材料力学答案单辉祖版全部答案汇编

第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能

2-1 试画图示各杆的轴力图。

题2-1图

解：各杆的轴力图如图2-1所示。

图2-1

2-2

试画图示各杆的轴力图，并指出轴力的最大值。图a与b所示分布载荷

均沿杆轴均匀分布，集度为q。 更多精品文档

题2-2图

(a)解：由图2-2a(1)可知，

FN(x)2qaqx

轴力图如图2-2a(2)所示，

FN,max2qa

图2-2a

(b)解：由图2-2b(2)可知， FRqa

FN(x1)FRqa

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FN(x2)FRq(x2a)2qaqx2

轴力图如图2-2b(2)所示，

FN,maxqa

图2-2b

2-3 图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A=500mm2

，载荷F=50kN。试求图

示斜截面m-m上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。

题2-3图

解：该拉杆横截面上的正应力为

σFA50103N50010－6m21.00108Pa100MPa 斜截面m-m的方位角α50，故有

σσcos2α100MPacos2(50)41.3MPa

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τσα2sin2α50MPasin(100)49.2MPa

杆内的最大正应力与最大切应力分别为

σmaxσ100MPa

τmaxσ250MPa 2-5 某材料的应力-应变曲线如图所示，图中还同时画出了低应变区的详图。

试确定材料的弹性模量E、比例极限p、屈服极限s、强度极限b与伸长率，并判断该材料属于何种类型（塑性或脆性材料）。

题2-5

解：由题图可以近似确定所求各量。

EΔσ220106PaΔε0.001220109Pa220GPa

学习-----好资料 σp220MPa, σs240MPa

σb440MPa, δ29.7%

该材料属于塑性材料。

2-7 一圆截面杆，材料的应力-应变曲线如题2-6图所示。若杆径d =10mm，

杆长 l =200mm，杆端承受轴向拉力F = 20kN作用，试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形。

题2-6图

σFA420103解：Nπ0.0102m22.55108Pa255MPa 查上述σε曲线，知此时的轴向应变为 ε0.00390.39% 轴向变形为

Δllε(0.200m)0.00397.8104m0.78mm

拉力卸去后，有

εe0.00364， εp0.00026

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故残留轴向变形为

Δllεp(0.200m)0.000265.2105m0.052mm

2-9 图示含圆孔板件，承受轴向载荷F作用。已知载荷F =32kN，板宽b

=100mm，板厚15mm，孔径d =20mm。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。

题2-9图

解：根据

d/b0.020m/(0.100m)0.2

查应力集中因数曲线,得

K2.42

根据

σFσnd)δ， Kmax(bσ

n得

σKF(bd)δ2.4232103NmaxKσn(0.100－0.020)0.015m2＝6.45107Pa64.5MPa 2-10 图示板件，承受轴向载荷F作用。已知载荷F=36kN，板宽b1

=90mm，

b2=60mm，板厚=10mm，孔径d =10mm，圆角半径R =12mm。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。

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题2-10图

解：1.在圆孔处 根据

db0.010m0.090m0.1111 1查圆孔应力集中因数曲线，得 K12.6

故有

σK1F2.636103N8maxK1σn1(b(0.090－0.010)0.010m21.1710Pa117MPa1－d)δ2．在圆角处

根据

Db10db.090m1.5 20.060mRdRb0.012m0.2 20.060m查圆角应力集中因数曲线，得 K21.74

故有

σKF1.7436103NmaxK2σn221.04108b2Pa104MPa 2δ0.0600.010m更多精品文档

3. 结论

σmax117MPa（在圆孔边缘处）

2-14

图示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆的横截面面积均为A，许用

应力均为[]，试确定载荷F的许用值[F]。

题2-14图

解：先后以节点C与B为研究对象，求得各杆的轴力分别为

FN12F

FN2FN3F

根据强度条件，要求 2FA[] 由此得

[F][]A2 2-15 图示桁架，承受载荷F作用，已知杆的许用应力为[]。若在节点B

和C的位置保持不变的条件下，试确定使结构重量最轻的值（即确定节点A的最佳

学习-----好资料 位置）。

题2-15图

解：1.求各杆轴力

设杆AB和BC的轴力分别为FN1和FN2，由节点B的平衡条件求得

FN1Fsinα， FN2Fctanα 2.求重量最轻的值

由强度条件得

A1F[σ]sin， AF2[σ]ctanα

结构的总体积为

VA1l1A2l2F[σ]sinαlcosαFl[σ]ctanαFl[σ](2sin2αctanα)由

dVdα0 得

3cos2α10

由此得使结构体积最小或重量最轻的α值为 更多精品文档

αopt5444

2-16 图示桁架，承受载荷F作用，已知杆的许用应力为[]。若节点A和

C间的指定距离为 l，为使结构重量最轻，试确定的最佳值。

题2-16图

解：1.求各杆轴力

由于结构及受载左右对称，故有

FN1FFN22sinθ 2.求的最佳值 由强度条件可得

A1A2F2[σ]sinθ

结构总体积为

V2AlFl1l1F[σ]sinθ2cosθ[σ]sin2θ 由

dVdθ0 得

cos2θ0

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由此得的最佳值为

θopt45

2-17图示杆件，承受轴向载荷F作用。已知许用应力[]＝120MPa，许用切

应力[]＝90MPa，许用挤压应力[bs]＝240MPa，试从强度方面考虑，建立杆径d、墩头直径D及其高度h间的合理比值。

题2-17图

解：根据杆件拉伸、挤压与剪切强度，得载荷F的许用值分别为 F]πd2[t4[]

[F]π(D2d2)b4[bs]

[F]sπdh[]

理想的情况下，

[F]t[F]b[F]s

在上述条件下，由式（a）与（c）以及式（a）与（b），分别得

h[]4[]d 更多精品文档

D1[][]d bs于是得 D:h:d1[][[]:][]:1 bs4由此得

D:h:d1.225:0.333:1

2-18 图示摇臂，承受载荷F1

与F2

作用。已知载荷F1

=50kN，F2

=35.4kN，

许用切应力[]=100MPa，许用挤压应力[bs]=240MPa。试确定轴销B的直径d。

(a)

(b)

题2-18图

解：1. 求轴销处的支反力 (c)

由平衡方程Fx0与Fy0，分别得

FBxF1F2cos4525kN

FByF2sin4525kN

由此得轴销处的总支反力为

F2B25252kN35.4kN

2.确定轴销的直径

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由轴销的剪切强度条件（这里是双面剪） τFsA2FBπd2[τ]

得

d2FB235.4103[τ]100106m0.015m 由轴销的挤压强度条件

σbsFbdFBd[σbs] 得

dFBδ[σ35.41030.010240106m0.01475m

bs]结论：取轴销直径d0.015m15mm。

2-19图示木榫接头，承受轴向载荷F = 50 kN作用，试求接头的剪切与挤压

应力。

题2-19图

解：剪应力与挤压应力分别为

50103N(0.100m)(0.100m)5 MPa

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50103Nbs(0.040m)(0.100m)12.5 MPa

2-20图示铆接接头，铆钉与板件的材料相同，许用应力[] =160MPa，许

用切应力[] = 120 MPa，许用挤压应力[bs ] = 340 MPa，载荷F = 230 kN。试校核接头的强度。

题2-20图

解：最大拉应力为

230103Nmax(0.1700.020)(0.010)(m2)153.3 MPa

最大挤压与剪切应力则分别为

230103Nbs5(0.020m)(0.010m)230 MPa

4230103N5π(0.020m)2146.4 MPa

2-21 图示两根矩形截面木杆，用两块钢板连接在一起，承受轴向载荷F =

45kN作用。已知木杆的截面宽度b =250mm，沿木纹方向的许用拉应力[]=6MPa，许用挤压应力[bs]=10MPa，许用切应力[]=1MPa。试确定钢板的尺寸与l以及木

学习-----好资料 杆的高度h。

题2-21图

解：由拉伸强度条件 σFb(h2δ)[σ]

得

h2δF45103b[σ]0.2506106m0.030m

由挤压强度条件 σbsF2bδ[σbs] 得

δF2b[σ451030.25010106m0.009m9mmbs]2由剪切强度条件 τF2bl[τ] 得

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3lF2b[]451020.2501106m0.090m90mm 取δ0.009m代入式（a），得 h(0.03020.009)m0.048m48mm 结论：取

δ9mm，l90mm，h48mm。

2-22 图示接头，承受轴向载荷F作用。已知铆钉直径d=20mm，许用应力

[]=160MPa，许用切应力[]=120MPa，许用挤压应力[bs]=340MPa。板件与铆钉

的材料相同。试计算接头的许用载荷。

a）

题2-22图

解：1.考虑板件的拉伸强度 由图2-22所示之轴力图可知，

FN1F， FN23F/4 b）

σ1FN1FA(bd)δ[σ] 1

F(bd)δ[σ](0.200-0.020)0.015160106N4.32105N432kN

σ2FN2A3F4(b2d)δ[σ] 2（ （学习-----好资料

F4(b2d)δ[σ]4(0.2000.040)0.015160106N5.1210533N512kN

图2-22

2.考虑铆钉的剪切强度 FsF8 τFs4FA8πd2[τ]

F2πd2[τ]2π0.0202120106N3.02105N302kN

3．考虑铆钉的挤压强度

FFb

4F

bsb dF4 d[bs]

F4d[σbs]40.0150.020340106N4.08105N408kN

结论：比较以上四个F值，得

[F]302kN

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2-23 图a所示钢带AB，用三个直径与材料均相同的铆钉与接头相连接，

钢带承受轴向载荷F作用。已知载荷F=6kN，带宽b=40mm，带厚=2mm，铆钉直

径d=8mm，孔的边距a=20mm，钢带材料的许用切应力[]=100MPa，许用挤压应力[bs]=300MPa，许用拉应力 []=160MPa。试校核钢带的强度。

题2-23图

解：1．钢带受力分析

分析表明，当各铆钉的材料与直径均相同，且外力作用线在铆钉群剪切面上的投影， 通过该面的形心时，通常即认为各铆钉剪切面的剪力相同。

铆钉孔所受挤压力Fb等于铆钉剪切面上的剪力，因此，各铆钉孔边所受的挤压力Fb相同，钢带的受力如图b所示，挤压力则为

FF63103Nb32.0103N

孔表面的最大挤压应力为

Fbsbd2.0103N(0.002m)(0.008m)1.25108Pa125MPa[bs] 在挤压力作用下，钢带左段虚线所示纵截面受剪（图b），切应力为 3

Fb2a2.010N2(0.002m)(0.020m)2.5107Pa25MPa[]

钢带的轴力图如图c所示。由图b与c可以看出，截面1-1削弱最严重，而截面

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2-2的轴力最大，因此，应对此二截面进行拉伸强度校核。

截面1-1与2-2的正应力分别为

FN1A2F2(6103N)10.040m20.008m)(0.002m)83.3MPa

13(b2d)3( FN2FAd)6103N2(0.040m0.008m)(0.002m)93.8MPa

2(b

第三章 轴向拉压变形

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3-2 一外径D=60mm、内径d=20mm的空心圆截面杆，杆长l = 400mm，两

端承受轴向拉力F = 200kN作用。若弹性模量E = 80GPa，泊松比=0.30。试计算该杆外径的改变量D及体积改变量V。

解：1. 计算D 由于 εFEA， εΔDDFEA 故有

ΔDεDFD4FD40.302001030.060

EAEπ(D2d2)80109π(0.06020.0202）m

1.79105m0.0179mm2.计算V

变形后该杆的体积为 VlA(ll)π4[(DεD)2(dεd)2]Al(1ε)(1ε)2V(1ε2ε)

故有 ΔVVVV(ε2ε)Fl2001030.

E(12μ)400380109m(120.3) 4.00107m3400mm33-4 图示螺栓，拧紧时产生l=0.10mm的轴向变形。已知：d1

= 8.0mm，d2

= 6.8mm，d3 = 7.0mm；l1=6.0mm，l2=29mm，l3=8mm；E = 210GPa，[]=500MPa。试求预紧力F，并校核螺栓的强度。

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题3-4图

解：1.求预紧力F 各段轴力数值上均等于F，因此， ΔlFlll4Fl1llE(1A2A3)(22232)

12A3πEd1d2d3由此得

πEΔlπ2101090.10103FN1.865104N4(l1l2l0.0060.0290.00818.65kNd2232)4()1d2d30.00820.006820.00722.校核螺栓的强度

σF4F418.6510A3Nmaxd2225.14108Pa514MPa minπ2π0.0068m此值虽然超过[σ]，但超过的百分数仅为2.6％，在5％以内，故仍符合强度要求。3-5 图示桁架，在节点A处承受载荷F作用。从试验中测得杆1与杆2的纵

向正应变分别为ε1= 4.0×10-4与

ε2= 2.0×10-4。已知杆1与杆2的横截面面积A1=A2=200mm2，弹性模量E1= E2=200GPa。试确定载荷F及其方位角之值。 更多精品文档

题3-5图

解：1.求各杆轴力 F4N1E1ε1A12001094.0104200106N1.610N16kN

FN2E2ε2A92200102.0104200106N8103N8kN

2.确定F及θ之值

由节点A的平衡方程Fx0和Fy0得

FN2sin30FsinθFN1sin300

FN1cos30FN2cos30Fcosθ0

化简后，成为

FN1FN22Fsinθ

及

3(FN1FN2)2Fcosθ

联立求解方程(a)与(b)，得

学习-----好资料 FN1FN2(168)103tanθ3(FF8)1030.1925 N1N2)3(16由此得 θ10.8910.9

FFN1FN22sinθ(168)1032sin10.89N2.12104N21.2kN

3-6

图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。已知板的厚度为，长度为l，

左、右端的宽度分别为b1与b2，弹性模量为E。试计算板的轴向变形。

题3-6图

解：对于常轴力变截面的拉压平板，其轴向变形的一般公式为

ΔllF0EA(x)dxlF0Eb(x)dx

由图可知，若自左向右取坐标x，则该截面的宽度为

b(x)bbb121lx

代入式(a)，于是得

ΔlFlE10dxFllnb2 δbb2b1xEδ(b2b1)b11l3-7 图示杆件，长为l，横截面面积为A，材料密度为，弹性模量为E，试

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求自重下杆端截面B的位移。

题3-7图

解：自截面B向上取坐标y，y处的轴力为

FNgAy

该处微段dy的轴向变形为

dΔgAyyEAdygyEdy

于是得截面B的位移为 (a)

Δ lgl2CygE 0ydy2E ()

3-8 图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷F，并由作用于地桩的摩

擦力所支持。设沿地桩单位长度的摩擦力为f，且f = ky2，式中，k为常数。已知地桩的横截面面积为A，弹性模量为E，埋入土中的长度为l。试求地桩的缩短量。

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题3-8图

解：1. 轴力分析 摩擦力的合力为

Ffdy lky2kl3y l 0dy3 根据地桩的轴向平衡，

kl33F 由此得

k3Fl3 截面y处的轴力为

3F yfdy y 0ky2dykyN 032. 地桩缩短量计算

截面y处微段dy的缩短量为 dδFNdyEA 更多精品文档

积分得

δ lFNdyk l3kl4 0EA3EA 0ydy12EA 将式(a)代入上式，于是得

δFl4EA 3-9 图示刚性横梁AB，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚

度（即产生单位轴向变形所需之力）为k，试求当载荷F作用时端点B的铅垂位移。

题3-9图

解：载荷F作用后，刚性梁AB倾斜如图(见图3-9)。设钢丝绳中的轴力为FN，其总伸长为Δl。

a）

图3-9

以刚性梁为研究对象，由平衡方程MA0得

FNaFN(ab)F(2ab)

由此得

（ 学习-----好资料

FNF 由图3-9可以看出， y (2ab)

ΔlΔy1Δy2a(ab)(2ab)

可见，

ΔyΔl

根据k的定义，有 FNkΔlkΔy

于是得

ΔyFNkFk

3-10 图示各桁架，各杆各截面的拉压刚度均为EA，试计算节点A的水平

与铅垂位移。

题3-10图

（a）解：

利用截面法，求得各杆的轴力分别为 更多精品文档

FN1FN2F （拉力） FN42F （压力）

FN30

于是得各杆的变形分别为

lFl1l2EA (伸长)

l2F2l4EA＝2FlEA (伸长)

l30

如图3－10(1)所示，根据变形l1与l4确定节点B的新位置B’,然后，过该点作

长为l+l2的垂线，并过其下端点作水平直线，与过A点的铅垂线相交于A’,此即结构变形后节点A的新位置。

于是可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为

ΔAx0

ΔAyl12l4l2FlEA22FlEAFlEA212FlEA (b) 学习-----好资料

图3-10

（b）解：显然，杆1与杆2的轴力分别为

FN1F （拉力） FN20

于是由图3－10(2)可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为

ΔlFlAx1EA ΔlFlAy1EA 3-11 图示桁架ABC，在节点B承受集中载荷F作用。杆1与杆2的弹性模

量均为E，横截面面积分别为A1=320mm2与A2 =2 580mm2。试问在节点B和C的位置保持不变的条件下，为使节点B的铅垂位移最小，应取何值（即确定节点A的最佳位置）。

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题3-11图

解：1.求各杆轴力

由图3-11a得

FN1Fsinθ， FN2Fctanθ 图3-11

2.求变形和位移

由图3-11b得 ΔlF1N1l1EA2Fl2， ΔlFlFlctanθ2＝N2221EA1sin2θEA2EA2

学习-----好资料 及

ΔΔl1sinθΔl2tanθFl2E(2Actan2θByA)

1sin2θsinθ23.求θ的最佳值 由dΔBy/dθ0，得 2(2cos2θsinθcosθsin2θ)A22θ2ctanθcsc2θ0 1sin2θsinA2由此得

2A31cosθA2(13cos2θ)0

将A1与A2的已知数据代入并化简，得

cos3θ12.09375cos2θ4.031250

解此三次方程，舍去增根，得

cosθ0.564967 由此得θ的最佳值为

θopt55.6

3-12 图示桁架，承受载荷F作用。设各杆的长度为l，横截面面积均为A，

材料的应力应变关系为n=B，其中n与B为由试验测定的已知常数。试求节点C的铅垂位移。

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题3-12图

解：两杆的轴力均为

FFN2cos 轴向变形则均为 nn

llBlFl2AcosB 于是得节点C的铅垂位移为

ΔlFnlCycos2nAnBcosn1 3-13 图示结构，梁BD为刚体，杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均

相同。在梁的中点C承受集中载荷F作用。已知载荷F = 20kN，各杆的横截面面积均为A=100mm2，弹性模量E = 200GPa，梁长l = 1 000mm。试计算该点的水平与铅垂位移。

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题3-13图

解：1.求各杆轴力 由Fx0，得

FN20

由Fy0，得

FFN1FN3210kN 2．求各杆变形

Δl20

ΔlF1N1lEA101031.000200109100106m5.010-4m0.50mmΔl33．求中点C的位移 由图3-13易知，

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图3-13

ΔxΔl10.50mm()， ΔyΔl10.50mm()

3-14 图a所示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，

试求节点B与C间的相对位移B/C。

题3-14图

解：1. 内力与变形分析

利用截面法，求得各杆的轴力分别为

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FN1FN2FN3FN4F2 （拉力） FN5F （压力） 于是得各杆得变形分别为

l1l2l3lFl42EA (伸长) lF2l5EA2FlEA (缩短) 2. 位移分析

如图b所示，过d与g分别作杆2与杆3的平行线，并分别与节点C的铅垂线相交于e与h，然后，在de与gh延长线取线段l3与l2，并在其端点m与n分别作垂线，得交点C’，即为节点C的新位置。

可以看出，

Δ2CiiC'2lB/C52l2FlFl22Fl32222EA2EAEA 3-15 如图所示桁架，设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法求载

荷作用点沿载荷作用方向的位移。

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题3-15图

(a)解：各杆编号示如图3-15a，各杆轴力依次为

F2N12F， F21N22F， FN32F 该桁架的应变能为

3

VF2Nil112212F2l221εi(Fli12EA2EA2224Fl)2EA(4)

图3-15

依据能量守恒定律， FΔ2Vε 最后得

Δ2F2Fl2EA(221(221)Fl4)4EA () (b)解：各杆编号示如图b 列表计算如下：

i FNi li F2Nili 1 F l F2l 2 0 l 0

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3 F l F2l 4 F l F2l 5 2F 2l 22F2l  (322)F2l 于是，

5

VF2εNili(322)F2li12EA2EA

依据能量守恒定律， FΔ2Vε 可得

Δ(322)FlEA ()

3-16 图示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试

用能量法求节点B与C间的相对位移B/C。

题3-16图

解：依据题意，列表计算如下： 更多精品文档

i FNi li F2Nili 1 2F/2 l F2l/2 2 2F/2 l F2l/2 3 2F/2 l F2l/2 4 2F/2 l F2l/2 5 F 2l 2F2l  (22)F2l

由表中结果可得

5

VF2εNili(22)F2li12EA2EA

依据 WV

得

Δ(22)FlB/CEA ()

3-17 图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。已知板的厚度为，长度为l，

左、右端的宽度分别为b1与b2，弹性模量为E，试用能量法计算板的轴向变形。

题3-17图

解：对于变截面拉压板件，应变能的表达式为

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VlF2

NlF2N02EA(x)dx02Eb(x)dx

由图可知，若自左向右取坐标x，则该截面的宽度为

b(x)b1b2b1lx 将上式代入式（a）,并考虑到FNF,于是得

V l1F2b 02EδbbdxF2lε2Eδ(ln2

b21b2b1)b11lx设板的轴向变形为l，则根据能量守恒定律可知，

FΔl2Vε 或 FΔl2F2lb2Eδ(bln2 2b1)b1由此得

ΔlFlbEδ(bln2

2b1)b13-19 图示各杆，承受集中载荷F或均布载荷q作用。各杆各截面的的拉压

刚度均为EA，试求支反力与最大轴力。

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(a)

题3-19图 (a)解：杆的受力如图3-19a(1)所示，平衡方程为

Fx0, FFFAxFBx0

一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。

图3-19a

AC，CD与DB段的轴力分别为 FN1FAx, FN2FAxF, FN3FAx2F

由于杆的总长不变，故补充方程为

lFAxaFAxFaFAx2FaEAEAEA0 得

FAxF0

学习-----好资料 由此得

FAxF

FBx2FFAxF

杆的轴力图如3-19a(2)所示，最大轴力为

FN,maxF

(b)解：杆的受力如图3-19b(1)所示，平衡方程为

Fx0, qaFAxFBx0

一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。

图3-19b

AC与CB段的轴力分别为 FN1FAx, FN2FAxqx

由于杆的总长不变，故补充方程为

lFAxa1aEAEA0FAxqxdx0 得

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1EA2Fqa2Axa20 由此得

FqaAx4 F3qaBxqaFAx4 杆的轴力图如3-19b(2)所示，最大轴力为

F3qaNmax4 3-20图示结构，杆1与杆2的横截面面积相同，弹性模量均为E，梁BC为

刚体，载荷F=20kN，许用拉应力[t]=160MPa, 许用压应力[c]=110MPa，试确定各杆的横截面面积。

题3-20图

解：容易看出，在载荷F作用下，杆2伸长，杆1缩短，且轴向变形相同，故FN2为拉力，

FN1为压力，且大小相同，即

FN2FN1

以刚性梁BC为研究对象，铰支点为矩心，由平衡方程

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M0, FN2aFN1aF2a0

由上述二方程，解得

设FN,AB以压为正，其余各段轴力以拉力为正。先取杆AB为研究对象，由

Fy0，得

FN2FN1F

FN,BCFN,ABF

(

根据强度条件，

3A1FN1[2010N1.818104m2c]110106Pa AF2N2[20103N1t]160106Pa.25104m2 取

A1A2182mm2

3-21 图示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度相同，试

求各杆轴力。

题3-21图

(a)解：此为一度静不定桁架。 更多精品文档

后取节点A为研究对象，由Fx0和Fy0依次得到 FN,ADFN,AG

及

2FN,ADcos45FN,AB

在节点A处有变形协调关系（节点A铅垂向下）

ΔllBCΔlABΔADcos452ΔlAD 物理关系为

ΔlN,BClN,ABlFN,AD2lBCFEA， ΔlABFEA， ΔlADEAΔlAG

将式(e)代入式(d)，化简后得

FN,BCFN,AB2FN,AD

联解方程(a)， (c)和(d)，得

FN,BC22F（拉）， F2221N,AB2F（压）， FN,ADFN,AG2F（拉）

(b)解：此为一度静不定问题。

考虑小轮A的平衡，由Fy0，得

(

(

(

(

(学习-----好资料 FN1sin45F0

由此得

FN12F

在F作用下，小轮A沿刚性墙面向下有一微小位移，在小变形条件下，Δl20，

故有

FN20

FN1的水平分量由刚性墙面提供的约束反力来平衡。

3-22 图示桁架，杆1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成，许用应力分

别为[1]=40MPa，[2]=60MPa，[3]=120MPa，弹性模量分别为E1=160GPa，E2=100GPa，E3=200GPa。若载荷F=160kN，A1= A2= 2A3，试确定各杆的横截面面积。

题3-22图

解：此为一度静不定结构。节点C处的受力图和变形图分别示如图3-22a和b。

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图3-22

由图a可得平衡方程

F3x0，FN12FN2 F1y0， 2FN2FN3F 由图b得变形协调方程为 Δl1ctan30Δl2sin30Δl3 根据胡克定律，有 Δl1FN1l1FN1l1， ΔlFlFlFlFl2N22N21， Δl3N33AN31E112E1A3E2A23E2A3E3A33E3A3将式(d)代入式(c)，化简后得补充方程为 15FN132FN28FN3

联解方程(a)，(b)和(c’)，并代入数据，得

FN122.6kN(压)， FN226.1kN（拉）， FN3146.9kN（拉） 根据强度要求，计算各杆横截面面积如下：

AFN122.6103[σ]40106m215.65104m2565mm2 1(

(

(

(( 学习-----好资料

AFN226.110324222[σ106m4.3510m435mm

2]60

AFN3146[σ.910310m231.224103m21224mm26 3]120根据题意要求，最后取

A1A22A32450mm2

3-23图a所示支架，由刚体ABC并经由铰链A、杆1与杆2固定在墙上，

刚体在C点处承受铅垂载荷F作用。杆1与杆2的长度、横截面面积与弹性模量均相

同，分别为l=100 mm，A=100 mm2，E=200 GPa。设由千分表测得C点的铅垂位移ymm，试确定载荷F与各杆轴力。

题3-23图

解：1. 求解静不定

在载荷F作用下，刚体ABC将绕节点A沿顺时针方向作微小转动，刚体的位移、杆件的变形与受力如图b所示。显然，本问题具有一度静不定。

由平衡方程MA0，得 更多精品文档

FFN1N22F0 由变形图中可以看出，变形协调条件为

l12l2

根据胡克定律，

ΔlF1N1lEA, ΔlFl2N2EA 将上述关系式代入式（b），得补充方程为

FN12FN2

联立求解平衡方程（a）与上述补充方程，得

F4FN15, F2FN25 2. 由位移y确定载荷F与各杆轴力

变形后，C点位移至C’(CC’AC)（图b），且直线AC与AB具有相同的角位移，因此，C点的总位移为

CC'ACABl12l1又由于 2y

由此得

l1y

将式（c）与（d）的第一式代入上式，于是得

F5EAy5(200109Pa)(100106m2)(0.075103m)4l4(100103m)1.875104N 并从而得

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FN11.5104N, FN27.5103N

3-24图示钢杆，横截面面积A=2500mm2

，弹性模量E=210GPa，轴向载荷

F=200kN。试在下列两种情况下确定杆端的支反力。

(a) 间隙=0.6 mm； (b) 间隙=0.3 mm。

题3-24图

解：当杆右端不存在约束时，在载荷F作用下，杆右端截面的轴向位移为

Fa200103N)(F(EA1.5m)(210109Pa)(2500106m2)0.57mm 当间隙=0.6 mm时，由于F，仅在杆C端存在支反力，其值则为

FCxF200 kN

当间隙=0.3 mm时，由于F，杆两端将存在支反力，杆的受力如图3-24所示。

图3-24

杆的平衡方程为 更多精品文档

FFBxFCx0

补充方程为 FaFBx2EAaEA 由此得

FFEABx

22a200103N(0.0003m)(210109Pa)(2500106m2

2)2(1.5m)47.5 kN而C端的支反力则为

FCxFFBx200 kN47.5 kN152.5 kN

3-25 图示两端固定的等截面杆AB，杆长为l。在非均匀加热的条件下，距

A端x处的温度增量为TTBx2/l2，式中的TB为杆件B端的温度增量。材料的弹性模量与线膨胀系数分别为E与l。试求杆件横截面上的应力。

题3-25图

解：1.求温度增高引起的杆件伸长

此为一度静不定问题。假如将B端约束解除掉，则在x处的杆微段dx就会因温升而有一个微伸长

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2 d(Δl)ααtlΔTdxlΔTBxl2dx

全杆伸长为 2

Δl lαlΔTαltBxlΔTB 0l2dx3 2．求约束反力

设固定端的约束反力为F，杆件因F作用而引起的缩短量为

ΔlFlFlFNEAEA 由变形协调条件 ΔlFΔlt

可得

FEAαlΔTBlEAαlΔTBl33 3．求杆件横截面上的应力

σFNFEαlΔTBAA3 3-26 图示桁架，杆BC的实际长度比设计尺寸稍短，误差为。如使杆端B

与节点G强制地连接在一起，试计算各杆的轴力。设各杆各截面的拉压刚度均为EA。更多精品文档

题3-26图

解：此为一度静不定问题。自左向右、自上向下将各杆编号1~5。由强制装配容易判断，杆1~3受拉，杆4和5受压。装配后节点G和C的受力图分别示如图3-26a和b。

图3-26

根据平衡条件，由图a可得 FN1FN2FN3

由图b可得

FN4FN5 ， FN32FN4cos303FN4

变形协调关系为(参看原题图)

ΔΔl1cos60Δl4cos30Δl3 依据胡克定律，有

(

(

(

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ΔliFNiliEA (i1~5) 将式(d)代入式(c)，得补充方程

Δ2FN1lEA2FN43l3EAFN3lEA 联立求解补充方程(e)、平衡方程(a)与(b)，最后得 F923)EAN3(23lΔ, F(332)EAN423lΔ

即 F(923)EAN,BCFN,GDFN,GE23lΔ （拉）

FN,CDFN,CE(332)EA23lΔ （压）

3-27图a所示钢螺栓，其外套一长度为l的套管。已知螺栓与套管的横截面

面积分别为Ab与At，弹性模量分别为Eb与Et，螺栓的螺距为p。现将螺母旋紧1/5圈，试求螺栓与套管所受之力。螺帽与螺母的变形忽略不计。

题3-27图

解：首先设想套管未套上，而将螺母由距螺帽l处旋转1/5圈，即旋进=p/5的距离。然后，再将套管套上。由于螺帽与螺母间的距离小于套管的长度，故套合后的螺更多精品文档

(d)

栓将受拉，而套管则受压。 设螺栓所受拉力为FNb，伸长为lb，套管所受压力为FNt，缩短为lt，则由图b与c可知，平衡方程为 (e)

FNbFNt0

而变形协调方程则为

lblt

利用胡克定律，得补充方程为

FNblFNtlA bEbAtEt最后，联立求解平衡方程（a）与补充方程（b），得螺栓与套管所受之力即预紧力为

FAN0FNbFNtbEbl1k 式中，

kAbEbA tEt3-28 图示组合杆，由直径为30mm的钢杆套以外径为50mm、内径为30mm

的铜管组成，二者由两个直径为10mm的铆钉连接在一起。铆接后，温度升高40℃，试计算铆钉剪切面上的切应力。钢与铜的弹性模量分别为Es = 200GPa与Ec=100GPa，线膨胀系数分别为ls=12.5×10-6℃-1与lc=16×10-6℃-1。

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题3-28图

解：设温度升高T时钢杆和铜管自由伸长量分别为δTs和δTc，由于二者被铆钉连在一起，变形要一致，即变形协调条件为

δTsΔlsδTcΔlc

或写成

ΔlsΔlcδTcδTs

这里，伸长量Δls和缩短量Δlc均设为正值。

引入物理关系，得

FNslEFNcl(αlcαls)lΔT sAsEcAc将静力平衡条件FNsFNcF代入上式，得

FEsAsEcAcE(αlcαls)ΔT

sAsEcAc注意到每个铆钉有两个剪切面，故其切应力为 τFSFEsAsEcAc(αlcαls)ΔTA2A2A(E sAsEcAc)由此得

2001090.0302100109(0.05020.0302)(1612.5)10640N

20.0102[2001090.0302100109(0.05020.0302)]m2 5.93107Pa59.3MPa更多精品文档

3-29

图示结构，杆1与杆2各截面的拉压刚度均为EA，梁BD为刚体，试

在下列两种情况下，画变形图，建立补充方程。

(1) 若杆2的实际尺寸比设计尺寸稍短，误差为；

(2) 若杆1的温度升高T，材料的热膨胀系数为l。

题3-29图

(1)解：如图3-29(1)a所示，当杆2未与刚性杆BD连接时，下端点位于D，即

DD。

当杆2与刚性杆BD连接后，下端点铅垂位移至D，同时，杆1的下端点则铅垂位移至C。过C作直线C’e垂直于杆1的轴线，显然CeΔl1，即代表杆1的弹性变形，同时，DDΔl2，即代表杆2的弹性变形。与上述变形相应，杆1受压，杆2受拉，刚性杆BD的受力如图3-29(1)b所示。

图3-29(1)

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可以看出，

DD2CC

即变形协调条件为

Δl222Δl1

而补充方程则为

F2l4FEA1lEA0 或

FEA24F1l0 (2)解：如图3-29(2)a所示，当杆1未与刚性杆BD连接时，由于其温度升高，

下端点位于C，即CCl2lΔT。当杆1与刚性杆BD连接后，下端点C铅垂位移至C，而杆2的下端点D则铅垂位移至D。过C作直线C’e垂直于直线CC，显然，eCΔl1即代表杆1的弹性变形，同时，DDΔl2，代表杆2的弹性变形。与上述变形相应，杆1受压，杆2受拉，刚性杆BD的受力如图3-29(2)b所示。

图3-29(2)

可以看出，

DD2CC

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故变形协调条件为

Δl222l2lΔTΔl1

而补充方程则为

F2lF1EA22l2lΔT2lEA 或

F24F14EAlΔT0

3-30 图示桁架，三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同，并分别

为A，E与[]，试确定该桁架的许用载荷[F]。为了提高许用载荷之值，现将杆3的设计长度l变为lΔ。试问当为何值时许用载荷最大，其值[F]max为何。

题3-30图

解:此为一度静不定问题。

节点C处的受力及变形示如图3-30a和b。

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图3-30

由图a得平衡方程为

FN1FN2， 2FN1cos30FN3F

由图b得变形协调条件为

Δl1Δl3cos30

依据胡克定律,有

ΔlFiNiliEA (i1,2,3) 将式(c)代入式(b)，化简后得补充方程为

F4N33FN1

将方程(b’)与方程(a)联解，得

F34N1FN2433F， FN3433FFN1 σFmaxN3A4F(433)A[σ] 由此得

F(433)[]A(433)[4, [F]]A4 更多精品文档

为了提高[F]值，可将杆3做长，由图b得变形协调条件为

Δl3ΔΔl1cos30

式中，l3与l1均为受载后的伸长，依题意，有了后，应使三根杆同时达到[σ]，即

[σ]4[σElΔ]3El 由此得

Δ(4[σ]l[σ]l (a)

31)E3E此时，各杆的强度均充分发挥出来，故有

[F]max2([]Acos30)[]A(13)[]A

(b)

第四章 扭 转

(c)

4-5 一受扭薄壁圆管，外径D = 42mm，内径d = 40mm，扭力偶矩M =

500N•m，切变模量G=75GPa。试计算圆管横截面与纵截面上的扭转切应力，并计算

b’管表面纵线的倾斜角。)

解：该薄壁圆管的平均半径和壁厚依次为

R1D22d2)20.5mm， D2d0(21mm

于是，该圆管横截面上的扭转切应力为

T2πR500N1.894108222Pa189.4MPa 02π0.02050.001m依据切应力互等定理，纵截面上的扭转切应力为 ττ189.4MPa 该圆管表面纵线的倾斜角为

(学习-----好资料

τ189.4106rad2.53103rad 可见，当R0/δ10时，按薄壁圆管的扭转切应力公式计算τ的最大误差不超过4.53％。

G751094-7 试证明，在线弹性范围内，且当R0

/≥10时，薄壁圆管的扭转切应力公

式的最大误差不超过4.53%。

解：薄壁圆管的扭转切应力公式为

τT2πR2 0δ设R0/δβ，按上述公式计算的扭转切应力为

τTT2πR223 0δ2πβδ按照一般空心圆轴考虑，轴的内、外直径分别为 d2R0δ， D2R0δ

极惯性矩为 Iπ32(D4d4)π32[(2RRδ2pπ0δ)4(2R0δ)4]02(4R0δ2) 由此得

τTT(2I(RδT1)max0)2(2R0) p2πR0(4R02)π3(421)比较式(a)与式(b)，得

τTπ3(421)τmax2π23T(21)4212(21)

当R010时，

41021210(2101)0.9548 max更多精品文档

4-8 图a所示受扭圆截面轴，材料的曲线如图b所示，并可用C1/m表示，式中的C与m为由试验测定的已知常数。试建立扭转切应力公式，并画横截

面上的切应力分布图。

题4-8图

解：所研究的轴是圆截面轴，平面假设仍然成立。据此，从几何方面可以得到

ddx 根据题设，轴横截面上距圆心为ρ处的切应力为

τd1/mρC(dx) 由静力学可知，

dAC(d1/m(m1)/mAρdx)AρdAT 取径向宽度为dρ的环形微面积作为dA，即

dA2πρdρ 将式(d)代入式(c)，得

2πC(d1/md/2(dx)0ρ2m1)/mdρT

由此得

(a)

(

(b)

(

(

(

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(ddx)1/m(3m1)T2πCm(d

(3m1)/m2)将式(e)代入式(b)，并注意到T=M ，最后得扭转切应力公式为 1/m

M2πmd (3m1)/3m1(2)m横截面上的切应力的径向分布图示如图4-8。

图4-8

4-9 在图a所示受扭圆截面轴内，用横截面ABC和DEF与径向纵截面ADFC

切出单元体ABCDEF（图b）。试绘各截面上的应力分布图，并说明该单元体是如何平衡的。

题4-9图

解：单元体ABCDEF各截面上的应力分布图如图4-9a所示。

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(e)

图4-9

根据图a，不难算出截面AOO1D上分布内力的合力为

F1d4Tlx12τmax(2l)πd2

同理，得截面OCFO1上分布内力的合力为

Fx24Tlπd2 方向示如图c。

设Fx1与Fx2作用线到x轴线的距离为ez1，容易求出

e2ddz1323

根据图b，可算出单元体右端面上水平分布内力的合力为

Fz2πd/2TIcos(π2θ)ρdρdθ8T00p3πd同理，左端面上的合力为

F8Tz13πd 方向亦示如图c。

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设Fz2作用线到水平直径DF的距离为ey（见图b），由 FTz2eyIpπcos20(π2)dd/203dT4 得

eyT3π4d8T3πd320.295d 同理，Fz1作用线到水平直径AC的距离也同此值。

根据图b，还可算出半个右端面DO1E上竖向分布内力的合力为

Fπ/2d/2Tρy3Isin(π002θ)ρdρdθ4T3πd p设Fy3作用线到竖向半径O1E的距离为ez2（见图b），由 Fy3eTπ/2z2Icos2dd/23dT p008得

eT3πd3πdz284T320.295d

同理，可算出另半个右端面O1FE以及左端面AOB、OCB上的竖向分布内力的合力为

F4Ty4Fy1Fy23πd 方向均示如图c。它们的作用线到所在面竖向半径的距离均为ez2。 更多精品文档

由图c可以看得很清楚，该单元体在四对力的作用下处于平衡状态，这四对力构

成四个力偶，显然，这是一个空间力偶系的平衡问题。

Mx0，Fy(2ez2)Fz2eyFy1(2ez2)FT4z1ey2T20

M8Tly0，Fz2lFx1(2ez1)3πd8Tl3πd0

MlF4Tl4Tlz0，Fy4y3l3πd3πd0

既然是力偶系，力的平衡方程（共三个）自然满足，这是不言而喻的。

上述讨论中，所有的T在数值上均等于M。

4-11 如图所示，圆轴AB与套管CD用刚性突缘E焊接成一体，并在截面A

承受扭力偶矩M作用。圆轴的直径d = 56mm，许用切应力[1]=80MPa，套管的外径D = 80mm，壁厚= 6mm，许用切应力[2]= 40MPa。试求扭力偶矩M的许用值。

题4-11图

解：由题图知，圆轴与套管的扭矩均等于M。

1.由圆轴AB求M的许用值

max1M116WM1[1] p1πd3由此得M的许用值为

学习-----好资料 3

[Mπd[1]π0.0563801061]1616Nm2.76103Nm2.76kNm

2．由套管CD求M的许用值

RD800262mm37mm， δ6mmR010 此管不是薄壁圆管。

80－628068800.85

Mmax22W16M2πD3(14)[2] p2由此得M的许用值为

[MπD3(14)[2]π0.0803(10.854)40106

2]1616Nm 1.922103Nm1.922kNm可见，扭力偶矩M的许用值为

[M][M2]1.922kNm

4-13 图示阶梯形轴，由AB与BC两段等截面圆轴组成，并承受集度为m

的均匀分布的扭力偶矩作用。为使轴的重量最轻，试确定AB与BC段的长度l1与l2以及直径d1与d2。已知轴总长为l，许用切应力为[]。

题4-13图

解：1.轴的强度条件 更多精品文档

在截面A处的扭矩最大，其值为

Tmax1ml

由该截面的扭转强度条件

Tmax1max1W16mlp1πd3[τ] 1得

d316ml1π[τ] BC段上的最大扭矩在截面B处，其值为

Tmax2ml2

由该截面的扭转强度条件得

d316ml22π[τ] 2．最轻重量设计 轴的总体积为 Vπ16ml4d2π2π16ml2/31(ll2)4d2l24[(π[τ])(ll2)(2π[τ])2/3l2]根据极值条件

dVdl0 2得

(16ml2/3π[])(16mπ[])2/352/33l20 由此得

(

学习-----好资料 l(325)3/2l0.465l

从而得

lll312[1(5)3/2]l0.535l

d1/331/22(16m1/3π[])l2(5)316mlπ[]0.775d1 该轴取式(a)~(d)所给尺寸，可使轴的体积最小，重量自然也最轻。

4-14 一圆柱形密圈螺旋弹簧，承受轴向压缩载荷F = 1kN作用。设弹簧的

平均直径D = 40mm，弹簧丝的直径d = 7mm，许用切应力[]= 480MPa，试校核弹簧的强度。

解：由于

mDd4075.7110 故需考虑曲率的影响，此时，

8FD(4m＋2）81.001030.040(45.712)N

maxπd3(4m3)π0.0073(45.713)m2 3.72108Pa372MPa结论：max[]，该弹簧满足强度要求。

4-20 图示圆锥形薄壁轴AB，两端承受扭力偶矩M作用。设壁厚为，横截

面A与B的平均直径分别为dA与dB，轴长为l，切变模量为G。试证明截面A和B间的扭转角为

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(b)

2Ml（dA/BAdB)πGd22 AdB(c)

(d)

题4-20图

证明：自左端A向右取坐标x，轴在x处的平均半径为 R1dBd0(x)2(dAA1lx)2(dAcx)

式中，

cdBdAl 截面x的极惯性矩为 I2πR32π [12(dcx)]3πδp0A4(dAcx)3依据

dT(x)dxGI4Mπ (d pGAcx)3得截面A和B间的扭转角为

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4MA/BπG

2Ml112Ml(dAdB)

d(dAcx)2M2l(dcx)| 0A 0c(dcx)3πGδcA l

MAMBM

(b)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩MB，示如图4-21b。

πGδ (d(22)2B dA)dBdAπGδd2AdB4-21 图示两端固定的圆截面轴，承受扭力偶矩作用。试求支反力偶矩。设

扭转刚度为已知常数。

题4-21图

(a)解：此为静不定轴，但有对称条件可以利用。

设A与B端的支反力偶矩分别为MA和MB，它们的转向与扭力偶矩M相反。由于左右对称，故知

MAMB

由Mx0可得 MAMB2MA2M

即

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图4-21b

变形协调条件为

B0

利用叠加法，得

M(2a)MBMaB(3GIa) pGIpGIp将式(b)代入式(a)，可得 M1B3M

进而求得

M1A3M（转向与MB相反）

(c)解：此为静不定轴，与(a)类似，利用左右对称条件，容易得到

MAMBma2 MA和MB的转向与m相反。

(d)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩MB，从变形趋势

(

(

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不难判断，MB的转向与m相反。

变形协调条件为

B0

利用叠加法，得到（x从左端向右取）

m(ax)MBB,mB,MB(2a)ma22MBaB a 0GIdx2GI pGIppGIp将式(d)代入式(c)，可得 MmaB4 进而求得

MmaM3maAB4 MA的转向亦与m相反。 4-22 图示轴，承受扭力偶矩M1

=400N•m与M2

=600N•m作用。已知许用

切应力[]=40MPa，单位长度的许用扭转角[]=0.25(°) / m，切变模量G = 80GPa。试确定轴径。

题4-22图

解：1.内力分析

此为静不定轴，设B端支反力偶矩为MB，该轴的相当系统示如图4-22a。 更多精品文档

(c)

(d)

图4-22

利用叠加法，得

B1GI[4000.5006001.250MB2.500] p将其代入变形协调条件B0，得

(6001.2504000.500)Nm2MB2.500m220Nm该轴的扭矩图示如图4-22b。 2.由扭转强度条件求d 由扭矩图易见，

Tmax380Nm

将其代入扭转强度条件，

maxTmaxW16Tmax[pπd3] 由此得

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d316Tmaxπ[]316380m3π401060.0364m36.4mm 3.由扭转刚度条件求d

将最大扭矩值代入 Tmax32GITmaxπd[pG4] 得 4

d432TmaxπG[]32380180m4π801090.25π0.0577m57.7mm 结论：最后确定该轴的直径d57.7mm。

4-23 图示两端固定阶梯形圆轴AB，承受扭力偶矩M作用。已知许用切应

力为[]，为使轴的重量最轻，试确定轴径d1与d2。

题4-23图

解：1. 求解静不定

设A与B端的支反力偶矩分别为MA与MB，则轴的平衡方程为

Mx0, MAMBM0

AC与CB段的扭矩分别为

T1MA， T2MB

代入式（a），得 更多精品文档

T1T2M0

设AC与CB段的扭转角分别为AC与CB，则变形协调条件为

ACCB0

利用扭转角与扭矩间的物理关系，分别有

ACT1a， 2TaCB2GI p1GIp2代入式（c），得补充方程为 4

Td121dT20

2 最后，联立求解平衡方程（b）与补充方程（d），得 4

T2dMd4112Md4d4， T244 221d22d12. 最轻重量设计

从强度方面考虑，要使轴的重量最轻，应使AC与CB段的最大扭转切应力的数值相等，且当扭力偶矩M作用时，最大扭转切应力均等于许用切应力，即要求

T1TW[]， 2W[] p1p2由此得 (a)

T31Wp1d1T 2Wp2d2将式（e）代入上式，得

d22d1

学习-----好资料 并从而得

TM19， T 8M29 根据圆轴扭转强度条件，于是得轴的直径为

d1d22316T1316Mπ[]9π[] 4-24 图示二平行圆轴，通过刚性摇臂承受载荷F作用。已知载荷F=750N，

轴1和轴2的直径分别为d1=12mm和d2=15mm，轴长均为l=500mm，摇臂长度a =300mm，切变模量G = 80GPa，试求轴端的扭转角。

题4-24图

解：这是一度静不定问题。

变形协调条件为

Δ1Δ2 或 12

这里，和分别为刚性摇臂1和2在接触点处的竖向位移。

设二摇臂间的接触力为F2，则轴1和2承受的扭矩分别为

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Ta1F(2)F2a， T2F2a

物理关系为

T11lGI， Tl2＝2 p1GIp2将式(c)代入式(a)，并注意到式(b),得 Fd42F22(d44 1d2)由此得

Fal167500.3000.500m

2T2l16GIG(d44p2π1d2)π80109(0.01240.0154)m

0.1004 rad5.75|1|4-26 如图所示，圆轴AB与套管CD借刚性突缘E焊接成一体，并在突缘

E承受扭力偶矩M作用。圆轴的直径d=38mm，许用切应力[1]=80MPa，切变模量G1=80GPa；套管的外径D = 76mm，壁厚= 6mm，许用切应力[2]= 40MPa，切变模

量G2 = 40GPa。试求扭力偶矩M的许用值。

题4-26图

解：1. 解静不定

(

(

(a)

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此为静不定问题。静力学关系和变形协调条件分别为

T1T2M

12 物理关系为

T11l1G， ＝T2l22G 1Ip12Ip2将式(c)代入式(b)，并注意到 7612πD4760.8421， I4πd4p232(1)， Ip132 得 44

T1G1Ip1l2GTd2Ip2l1D4(14)23T2438223764(10.84214)T20.1676T2 将方程(a)与(d)联解，得

T20.856M， T10.144M

2．由圆轴的强度条件定M的许用值

1maxT1160.144MWπd3[1] p1由此得扭力偶据的许用值为

[M]πd3[1]π0.0383801061160.144160.144Nm5.99103Nm5.99kNm3.由套管的强度条件定M的许用值

T160.856M2max2WD3(14)[2]

p2π更多精品文档

由此得扭力偶据的许用值为 (a) M]πD3(14)[2]π0.0763(10.84214)40106[2160.856160.856Nm

(b)

2.00103Nm2.00kNm

结论：扭力偶矩的许用值为

(c)

[M][M]22.00kNm

4-27 图示组合轴，由圆截面钢轴与铜圆管并借两端刚性平板连接成一体，

并承受扭力偶矩M=100N·m作用。试校核其强度。设钢与铜的许用切应力分别为[s]=80MPa与[c]=20MPa，切变模量分别为Gs=80GPa与Gc=40GPa，试校核组合轴强度。

(d)

题4-27图

解：1. 求解静不定

如图b所示，在钢轴与刚性平板交接处（即横截面B），假想地将组合轴切开，

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并设钢轴与铜管的扭矩分别为Ts与Tc，则由平衡方程Mx0可知，

TsTc

两个未知扭力矩，一个平衡方程，故为一度静不定问题。

在横截面B处，钢轴与铜管的角位移相同，即

sc

设轴段AB的长度为l，则

TslsG

sIps

(MTcc)lTl(MGI c 2Tc)l

cpc2GcIpc22GcIpc将上述关系式代入式（b），并注意到Gs/Gc=2，得补充方程为

Ts(IM2Tc)I pspc联立求解平衡方程（a）与补充方程（c），于是得

TpsMsTcIIpc2I

ps2．强度校核

π(0.020m)4Ips321.571108m4

Iπ(0.040m)4pc0.035m43210.040m1.040107m4 将相关数据代入式（d），得 更多精品文档

TsTc11.6Nm

(a)

对于钢轴， s,maxTsW16(11.6Nm)m)37.38106Pa7.38MPa[s] psπ(0.020b对于铜管，)

Tc,max(100Nm11.6Nm)c,maxW161.70107Pa17.0MPa[pcπ(0.040m)3

10.035m40.040mc]4-28 将截面尺寸分别为100mm×90mm与90mm×80mm的两钢管相套

合，并在内管两端施加扭力偶矩M0=2kN·m后，将其两端与外管相焊接。试问在去掉扭力偶矩M0后，内、外管横截面上的最大扭转切应力。 (c) 解：1. 求解静不定

此为静不定问题。在内管两端施加M0后，产生的扭转角为 (d)

M00lGI pi去掉M0后，有静力学关系

TiTe

几何关系为

ie0

((

(

(

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物理关系为

TliiTlGI， ee piGIpe将式(d)和式(a)代入式(c)，得 TilTlGIeM0l piGIpeGIpi或写成 TeM0TIi peIpi由此得

TIpeeI(M0Ti)1.395(M0Ti)

pi联立求解方程(e)与(b)，得

TiTe0.5825M01.165kNm

2. 计算最大扭转切应力

内、外管横截面上的最大扭转切应力分别为

Ti,maxiW161165N]m2.piπ0.0903[1(8/9)4217107Pa21.7MPa

Te,maxe161165N7W1.72510Pa17.25MPa peπ0.1003(10.94)m24-29 图示二轴，用突缘与螺栓相连接，各螺栓的材料、直径相同，并均匀

地排列在直径为D = 100mm的圆周上，突缘的厚度为=10mm，轴所承受的扭力偶矩更多精品文档

为M = 5.0kN·m，螺栓的许用切应力[]=100MPa，许用挤压应力[bs]=300MPa。试确

(d)

定螺栓的直径d。

题4-29图

解：1. 求每个螺栓所受的剪力

由

(e) M 6FDx0，s(2)M 得

FMs3D 2.由螺栓的剪切强度条件求d FsA4M3πDd2[] 由此得

d4MπD[]45.0103m23π0.100100101.45710236m14.57mm 3.由螺栓的挤压强度条件求d

FbsbdM3Dd[bs] 由此得

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dM3D[5.0103m0.0103001065.56103m5.56mm

bs]30.100结论：最后确定螺栓的直径d14.57mm。

4-30

图示二轴，用突缘与螺栓相连接，其中六个螺栓均匀排列在直径为D1

的圆周上，另外四个螺栓则均匀排列在直径为D2的圆周上。设扭力偶矩为M，各螺

栓的材料相同、直径均为d，试计算螺栓剪切面上的切应力。

题4-30图

解：突缘刚度远大于螺栓刚度，因而可将突缘视为刚体。于是可以认为：螺栓i剪切面上的平均切应变i与该截面的形心至旋转中心O的距离ri 成正比，即

ikri

式中，k为比例常数。

利用剪切胡克定律，得螺栓i剪切面上的切应力为

iGkri

而剪力则为

FS,iGAkri

最后，根据平衡方程

D22MO0, 6GAk124GAkD22M 更多精品文档

得

k2M8MGA(3D22D2222 12)Gπd(3D12D2)于是得外圈与内圈螺栓剪切面上得切应力分别为

4MD11πd2(3D22D2 12)

4MD22πd2(3D22 12D2)4-31图a所示托架，承受铅垂载荷F=9kN作用。铆钉材料均相同，许用切

应力[]=140MPa，直径均为d=10mm。试校核铆钉的剪切强度。

题4-31图

解：由于铆钉均匀排列，而且直径相同，所以，铆钉群剪切面的形心C，位于铆钉2与铆钉3间的中点处（图b）。将载荷平移至形心C，得集中力F与矩为Fl的附加力偶。

在通过形心C的集中力F作用下，各铆钉剪切面上的切应力相等，其值均为

FF3910N74πd2πd2π(10103m)22.8710MPa

4学习-----好资料

在附加力偶作用下，铆钉1与4剪切面上的切应力最大，其值均为

Flr1I

p由图中可以看出，

r1r460103m， r2r320103m

所以，

Iπd2πp4(2r22312r2)2(1010m)2(602202)(103m)26.28107m4

代入式（a），得

(9103N)(150103m)(60103 m)86.28107m41.28910Pa

将上述两种切应力叠加，即得铆钉1与4的总切应力即最大切应力为

2max2(2.87107Pa)2(1.289108Pa)2

1.32108Pa132MPa[]4-34 图示半椭圆形闭口薄壁杆，a=200mm，b=160mm，1=3mm，2= 4mm，

T=6 kN·m，试求最大扭转切应力。

题4-34图

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解：截面中心线所围面积为 (a)

Ωπ(a12b222)(4)

由此得

Ωπ(0.2000.00150.002)(0.1600.004)m22.41102m24

于是得最大扭转切应力为 T3

6102Nmaxmin22.411020.003m24.15107Pa41.5MPa 4-35 一长度为l的薄壁管，两端承受矩为M的扭力偶作用。薄壁管的横截面

如图所示，平均半径为R0，上、下半部由两种不同材料制成，切变模量分别为G1与G2，厚度分别为1与2，且1<2，试计算管内的最大扭转切应力，以及管端两横截面间的扭转角。

题4-35图

解：1. 扭转切应力计算

闭口薄壁管扭转切应力的一般公式为 T2Ω 现在

ΩπR20

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min1

所以，最大扭转切应力为

Mmax2πR2 01 2. 扭转变形计算

用相距dx的两个横截面，与夹角为d的两个径向纵截面，从管的上部切取一微体，其应变能为

2

dVε112G1R0ddx

1由此得整个上半圆管的应变能为

V2ε1 l π1 0 02GM2l1R0ddx18πG3 1R01同理得整个下半圆管的应变能为 2

Vε2Ml8πG3 2R02根据能量守恒定律， 22 MM2l8πGR3Ml3 1018πG2R02于是得

Μl4πR311 0G11G224-36 图示三种截面形状的闭口薄壁杆，若截面中心线的长度、壁厚、杆长、

材料以及所受扭矩均相同，试计算最大扭转切应力之比和扭转角之比。 更多精品文档

题4-36图

解：由于三者中心线的长度相同，故有 2(2bb)4aπd 由此得

bπd6， aπd4 据此可求得长方形、正方形及圆形薄壁截面的Ω，其值依次为

2 Ωb2πd21218 Ω2π2d22a16 Ωπd23＝4 依据

Tmax2Ω

min可得三种截面薄壁杆的最大扭转切应力之比为

矩max:方max:圆max1.432 :1.273 :1

依据

Tlds4GΩ2

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可得三种截面薄壁杆的扭转角之比为

矩:方:圆2.05 :1.621: 1

结果表明：在题设条件下，圆形截面薄壁杆的扭转强度及扭转刚度均最佳，正方形截面薄壁杆的次之，长方形截面薄壁杆的最差。一般说来，在制造闭口薄壁杆时，应尽可能加大其中心线所围的面积Ω，这样对强度和刚度均有利。

4-37 图示闭口薄壁杆，承受扭力偶矩M作用，试计算扭力偶矩的许用值。

已知许用切应力[]=60MPa，单位长度的许用扭转角[]=0.5(°) / m，切变模量G = 80GPa。若在杆上沿杆件母线开一槽，则许用扭力偶矩将减少至何值。

题4-37图

解：1.计算闭口薄壁杆扭力偶矩的许用值 由扭转强度条件

Tmax2Ω[]

min得

T2Ωmin[]20.1000.3000.00360106Nm 1.080104

Nm10.80kNm由扭转刚度条件

Tds4GΩ2δ[] 得

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4GΩ2[]480109(0.1000.300)28.727103TNm

ds2(0.3000.100)0.003 9.43103Nm9.43kNm其中用到

[]0.5πrad/m8.727103180rad/m 比较可知，

[M]9.43kNm

2.计算开口薄壁杆扭力偶矩的许用值

由扭转强度条件

max3Tδmaxn[]

h3iii1得

n[]h3ii

Ti160106[2(0.3000.100)0.00333 ]max30.003Nm144.0Nm由扭转刚度条件

3Tn[]

Ghi3ii1得

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[]Ghii3

nTi1 38.72710380109[2(0.3000.100)0.0033] 比较可知，

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3Nm5.03NmM]开5.03Nm

第六章 弯曲应力

6-2 如图所示，直径为d、弹性模量为E的金属丝，环绕在直径为D的轮缘

上，试求金属丝内的最大弯曲正应变、最大弯曲正应力与弯矩。

题6-2图

解：金属丝的曲率半径为

Dd2 [学习-----好资料

所以，金属丝的最大弯曲正应变为

yd2dmaxmax2 DdDd 最大弯曲正应力为

EEdmaxmaxDd 而弯矩则为

Wπd3EdEπd4Mzmax32Dd32(Dd)

6-3 图示带传动装置，胶带的横截面为梯形，截面形心至上、下边缘的距离

分别为y1与y2，材料的弹性模量为E。试求胶带内的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。

题6-3图

解：由题图可见，胶带中性层的最小曲率半径为 ρminR1

依据

σEyρ 可得胶带内的最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力分别为

σEyt,max1R 1更多精品文档

σEyc,max2R 16-6 图a所示正六边形截面，边长为a，试计算抗弯截面系数Wz

与Wy

。

题6-6图

解：1. Wz计算 由图b可以看出，

ba3a2, h2 所以，ADB对z轴的惯性矩为 3

Ibh3bhz,th2bh31a3a3a4362312122264 中部矩形截面对z轴的的惯性矩为 3

Iza(2h)312a1223a,r23a44 于是得整个六边形截面对z轴的惯性矩为

Iz4Iz,tIz,r43a43a453a464416 而对z轴的抗弯截面系数则为

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Iz53a425a3Wzy

max16a382. Wy计算

ADB对y轴的惯性矩为

2 Ihb3bhy,tba113a436232192 中部矩形截面对y轴的的惯性矩为

2ha33a4 Iy,r1212 于是得整个六边形截面对y轴的惯性矩为

I4113a43a453a4y4Iy,tIy,r1921216 而对z轴的抗弯截面系数则为

Iy53a4153a3Wyz

max16a166-7 图示直径为d的圆木，现需从中切取一矩形截面梁。试问：(1) 如欲使所切矩形梁的弯曲强度最高，h和b应分别为何值； (2) 如欲使所切矩形梁的弯曲刚度最高，h和b又应分别为何值。

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题6-7图

解：(1) 为使弯曲强度最高，应使Wz值最大。

Wbh2b22z66(db)

dWzdb16(d23b2)0 由此得

b3d， hd2b2633d (2) 为使弯曲刚度最高，应使Iz值最大。 3

Ibh3h2z1212dh2

dIz3h2(d2h2)h4 dh12d2h20

由此得

h32d， bd2h2d2 6-8 图a所示简支梁，由№18工字钢制成，弹性模量E = 200 GPa， a=1m。

在均布载荷q作用下，测得截面C底边的纵向正应变 = 3.010-4，试计算梁内的最大

弯曲正应力。

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题6-8图

解：1. 内力分析

梁的弯矩图如图b所示，横截面C的弯矩为

Mqa2C4 梁内的最大弯矩则为

M9qa2max32 2. 应力计算（解法一）

横截面C底部的弯曲正应力为 qa2C,max4WEC

z由此得

q4ECWza2 代入式（a），得

Mmax9ECWz8 更多精品文档

于是得梁的最大弯曲正应力为 4

Mmax9EC9(200109Pa)( 3.010W)max67.5MPa

z883. 应力计算（解法二）

横截面C底部的弯曲正应力为

C,maxEC

由于应力与内力成正比，所以，梁内的最大弯曲正应力为

MmaxM9qa249EmaxC,max C2EC67.5 MPa

C32qa8计算结果相同。

6-9 图示简支梁，承受均布载荷q作用。已知抗弯截面系数为Wz

，弹性模量

为E，试计算梁底边AB的轴向变形。

(a)

题6-9图

解：梁的弯矩方程为

M(x)qlxq2x22 横截面x处底边微长dx的轴向变形为

d(l)(x)dxM(x)EWdx z所以，梁底边AB的轴向变形为

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ΔllM(x)1l0EWdxzEWzqlq2ql302x2xdx12EW z6-10 图示截面梁，由№18工字钢制成，截面上的弯矩M = 20kN·m，材料

的弹性模量E = 200GPa，泊松比= 0.29。试求截面顶边AB与上半腹板CD的长度改变量。

题6-10图

解：1.截面几何性质

工字钢截面大致形状及尺寸符号示如图6-10。

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图6-10

由附录F表4查得 h180mm， b94mm, t10.7mm Iz1660cm4， W3

z185cm并从而得

h1h/2t79.3mm。 2．计算顶边AB的长度改变量

顶边处有

σMmax

Wzμεμσ

εmaxE由此可得AB边的伸长量为

bbM0.290.0943

EW2010ABmz200109185106 1.474105m0.01474mm3．计算上半腹板CD的长度改变量

距中性轴z为y1的点，弯曲正应力的绝对值为

σ(y1)My1I （y1以向上为正） z该处的横向应变为

    (y1) My1EI

z由此可得线段CD的伸长量为

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2Δ h1 M1CDdy1

 0ε1EIy Mh1dy1z h 02EIz

32 0.2920100.079322001091660108m5.49106m0.00549mm6-12 图a所示矩形截面悬臂梁，杆端截面承受剪切载荷F作用。现用纵截

面AC与横截面AB将梁的下部切出，试绘单元体ABCD各切开截面上的应力分布图，并说明该部分是如何平衡的。

题6-12图

解： 1. 单元体的应力分析

梁内各横截面的剪力相同，其值均为F；在固定端处，横截面上的弯矩则为 M(0)Fl 与上述内力相对应，单元体各截面的应力如图b所示。在横截面AB上，弯曲切应力按抛物线分布，最大切应力为

3Fmax2bh 在该截面上，弯曲正应力线性分布，最大弯曲压应力则为

6Flc,maxbh2

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在纵截面AC上，作用有均匀分布的切应力，其值为

3F2bh

在横截面CD上，作用有合力为F1=F/2的剪切分布力。

2. 单元体的受力分析

根据上述分析，画单元体的受力如图c所示。图中，F2代表横截面AB上由切应力构成的剪切力，F3代表该截面上由弯曲正应力构成的轴向合力，F4则代表纵截面AC上由切应力构成的剪切合力。

显然，

FF22 

FM(0)Sz()3Flbhh123FlIz24bh32h 

F3F4bl2bh bl3Fl2h  3. 单元体的平衡

根据上述计算结果，得

F3Fl3FlxF3F42h2h0

FyFF2F12F20

MhF3FlhAF1lF332l2h30

说明单元体满足平衡条件。

6-13 图示矩形截面简支梁，承受矩为Me

=Fa的集中力偶作用。截面的宽度

为b，高度为h。试绘单元体ABCD的应力分布图（注明应力大小），并说明该单元体是如何平衡的。

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题6-13图

解：1.画剪力、弯矩图

左、右支座的支反力大小均为F/3，方向是左向上、右向下。据此可画剪力、弯矩图示如图6-13a与b。

图6-13

2．求单元体两端面上的应力及其合力

单元体两端面及纵截面上的应力分布情况示如图c，最大弯曲正应力和剪应力值分别为

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σ6Fa21maxM1

WFaz3bh2bh2

σMmax24Fa2Wzbh2

τF1maxτ2max3S2F2A2bh 由切应力互等定理可知，纵截面上的切应力τx与τ2max数值相等。

左、右端面上弯曲正应力构成的轴向合力分别为

F1bhFax1

2σ1max(2)2hF1bhFa

x22σ2max(2)h左、右端面上弯曲切应力构成的竖向合力大小相等，其值为

F1y1Fy26F

纵截面上弯曲切应力构成的轴向合力为

FSxx(ab)Fa2h 3．检查单元体的平衡方程是否满足

FFax0，Fx2Fx1FSxhFaFa2h2h0

F0，FFFyy1Fy2660

Mz10，Fhx23FhFaFaFax13Fy2a3660 由此可见，单元体的全部平衡方程均能满足（另三个平衡方程是恒等满足，无需写出）。

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6-14 梁截面如图所示，剪力F s

= 200kN，并位于x-y平面内。试计算腹板

上的最大弯曲切应力，以及腹板与翼缘（或盖板）交界处的弯曲切应力。

题6-14图

(a)解：截面形心至其顶边的距离为 y0.0200.1000.0100.1200.01020.080

C0.0200.1000.1200.020m

0.04818m 惯性矩和截面静矩分别为

I[0.1000.0203120.1000.0200.03818220.0100.1203z12

20.0100.1200.031822]m48.292106m4

S091820.0200.09182m3z,max0.8.431105m32 Sz0.1000.0200.03818m37.636105m3于是得腹板上的最大弯曲切应力为

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τz,max2001038.431105NmaxFSSI8.2921060.020m21.017108Pa101.7MPa zδ腹板与翼缘交界处的弯曲切应力则为

τFsSz交界I2001037.636105N8.2921060.020m29.21107Pa92.1MPa zδ(b)解：采用负面积法，得截面形心至其顶边得距离为

y[0.1100.1500.075(0.1100.020)0.1000.070C0.1100.150(0.1100.020)0.100]m0.081m

惯性矩（采用负面积法）和截面静矩分别为

I0.1100.1503120.1100.150(0.0810.075)2[0.0900.1003z{12 0.0900.100 (0.0810.070)2]}m42.294105m4

S0.0300.110(0.0690.015)0.020(0.0690.030)21z,max[]m32

1.934104m3 Sz上0.0200.110(0.0810.010)m31.562104m3 Sz下0.0300.110(0.0690.015)m31.782104m3 于是得腹板上的最大弯曲切应力为

τmaxFSSz,max2001031.934104NIzδ2.2941050.020m28.43107Pa84.3MPa 腹板与上盖板交界处的弯曲切应力为

τFSSz上2001031.562104N交界上Izδ2.2941050.020m26.81107Pa68.1MPa 腹板与下盖板交界处的弯曲切应力为

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τFSSz下I2001031.782104N2.2941050.020m27.77107交界下Pa77.7MPa zδ6-17 图示铸铁梁，载荷F可沿梁AC水平移动，其活动范围为0<<3l/2。

已知许用拉应力[t]=35MPa，许用压应力[c]=140MPa, l=1m，试确定载荷F的许用值。

题6-17图

解：1.截面几何性质计算 由图6-17可得

y(0.1000.0200.0100.0800.0200.060C0.1000.0200.0800.020)m0.03222m

I[0.1000.020320.0200.0803z120.1000.0200.0222212

0.0200.080(0.0600.03222)2]m43.142106m4

图6-17

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2．确定危险面的弯矩值

分析可知，可能的危险截面及相应弯矩如下：当F作用在AB段时，

ηl2， MFlmax4 当作用在BC段时，

η3l2， MFlmax2 3．确定载荷的许用值

由危险面B的压应力强度要求

σMmaxc,maxI(0.100yC)Flz2I(0.100yC)[σc] z得

F2Iz[σc]23.142l(0.100y106140106N.000(0.1000.03222)1.298104N12.98kNC)1由截面B的拉应力强度要求

M

σmaxt,maxIyCFl2IyC[σt] zz得

2Iz[σt]23.14210635106FlyN.0000.032226.83103N6.83kN

C1由Mmax作用面的拉应力强度要求



σMt,maxmaxI(0.100yFlC)(0.100yC)[σt]

z4Iz得

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F4Iz[σt]l(0.100y43.14210635106N.000(0.1000.03222)6.49103N6.49kN

C)1该面上的最大压应力作用点并不危险，无需考虑。 比较上述计算结果，得载荷的许用值为 [F]6.49kN

6-18 图示矩形截面阶梯梁，承受均布载荷q作用。已知截面宽度为b，许

用应力为[]。为使梁的重量最轻，试确定l1与截面高度h1和h2。

题6-18图

解：1.求最大弯矩

左段梁最大弯矩的绝对值为 2

Mql1max2 右段梁最大弯矩的绝对值为

Mql221max2 2．求截面高度h1和h2

由根部截面弯曲正应力强度要求 2 σ1maxM1max6qlWz12bh2[σ] 1得

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h3ql23q1b[σ]lb[σ] 由右段梁危险截面的弯曲正应力强度要求

σM26ql22maxmaxW12bh2[σ] z22得

h3q2l1b[σ] 3．确定l1

梁的总体积为

VV1V2bh1(ll1)bh2l1b3q[σ][l(ll1)l2b1]由

dVdl0， 2l1l0 1得

ll1

2

最后，将式(c)代入式(b)，得

hl3q22b[σ]

为使该梁重量最轻（也就是V最小），最后取

(

(

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ll3q12， h12h2lb[σ]

6-19 图示简支梁，由四块尺寸相同的木板胶接而成。已知载荷F = 4kN，

梁跨度l= 400mm，截面宽度b = 50mm，高度h = 80mm，木板的许用应力[]=7MPa，胶缝的许用切应力[]=5MPa，试校核强度。

题6-19图

解：1.画剪力、弯矩图

该梁的剪力、弯矩图如图6-19所示。由图可知，最大剪力（绝对值）和最大弯矩分别为

F22Smax3F， Mmax9Fl

图6-19

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2．校核木板的弯曲正应力强度

σMmaxmax62Fl441030.400N

Wz9bh230.0500.0802m2 6.67106Pa6.67MPa[σ]3．校核胶缝的切应力强度

3FSmax

τ32F4103Nmax2A32bh0.0500.080m2

1.000106Pa1.000MPa[τ]结论：该胶合木板简支梁符合强度要求。

6-21 图示四轮吊车起重机的导轨为两根工字形截面梁，设吊车自重W =

50kN，最大起重量F = 10kN，许用应用[]=160MPa，许用切应力[]= 80MPa。试选择工字钢型号。由于梁较长，需考虑梁自重的影响。

题6-21图

解：1.求最大弯矩

设左、右轮对梁的压力分别为F1和F2，不难求得

F110kN， F250kN

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由图6-21a所示梁的受力图及坐标，得支反力

F1Ayl[F1(lx)F2(lx2)]506x (0x8)

F1

Byl[F1xF2(x2)]6x10 (0x8)

图6-21

该梁的剪力、弯矩图示如图b和c。图中， MCFAyx(506x)x (0x8)MDFBy(lx2)(6x10)(8x) (0x8)由

dMCdx0， dMDdx0 得极值位置依次为

x256m， x196m 更多精品文档

两个弯矩极值依次为 M25Cmax(5025)6kNm104.2kNm

M10)(819Dmax(196)kNm140.2kNm

比较可知，单梁的最大弯矩值为

M1max2MDmax70.1kNm

2．初选工字钢型号

先不计梁的自重，由弯曲正应力强度要求，得

3

WMmax[σ]70.1103m1601064.38104m3438cm3z

由附录F表4初选№28a工字钢，有关数据为

W3z508cm， q43.492kg/m， δ8.5mm， Iz/Sz24.6cm

3．检查和修改

考虑梁自重的影响，检查弯曲正应力强度是否满足。 由于自重，梁中点截面的弯矩增量为

ΔMql243.4929.81102max88Nm5.33103Nm

上面分析的最大弯矩作用面在跨中以右0.167m处，因二者相距很近，检查正应

力强度时可将二者加在一起计算（计算的σmax比真实的略大一点，偏于安全），即

MmaxΔMmax(70.1103

σ5.33103)NmaxWz508106m2

(1.3801081.049107)Pa148.5MPa[σ]最后，再检查弯曲切应力强度是否满足。

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F126810)1S,max[(243.4929.8110310]kN31.13kN

τFS,max31.13103N7 max(I108.5101.48910Pa14.89MPaz24.6232[τ]S)δmz结论：检查的结果表明，进一步考虑梁自重影响后，弯曲正应力和切应力强度均能满足要求，故无需修改设计，最后选择的工字钢型号为№28a。

6-22 图a所示组合木梁，由6个等间距排列的螺栓连接而成，梁端承受载

荷F作用，试求螺栓剪切面上的剪力。

题6-22图

解：螺栓的间距为

el6 用横截面1-1与2-2，从上半木梁中切取块体如图b所示，可以看出，螺栓剪切面上的剪力为

FFMS,b2SzIM1SzSz(MS2F12M1)zFSe （a）

zIzIzIz式中，

Szababa222 Ib(2a)32ba3z123 更多精品文档

FSF

将上述表达式代入式(a)，于是得

Fba2232ba3Fl6FlS,b8a 6-23

图示简支梁，由两根№50b工字钢经铆钉连接而成，铆钉的直径d =

23mm，许用切应力[]=90MPa，梁的许用应力[]=160MPa。试确定梁的许用载荷[q]及铆钉的相应间距e。

提示：按最大剪力确定间距。

图6-23图

解：1.计算组合截面的Iz和Sz

由附录F表4查得№50b工字钢的有关数据为

h500mm， A129.304cm2， Iz148600cm4

由此得组合截面的惯性矩与静矩分别为

I2IAh24.861041zz12()[21.293041020.5002]m42.5883103m4 42 SAh

1z21.293041020.500m33.2326103m322．许用载荷的确定

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Mql2 max

8σMql2h

maxmaxhI[σ]z8Iz由此得许用载荷为

8Iz[σ]82.5883103160106[q]N4l2h11.520.500m5.0110N/m50.1N/mm 3．铆钉间距的确定

由铆钉的切应力强度要求来计算e。 最大剪力为

F11s,max2ql25.0110411.5N2.881105N288.1kN

按最大剪力计算两工字钢交界面上单位长度上的剪力（剪流q），其值为

qFs,maxSz288.11033.2326103NI2.5883103m3.598105N/m z间距长度内的剪力为qe，它实际上是靠一对铆钉的受剪面来承担的，即

qe2[τ]Aπd2πd2[τ]12[τ]42 由此得梁长方向铆钉的间距为

πd2[τ]2qπ0.023290106e23.598105m0.208m208mm 6-24 横截面如图a所示的简支梁，由两块木板经螺钉连接而成。设载荷

F=10kN，并作用于梁跨度中点，梁跨度l=6m，螺钉间距e=70mm，试求螺钉剪切面

上的剪力。

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题6-24图

解：用间距为e的横截面1-1与2-2，从上部木板中切取块体如图b所示。可以

看出，螺钉剪切面上的剪力为

FMSzIMzS,nF2F121SSz(MMS21)zFSe （a） zIzIzIz式中：Iz代表整个横截面对中性轴的惯性矩；Sz代表上部木板横截面对中性轴的静矩。

由图c可以看出，

y0.020)(0.010)(0.0200.150)(0.0750.020)C(0.1500.1500.0200.0200.150(m)0.0525 m

Iz0.1500.0203120.1500.020(0.05250.010)2(m4) 0.0200.1503120.0200.150(0.0750.0200.0525)2(m4)1.65610-5m4

Sz0.1500.020(0.05250.010)(m3)1.27510-4m3

还可以看出，

FFS2 学习-----好资料

将相关数据与表达式代入式(a)，于是得

-433FSzFe(1.27510m)(1010N)(0.07S,n2Im)10-5m4)2.70kN z2(1.6566-25 图示截面铸铁梁，已知许用压应力为许用拉应力的四倍，即[c

] =

4[t ]，试从强度方面考虑，确定宽度b的最佳值。

题6-25图

解：从强度方面考虑，形心的最佳位置应使 0.400myCy[c][4

Ct]即

yC0.080 m

由图中可以看出，

y.06m)(0.03m)(0.03m)(0.340m)(0.230m)Cb(0b(0.06m)(0.03m)(0.340m)

比较式(a)与(b)，得

b(0.06m)(0.03m)(0.03m)(0.340m)(0.230m)b(0.06m)(0.03m)(0.340m)0.080m 更多精品文档

于是得

b0.510 m

6-26 当载荷F直接作用在简支梁AB的跨度中点时，梁内最大弯曲正应力

超过许用应力30%。为了消除此种过载，配置一辅助梁CD，试求辅助梁的最小长度

a。

题6-26图

解：当无辅助梁时，简支梁的最大弯矩为

Mm)maxF(64 当配置辅助梁后，简支梁的最大弯矩变为 F3ma

Mmax22 根据题意， Mmax1.3Mmax 即 (a) a

F(6m)F3m241.3  2 (b) 由此得

a1.385 m

6-27 图示简支梁，跨度中点承受集中载荷F作用。已知许用应力为[]，许

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用切应力为[]，若横截面的宽度b保持不变，试根据等强度观点确定截面高度h(x)的变化规律。

题6-27图

解：1.求截面高度h(x) 弯矩方程为

M(x)F2x 由等强度观点可知， σM(x)maxW(x)6Fx2bh2(x)[σ] 由此得

h(x)3Fxb[σ] (0xl/2) 梁的右半段与左边对称。 2．求端截面高度

由式(a)可知，在x0处，h(0)0，这显然是不合理的，弯曲切应力强度要求得不到满足，故需作局部修正。由

τmax3FS,maxF2A34bh(0)[τ]

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得梁左端的截面高度为

h(0)3F4b[τ] 这是满足剪切强度要求的最小截面高度，梁的右端亦同此值。

3．确定h(x)的变化规律

设可取截面高度为h(0)的最大长度为x1，为了同时满足正应力和切应力强度要求，应取

3Fx13b[]h(0)F4b[] 由此得

x3F[]116b[]2

最终确定截面高度h(x)的变化规律为：

在区间(0xx1)内 h(x)3F4b[]

在区间(x1xl/2)内 h(x)3Fxb[]

梁的右半段与左边对称。

6-29 图示悬臂梁，承受载荷F1

与F2

作用，已知F1

=800N，F2

=1.6kN，l=1m，许用应力[]=160MPa。试分别按下列要求确定截面尺寸：

(

(a)

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(1) 截面为矩形，h = 2b； (2) 截面为圆形。

题6-29图

解：(1) 矩形截面

危险截面在悬臂梁根部，危险点为截面右上角点（拉应力）和左下角点（压应力）。

最大弯曲正应力为

σFmax2lF1(W2l)6F2l6(2F1l)3lzWybh2hb22b3(F24F1)

根据弯曲正应力强度条件，要求 3l2b3(F24F1)[σ] 由此得 b33l(F24F1)331.0002[σ](1.61034800)2160106m0.0356m35.6mm 于是得

h2b71.2mm

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(2) 圆形截面

危险截面的总弯矩为

MM22maxyMz(2F1l)2(F22l)

由弯曲正应力强度条件，要求

σ32Mmaxmaxπd3[σ] 于是得

d332Mmax3π[σ]32(28001)2(1.61031)2π160106m0.0524m52.4mm 6-30 图示悬臂梁，承受载荷F作用。由实验测得A与B点处的纵向正应变

分别为A = 2.110-4与B = 3.210-4，材料的弹性模量E = 200 GPa，试求载荷F及其方

位角之值。

题6-30图

解：横截面上A与B点处的弯曲正应力分别为 A6lFcosbh2

6lFsinBhb2 学习-----好资料

将式（a）除式（b），得 sinBcosbBb AhAh由此得

arctan3.21040.2.1104002m0.005m3122 由式（a），得

EAbh2(200109Pa)(2.1104)(0.020m)(0.050m)2F6lcos6(0.400m)cos31221.024 kN

6-31 图示简支梁，在两个纵向对称面内分别承受集中载荷作用，试求梁内

的最大弯曲正应力。

题6-31图

解：1.支反力计算 由图6-31a得支反力为

F232F， F11y(3F)2y3(3F)F

F12

1z3F， F2z3F更多精品文档

图6-31

2．弯矩图与危险截面分析 弯矩图示如图b。

由该图不难判断：在AC段，截面C最危险；在BD段，截面D最危险；在CD段，My与Mz均为x的线性函数，因此，σmax也是x的线性函数，其最大值必位于该段的端点处，即截面C或截面D。

3．最大弯曲正应力计算

由以上分析可知，只需计算截面C与D的最大弯曲正应力即可，分别为

σMyMC,maxz6Fl62Fl

WyWz3hb24Flbh2b3MyM

σD,maxzWyW62Fl6Fl7Flz3hb2bh22b3由此可见， σ4FlmaxC,maxb3

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