新课标8年级上数学竞赛讲座 4讲 分式的概念、性质及运算

分式包括分式的概念、分式的基本性质、分式的运算、简单的分式方程等主要内容。 从整式到分式，我们可以形象地说是从“平房”到了“楼房”。在脚手架上活动，无疑增加了难点，体现在：解分式问题总是在分式有意义的前提下进行的，因此必须考虑字母取值范围；分式运算中的通分和约分是技巧性较强的工作，需要灵活处理。

分式的运算与分数的运算相似，是以分式的基本性质、运算法则、通分和约分为基础，是以整式的变形、因式分解为工具。分式的加减运算是分式运算的难点，突破这一难点的关键是能根据问题的特点恰当地通分，常用通分的策略与技巧有：

1、化整为零，分组通分； 2、步步为营，分步通分； 3、减轻负担，先约分再通分； 4、裂项相消后通分等。 例题求解

【例1】 要使分式

1有意义，则x的取值范围是 。 (“希望杯”邀请赛试题) 1xx 思路点拨：当分式的分母不为零时，分式有意义，由于分式是繁分式，因此考虑问题应细致周密。

注：在新事物面前，人们往往习惯于把它们与原有的、熟知的事物相比，这里蕴涵的思想方法就是类比。

学习分式时，应注意：

(1)分式与分数的概念、性质、运算的类比；

(2)整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不是分式的特殊情形； （3）分式需要讨论字母的取值范围，这是分式区别于整式的关键所在。 【例2】 已知

3x4x2x2 A、7 B、9 C、13 D、5

AB，其中A、B为常数，则4A－B的值为（ ）(江苏省竞赛题) x2x1思路点拨：对等式右边通分，比较分子的对应项系数求出A、B的值。 【例3】计算下列各式：

112a4a3 (1)； ababa2b2a4b4 （2）

x2yzx2(yz)xyzx31y2zxy2(zx)yzxx31z2xyz2(xy)zxy； (“五羊杯”竞赛题)

（3）

 (江西省赣州市竞赛题)

x32x22x1x32x22x1x21(yx)(zx)(zy)(xy)(xz)(yz)（4）(安徽省马鞍山市竞赛题)

(x2yz)(xy2z)(xy2z)(yz2x)(yz2x)(x2yz)2(x21)思路点拨：因各分式复杂，故须观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与技巧。 (1)、分步通分； (2)、拆项再通分 (3)、先约分再通分；

(4)、注意到分母与分子的项与项之间的关系，如x－2y+z=(x－y)－(y－z)，采用换元法简化式子。 【例4】 解下列分式方程(组)： (1)

5x96x84x192x21； (“五羊杯”竞赛题) x19x9x6x8Page 1 of 6

分式的概念、性质及运算竞赛讲座 1abab31bc (2) (“希望杯”邀请赛题)

bc4ca1ca5 思路点拨：若直接通分去分母，则使问属复杂化，对于(1)拆分、分步运算，对于(2)取倒数，逆用加法法则。

33

【例5】 (1)n为自然数，若n+6|n+1996，则称n为1996的吉祥数，如4+6|4+1996，4就是1996年的一个吉祥数．试求1996年的所有吉祥数的和。 (北京市竞赛题) (2)计算：

12211005000220050003

222k22k100k500099990050009922 (上海市“宇振杯”竞赛题)

思路点拔：(1)由于n+1996的次数高于n+6的次数，所以，通过变形将两个整式整除的问属转化为一个分式的问题来解决，是解本例的关键；(2)首尾配对，考查一般情形，把数值计算转化为分式的运算。

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分式的概念、性质及运算竞赛讲座 分式的概念、性质及运算学力训练

a241、（1）要使分式没有意义，则a的值为 。

13a12a （2）若a5和(b4)2互为相反数，则阳市中考题) 2、已知x为整数，且3、已知

ab114ab()()(a22abb2)的值为 。(岳

ababba222x18为整数，则所有符合条件的x值的和为 。 2x33xx94xab与的和等于2，则a= ，b＝ 。(山东省竞赛题) x2x2x44、学校用一笔钱买奖品，若以1枝钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1枝钢笔和

3本日记本为一份奖品，则可买50份奖品．那么，这笔钱全部用来买钢笔可以买 枝。(江苏省镇江市中考题) 5、已知式子

(x8)(x1)的值为0，则x的值为( ) (江苏省竞赛题)

x1 A、±1 B、－l C、8 D、－1或8 6、化简

1111的结果是( ) (大连市“育英杯”竞赛

(x1)(x2)(x2)(x3)(x3)(x4)(x4)(x5)题) A、

4x26x5x26x5x26x5

B、

3 C、

2 D、

1x26x5

7、若x取整数，则使分式

6x3的值为整数的x值有( ) (江苏省竞赛题) 2x1111的值是( ) (“希望杯”邀请赛试题) abcA、3个 B、4个 C、6个 D、8个 8、若a、b、c满足a+b+c=0，abc=8，则

A、正数 B、负数 C、零 D、正数或负数 9、计算下列各题：

3x29x72x24x3x3x111248 （1）； （2）； 2482x1x1x11xx1x1x1x1

（3）

bc2aabacbcbbcabaccacbcabca2ab2；

10、(1)火车长为400米，通过隧道(从火车头进入隧道至车尾离开隧道)需10分 钟，若每分钟速度增加0．1千米，则只需9分钟，求隧道长。（大原市竞赛题)

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分式的概念、性质及运算竞赛讲座 (2)甲、乙两人两次到某粮店去买大米，两次的大米价格分别为每斤。元和6 元，甲每次买100斤大米，乙每次买100元的大米，问谁两次买的大米平均

价格更低些?说明理由。 (福州市中考题) 1l、若x+y+z=3a(a≠O)，则12、若关于x的方程

2

(xa)(ya)(ya)(za)(za)(xa)(xa)(ya)(za)222的值为 。

2xa1的解为正数，则a的取值范围是 。(湖北省选拔赛试题) x213、方程4x一2xy－12x+5y+11=O有 组正整数解。 ( “五羊杯”竞赛题) l4、已知

1260aa62是正整数，则正整数a= 。 ( “希望杯”邀请赛试题)

cab，则a、b、c三个数的大小关系是( ) abbcca15、设a、b、c均为正数,若

A、c6x212x10x2x22可取的最小值为（ ） A、4 B、5 C、6 D、不存在

111a2b2c218、设有理数a、b、c都不为零，且a+b+c=0，则

b2c2a2c2a2b2 A、正数 B、负数 C、零 D、不能确定

的值是（ ）

19、解下列方程(组)：

（1）

132x172x192x112x （2）1112x152x172x92x11111x3x2 （太原市竞赛题） 2x1

20、(1)某工程，甲队单独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a倍，乙队独做所需天数是甲，丙两队合做所需天数的b倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c倍，求值。 (江苏省竞赛题)

（2）已知A＝

111的a1b1c145678901244567890123，B=，试比较A与B的大小。(南京市竞赛题)

56789012345678901236

21、已知正整数n大于30，且使得4n一1整除2002n，求n的值。(第14届“五羊杯”邀请赛试题)

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