜3
C．﹣3＜a＜﹣4 D．4＜a＜5
【分析】利用公式法表示出方程的根，估算即可． 【解答】解：一元二次方程x2﹣3x﹣5=0， ∵a=1，b=﹣3，c=﹣5， ∴△=9+20=29， ∴x=
，
，即﹣2＜a＜﹣1，
则较小的根a=故选：A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，以及估算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．方程（x+1）（x﹣3）=0的根是（ ） A．x=﹣1
B．x=3
C．x1=1，x2=3
D．x1=﹣1，x2=3
【分析】根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（x+1）（x﹣3）=0， x+1=0，x﹣3=0， x1=﹣1，x2=3， 故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
8．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设参加酒会的人数为x人， 根据题意得： x（x﹣1）=55， 整理，得：x2﹣x﹣110=0，
解得：x1=11，x2=﹣10（不合题意，舍去）． 答：参加酒会的人数为11人． 故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE=20，CE=15，CF=7，AF=24，则BE的长为（ ）
A．10 B． C．15 D．=
【分析】先证明△AEB∽△AFD，根据相似三角形的性质可得AB=7+6x，在Rt△ABE中，根据勾股定理即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB=∠AFD=90°， ∴△AEB∽△AFD， ∴
=
=，
=，设BE=5x，得到DF=6x，
设BE=5x，则DF=6x，
AB=7+6x，
在△ABE中，（7+6x）2=（5x）2+202， 11x2+84x﹣351=0， 解得x1=3，x2=﹣∴BE=5x=15． 故选：C．
【点评】考查了平行四边形的性质，勾股定理，关键是得到BC：CD=6：5，设出未知数列出方程求解即可．
10．用配方法方程x2+6x﹣5=0时，变形正确的方程为（ ） A．（x+3）2=14
B．（x﹣3）2=14
C．（x+6）2=4
D．（x﹣6）2=4
（舍去），
【分析】方程常数项移到右边，两边加上9，利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程移项得：x2+6x=5， 配方得：x2+6x+9=14，即（x+3）2=14， 故选：A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 11．某种童鞋原价为100元，由于店面转让要清仓，经过连续两次降价处理，现以64元销售，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ） A．19%
B．20%
C．21%
D．22%
【分析】此题可设每次降价的百分率为x，第一次降价后价格变为100（1﹣x），第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（x﹣1）（x﹣1），即100（x﹣1）2元，从而列出方程，求出答案．
【解答】解：设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为100（x﹣1）2元，根据题意，得
100（x﹣1）2=64 即（x﹣1）2=0.64
解之，得x1=1.8，x2=0.2．
因x=1.8不合题意，故舍去，所以x=0.2． 即每次降价的百分率为0.2，即20%． 故选：B．
【点评】此题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍． 12．如图，点A（1，1），B（3，1），C（3，﹣1），D（1，﹣1）构成正方形ABCD，以AB为边
做等边△ABE，则∠ADE和点E的坐标分别为（ ）
A．15°和（2，1+B．75°和（2，C．15°和（2，1+D．15°和（2，1+
）
﹣1）
）或75°和（2，﹣1）
）
）或75°和（2，1﹣
【分析】分为两种情况：①当△ABE在正方形ABCD外时，过E作EM⊥AB于M，根据等边三角形性质求出AM、AE，根据勾股定理求出EM，即可得出E的坐标，求出∠EAD，根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质即可求出∠ADE；②当等边△ABE在正方形ABCD内时，同法
求出此时E的坐标，求出∠DAE，根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质即可求出∠ADE．
【解答】解：
分为两种情况：①△ABE在正方形ABCD外时，如图，过E作EM⊥AB于M， ∵等边三角形ABE， ∴AE=AB=3﹣1=2， ∴AM=1，
由勾股定理得：AE2=AM2+EM2， ∴22=12+EM2， ∴EM=
，
∵A（1，1）， ∴E的坐标是（2，1+
），
∵等边△ABE和正方形ABCD， ∴∠DAB=90°，∠EAB=60°，AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=（180°﹣90°﹣60°）=15°；
②同理当△ABE在正方形ABCD内时，同法求出E的坐标是（2，﹣
+1），
∵∠DAE=90°﹣60°=30°， AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=（180°﹣30°）=75°； ∴∠ADE和点E的坐标分别为15°，（2，1+故选：D．
【点评】本题考查了等边三角形性质、勾股定理、等腰三角形性质、正方形性质、坐标与图形性质、三角形的内角和定理等知识点的运用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，本题综合性比较强，有一定的难度，但题型较好，注意要分类讨论啊．
13．一个不透明的袋子中有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球，两次摸出的球都是黄球的概率（ ） A．
B．
C．
D．
）或75°，D（2，﹣
+1），
【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次摸出的球都是黄球的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是黄球的结果数为4， 所以两次摸出的球都是黄球的概率为． 故选：D．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE=3，ED=3BE，则AB的值为（ ）
A．6 B．5 C．2 D．3
【分析】由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE：ED=1：3，易证得△OAB是等边三角形，继而求得∠BAE的度数，由△OAB是等边三角形，求出∠ADE的度数，又由AE=3，即可求得AB的
长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB=OD，OA=OC，AC=BD， ∴OA=OB， ∵BE：ED=1：3， ∴BE：OB=1：2， ∵AE⊥BD， ∴AB=OA， ∴OA=AB=OB，
即△OAB是等边三角形， ∴∠ABD=60°， ∵AE⊥BD，AE=3， ∴AB=故选：C．
=2
，
【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质，结合已知条件和等边三角形的判定方法证明△OAB是等边三角形是解题关键． 15．如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论： ①∠ADE=∠DBF；②△DAE≌△BDG；③若AF=2DF，则BG=6GF；④CG与BD一定不垂直；⑤∠BGE=60°．其中正确的结论个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】①先证明△ABD为等边三角形，根据“SAS”证明△AED≌△DFB，利用全等三角形的性质解答即可；
②先证明△ABD为等边三角形，根据“SAS”证明△AED≌△DFB；
③过点F作FP∥AE于P点，根据题意有FP：AE=DF：DA=1：3，则FP：BE=1：6=FG：BG，即BG=6GF；
④因为点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，当点E，F分别是AB，AD中点时，CG⊥BD；
⑤∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60° 【解答】解：①∵ABCD为菱形，∴AB=AD， ∵AB=BD，∴△ABD为等边三角形， ∴∠A=∠BDF=60°， 又∵AE=DF，AD=BD， ∴△AED≌△DFB，
∴∠ADE=∠DBF，故本选项正确； ②∵ABCD为菱形，∴AB=AD， ∵AB=BD，∴△ABD为等边三角形， ∴∠A=∠BDF=60°， 又∵AE=DF，AD=BD，
∴△AED≌△DFB，故本选项错误；
③过点F作FP∥AE交DE于P点（如图2）， ∵AF=2FD，
∴FP：AE=DF：DA=1：3， ∵AE=DF，AB=AD， ∴BE=2AE，
∴FP：BE=FP：2AE=1：6， ∵FP∥AE， ∴PF∥BE，
∴FG：BG=FP：BE=1：6， 即BG=6GF，故本选项正确；
④当点E，F分别是AB，AD中点时（如图3）， 由（1）知，△ABD，△BDC为等边三角形， ∵点E，F分别是AB，AD中点， ∴∠BDE=∠DBG=30°，
∴DG=BG，
在△GDC与△BGC中，
，
∴△GDC≌△BGC， ∴∠DCG=∠BCG，
∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本选项错误；
⑤∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°，为定值， 故本选项正确；
综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个， 故选：C．
【点评】此题综合考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形，把不规则图形的面转化为两个全等三角形的面积是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
16．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，则菱形ABCD的面积为 2
．
【分析】由菱形ABCD，得到邻边相等，且对角线互相平分，再由一个角为60°的等腰三角形
为等边三角形得到三角形ABD为等边三角形，求出BD的长，再由菱形的对角线垂直求出AC的长，即可求出菱形的面积． 【解答】解：∵菱形ABCD， ∴AD=AB，OD=OB，OA=OC， ∵∠DAB=60°，
∴△ABD为等边三角形， ∴BD=AB=2， ∴OD=1，
在Rt△AOD中，根据勾股定理得：AO=∴AC=2
，
，
=
，
则S菱形ABCD=AC•BD=2故答案为：2
【点评】此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键．
17．（3分）在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为
，则黄球的个数为 4 ．
【分析】根据白球个数除以小球总数进而得出得到白球的概率，进而得出答案．
【解答】解：∵在一个不透明的盒子中装有8个白球，从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，
设黄球有x个，根据题意得出： ∴
=，
解得：x=4． 故答案为：4．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，熟练利用概率公式是解题关键．
18．（3分）若α，β是方程x2﹣2x﹣1=0的两根，则（α+1）（β+1）的值为 2 ．
【分析】首先根据根与系数的关系求得α+β=2，αβ=﹣1；再进一步利用整式的乘法把（α+1）（β+1）展开，代入求得数值即可．
【解答】解：∵α，β是方程x2﹣2x﹣1=0的两根， ∴α+β=2，αβ=﹣1， 则原式=αβ+α+β+1 =2﹣1+1 =2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．
19．（3分）一个两位数，它的数值等于它的个位上的数字的平方的3倍，它的十位数字比个位数字大2．若设个位数字为x，列出求该两位数的方程式为 10（x+2）+x=3x2 ． 【分析】设个位数字为x，则这个数为3x2，十位数字为x+2，根据题意表示出这个两位数，列出方程．
【解答】解：设个位数字为x，则这个数为3x2，十位数字为x+2， 由题意得，10（x+2）+x=3x2． 故答案为：10（x+2）+x=3x2．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 20．（3分）根据如下表格对应值：
1 ax2+bx+c ﹣0.5 0 2 0.5 1 1 1.5 2 2 判断关于x的方程ax2+bx+c=1.5（a≠0）的解x的范围是 0＜x＜0.5或1.5＜x＜2 ． 【分析】利用表中数据得到x=1.5和x=2时，代数式ax2+bx+c的值一个小于1.5，一个大于1.5，从而可判断当0＜x＜0.5或1.5＜x＜2时，代数式ax2+bx+c﹣1.5的值为0． 【解答】解：当x=0.5和1.5时，ax2+bx+c=， 当x=0和2时，ax2+bx+c=2，
所以方程的解的范围为0＜x＜0.5或1.5＜x＜2． 故答案为：0＜x＜0.5或1.5＜x＜2．
【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
21．（3分）一个不透明的布袋中有分别标着数字1，2，3，4的四个乒乓球，先从袋中随机摸出两个乒乓球，则这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为
．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两个乒乓球上数字之和大于5的情况数，即可求出所求的概率． 【解答】解：列表得： 1 2 3 4 1 ﹣﹣﹣ （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） ﹣﹣﹣ （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） ﹣﹣﹣ （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） ﹣﹣﹣ 所有等可能的情况数有12种，其中两个乒乓球上数字之和大于5的情况有4种， 则P=
=．
故答案为：．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 22．（3分）如图大矩形的长10cm，宽8cm，阴影部分的宽2cm，则空白部分的面积是 48 cm2．
【分析】根据平移的性质，把两条小路都平移到矩形的边上，然后求出空白部分的长和宽，再根据矩形的面积公式计算即可得解．
【解答】解：把小路平移到矩形的边上，则空白部分的长为10﹣2=8cm， 宽为8﹣2=6cm，
所以，空白部分的面积是：8×6=48cm2． 故答案为：48．
【点评】本题考查了平移的性质，构想出把四个空白部分平移为一个空白矩形求解更简便． 23．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF．若∠EFD=15°，则∠CDF的度数为 30° ．
【分析】由旋转前后的对应边和对应角相等可知，一个特殊三角形△ECF为等腰直角三角形，可知∠EFC=45°，进而求出∠CFD=60°，因为三角形DCF是直角三角形，所以可以求出∠CDF的度数为30°．
【解答】解：∵△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF， ∴CE=CF，
∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DCB=90°， ∴∠DCF=90°， ∴∠CEF=∠CFE=45°， ∵∠EFD=15°， ∴∠CFD=60°，
∴∠CDF=90°﹣60°=30° 故答案为：30°．
【点评】本题考查旋转的性质和正方形的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
三．解答题（共7小题，满分66分） 24．（12分）解下列方程 （1）4x2﹣1=0
（2）x2﹣4x+3=0（配方法） （3）2x2+x﹣1=0（公式法）
【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程整理后，利用配方法求出解即可；
（3）方程利用公式法求出解即可． 【解答】解：（1）方程整理得：x2=， 开方得：x=±；
（2）方程整理得：x2﹣4x=﹣3， 配方得：x2﹣4x+4=1，即（x﹣2）2=1， 开方得：x﹣2=1或x﹣2=﹣1， 解得：x1=3，x2=1；
（3）这里a=2，b=1，c=﹣1， ∵△=1+8=9， ∴x=
，
解得：x1=，x2=﹣1．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，直接开平方法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
25．（8分）某商场将原来每件进价80元的某种商品按每件100元出售，一天可出售100件，后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低2元，其销量可增加20件． （1）求商场经营该商品原来一天可获利多少元？
（2）若商场经营该商品一天要获得利润2160元，则每件商品应降价多少元？ 【分析】（1）原来1天的获利情况=1件的利润×卖出的件数；
（2）关系式为：实际1件的利润×卖出的件数=2160，把相关数值代入计算即可． 【解答】解：（1）商场经营该商品原来一天可获利（100﹣80）×100=2000元； （2）设每件商品应降价x元． （20﹣x）（100+10x）=2160， （x﹣2）（x﹣8）=0， 解得x1=2，x2=8．
答：每件商品应降价2元或8元．
【点评】考查一元二次方程的应用；得到降价后可卖出商品的数量是解决本题的易错点． 26．（8分）已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AB=1，BC=（1）求平行四边形ABCD的面积S□ABCD； （2）求对角线BD的长．
．
【分析】（1）先求出AC，根据平行四边形的面积=底×高，进行计算即可． （2）在Rt△ABO中求出BO，继而可得BD的长． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC=则S□ABCD=AB×AC=2．
=2，
（2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=OC，BO=OD， ∴AO=1，
在Rt△ABO中，BO=∴BD=2
．
=
，
【点评】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分的性质．
27．（8分）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，请你判断BE与CF的大小关系，并说明你的理由．
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OB=OC，然后利用“角角边”证明△OBE和△OCF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证． 【解答】解：BE=CF．
理由如下：在矩形ABCD中，OB=OC， ∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F， ∴∠BEO=∠CFO=90°， 在△OBE和△OCF中，∴△OBE≌△OCF（AAS）， ∴BE=CF．
，
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，证明两边相等，通常利用证明这两边所在的三角形全等，这是常用的方法也是基本方法．
28．（8分）某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏PK环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用不透明的白布包住三根颜色长短相同的细绳AA1、BB1、CC1，只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从白布两端各选一根细绳，并拉出，若两人选中同一根细绳，则两人同队，否则互为反方队员．
（1）若甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，求他恰好抽出细绳AA1的概率； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数和甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵共有三根细绳，且抽出每根细绳的可能性相同， ∴甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，恰好抽出细绳AA1的概率是=；
（2）画树状图：
共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数为3种情况， 则甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率是=．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意首先分别求得左右两端的情况，再画出树状图是关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
29．（10分）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B，C，D三点共线，连接AD，BE相交于点P，求证：BE=AD．
【分析】根据等边三角形的性质得CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，则∠ACE=60°，利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE，则AD=BE．
【解答】证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°， ∴∠ACE=60°， ∴∠ACD=∠BCE=120°， 在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
30．（12分）如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC=5，AB=1，点P是线段BC （不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD． （1）如图1，若BP=4，求△ABP的周长．
（2）如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并说明理由．
（3）若△PDC是等腰三角形，作点B关于AP的对称点B′，连结B′D，则B′D= 5 ．（请直接写出答案）
，
【分析】（1）先在Rt△ABP中，利用勾股定理求得AP的长，再计算△APB的周长；
（2）先延长线段AP、DC交于点E，运用ASA判定△DPA≌△DPE，再运用AAS判定△APB≌△EPC，即可得出结论；
（3）先连接B'P，过点B'作B'F⊥CD于F，根据轴对称的性质，得出△ABP为等腰直角三角形，并判定四边形B'PCF是矩形，求得B'F=4，DF=3，最后在Rt△B'FD中，根据勾股定理求得B'D的长度．
【解答】解：（1）如图1，∵AB⊥BC， ∴∠ABP=90°， ∴AP2=AB2+BP2，
∴AP=∴AP+AB+BP=
=+1+4=
=+5
，
∴△APB的周长为
+5；
（2）PB=PC，
理由：如图2，延长线段AP、DC交于点E， ∵DP平分∠ADC， ∴∠ADP=∠EDP． ∵DP⊥AP，
∴∠DPA=∠DPE=Rt∠． 在△DPA和△DPE中，
，
∴△DPA≌△DPE（ASA）， ∴PA=PE．
∵AB⊥BP，CM⊥CP， ∴∠ABP=∠ECP=Rt∠． 在△APB和△EPC中，
，
∴△APB≌△EPC（AAS）， ∴PB=PC；
（3）如图，连接B'P，过点B'作B'F⊥CD于F，则∠B'FC=∠C=90°， ∵△PDC是等腰三角形，
∴△PCD为等腰直角三角形，即∠DPC=45°， 又∵DP⊥AP， ∴∠APB=45°，
∵点B关于AP的对称点为点B′， ∴∠BPB'=90°，∠APB=45°，BP=B'P，
∴△ABP为等腰直角三角形，四边形B'PCF是矩形，
∴BP=AB=1=B'P，PC=5=1=4=B'F，CF=B'P=1， ∴B'F=4，DF=4﹣1=3， ∴Rt△B'FD中，B'D=故答案为：5．
=5，
【点评】本题以动点问题为背景，主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，以及灵活运用勾股定理计算线段的长度．
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