２０１１年第１１期 数学数学 ｉｉ一３ ２０１０年江苏高考数学压轴题留出的思维空间 ２２６５００江苏省如皋市教师进修学校徐道 ２０１０年江苏高考数学试卷最后一题是： 已知△ＡＢＣ的三边长为有理数： （１）求证ＣＯＳ Ａ是有理数； （２）对任意正整数礼，求证ＣＯＳ ｎＡ也是有理 数． 这无疑是一道不落俗套、富有创意、难易适 宜、且有利于高校选拔理科人材的好题．笔者 同时认为，这道题留给从事中学数学教学的教师 （尤其是高三数学教师）的思维空间也相当大，从 中可引出一些相当有趣的问题． 这道题的第（２）题实质就是要考生证明如下 结论： 结论１若 是三角形的一个内角，且ＣＯＳ Ａ 是有理数，则对任意正整数ｎ，ｃｏｓ ｎＡ都是有理 数． 注：本文中， 均表示三角形的一个内角． 由此结论自然可以引出如下问题： 问题１ ｓｉｎ Ａ可为有理数吗？对任意正整 数佗，ｓｉｎ ｎＡ都是有理数吗？ 显然，Ａ＝９０。时，ｓｉｎ Ａ＝１，是有理数；也 很容易得到：对任意正整数礼，ｓｉｎ ｎＡ也是有理 数． 如果 ≠９０。，问题１的结论又是什么呢？ 取Ａ＝３０。，ｓｉｎ Ａ＝言，故Ａ≠９０。时，ｓｉｎ 也可能为有理数．但当Ａ＝３０。时，ｓｉｎ２Ａ＝ Ｖ，不是有理数．于是我们得，ｓｉｎ 为有理数 时，ｓｉｎ２Ａ可以不是有理数． 问题２由问题ｌ的讨论知，若ｓｉｎＡ为有理 数，对任意正整数ｎ，ｓｉｎ ｎＡ有可能不是有理数， 能否添上新的条件，使ｓｉｎ ｎＡ一定是有理数呢？ 同样，若ｓｉｎ Ａ为有理数，对任意正整数佗，ＣＯＳ ｎＡ 有可能不是有理数，能否添上新的条件，使 ｃｏｓ ｎＡ一定是有理数呢？ 通过探索，有如下 结论２若ｓｉｎＡ为有理数，则ｎ取正奇数时 ｓｉｎ ｎＡ必是有理数；ｎ取正偶数时ＣＯＳ ｎＡ必是有 理数． 证明：ｎ＝１时，结论显然成立。 ｎ＝２时，ｃｏｓ ２Ａ：１—２ ｓｉｎ Ａ为有理数， 结论成立． ｎ＝３时， ｓｉｎ３Ａ＝ｓｉｎ２ＡＣＯＳＡ—Ｌ ＣＯＳ２Ａ ｓｉｎＡ ＝２ ｓｉｎＡＣＯＳ Ａ ＣＯＳ２Ａ ｓｉｎＡ ＝２ ｓｉｎＡ（１一ｓｉｎ Ａ１＋ＣＯＳ ２Ａ ｓｉｎＡ ＝２ ｓｉｎＡ一２ ｓｉｎ０ Ａ＋ＣＯＳ２Ａ ｓｉｎＡ． 由于ｓｉｎＡ、ＣＯＳ２Ａ都是有理数，故得ｓｉｎ３Ａ 也为有理数．已证ｎ＝３时结论也对． ｎ＝４时，ＣＯＳ ４Ａ＝２ ＣＯＳ ２Ａ一１．又已证 ＣＯＳ ２Ａ是有理数，故ＣＯＳ ４Ａ也是有理数，结论亦 正确． 假设ｎ＝ｋ一３、ｋ一２、ｋ一１、ｋ时结论都 成立，下面证ｎ＝ｋ＋１、ｋ＋２时结论也成立． 分两种情形考虑： １。设ｋ为偶数，则 ＋１为奇数， ＋２为偶数． ｓｉｎ（ｋ＋１）Ａ＝ｓｉｎ（ｋ一１）ＡＣＯＳ ２Ａ＋ｃｏｓ（ｋ一 １）Ａ ｓｉｎ２Ａ＝ｓｉｎ（ｋ一１）ＡＣＯＳ ２Ａ＋妄［ｓｉｎ（ｋ＋ １）Ａ—ｓｉｎ（ｋ一３） ， ‘．．ｓｉｎ（ｋ＋１）Ａ：２ ｓｉｎ（ｋ一１）ＡＣＯＳ ２Ａ— ｓｉｎ（ｋ——３）Ａ． 因为ｋ一３、ｋ一１都是奇数，所以由假设 知ｓｉｎ（ｋ一３）Ａ、ｓｉｎ（ｋ一１）Ａ都是有理数，又知 ＣＯＳ ２Ａ是有理数，故得ｓｉｎ（ｋ＋１）Ａ也为有理数． 又有ｃｏｓ（ｋ＋２）Ａ＝２ＣＯＳｋＡＣＯＳ２Ａ—ｃｏｓ（ｋ ——２）Ａ． 而由假设ＣＯＳ ｋＡ、ｃｏｓ（ｋ一２）Ａ都是有理数， ＣＯＳ ２Ａ也是有理数，所以有ｃｏｓ（ｋ＋２）Ａ也是有 理数． ２。ｋ为奇数，仿１。可证，ｃｏｓ（ｋ＋１）Ａ为有理 数，ｓｉｎ（ｋ＋２）Ａ也为有理数． 数学教学 由结论３很自然会产生 ２０１１年第１１期 至此已证ｎ＝ ＋１，ｋ＋２时结论也成立． 由数学归纳法原理，ｎ取任何正整数时，结 论均成立． 问题４何时ｓｉｎＡ与ＣＯＳＡ同为有理数？ 假设ｓｉｎ Ａ与ＣＯＳ Ａ都是有理数，则可设ｓｉｎ Ａ 有了结论２，并没有解决问题２．为了解决问 题２，可先解决下列简单的问题： ＝ （Ｙ、 ∈Ｎ ），ＣＯＳ Ａ： （ ∈ｚ）． 由 ｓｉｎ Ａ＋ＣＯＳ Ａ：１可得Ｘ ＋Ｙ ＝ｒ ，因此 问题３若ｓｉｎ Ａ为有理数，具备什么条件可 使ｓｉｎ ２Ａ也是有理数？ 由ｓｉｎ２Ａ＝２ ｓｉｎＡｃｏｓＡ可知，在ｓｉｎ 是不 为０的有理数的前提条件下，ｓｉｎ ２Ａ为有理数的 充要条件是ＣＯＳ Ａ也是有理数． 而由结论２，若ｓｉｎ Ａ为有理数，无论ｃ０ｓ 是 得（Ｘ，Ｙ，ｒ）是一组勾股数．特别地，（０，１，１）是一 组勾股数． 反之，若 、Ｙ、ｒ是一组勾股数，ｓｉｎＡ＝ ， 则ＣＯＳ Ａ必为有理数． 再依据结论３，有 结论４设ｓｉｎ Ａ＝ 是有理数，则ｎ取任何 否为有理数，ｓｉｎ３ 为有理数．现在我们来看在 正整数时ｓｉｎｎＡ都是有理数的充要条件是 ｓｉｎ 为不是０的有理数的前提条件下，具备什么 （ ，Ｙ，ｒ）是一组勾股数，旦ｒ是Ｉｘｌ、Ｙ、ｒ中最大的． 条件ｓｉｎ４Ａ为有理数？ 由ｓｉｎ４ ：ｓｉｎ３ ＣＯＳＡ＋ｃｏｓ３Ａ ｓｉｎＡ可得 ｓｉｎＡ、ＣＯＳＡ都是有理数￣－，ｊ＂ｓｉｎ４Ａ有理数，理 由如下： 由ｓｉｎ 是有理数及结论２可得ｓｉｎ３ 是有 问题５若ｓｉｎＡ＝ 是有理数，但（ ，Ｙ，ｒ） 不是一组勾股数，易证ｓｉｎ２Ａ一定不是有理数， 而是无理数．但能不能说， 取任何正偶数时 ｓｉｎｎ 必为无理数？ ， 不能说・举反例如下：当Ａ＝３０。时，ｓｉｎＡ＝ 理数，由ｃｏｓＡ是有理数及结论１可￣ｔ￥ｃｏｓ３ 也 言，但ｓｉｎ６Ａ：￣是有理数，故得ｓｉｎ４Ａ￣，为有理数． 可得ｎ为正偶数时，ｓｉｎ ｎＡ必是有理数． 再依据结论２，有 Ｎ数，而是有理数０． Ｉ＇Ｕｕ￣６若ｓｉｎ ＝望是有理数，但（ ， ，ｒ） ｓｉｎ ｎＡ一定是无理数呢？ 读者如果感兴趣，还可提出另外一些问题， 更一般地可得，若ｓｉｎＡ、ｃｏｓ Ａ都是有理数， 不是一组勾股数，礼取啷些正整数时，能保证 结论３若ｓｉｎ Ａ、ＣＯＳ Ａ都是有理数，则ｎ取 任何正整数时，ｓｉｎ ｎＡ也都是有理数． 这些问题如此诱人，值得我们去研究，去探索．结 果固然重要，但其过程一定也相当精彩． （上接第ｌ１～３６页） 断等，不但实现了代数与几何的交融，体现了向 量知识的工具性作用，还改变了原有问题的过渡 （Ⅱ）证明：点Ｒ恒在ｚ轴的上方； （Ⅲ）（ｉ）过点Ｒ作直线Ｒ 上Ｘ轴，设垂足为 ，求梯形ＰＱＲＴ面积的最小值； 不自然的情况． 存在问题： （１）第－－ｄ，题中四点共圆的知识在初高中中 都较少涉及； （２）第三小题作为压轴题的压轴小题，应起 到应有的压轴作用，似乎难度稍有不足． （ｉｉ）试讨论△ＪＦ） 兄的形状（钝角三角形、直 角三角形、锐角三角形）． 设计意图： （１）通过改变第－－＝ｄ，题（ｉ）的设问，把设问改 为求梯形ＰＱＲＴ面积的最小值，避免了四点共 圆问题的争议，同时也增加了对基本不等式这一 ６．第五稿 知识点的考查； 题 晡口 口 酌 ，、 ｅ＝＝： 一ｅ＿。 Ｔ栅 ）＝（２）通过对第三小题（ｉｉ）的讨论，使问题更具 有 动直线ｍ与函数ｆ（ｘ）的图像相切于 点Ｐ（ｔ，，（ ）），直线ｎ与函数ｇ（ ）的图像相切于 点Ｑ（ｔ，９（ｔ）），设直线ｍ、礼相交于点Ｒ． （Ｉ）用ｔ表示直线ＲＰ、ＲＱ的斜率； 度、难度． 上述所给出的题目是在命制该试题的过程 中较为典型的几稿，当然，其中还有许多细微的 调整，这里不再赘述．