19.3 课题学习 选择方案
●教学目标
1.利用一次函数知识,根据实际问题背景建立一次函数模型.
2.灵活运用变量关系建立一次函数模型并且选择最佳方案解决相关实际问题. ● 过程与方法
1.让学生在探索过程中,体会“问题情境——建立模型——解释应用——回顾拓展”这一数学建模的基本思想,感受函数知识的应用价值.
2.让学生结合自身的生活经历,模仿尝试解决一些身边的函数应用问题,体会数学与现实的密切联系,提高解决问题的能力,体会一次函数在分析和解决实际问题中的作用. ●情感、态度与价值观
1.通过对实际问题的数据关系的探索,使学生领会分类讨论的思想和善于总结的学习态度.
2.通过小组讨论交流合作,培养学生的合作意识和探索精神;认识到函数与现实有密切关系,感受到数学的实际价值. ●重点与难点
【重点】 建立一次函数模型解决实际问题. 【难点】 分类讨论的分析方法. ●教学准备
【教师准备】 教学中出示的教学插图和例题. 【学生准备】 复习一次函数的知识.
●新课导入：
做一件事情,有时有不同的实施方案,比较这些方案,从中选择最佳方案作为行动计划是非常必要的.应用数学的知识和方法对各种方案进行比较分析,可以帮助我们清楚地认识各种方案,作出合理的选择.
提问:你能说说生活中需要选择方案的例子吗?
学生各抒己见,引出本节课要解决的问题如何选择上网收费方式的问题和租车问题.
某单位需要用车,准备和一个体车主或一国有出租公司其中的一家签订合同,设汽车每月行驶xkm,应付给个体车主的月租费是y1元,付给出租公司的月租费是y2元,y1,y2与x之间的函数关系是如图所示的两条直线.
(1)每月行驶的路程在什么范围内时,租国有出租公司的出租车合算? (2)每月行驶的路程等于多少时,租两家车的费用相同?
(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2300km,那么这个单位租哪家的车合算? 学生观察图象,独立思考后,讨论交流.
1.怎样选取上网收费方式 思路一:
(教材问题1)怎样选取上网收费方式?
下表给出A,B,C三种上宽带网的收费方式:
收费 方式 A B C 月使用 费/元 30 50 120 包时上网 超时费/ 时间/h 25 50 不限时 (元/min) 0.05 0.05 选取哪种方式能节省上网费?
引导学生阅读教师给出的材料,并思考下列问题: (1)“选择哪种方式上网”的依据是什么?
(2)方式A,B中,上网费由哪些部分组成的?方式C上网费是多少钱? 学生通过阅读材料进行思考,交流老师提出的问题. 教师解析:
(1)“选择哪种方式上网”的依据是先确定三种方式的上网费分别是多少,费用最少的就是最佳方案.
(2)方式A,B收费为:①当上网时间不超过规定时间时,上网费用=月使用费;②当上网时间超过规定时间时,上网费用=月使用费+超时费. 方式C收费为:120元.
追问:(1)你能用适当的方法表示出A,B,C三种方式的上网费用吗?
(2)设上网时间为xh,上网费用为y元,你能用数学关系式表示y与x的关系吗? 学生思考后,小组讨论,得出结论,老师适时引导和点拨. 教师解析:
方式A:当上网时间不超过25h时,上网费=30元;
当上网时间超过25h时,上网费=30+超时费=30+0.05×60×(上网时间-25). 方式A:当0≤x≤25时,y1=30; 当x>25时,y1=30+0.05×60(x-25), 即y1=3x-45. 故y1=
教师讲解A的方式后,让学生类似地写出B,C方式的收费关系式: 方式B:y2=
方式C:y3=120(x≥0).
知上网费用随上网时间的变化而变化,并把这两个变量作为研究对象,引导学生最终把问题转化为一次函数问题.
提问:用什么方法比较函数y1,y2,y3 的大小呢?
学生独立思考, 有的学生可能会用不等式或方程考虑,但发现由于y1,y2 是分段函数,用不等式或方程比较麻烦,此时教师引导学生还可以借助函数图象来分析问题和解决问题. 教师解析:
(1)设上网时间为xh,方式A上网费用为y1元,方式B上网费用为y2元,方式C上网费用为
y3元,则y1=y2=y3=120(x≥0).问题转化为比较y1,y2,y3 的大小.
(2)引导学生画出函数的图象:
由函数图象可知:
(1)函数y1=3x-45与函数y2=50的图象的交点横坐标满足:3x-45=50,故交点的横坐标为
x=31,
(2)函数y2=3x-100与函数y3=120的图象的交点横坐标满足:3x-100=120, 故交点的横坐标为x=73.
由数形结合思想可知:当上网时间不超过31小时40分钟时,选择方式A最省钱; 当上网时间为31小时40分钟至73小时20分钟时,选择方案B最省钱; 当上网时间超过73小时20分钟时,选择方案C最省钱. 引导学生写出详细的解答过程:
解:设上网时间为xh,方式A上网费用为y1元,方式B上网费用为y2元,方式C上网费用为
y3元,则y1=y2=y3=120(x≥0).
(1)令y1=y2,即3x-45=50,解方程,得x=31. (2)令y2=y3,即3x-100=120,解方程,得x=73. 画出函数的图象如下图:
结合函数的图象可知:
当上网时间不超过31小时40分时,选择方案A最省钱;
当上网时间为31小时40分至73小时20分时,选择方案B最省钱; 当上网时间超过73小时20分时,选择方案C最省钱. ●课堂小结 1.本节课学习了用一次函数解决实际问题的基本思路:
2.本节课渗透的数学思想方法.(建立数学模型、数形结合、分类讨论)
3.在选择方案时,往往需要从数学角度进行分析,涉及变量的问题常用到函数.解决含有多个变量的问题时,可以分析这些变量之间的关系,从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量,然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数,以此作为解决问题的数学模型. ● 布置作业 【必做题】
教材第105页活动1. 【选做题】
教材第105页活动2. ●教学后记：
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容