圆锥曲线解答第一问专项练习

圆锥曲线解答第一问专

项练习

Modified by JACK on the afternoon of December 26, 2020

1、已知定点G(3,0)，S是圆C:(x3)2y272（C为圆心）上的动点，SG的垂直平分线与SC交于点E.设点E的轨迹为M. (1)求M的方程；

x2y22、平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：221(ab0)右焦点的直线

abxy30交M于A,B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为

1. 2(Ι)求M的方程；

x2y23、已知椭圆C:221ab0的两个焦点F1,F2和上下两个顶点B1,B2是一个边

ab长为2且∠F1B1F2为60的菱形的四个顶点. （1）求椭圆C的方程；

4、在平面直角坐标系xoy中，点P(a,b)(ab0)为动点，F1,F2分别为椭圆

x2y21的左右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．（1）求椭圆的离心率e；a2b2（2）设直线PF2与椭圆相交于A,B两点，M是直线PF2上的点，满足，求点M的轨迹方程． AMBM2将

18x21510x253y代入cx， y得c16x3163x5、14．（2010?辽宁）设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直

．

线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，（1）求椭圆C的离心率；

（2）如果|AB|=，求椭圆C的方程．

解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知y1＞0，y2＜0． （1）直线l的方程为

，其中

．

联立 得 ．

解得，．

因为，所以﹣y1=2y2．即﹣=2 ，

解得离心率．（6分）

（2）因为，∴．

由 得，所以，解得a=3，．

故椭圆C的方程为．（12分）

6、已知双曲线C的方程为的距离为

=1（a＞0，b＞0），离心率，顶点到渐近线

．（I）求双曲线C的方程；

解答：解：（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点（O，a）到渐近线ax﹣by=0的距离为

，

∴，

由，得

∴双曲线C的方程为．

7、已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的左顶点A和上顶点D，

椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线

分别交于M，N两点．

（1）求椭圆C的方程；

解：（1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（﹣2，0）， 上顶点为D（0，1），∴a=2，b=1 故椭圆C的方程为8、已知曲线内切圆半径为

（4分）

所围成的封闭图形的面积为

．记C2为以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆．

，曲线C1的

（Ⅰ）求椭圆C2的标准方程；

解：（Ⅰ）由题意得 ，又a＞b＞0，解得 a2=5，b2=4．

因此所求椭圆的标准方程为 ．

x2y29、已知椭圆221(ab0)的左右焦点分别为F1和F2，由4个点M(-aba,b)、N(a,b)、F2和F1组成了一个高为3，面积为33的等腰梯形.

（1）求椭圆的方程; 解：（1）由条件，得b=3，且

2a2c333， 2所以a+c=3. …………………2分

又a2c23，解得a=2，c=1.

x2y21. …………………4分 所以椭圆的方程4310、已知动圆P过点N5,0并且与圆M:x52y216相外切，动圆圆心

P的轨迹为W，轨迹W与x轴的交点为D．

（Ⅰ）求轨迹W的方程；

解：（Ⅰ）由已知 PMPN4MN25，

∴点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支，且

a2,c5,b1．

x2∴轨迹W的方程为 y21x2． ----------------------------4--------- 4分

11、已知点A（﹣2，0）在椭圆

的交点为B，其左焦点为F，且∠AFB=150°． （1）求椭圆E的方程；

上，设椭圆E与y轴正半轴

解：（1）∵∠AFB=150°，∴∠OFB=30°（O为坐标原点） 在直角△BOF中，|FB|=2|OB|，∴a=2b

∵点A（﹣2，0）在椭圆上，∴a=2，∴b=1

∴椭圆；

12、设椭圆，直线l过椭圆左焦点F1且不与x轴重合，l

．

椭圆交于P、Q，左准线与x轴交于K，|KF1|=2．当l与x轴垂直时，

（1）求椭圆T的方程； 解（1）设椭圆半焦距为c，

，

，将x=﹣c 代入椭圆方程得

∴

所以，∴

a=3，b=2 所求椭圆方程为：

22

13、在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆顶点分别为A、B，椭圆C的右焦点为F，

过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S，若线段RS的长为

．

左、右

（1）求椭圆C的方程；

解：（1）依题意，椭圆过点，故，解得．…（3

分）

椭圆C的方程为．…（4分）

14、如图，已知椭圆C：的离心率为，以椭圆C的左顶点T

为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N． （1）求椭圆C的方程； 解：（1）依题意，得a=2，

．…（3分）

，∴c=

，b=

=1，故椭圆C的方程为

15、已知椭圆．F1，F2分别为椭圆C的左，右焦点，A1，A2

分别为椭圆C的左，右顶点．过右焦点F2且垂直于x轴的直线与椭圆C在第一象限的交点为M

．

（1）求椭圆C的标准方程；

解：（1）∵过右焦点F2且垂直于x轴的直线与椭圆C在第一象限的交点为M∴

．

，b2=a2﹣c2=a2﹣3．

∵点在椭圆上，∴，

∴3a2﹣9+4a2=a4﹣3a2∴a4﹣10a2+9=0，∴（a2﹣9）（a2﹣1）=0， ∴a2=9或a2=1＜c2（舍去）． ∴b2=a2﹣c2=6．

∴椭圆C的方程为．…（4分）

16、已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点F1、F2与短轴一端点的连线互相

垂直，M为椭圆上任一点，且△MF1F2的面积最大值为1． （1）求椭圆C的方程；

解：（1）椭圆中，由题意可知…（4分）

∴b=c=1，∴∴椭圆方程为

，

…（6分）

17、已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为

．

，且椭圆上一点与椭圆的两

个焦点构成的三角形周长为（Ⅰ）求椭圆M的方程；

解：（Ⅰ）因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为所以

，

，即

，所以

，…（2分）

，

又椭圆的离心率为

所以a=3，．

．…（3分）

所以b=1，椭圆M的方程为

2x2y218、设椭圆M：221(ab0) 的离心率为，点A（a，0），B（0，

2abb），原点O到直线AB的距离为

233．

（Ⅰ）求椭圆M的方程；

c2a2b2b2112得a2b 由e2aa2a22由点A（a，0），B（0，b）知直线AB的方程为xay1， b于是可得直线AB的方程为x2y2b0

|002b|12(2)22b23，得b2，b22，a24， 33因此x2y2所以椭圆M的方程为1

4219、已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点 为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）. （Ⅰ）求椭圆C的方程;

x2y2解 （Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为221(ab0),焦距为2c，

ab由题设条件知，a28,bc, 所以b2a24.

x2y2故椭圆C的方程为1 .

841220、如图，已知⊙O：x22y28及点A2,0，在 ⊙O上任取一点A′，连AA′

并作AA′的中垂线l，设l与直线OA′交于点P，若点A′取遍⊙O上的点. （1）求点P的轨迹C的方程；

(1) ∵l是线段AA的中垂线，∴PAPA,

∴||PA|－|PO||=||PA|－|PO||=|OA|=22.即点P在以O、A为焦点，

x2y2以4为焦距，以22为实轴长的双曲线上，故轨迹C的方程为1.

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