完全平方公式测试题
时间：60分钟 总分：100
题号 得分 一 二 三 四 总分 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1. 已知𝑥2−2(𝑚−3)𝑥+16是一个完全平方式，则m的值是(
A. −7 B. 1 C. −7或1 2. 如果9𝑎2−𝑘𝑎+4是完全平方式，那么k的值是( )
A. −12 B. 6 C. ±12 3. 若𝑎+𝑏=7，𝑎𝑏=5，则(𝑎−𝑏)2=( )
A. 25 B. 29 C. 69 4. 运用乘法公式计算(𝑥+3)2的结果是( )
)
D. 7或−1 D. ±6 D. 75
C. 𝑥2+6𝑥+9 D. 𝑥2+3𝑥+9
5. 已知2𝑎−𝑏=2，那么代数式4𝑎2−𝑏2−4𝑏的值是( )
A. 6 B. 4 C. 2 D. 0 6. 下列运算正确的是( )
A. 𝑎2+𝑎2=𝑎4 B. (−𝑏2)3=−𝑏6 C. 2𝑥⋅2𝑥2=2𝑥3 D. (𝑚−𝑛)2=𝑚2−𝑛2
A. 𝑥2+9
7. 2√3−2√2+√17−12√2的值等于( )
B. 𝑥2−6𝑥+9
B. 4√2−1 8. 下列计算结果正确的是( )
A. 2+√3=2√3 B. √8÷√2=2
1
9. 下列式子正确的是( )
A. (𝑎−𝑏)2=𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2 C. (𝑎−𝑏)2=𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2
1
1
1
1
A. 5−4√2 C. 5 D. 1
C. (−2𝑎2)3=−6𝑎6 D. (𝑎+1)2=𝑎2+
B. (𝑎−𝑏)2=𝑎2−𝑏2
D. (𝑎−𝑏)2=𝑎2−𝑎𝑏+𝑏2
10. 已知4𝑚2+4𝑛2=𝑛−𝑚−2，则𝑚−𝑛的值等于( )
A. 1 B. 0 C. −1
D. −4
1
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分） 11. 已知𝑎+𝑎=5，则𝑎2+𝑎2的值是______．
12. 已知4𝑦2+𝑚𝑦+1是完全平方式，则常数m的值是______． 13. 已知(𝑥+𝑦)2=20，(𝑥−𝑦)2=4，则xy的值为______ ．
14. 若关于x的二次三项式𝑥2+𝑎𝑥+4是完全平方式，则a的值是______ ． 15. 已知𝑥+𝑥=−4，则𝑥2+𝑥2的值为______ ．
16. 已知𝑎>𝑏，如果𝑎+𝑏=2，𝑎𝑏=2，那么𝑎−𝑏的值为______． 17. 若代数式𝑥2+𝑘𝑥+25是一个完全平方式，则𝑘=______．
1
1
3
1
1
1
1
1
18. 已知𝑎+𝑏=8，𝑎𝑏=4，则
1
1
22
𝑎2+𝑏2
2
−𝑎𝑏= ______ ．
19. 已知：𝑚−𝑚=5，则𝑚2+𝑚2= ______ ．
20. 如果多项式𝑦2−2𝑚𝑦+1是完全平方式，那么𝑚=______． 三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）
21. 已知：𝑥+𝑦=6，𝑥𝑦=4，求下列各式的值
(1)𝑥2+𝑦2(2)(𝑥−𝑦)2．
22. 已知𝑥+𝑦=8，𝑥𝑦=12，求：
(1)𝑥2𝑦+𝑥𝑦2
(2)𝑥2−𝑥𝑦+𝑦2的值．
23. 计算
(1)(2𝑥+𝑦−2)(2𝑥+𝑦+2)
(2)(𝑥+5)2−(𝑥−2)(𝑥−3)
24. 计算：
(1)3𝑥2𝑦⋅(−2𝑥𝑦3)
(2)(2𝑥+𝑦)2−(2𝑥+3𝑦)(2𝑥−3𝑦)
四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）
25. (1)已知𝑥𝑦=2，𝑥2+𝑦2=25，求𝑥−𝑦的值．
(2)求证：无论x、y为何值，代数式𝑥2+𝑦2−2𝑥−4𝑦+5的值不小于0．
26. 回答下列问题
(1)填空：𝑥2+𝑥2=(𝑥+𝑥)2− ______ =(𝑥−𝑥)2+ ______ (2)若𝑎+𝑎=5，则𝑎2+𝑎2= ______ ； (3)若𝑎2−3𝑎+1=0，求𝑎2+𝑎2的值．
1
1
1
1
1
1
答案和解析
【答案】 1. D 2. C 3. B 4. C 5. B 6. B 7. D
8. B 9. A 10. C
11. 23 12. ±4 13. 4 14. ±1 15. 14 16. 1
17. −10或10 18. 28或36 19. 27 20. ±1
21. 解：(1)∵𝑥2+𝑦2=(𝑥+𝑦)2−2𝑥𝑦，
∴当𝑥+𝑦=6，𝑥𝑦=4，𝑥2+𝑦2=(𝑥+𝑦)2−2𝑥𝑦=62−2×4=28；
(2)∵(𝑥−𝑦)2=(𝑥+𝑦)2−4𝑥𝑦，
∴当𝑥+𝑦=6，𝑥𝑦=4，(𝑥−𝑦)2=(𝑥+𝑦)2−4𝑥𝑦=62−4×4=20． 22. 解：(1)∵𝑥+𝑦=8，𝑥𝑦=12， ∴原式=𝑥𝑦(𝑥+𝑦)=96； (2)∵𝑥+𝑦=8，𝑥𝑦=12，
∴原式=(𝑥+𝑦)2−3𝑥𝑦=64−36=28．
23. 解：(1)原式=(2𝑥+𝑦)2−4=4𝑥2+4𝑥𝑦+𝑦2−4； (2)原式=𝑥2+10𝑥+25−𝑥2+5𝑥−6=15𝑥+19． 24. 解：(1)原式=−6𝑥3𝑦4；
(2)原式=4𝑥2+4𝑥𝑦+𝑦2−4𝑥2+9𝑦2=4𝑥𝑦+10𝑦2．
25. (1)解：∵(𝑥−𝑦)2=𝑥2+𝑦2−2𝑥𝑦=25−2×2=21， ∴𝑥−𝑦=±√21；
(2)证明∵𝑥2+𝑦2−2𝑥−4𝑦+5=(𝑥−1)2+(𝑦−2)2≥0，
∴无论x、y为何值，代数式𝑥2+𝑦2−2𝑥−4𝑦+5的值不小于0． 26. 2；2；23 【解析】
1. 解：∵𝑥2−2(𝑚−3)𝑥+16是一个完全平方式， ∴−2(𝑚−3)=8或−2(𝑚−3)=−8， 解得：𝑚=−1或7， 故选：D．
利用完全平方公式的特征判断即可得到结果．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
2. 解：∵9𝑎2−𝑘𝑎+4=(3𝑎)2±12𝑎+22=(3𝑎±2)2，
∴𝑘=±12． 故选：C．
根据两数的平方和加上或减去两数积的2倍等于两数和或差的平方，即可得到k的值． 本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 3. 解：∵𝑎+𝑏=7，𝑎𝑏=5，
∴(𝑎+𝑏)2=49，则𝑎2+𝑏2+2𝑎𝑏=49， 故𝑎2+𝑏2+10=49，
则𝑎2+𝑏2=39，
故(𝑎−𝑏)2=𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏=39−2×5=29． 故选：B．
首先利用完全平方公式得出𝑎2+𝑏2的值，进而求出(𝑎−𝑏)2的值． 此题主要考查了完全平方公式，正确得出𝑎2+𝑏2的值是解题关键． 4. 解：(𝑥+3)2=𝑥2+6𝑥+9， 故选：C．
根据完全平方公式，即可解答．
本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．
5. 解：4𝑎2−𝑏2−4𝑏=4𝑎2−(𝑏2+4𝑏+4)+4=(2𝑎)2−(𝑏+2)2+4
=[2𝑎+(𝑏+2)][2𝑎−(𝑏+2)]+4=(2𝑎+𝑏+2)(2𝑎−𝑏−2)+4
当2𝑎−𝑏=2时，原式=0+4=4， 故选：B．
根据完全平方公式，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案．
本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式得出平方差公式是解题关键． 6. 解：A、𝑎2+𝑎2=2𝑎2，故本选项错误； B、(−𝑏2)3=−𝑏6，故本选项正确； C、2𝑥⋅2𝑥2=4𝑥3，故本选项错误；
D、(𝑚−𝑛)2=𝑚2−2𝑚𝑛+𝑛2，故本选项错误． 故选B．
结合选项分别进行合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式、完全平方公式的运算，选出正确答案．
本题考查了合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式、完全平方公式，掌握运算法则是解答本题的关键．
7. 解：原式=√12−8√2+√17−12√2=√(√8−2)2+√(3−√8)2=(√8−2)+
(3−√8)=1， 故选D．
8. 解：A、2+√3不是同类二次根式，所以不能合并，所以A错误； B、√8÷√2=2，所以B正确；
C、(−2𝑎2)3=−8𝑎6≠−6𝑎6，所以C错误；
D、(𝑎+1)2=𝑎2+2𝑎+1≠𝑎2+1，所以D错误． 故选B
依次根据合并同类二次根式，二次根式的除法，积的乘方，完全平方公式的运算． 此题是二次根式的乘除法，主要考查了合并同类二次根式，二次根式的除法，积的乘方，完全平方公式的运算.，掌握这些知识点是解本题的关键． 9. 解：𝐴.(𝑎−𝑏)2=𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2，故A选项正确； B.(𝑎−𝑏)2=𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2，故B选项错误； C.(𝑎−𝑏)2=𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2，故C选项错误； D.(𝑎−𝑏)2=𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2，故D选项错误； 故选：A．
根据整式乘法中完全平方公式(𝑎±𝑏)2=𝑎2±2𝑎𝑏+𝑏2，即可作出选择．
本题考查了完全平方公式，关键是要了解(𝑥−𝑦)2与(𝑥+𝑦)2展开式中区别就在于2xy项的符号上，通过加上或者减去4xy可相互变形得到．
10. 【分析】
此题主要考查了分式的化简求值、偶次方的非负性、完全平方公式的知识点，把所给等式整理为2个完全平方式的和为0的形式是解决本题的突破点；用到的知识点为：2个完全平方式的和为0，这2个完全平方式的底数为0
把所给等式整理为2个完全平方式的和为0的形式，得到m，n的值，代入求值即可． 【解答】
解：由4𝑚2+4𝑛2=𝑛−𝑚−2，得 (𝑚+2)2+(𝑛−2)2=0， 则𝑚=−2，𝑛=2， ∴
1𝑚
1
1
−=
𝑛
11−2
−=−1．
2
1
故选C．
11. 解：𝑎2+𝑎2=(𝑎+𝑎)2−2=52−2=23．
故答案为：23．
根据完全平分公式，即可解答．
本题考查了完全平分公式，解决本题的关键是熟记完全平分公式．
11
12. 【分析】
利用完全平方公式的结构特征确定出m的值即可.此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【解答】
解：∵4𝑦2+𝑚𝑦+1是完全平方式， ∴𝑚=±4， 故答案为±4
13. 解：∵(𝑥+𝑦)2=𝑥2+2𝑥𝑦+𝑦2=20①，(𝑥−𝑦)2=𝑥2−2𝑥𝑦+𝑦2=4②， ∴①−②得：4𝑥𝑦=16， 则𝑥𝑦=4， 故答案为：4
已知等式利用完全平方公式化简，相减即可求出xy的值．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
1
14. 解：中间一项为加上或减去x和2积的2倍，
故𝑎=±1， 解得𝑎=±1， 故答案为：±1．
这里首末两项是x和2这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和2积的2倍，故−𝑎=±1，求解即可
本题考查了完全平方式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式.关键是注意积的2倍的符号，避免漏解．
1
1
15. 解：∵𝑥+𝑥=−4，
∴(𝑥+𝑥)2=16，
∴𝑥2+𝑥2+2=16，即𝑥2+𝑥2=14． 故答案为：14．
直接把𝑥+𝑥=−4两边平方即可．
本题考查的是完全平方公式，熟记完全平方公式是解答此题的关键．
11
1
1
1
16. 解：𝑎+𝑏=
11𝑎+𝑏𝑎𝑏
=， 2
3
将𝑎𝑏=2代入得：𝑎+𝑏=3，
∴(𝑎−𝑏)2=(𝑎+𝑏)2−4𝑎𝑏=9−8=1， ∵𝑎>𝑏， ∴𝑎−𝑏=1． 故答案为：1
已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，将ab的值代入求出𝑎+𝑏的值，再利用完全平方公式即可求出𝑎−𝑏的值．
此题考查了完全平方公式，以及分式的加减法，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 17. 解：∵代数式𝑥2+𝑘𝑥+25是一个完全平方式， ∴𝑘=−10或10．
故答案为：−10或10．
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
18. 解：𝑎
2+𝑏2
2
−𝑎𝑏=
(𝑎+𝑏)2−2𝑎𝑏
2
−𝑎𝑏=
(𝑎+𝑏)2
2
−𝑎𝑏−𝑎𝑏=
(𝑎+𝑏)2
2
−2𝑎𝑏
∵𝑎2𝑏2=4， ∴𝑎𝑏=±2，
①当𝑎+𝑏=8，𝑎𝑏=2时，
𝑎2+𝑏2
2
−𝑎𝑏=
(𝑎+𝑏)2
2
−2𝑎𝑏=
642
−2×2=28， −2×(−2)=36，
②当𝑎+𝑏=8，𝑎𝑏=−2时，故答案为28或36． 根据条件求出ab，然后化简
𝑎2+𝑏2
2
−𝑎𝑏=
(𝑎+𝑏)2
2
−2𝑎𝑏=
642
𝑎2+𝑏2
2
−𝑎𝑏=
(𝑎+𝑏)2
2
−2𝑎𝑏，最后代值即可．
此题是完全平方公式，主要考查了完全平方公式的计算，平方根的意义，解本题的关键是化简原式，难点是求出ab．
19. 解：把𝑚−𝑚=5，两边平方得：(𝑚−𝑚)2=𝑚2+𝑚2−2=25，
则𝑚2+𝑚2=27，
故答案为：27．
把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，整理即可求出所求式子的值． 此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
1
111
20. 解：∵𝑦2−2𝑚𝑦+1是一个完全平方式，
∴−2𝑚𝑦=±2𝑦， ∴𝑚=±1． 故答案是：±1．
根据完全平方公式，这里首末两项是y和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去y和1积的2倍．
本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号，避免漏解．
21. (1)根据完全平方公式可得𝑥2+𝑦2=(𝑥+𝑦)2−2𝑥𝑦，然后把𝑥+𝑦=6，𝑥𝑦=4整体代入进行计算即可；
(2)根据完全平方公式可得(𝑥−𝑦)2=(𝑥+𝑦)2−4𝑥𝑦，然后把𝑥+𝑦=6，𝑥𝑦=4整体代入进行计算即可．
本题考查了完全平方公式：(𝑎±𝑏)2=𝑎2±2𝑎𝑏+𝑏2.也考查了代数式的变形能力以及整体思想的运用．
22. (1)原式提取公因式，将已知等式代入计算即可求出值；
(2)原式利用完全平方公式变形后，将各自的值代入计算即可求出值． 此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 23. (1)原式利用平方差公式，完全平方公式化简即可得到结果；
(2)原式利用完全平方公式，多项式乘以多项式法则计算即可得到结果． 此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 24. (1)原式利用单项式乘单项式法则计算即可得到结果；
(2)原式利用完全平方公式，以及平方差公式计算即可得到结果．
此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 25. (1)把𝑥−𝑦两边平方，然后把𝑥𝑦=2，𝑥2+𝑦2=25代入进行计算即可求解． (2)将式子配方，再判断式子的取值范围即可． 本题考查了配方法的应用、完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，熟练掌握完全平方式的各种变形是解答此类题目的关键． 26. 解：(1)2、2． (2)23．
(3)∵𝑎2−3𝑎+1=0 两边同除a得：𝑎−3+𝑎=0， 移向得：𝑎+𝑎=3，
∴𝑎2+𝑎2=(𝑎+𝑎)2−2=7． (1)根据完全平方公式进行解答即可； (2)根据完全平方公式进行解答；
(3)先根据𝑎2−3𝑎+1=0求出𝑎+𝑎=3，然后根据完全平方公式求解即可． 本题考查了完全平方公式，解答本题的关键在于熟练掌握完全平方公式．
1
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