矩阵的特征根的求法及应用2

本科生毕业论文(设计)

题目（中文）： 矩阵的特征根的求法及应用

（英文）：

The Algorithm for Matrix’s Eigenvalues

and Eigenvetors and the Applications The

Application

学生姓名： 学 号：

系 别： 数学系

专 业： 数学与应用数学 指导教师：

起止日期： 2011.12—2012.05

2012 年 5 月 8 日

怀化学院本科毕业论文(设计)诚信声明

作者郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计)，是在指导老师的指导下，独立进行研究所取得的成果，成果不存在知识产权争议。除文中已经注明引用的内容外，论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的成果。对论文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确的方式标明。本声明的法律结果由作者承担。

本科毕业论文（设计）作者签名：

年 月 日

目录

摘要 .............................................................. I 关键词 .............................................................. I Abstract ............................................................ I Key words ........................................................... I 1前言 .............................................................. 1 2 特征值与特征向量的定义及其性质 .................................... 1

2.1矩阵特征值与特征向量的概念及性质 ............................. 1

2.1.1矩阵特征值与特征向量的定义 ............................. 1 2.1.2矩阵特征值与特征向量的性质 ............................. 1

3 特征值与特征向量的常规求法视图层详细设计 ......................... 2

3.1常规计算求特征值与特征向量 ................................... 3 3.2列行互逆变换法 ............................................... 6 3.3列初等变换法 ................................................. 9

3.3.1列初等变换的步骤 ....................................... 9 3.3.2 列初等变换的应用 ....................................... 9 3.4运用矩阵的特征值特征向量反求矩阵 ............................ 11

【9】【10】

4 矩阵特征值与特征向量在递推关系上的应用 ...................... 15

4.1用特征值和特征向量对一般线性递推关系中的应用 ................ 15 4.2 命题的应用 ................................................. 17 5. 小结 ............................................................ 21 参考文献 ........................................................... 22 致谢 ............................................................. 23

矩阵的特征根的求法及应用

摘要

矩阵的特征值和特征向量是线性代数的重要内容；本论文主要讨论矩阵特征值和特征向量的求法及其应用，我们介绍了矩阵的特征值和特征向量的概念及其基本性质；并介绍了定义，行列互逆变换、列初等变换等求特征值和特征向量的方法，在相关方法的基础上介绍一种矩阵的特征值和相应的特征向量反求原矩阵的方法，论文最后讨论矩阵的特征值和特征向量在线性循环数列及线性变换中的应用，论文内容对数学专业的本质性有一定的参考价值和应用价值。

关键词

矩阵；特征值；特征向量；矩阵。

Abstract

Matrix is the main research tools of linear algebra and advanced algebra and

universities play a vital role in mathematics. This thesis focuses on the matrix eigenvalue and eigenvector of the concept, nature, method and system application issues related to induction, so we Eigenvalues and eigenvectors have further understanding.According to characteristic value and characteristic vector turn over to beg matrix. The author of this paper proposes a method which can be applicated for obtain the general term of linear recursion relation by using eigenvalues and eigenvectors.

Key words

eigenvalue; eigenvector; matrix

I

1前言

矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具.矩阵计算问题是很多科学问题的核心.在很多工程计算中，常常会遇到特征值和特征向量的计算问题，如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题；物理学中的各种临界值等，这些特征值的计算往往意义重大.很多科学计算问题都要归结为矩阵计算的问题，在本论文中主要研究的矩阵特征值和特征向量的计算及应用问题.

2 特征值与特征向量的定义及其性质 2.1矩阵特征值与特征向量的概念及性质 2.1.1矩阵特征值与特征向量的定义

设A是n阶方阵，如果存在数和n维非零向量x，使得Axx成立，则称为A的特征值，x为A的对应于特征值的特征向量.

2.1.2矩阵特征值与特征向量的性质

性质1：设A为n阶方阵, 1,2,,n为A的n个特征值, 则

A12n．

性质2： 方阵A可逆A的n个特征值都不为零．

性质3： 设为方阵A的特征值, A为A的多项式, 则 为

A的特征值．

性质4： 不为方阵A的特征值AE0．

性质5： (凯莱—哈密顿定理) 设n阶方阵A的特征多项式为

fEA，则

1

fAAna1An1an1AanE0．

性质6：设n阶方阵A的n个特征值为1,2,,n, 且p1,p2,,pn为对应的n个线性无关的特征向量, 记Pp1,p2,,pn, 则

11PAP2. n性质7： 设A为n阶实对称阵, 是它的n个特征值, 则 (1) 当且仅当1,2,,n都大于零时, A正定； (2) 当且仅当1,2,,n都小于零时, A负定；

(3) 当且仅当1,2,,n都非负, 但至少一个等于零时, A是半正定；

(4) 当且仅当1,2,,n都非正, 但至少一个等于零时, A是半负定；

(5) 当且仅当1,2,,n中既有正数, 有又负数时, A是不定的．

(6)设为矩阵A的特征值，Px为多项式函数，则P为矩阵多项式PA的特征值.

3 特征值与特征向量的常规求法视图层详细设计

一般教科书[求特征值的传统方法是令特征多项式EA0, 求出A的特征值, 对于A的任一特征值, 特征方程(EA)X0的所有非零解X即为矩阵A的属于特征值的特征向量. 两者的计算是分割的, 一个是计算行列式, 另一个是解齐次线性方程组, 且计算量

2

都较大.下面介绍利用矩阵的初等变换求特征值与特征向量的两种方法[4].

3.1常规计算求特征值与特征向量 例3.1 在实数域上求矩阵

122A212

221的特征值与特征向量。 传统解法； 解:(传统解法)

1EA22221422

112221030142 115 23，35是A的全部特征值。 EA0,得121（二重）当121时，对应的特征方程；

2x12x22x302x12x22x30 2x2x2x0123

的基础解析为

11，0， 11201

3

所以A的属于121全部特征向量为k11k22，其中k1，k2为不全为零的常数；

当35时，对应的特征方程

4x12x22x302x14x22x30 2x2x4x0123的基础解析为

131， 1所以A的属于35的全部特征向量为k33其中k3不为零.

定理2.1：A 是n 阶方阵, 为待求特征值.若对矩阵AE 施行一系列行初等变换, 可得到上三角矩阵B , 令B 的主对角线上元素乘积为零, 求得值即为矩阵A 的特征值. 证明 设

a11aTAE=12...a1n...an1a22...an2 .........a2n...anna21T显然R(AE)Tn

考察AET的第一列元素：若a1i0，通过行初等变换化为

c1TAE；若，则本身具有这样的形式，再对d1进a01i0d1c2行相应的行初等变换，化为，依次对di进行如此运0d2算，直至AE化为

4

T

c1c20......00T......B .........cnT 由以上运算可知AE与B等价，则AE与B有相同的初等因子，知定理2.1成立[6]。

例3.2 求实数域上矩阵

122A212 221的特征值与特征向量. 解：

AET|E122...100212...010221...001221...001~212...010122...100221...0~01011...01100152...1132D|P 令D的主对角线元素之积为零, 即15=0，特征值为121（二重）

；35 121时

5

222...001000...011。 D|P=11000...112RD11，于是121对应的特征向量为

1112T10T1 , 20111 21所以A的属于121全部特征向量为k11k22，其中k1，k2为不全为零的常数； 当35时。

224...001066...011 D|P=33000...1111212...00211 011...0 ~66000...111RD32，于是35对应的特征向量为k33，其中k3不为零。

3.2列行互逆变换法

定义3.2.1:把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换;

1：互换i.j两列cicj，同时互换j. i两行rjri；

112：第i列乘以非零数kkci，同时i行乘ri； kk3：第i列k倍加到第j列cjkci，同时第j行-k倍加到第i行

rkr。

ij 6

A一系列列行互逆变换JT定理1：A为任意n阶方阵，若,其中

IPJdiagjk11,jk22,...,jknn是jordan标准型矩阵， PP1...Pr

证：任一矩阵必相似于Jordan标准型矩阵，有矩阵A的转臵矩阵AT相似于一Jordan矩阵J，即纯在可逆矩阵P，使得PTATPTJ,故

1AP=PJT，其中 P=11...1...r1...r

i10...0001...00iJk1..................

000...1i000...0ik1i00...0010...00i.................. 000...0i000...1ik1Jk1T 所以

A11...1...r1...r=11...1...r1...rJk1T... JkrT固有Aiii1...r。

所以i为A的特征值，iiki为A对应于的i的特征向量。 例3.3 求实数域上矩阵

7

211 A031213的特征值与特征向量. 解

211111031131004213CC13r3r1(1) 100I100010010001101200121c1c3220041c2c1r22r3r1r2(3)(2)1100101112001202c30041r32

111011111020120004 111201121112所以，特征值122，34对应特征值122的特征向量为

1， 111对应特征值34的特征向量为

8

1。 311注：解答过程中(1)处的K1是由方程23K2KK0确定的，（2）处的K1是由方程1K3KK0确定的，（3）处的K1/20确定的。 是由方程12K4（K）

3.3列初等变换法 3.3.1列初等变换的步骤

列初等变换法计算特征值与特征向量的步骤是：

EAC经过一系列初等变化变成，其中C为含的（1）将EQ下三角矩阵，Q为E经过初等变换得到的矩阵；

（2）令C主对角线元素之积为零，求出根即为特征值ii1,2,,n；

CCi中，变为，再进行列初（3）将求出的ii1,2,,n代入QQiQ中后的nr等变换，当化为列阶梯形，且当非零列向量个数为时，

个列向量即为i对应的特征向量. 3.3.2 列初等变换的应用 例3.4 已知矩阵

011 A111011求矩阵A的特征值和特征向量.

9

解 :运用列初等变换法，有

11011111212EA0111E = 100  001000011100121112  1001  1001111101 = GQ 由120知A的特征根10,231. 当0时，

100 G0110100Q0 012 , 011111特征向量为

211 . 1

当1时，

10

1100 10000102121211121

101101G1 = Q1010121000 101矩阵的特征向量为

1 201

3.4运用矩阵的特征值特征向量反求矩阵

例3.5 已知Aiiii1,2,3,其中11,2,2，22,2,1，

32,1,2，1求矩阵A；2若1,1,5，求An

TTTT分析：由A11，A222，A333知A的特征值为1.2,3.

1，2，3为相应的的特征向量

1解法一：利用矩阵方程求A。

由 A11，A222，A333知A1,2,31,22,33 由于

1,2,3是矩阵A的不同特征值特征向量，他们线性无关，故矩阵

1,2,3可逆

那么特征值特征向量的定义，

1,2,3A1,22,33，

故

A1,22,331,2,3

1 11

146122243221226212270 3352033222331解法二：因为A有3个不同的特征值。于是A可对角化

1P1AP2

3其中P1,2,3 故

12211222212221A=PP1 21232211730 23T2若1,1,5，求An

05323232 32解一：由A=PP1.有

A2PP1PP1PP1PP1PP21

归纳的

12

1221AnPnP12212n2211.221 2123n921212n24*3n22n22*3n22n14*3n=22n22*3n42n23n42n12*3n 22n14*3n42n12*3n42n4*3n那么

12n22*3nAn=22n23n

22n2*3n解法二：设x11x22x33(1,2,3线性无关，1,2,3，关)

12211122111行（*-2）+2.3行2206332125036313行31220121001 1解出x11,x21,x31。即123

那么AA123A1A2A3=12233

A2122331222233

归纳得

Ann12n23312212n22*3n2n23n22n23n 2122n2*3n若A,则Ann, 对

13

线性相

Annx11x22x33x1An1x2An2x3An3x1n1x2n2x3n3

例6：已知方程组

x12x2x332x1a4x25x36 x2xx3231有无穷多解，若矩阵A的特征值11,21,30

对应的特征向量依次是1,2a,1，a2,1,a1，a,a3,a2 求A及A100。

212a4121若a=00015a21070131210a76300a1300300TTT

可见21，30，方程组有无穷多解。

rArA3

若21有

1312，1，2 101线性无关。

与不同特征值的特征向量线性无关相矛盾。舍去。

1201=0=1=，，233 112由A1,2,3=1，-2，0

14

A1，2,01,2,3118123238691

因为A有3个不同的特征值。故

1

A~=10于是APP1那么A2=PP1PP1P2P1 从而A2=PnP1所以

12011201013

A100=P100P10130112112100

323223

14 矩阵特征值与特征向量在递推关系上的应用【9】【10】 4.1用特征值和特征向量对一般线性递推关系中的应用

有关线性循环的概念参看文献【9】

命题4.1 设k阶线性循环数列x满足递推关系

nxna1xn1a2xn2akxnk，nk1,k2,

其线性方程组为

xna1xn1a2xn2...akxnkxxn1n1 xn2xn2...xnk1xnk1可表为矩阵形式

15

xna1x1n1xn200xnk1a2ak1010001akxn1x0n20xn3（4.1）

0xnk令

xn1a1x1n2xn3， A00xnka2ak1010001ak00， 0ank则（4.1）式可写成

ank1Aank ， （4.2）

由（4.2）式递推得

ank1A2ank1Anka1，

其中axk,xk1,,x2,x1T, 于是求通项xn就归结为求xnk1, 也就是求

Ank.如果A可对角化, 即存在可逆矩阵P, 使得P1APB, 则

AnkPBnkP1, 由于

a1a2ak1ak100EA0010010 从第一列开始每一列乘以入加到后一列上, 可得

a12a1a2k1a1k2ak1ka1k1ak100010001000(1)k(ka1k1ak) 16

若是A的一重特征值, 显然有REAk1, 则线性齐次方程

EAA0的基础解系中只含有一个解向量. 因此当A有k个特征

值1,2,,k时, 这k个特征值对应的特征向量分别P1,P2,,Pk, 以这个k个特征向量为列构成的方阵记为P, 则P是可逆的, 并且

P1APB, 其中

[10]

10B002000

k4.2 命题的应用

例7 计算n阶行列式

212121000002000000000200021200 D120．

21解 将Dn按第一行展开得,

Dn2Dn1M122M13,

其中M12与M13分别是元素A12与A13的余子式, 再将它们分别按第一列展开得:

Dn2Dn1Dn22Dn3, 则是Dn阶线性循环数列. 将方程组

Dn2Dn1Dn22Dn3 Dn1Dn1DDn1n1

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表示成矩阵形式为：

Dn212Dn1D100D n1n2Dn2010Dn3令

212， A100010由上式递推得：

DnD n1Dn2Dn1Dn2D3A2DAn3D ．AD n2n32（4.3）Dn3Dn4D1由EA0，解的特征值为

11，21，32．

再由特征方程EAX0i1,2,3, 解得A对应的特征值1, 2, 3.的特征向量分别为

114，P1，P2， P1123111令

PP1P2114， P3112111则

3361001,AP010P1P11326202002

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An3100P010002n3P1n1P0001n30n3n2010Pn322n26212n1n36212n2n3121n2312n16n3n2312n3331621n3

331n3331由（4.3）式可得：

Dn1n3n3n3312nD3331D26212nD1， 6将D12,D25,D310代入上式得：

Dn111n312n2. 263

例8 设V是数域P上的3维线性空间，线性变换f:VV在V的基

e1,e2,e3下的矩阵为

212533 102

（1）求线性变换f在V的基e1,e2e2,e1e3下的矩阵； （2）求线性变换f的特征值与特征向量. 解（1）因为

111e1,e1e2,e1e3=e1,e2,e3010

001所以由基e1,e2,e3到基e1,e1e2,e1e3的过渡阵为

111 X010001

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而f在e1,e2,e3下的矩阵为

212 A533102

所以f在e1,e1e2,e1e下的阵为

111212111533010 BX1AX0100011020011112121112015330105 01028=00110200111315139 8435434（2）计算可得

2123

EA=5130231212 520233=230=2325223 =13

所以A有3个相同的特征值1231，代入特征方程，有

312x1522x0 2101x3可得x1x30,x2x30，

故A的属于特征值1的线性无关的特征向量为

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1. 11

5. 小结

本文给出了矩阵特征值与特征向量的定义及性质，并且对一般矩阵及特殊矩阵正互反阵特征值与特征向量的解法进行了归纳总结，首先介绍矩阵的特征值和特征向量的定义及其性质，然后简单介绍矩阵的特征值和特征向量的几种常规解法和特殊解法。利用逆向思维，在已知特征值和特征向量的前提下反求矩阵，并且简述方阵的特征值和特征向量的一些应用，把理论与实际相结合，提高矩阵的特征值和特性向量的实际意义。最后给出了这些解法的具体实现步骤.通过文章的梳理总结，在比较中让人们更好更快的确定解题方法，提高解题效率.

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参考文献

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[9]奚传志，矩阵特征值与特征向量在递推关系上的应用[J]，枣庄师专学报，1991（2） [10] 朱科科,韩建民.一类特殊矩阵的特征根[J].宝鸡文理学院学报.1999.30—32.

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致谢

本研究及学位论文是在我的导师李敏的亲切关怀和悉心指导下完成的。他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。从课题的选择到项目的最终完成，李老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持。刘老师不仅在学业上给我以精心指导，同时还在思想、生活上给以无微不至的关怀，在此谨向李老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。

在此，我还要感谢在一起愉快的度过大学生活的同学和舍友，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成。

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