实验中学数学“培优练习”(1)

1．设f(x)的定义域为R，且对x,yR，恒有f(xy)f(x)f(y)，若f(8)3。则f(2)____ 2．设f(x)1x22f(5)f(4)f(0)f(5)f(6)的值是__________．

，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得

x2y23．设点P在椭圆221(ab0)上，椭圆的左右两焦点分别是F1、F2，且PF14PF2，则椭

ab圆的离心率e的取值范围是__________． 4．已知函数fx13m2xx3mxn，若fx有6个不同的单调区间，则实数m的取值范32围为__________．

AC=9，SABC＝6，5．Rt△ABC中，AB为斜边，AB·设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB,BC,AC的距离分别为x，y，z，则xyz的取值范围是__________．

a2x2y2226．过双曲线221(a0,b0)的左焦点F(c,0)(c0)，作圆：xy的切线，切点为E，

4ab1延长FE交双曲线右支于点P，若OE(OFOP)，则双曲线的离心率为__________．

27．已知数列{an}的各项均为正整数，对于n1,2,3,，

3an5　an为奇数*有an1a，若存在mN，当nm且an为奇数时，

nan为偶数，k是使an1为奇数的正整数k2an恒为常数p，则p的值为__________．

8．已知圆x2y28x6y210与直线ymx交于P、Q两点，O为坐标原点，则OPOQ的值为__________． 9．以下四个关于圆锥曲线的命题中：

①设A、B为两个定点，k为非零常数，|PA||PB|k，则动点P的轨迹为双曲线；

1②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若OP(OAOB),则动点P的轨迹为

2椭圆；

2③方程2x5x20的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

x2y2x21与椭圆y21有相同的焦点. ④双曲线

25935 其中真命题的序号为__________．（写出所有真命题的序号）

10．已知，水波的半径以50cm/s的速度向外扩张，当半径为250cm时，圆面积的膨胀率为__________．

x2y21上的任意一点P(x,y)可使x2ym0恒成立，则实数m的取值范围是_______ 11．椭圆43

12、设p是给定的正偶数，集合Ap{x|2x2

pp1,x3m,mN}的所有元素的和是__________．

ax (x0)f(x1)f(x2)13．已知函数f(x)，满足对任意x1x2，都有0

x1x2(a3)x4a (x0)成立，则a的取值范围是 ．

14、以下四个命题中：

1①已知点A是定圆C上的定点，B是定圆C上的动点，O为坐标原点，若OP(OAOB),则动点

2P的轨迹为圆；

②已知{an}为等比数列，Sk

an1kn，则k为奇数时，数列Sk,S2kSk,S3kS2k,仍为等比数列；

③斜ABC中，“AB”是“tanAtanB”的充要条件；

④已知集合A{x|x22xm0,xR},B{x|x22xn0,xR},则

“mn”是“AB”的必要不充分条件.

其中真命题的序号为__________．（写出所有真命题的序号） 15． 已知△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若

(1)求角A；

(2)若f(x)＝cos(x＋A)－sin(x－A)，求f(x)的单调递增区间．

x22

16．已知椭圆＋y＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．

4(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；

(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一个定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由．

2

2

a－csinB＝. b－csinA＋sinC

实验中学数学“培优练习”（1）

1．设f(x)的定义域为R，且对x,yR，恒有f(xy)f(x)f(y)，若f(8)3。则f(2)____ 2．设f(x)1x22f(5)f(4)f(0)f(5)f(6)的值是__________．

，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得

x2y23．设点P在椭圆221(ab0)上，椭圆的左右两焦点分别是F1、F2，且PF14PF2，则椭

ab圆的离心率e的取值范围是__________． 4．已知函数fx13m2xx3mxn，若fx有6个不同的单调区间，则实数m的取值范32围为__________．

AC=9，SABC＝6，5．Rt△ABC中，AB为斜边，AB·设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB,BC,AC的距离分别为x，y，z，则xyz的取值范围是__________．

a2x2y2226．过双曲线221(a0,b0)的左焦点F(c,0)(c0)，作圆：xy的切线，切点为E，

4ab1延长FE交双曲线右支于点P，若OE(OFOP)，则双曲线的离心率为__________．

27．已知数列{an}的各项均为正整数，对于n1,2,3,，

3an5　an为奇数*有an1a，若存在mN，当nm且an为奇数时，

nan为偶数，k是使an1为奇数的正整数k2an恒为常数p，则p的值为__________．

8．已知圆xy8x6y210与直线ymx交于P、Q两点，O为坐标原点，则OPOQ的值为__________．

9．以下四个关于圆锥曲线的命题中：

22①设A、B为两个定点，k为非零常数，|PA||PB|k，则动点P的轨迹为双曲线；

1②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若OP(OAOB),则动点P的轨迹为

2椭圆；

2③方程2x5x20的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

x2y2x21与椭圆y21有相同的焦点. ④双曲线

25935其中真命题的序号为__________．（写出所有真命题的序号）

10．已知，水波的半径以50cm/s的速度向外扩张，当半径为250cm时，圆面积的膨胀率为__________．

x2y21上的任意一点P(x,y)可使x2ym0恒成立，则实数m的取值范围是_______ 11．椭圆43

12、设p是给定的正偶数，集合Ap{x|2x2

pp1,x3m,mN}的所有元素的和是__________．

ax (x0)f(x1)f(x2)13．已知函数f(x)，满足对任意x1x2，都有0

x1x2(a3)x4a (x0)成立，则a的取值范围是 ．

14、以下四个命题中：

1①已知点A是定圆C上的定点，B是定圆C上的动点，O为坐标原点，若OP(OAOB),则动点

2P的轨迹为圆；

②已知{an}为等比数列，Sk

an1kn，则k为奇数时，数列Sk,S2kSk,S3kS2k,仍为等比数列；

③斜ABC中，“AB”是“tanAtanB”的充要条件；

④已知集合A{x|x22xm0,xR},B{x|x22xn0,xR},则

“mn”是“AB”的必要不充分条件.

其中真命题的序号为__________．（写出所有真命题的序号）

答案1．

1023122、32 3、,1 4、2,35、,4 6、 7、1或5 8、21

252514 9、③④ 10、25000π 11、[4,) 12、22p12p1 13、(0,] 14．①②④

15． 已知△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若

2

2

a－csinB＝. b－csinA＋sinC(1)求角A；(2)若f(x)＝cos(x＋A)－sin(x－A)，求f(x)的单调递增区间．

【解答】 (1)由

a－csinBa－cb＝，得＝， b－csinA＋sinCb－ca＋c1π222

即a＝b＋c－bc，由余弦定理，得cosA＝，所以A＝.

23

ππ2222(2)f(x)＝cos(x＋A)－sin(x－A)＝cosx＋－sinx－ 332π2π1＋cos2x＋1－cos2x－331

＝－＝－cos2x.

222

π

令2kπ≤2x≤2kπ＋π(k∈Z)，得kπ≤x≤kπ＋(k∈Z)，

2

π故f(x)的单调递增区间为kπ，kπ＋，k∈Z. 2

x22

16．已知椭圆＋y＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．

4(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；

(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一个定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由． 【解答】 (1)当直线AM的斜率为1时，直线AM的方程为y＝x＋2，

646

－，. 代入椭圆方程并化简得：5x2＋16x＋12＝0，解得x1＝－2，x2＝－，所以M555(2)设直线AM的斜率为k，则AM：y＝k(x＋2)，

y＝kx＋2，2

则x化简得：(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0. 2

4＋y＝1，2－8k22k2－8因为此方程有一根为－2，所以xM＝，同理可得xN＝2.

1＋4k2k＋46

－，0. 由(1)知若存在定点，则此点必为P5

yM5k5k

因为kMP＝＝＝. 22，同理可计算得kPN＝62－8k64－4k4－4k2xM＋＋51＋4k25所以kMP＝kPN，M、P、N三点共线， 6

－，0. 所以直线MN过x轴上的一个定点P5

2－8k＋2k

1＋4k2

2