（中考三轮复习精准训练）中考数学模拟试卷：
图形的相似汇编
1．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ． （1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，﹣1），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，点A1的坐标为 ；
1）1放大，（2）在网格内以点（1，为位似中心，把△A1B1C1按相似比2：得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；若边AC上任意一点P的坐标为（m，n），则两次变换后对应点P2的坐标为 ．
1
3．综合与实践﹣探究正方形旋转中的数学问题 问题情境：
已知正方形ABCD中，点O在BC边上，且OB＝2OC．将正方形ABCD绕点O顺时针旋转得到正方形A′B′C′D′（点A′，B′，C′，D′分别是点A，B，C，D的对应点）．同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答．
特例分析：（1）“乐思”小组提出问题：如图1，当点B′落在正方形ABCD的对角线BD上时，设线段A′B′与CD交于点M．求证：四边形OB′MC是矩形；
（2）“善学”小组提出问题：如图2，当线段A′D′经过点D时，猜想线段C′O与D′D满足的数量关系，并说明理由； 深入探究：
（3）请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择 题． A．在图2中连接AA′和BB′，请直接写出
的值．
B．“好问”小组提出问题：如图3，在正方形ABCD绕点O顺时针旋转的过程中，设直线BB′交线段AA′于点P．连接OP，并过点O作OQ⊥BB′于点Q．请在图3中补全图形，并直接写出
的值．
2
4．如图，矩形OABC边OA，OC分别在x轴，y轴上，且OA＝8，OC＝6，连接OB，点D为OB中点，点E从点A出发以每秒1个单位长度运动到点B停止，设运动时间为t（0＜t＜6），连接DE，作DF⊥DE交OA于F，连接EF．
（1）如图1，当四边形DFAE为矩形时，求t的值； （2）如图2，试证明在运动过程中，△DFE∽△ABO； （3）当t为何值时，△AEF面积最大？最大值为多少？
5．已知∠MBN＝45°，点P为∠MBN内的一个动点，过点P作∠BPA与∠BPC，使得∠BPA＝∠BPC＝135°，分别交BM、BN于点A、C． （1）求证：△CPB∽△BPA； （2）连接AC，若AC⊥BC，试求
的值；
（3）记AP＝a，BP＝b，CP＝c，若a+b﹣c＝20，a≥2b，且a、b、c为整数，求a，b，c的值．
3
6．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，D是BC边上一点，且BD＝CD，G是BC边上的一动点，GE∥AD分别交直线AC，AB于F，E两点． （1）AD＝ ；
（2）如图1，当GF＝1时，求
的值；
（3）如图2，随点C位置的改变，FG+EG是否为一个定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由．
7．△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2cm．长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）．过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts． （1）当0≤t≤1时，PM＝ ，QN＝ （用t的代数式表示）；
（2）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；
（3）t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
4
8．AB＝AC，D，E两点分别在AC，BC上，如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α． （1）问题发现：当α＝0°时，
的值为 ；
的值；
（2）拓展探究：当0°≤α＜360°时，若△EDC旋转到如图2的情况时，求出
（3）问题解决：当△EDC旋转至A，B，E三点共线时，若设CE＝5，AC＝4，直接写出线段BE的长 ．
9．E为AB边上一点，如图，在正方形ABCD中，连接DE，交AC于H点，过点D作DF⊥DE，交BC的延长线于F，连接EF交于AC于点G． （1）请写出AE和CF的数量关系： ； （2）求证：点G是EF的中点；
（3）若正方形ABCD的边长为4，且AE＝1，求GH•GA的值．
5
10．如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q． （1）当点Q在线段CA上时，如图1，求证：△BPE∽△CEQ．
（2）当点Q在线段CA的延长线上时，如图2，△BPE和△CEQ是否相似？说明理由；若BP＝1，CQ＝
，求PQ的长．
11．已知：在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上．
（1）如图1，当点G在CD上时，求证：△AEF≌△DFG；
FG与CD相交于点N，EN＝AE+DN； （2）如图2，若F是AD的中点，连接EN，求证：（3）如图3，若AE＝AD，EG，FG分别交CD于点M，N，求证：MG2＝MN•MD
6
12．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝12．
（1）如图1，折叠△ABC使点A落在AC边上的点D处，折痕交AC、AB分别于Q、H，若S△ABC＝9S△DHQ，则HQ＝ ．
AB分别于E、F．（2）如图2，折叠△ABC使点A落在BC边上的点M处，折痕交AC、若FM∥AC，求证：四边形AEMF是菱形；
（3）在（1）（2）的条件下，线段CQ上是否存在点P，使得△CMP和△HQP相似？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的一个动点（点D不与点B、点C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F．
（1）求证：AB•CE＝BD•CD；
（2）当DF平分∠ADC时，求AE的长； （3）当△AEF是等腰三角形时，求BD的长．
7
14．如图，已知平行四边形ABCD中，AD＝，AB＝5，tanA＝2，点E在射线AD上，过
点E作EF⊥AD，垂足为点E，交射线AB于点F，交射线CB于点G，联结CE、CF，设AE＝m．
（1）当点E在边AD上时，
①求△CEF的面积；（用含m的代数式表示） ②当S△DCE＝4S△BFG时，求AE：ED的值；
（2）当点E在边AD的延长线上时，如果△AEF与△CFG相似，求m的值．
15．如图，在平面直角坐标系中，过原点O及A（8，0）、C（0，6）作矩形OABC，连接AC，一块直角三角形PDE的直角顶点P始终在对角线AC上运动（不与A、C重合），且保持一边PD始终经过矩形点B，PE交x轴于点Q （1）
＝ ；
的值是否发生变化？如果变化，请求出其
（2）在点P从点C运动到点A的过程中，
变化范围，如果不变，请说明理由，并求出其值；
（3）若将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，则PC的长为 ．
8
参考答案
1．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ． （1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
解：（1）①当△BPQ∽△BAC时， ∵，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，BC＝8cm， ∴，
∴
；
②当△BPQ∽△BCA时， ∵， ∴，
∴， ∴
或
时，△BPQ与△ABC相似； （2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N， 则有PB＝3t，
，
，
，
∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°， ∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°， ∴△ACQ∽△CMP， ∴
，
9
∴
解得：；
2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，﹣1），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，点A1的坐标为 （2，1） ；
1）1放大，（2）在网格内以点（1，为位似中心，把△A1B1C1按相似比2：得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；若边AC上任意一点P的坐标为（m，n），则两次变换后对应点P2的坐标为 （﹣2m+3，2n+3） ．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；点A1的坐标为（2，1）；
10
故答案为：（2，1）；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；P2的坐标为（﹣2m+3，2n+3）． 故答案为：（﹣2m+3，2n+3）．
3．综合与实践﹣探究正方形旋转中的数学问题 问题情境：
已知正方形ABCD中，点O在BC边上，且OB＝2OC．将正方形ABCD绕点O顺时针旋转得到正方形A′B′C′D′（点A′，B′，C′，D′分别是点A，B，C，D的对应点）．同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答．
特例分析：（1）“乐思”小组提出问题：如图1，当点B′落在正方形ABCD的对角线BD上时，设线段A′B′与CD交于点M．求证：四边形OB′MC是矩形；
（2）“善学”小组提出问题：如图2，当线段A′D′经过点D时，猜想线段C′O与D′D满足的数量关系，并说明理由； 深入探究：
（3）请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择 A 题． A．在图2中连接AA′和BB′，请直接写出
的值．
B．“好问”小组提出问题：如图3，在正方形ABCD绕点O顺时针旋转的过程中，设直线BB′交线段AA′于点P．连接OP，并过点O作OQ⊥BB′于点Q．请在图3中补全图形，并直接写出
的值．
11
1）证明：∵四边形 ABCD是正方形， BC＝CD，∠C＝90°， CBD＝∠CDB＝45°； 由旋转可知，OB＝OB’， OB’B＝∠OBB’＝45°， B’OC是△BOB’的一个外角，
B’OC＝∠OB’B+∠OBB’＝45°+45°＝90°， A’B’C’D’是正方形， OB’M＝90°，
OB’MC是矩形；
（2）解：D’D＝2C’O，理由如下：
如图2①，连接 OD，OD’，过点 O作 OE⊥D’D于点 E，则∠OED’＝90°，由旋转可知，OD＝OD’，则 D’D＝2D’E， A’B’C’D’是正方形， C′＝∠OED′＝90°， OC’D’E是矩形， C’O＝D’E， D’D＝2C’O；
（3）解：A、如图2②，连接AA′，BB′，OA，OA′， ABCD绕点O顺时针旋转得到正方形A′B′C′D′， OB＝OB′，OA＝OA′，∠BOB′＝∠AOA′， ，
OBB′∽△OAA′，
12
（∴∴∠ ∴∠∵∠∴∠∵四边形∴∠∴四边形 ∵四边形∴∠∴四边形∴∴ ∵将正方形∴∴
∴△
∴＝，
∵AB＝BC，OB＝2OC， ∴设OC＝x，则OB＝2x， ∴AB＝BC＝3x， ∴OA＝＝
＝
x，
∴
＝
＝
＝
；
B、如图3，连接OA，OA′，
∵将正方形ABCD绕点O顺时针旋转得到正方形A′B′C′D′，∴OB＝OB′，OA＝OA′，∠BOB′＝∠AOA′， ∴∠OBB′＝∠OAA′， ∴点A，B，O，P四点共圆， ∴∠ABO+∠APO＝180°， ∴∠APO＝90°， ∵OQ⊥BB′，
∴∠BQO＝∠APO＝90°， ∴△OAP∽△OBQ， ∴
＝
．
13
4．如图，矩形OABC边OA，OC分别在x轴，y轴上，且OA＝8，OC＝6，连接OB，点D为OB中点，点E从点A出发以每秒1个单位长度运动到点B停止，设运动时间为t（0＜t＜6），连接
DE，作
DF⊥DE
交
OA
于
F，连接
EF．
（1）如图1，当四边形DFAE为矩形时，求t的值； （2）如图2，试证明在运动过程中，△DFE∽△ABO； （3）当t为何值时，△AEF面积最大？最大值为多少？ 解：（1）∵四边形OABC是矩形， ∴AB＝OC＝6，∠OAB＝90°， ∵四边形DFAE是矩形， ∴∠BED＝90°＝∠OAB， ∴DE∥OA，
∵点D是OB的中点，
14
∴点E是AB中点， ∴AE＝
AB＝3，
由运动知，AE＝t， ∴t＝3；
（2）如图2所示： 作DM⊥OA于M，D N⊥AB于N，
∵四边形OABC是矩形， ∴OA⊥AB，
∴四边形DMAN是矩形，
∴∠MDN＝90°，DM∥AB，DN∥OA， ∴
＝
，
＝
，
∵点D为OB的中点，
∴M、N分别是OA、AB的中点， ∴DM＝
AB＝3，DN＝
OA＝4，
∵∠EDF＝90°， ∴∠FDM＝∠EDN， 又∵∠DMF＝∠DNE＝90°， ∴△DMF∽△DNE， ∴
＝
＝
，
∵OA＝8，AB＝6，
15
∴∴
， ，
∵∠FDE＝∠BAO＝90°， ∴△DFE∽△ABO；
（3）如图2，由（2）知，△DMF∽△DNE， ∴
，
由运动知，AE＝t， 当0＜t≤3时，NE＝3﹣t， ∴∴MF＝
， （3﹣t），
（3﹣t）＝8﹣
t
∴AF＝AM+MF＝4+
当3＜t＜6时，NE＝t﹣3， ∴∴MF＝
（t﹣3），
（t﹣3）＝8﹣•t（8﹣
t）＝﹣
t，
（t﹣3）2+6，
∴AF＝AM﹣MF＝4﹣∴S△AEF＝
AE×AF＝
当t＝3时，△AEF面积最大，最大值为6．
5．已知∠MBN＝45°，点P为∠MBN内的一个动点，过点P作∠BPA与∠BPC，使得∠BPA＝∠BPC＝135°，分别交BM、BN于点A、C． （1）求证：△CPB∽△BPA； （2）连接AC，若AC⊥BC，试求
的值；
（3）记AP＝a，BP＝b，CP＝c，若a+b﹣c＝20，a≥2b，且a、b、c为整数，求a，b，c的值．
（1）证明：∵∠BPA＝135°， ∴∠ABP+∠BAP＝180°﹣135°＝45°，
16
∵∠ABP+∠CBP＝∠MBN＝45°， ∴∠ABP+∠BAP＝∠ABP+∠CBP， ∴∠BAP＝∠CBP， ∵∠BPA＝∠BPC， ∴△CPB∽△BPA；
（2）解：∵AC⊥BC，∠MBN＝45°， ∴△ACB是等腰直角三角形， ∴AB＝
BC，
∵△CPB∽△BPA， ∴
＝
＝
＝
＝
，
设PC＝a， 则BP＝
a，AP＝2a，
∵∠APC＝360°﹣135°﹣135°＝90°， ∴AC＝＝＝
a，∴
＝
＝
；
（3）解：∵△CPB∽△BPA， ∴＝， 即＝
≥2，
∴c≤
，
∴a+b﹣c≥2b+b﹣＝
b，
∴
b≤20，
∴b≤8，
∵a、b、c为整数，
∴当b＝8时，a＝16，c＝4； 当b＝7时，a＝14，c＝1； 当b＜7时，c＜0（不合题意舍去），
∴a，b，c的值分别为16，8，4或14，7，1．17
6．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，D是BC边上一点，且BD＝CD，G是BC边上的一动点，GE∥AD分别交直线AC，AB于F，E两点． （1）AD＝
；
的值；
（2）如图1，当GF＝1时，求
（3）如图2，随点C位置的改变，FG+EG是否为一个定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由．
解：（1）∵∠BAC＝90°，且BD＝CD， ∴AD＝BC，
∵BC＝＝＝2
，
∴AD＝
×2
＝，
故答案为：；
（2）如图1，∵GF∥AD， ∴∠CFG＝∠CAD， ∵BD＝CD＝
BC＝AD＝
，
∴∠CAD＝∠C， ∴∠CFG＝∠C， ∴CG＝FG＝1， ∴BG＝2
﹣1，
∵AD∥GE， ∴△BGE∽△BDA， ∴＝＝＝；
18
（3）如图2，随点C位置的改变，FG+EG是一个定值，理由如下： ∵AD＝
BC＝BD，
∴∠B＝∠BAD， ∵AD∥EG， ∴∠BAD＝∠E， ∴∠B＝∠E， ∴EG＝BG，
由（2）知，GF＝GC， ∴EG+FG＝BG+CG＝BC＝2∴FG+EG是一个定值，为2
， ．
7．△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2cm．长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）．过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts． （1）当0≤t≤1时，PM＝
tcm ，QN＝
（3﹣t）cm （用t的代数式表示）；
（2）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；
（3）t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
19
解：（1）由题意得：AM＝t， ∵PM⊥AB， ∴∠PMA＝90°， ∵∠A＝60°， ∴∠APM＝30°， ∴PM＝
AM＝
t．
∵∠C＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝30°， ∴AB＝2AC＝4，BC＝AC＝2
，
∵MN＝1，
∴BN＝AM﹣AM﹣1＝3﹣t， ∵QN⊥AB， ∴QN＝BN＝
（3﹣t）；
故答案为：
tcm，
（3﹣t）cm． （2）四边形MNQP有可能成为矩形，理由如下： 由（1）得：QN＝
（3﹣t）．
由条件知，若四边形MNQP为矩形， 则需PM＝QN，即t＝
（3﹣t），
∴t＝
．
∴当t＝
s时，四边形MNQP为矩形；
（3）由（2）知，当t＝s时，四边形MNQP为矩形，此时PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC．
除此之外，当∠CPQ＝∠B＝30°时，△QPC∽△ABC，
20
此时∵
＝tan30°＝＝cos60°＝
，
．
∴AP＝2AM＝2t． ∴CP＝2﹣2t． ∵
＝cos30°＝
，
∴BQ＝又∵BC＝2∴CQ＝2
，
（3﹣t）．
．
∴．
综上所述，当s或s时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
8．AB＝AC，D，E两点分别在AC，BC上，如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α． （1）问题发现：当α＝0°时，
的值为
；
的值；
（2）拓展探究：当0°≤α＜360°时，若△EDC旋转到如图2的情况时，求出
（3）问题解决：当△EDC旋转至A，B，E三点共线时，若设CE＝5，AC＝4，直接写出线段BE的长 7或1 ．
解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴△ABC为等腰直角三角形，∠B＝45°， ∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠B＝45°，∠CDE＝∠A＝90°， ∴△DEC为等腰直角三角形，
21
∴cos∠C＝＝，
∵DE∥AB， ∴
＝
＝
， 故答案为：；
（2）由（1）知，△BAC和△CDE均为等腰直角三角形，∴
＝
＝
，
又∠BCE＝∠ACD＝α， ∴△BCE∽△ACD， ∴＝＝，
即＝
；
（3）①如图3﹣1，当点E在线段BA的延长线上时， ∵∠BAC＝90°， ∴∠CAE＝90°， ∴AE＝
＝
＝3，
∴BE＝BA+AE＝4+3＝7；
②如图3﹣2，当点E在线段BA上时， AE＝
＝
＝3，
∴BE＝BA﹣AE＝4﹣3＝1， 综上所述，BE的长为7或1， 故答案为：7或1．
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9．E为AB边上一点，如图，在正方形ABCD中，连接DE，交AC于H点，过点D作DF⊥DE，交BC的延长线于F，连接EF交于AC于点G． （1）请写出AE和CF的数量关系： 相等 ； （2）求证：点G是EF的中点；
（3）若正方形ABCD的边长为4，且AE＝1，求GH•GA的值．
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠EAD＝∠DCB＝∠DCF＝90°，AD＝DC， ∵DF⊥DE， ∴∠EDF＝90°，
∴∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDF， ∴∠ADE＝∠CDF， ∴△ADE≌△CDF（ASA），
23
∴AE＝CF， 故答案为：相等；
（2）如右图，过E作EM∥BC交AC于M， ∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线， ∴
，
∵EM∥BC，
∴∠AEM＝∠B＝90°， ∴∠AME＝90°﹣∠EAM＝45°， ∴∠AEM＝∠EAM， ∴AE＝EM， ∵AE＝CF， ∴EM＝CF， ∵EM∥BC，
∴∠MEG＝∠GFC，∠EMG＝∠GCF， ∴△EMG≌△FCG（ASA）， ∴EG＝FG， ∴G为EF的中点；
（3）由（1）知△DAE≌△DCF， ∴DE＝DF， ∴∠DEF＝∠DFE， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEF＝45°， ∵∠BAC＝45°， ∴∠DEF＝∠BAC， ∵∠AGE＝∠AGE， ∴△GEH∽△GAE， ∴
＝，
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∴EG2＝GH•AG，
∵AE＝1，则CF＝1，BF＝5， ∴EF＝∴
＝．
＝
，
10．如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q． （1）当点Q在线段CA上时，如图1，求证：△BPE∽△CEQ．
（2）当点Q在线段CA的延长线上时，如图2，△BPE和△CEQ是否相似？说明理由；若BP＝1，CQ＝
，求PQ的长．
（1）证明：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°， ∵∠BEQ＝∠EQC+∠C， 即∠BEP+∠DEF＝∠EQC+∠C， ∴∠BEP+45°＝∠EQC+45°， ∴∠BEP＝∠EQC， ∵∠B＝∠C，
25
∴△BPE∽△CEQ；
（2）△BPE∽△CEQ；理由如下： ∵∠BEQ＝∠EQC+∠C， 即∠BEP+∠DEF＝∠EQC+∠C， ∴∠BEP+45°＝∠EQC+45°， ∴∠BEP＝∠EQC， 又∵∠B＝∠C， ∴△BPE∽△CEQ； ∴
＝
，
∵△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合， ∴BE＝CE， ∴
＝
，
解得：BE＝CE＝∴BC＝3
，
，
在Rt△ABC中，AB＝AC， ∴AB＝AC＝
BC＝
×3
＝3，
，AP＝AB﹣BP＝3﹣1＝2，
＝
＝
．
∴AQ＝CQ﹣AC＝﹣3＝
在Rt△APQ中，PQ＝
11．已知：在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上．
（1）如图1，当点G在CD上时，求证：△AEF≌△DFG；
FG与CD相交于点N，EN＝AE+DN； （2）如图2，若F是AD的中点，连接EN，求证：（3）如图3，若AE＝AD，EG，FG分别交CD于点M，N，求证：MG2＝MN•MD
26
解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°， ∴∠AEF+∠AFE＝90°， ∵∠EFG＝90°， ∴∠AFE+∠DFG＝90°， ∴∠AEF＝∠DFG， ∵EF＝FG，
∴△AEF≌△DFG（AAS）；
（2）如图2，，
延长NF，EA相交于H， ∴∠AFH＝∠DFN，
由（1）知，∠EAF＝∠D＝90°， ∴∠HAF＝∠D＝90°， ∵点F是AD的中点， ∴AF＝DF，
∴△AHF≌△DNF（ASA）， ∴AH＝DN，FH＝FN， ∵∠EFN＝90°， ∴EH＝EN，
∵EH＝AE+AH＝AE+DN， ∴EN＝AE+DN；
（3）如图3，
27
过点G作GP⊥AD交AD的延长线于P， ∴∠P＝90°，
同（1）的方法得，△AEF≌△PFG（AAS）， ∴AF＝PG，PF＝AE， ∵AE＝AD， ∴PF＝AD， ∴AF＝PD， ∴PG＝PD， ∵∠P＝90°， ∴∠PDG＝45°， ∴∠MDG＝45°，
在Rt△EFG中，EF＝FG， ∴∠FGE＝45°， ∴∠FGE＝∠GDM， ∵∠GMN＝∠DMG， ∴△MGN∽△MDG， ∴
，
MG2＝MN•MD．
28
12．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝12．
（1）如图1，折叠△ABC使点A落在AC边上的点D处，折痕交AC、AB分别于Q、H，若S△ABC＝9S△DHQ，则HQ＝ 4 ．
AB分别于E、F．（2）如图2，折叠△ABC使点A落在BC边上的点M处，折痕交AC、若FM∥AC，求证：四边形AEMF是菱形；
（3）在（1）（2）的条件下，线段CQ上是否存在点P，使得△CMP和△HQP相似？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由． 解：（1）如图1中，
在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝12， ∴AC＝
＝16，设HQ＝x，
29
∵HQ∥BC， ∴＝
， ∴， ∴AQ＝
x，
∵S△ABC＝9S△DHQ， ∴
×16×12＝9××x×x，
∴x＝4或﹣4（舍弃）， ∴HQ＝4， 故答案为4．
（2）如图2中，
由翻折不变性可知：AE＝EM，AF＝FM，∠AFE＝∠MFE，∵FM∥AC， ∴∠AEF＝∠MFE， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴AE＝AF，
∴AE＝AF＝MF＝ME， ∴四边形AEMF是菱形．
（3）如图3中，
30
设AE＝EM＝FM＝AF＝4m，则BM＝3m，FB＝5m， ∴4m+5m＝20， ∴m＝
，
，
＝，
，
∴AE＝EM＝
∴EC＝AC﹣AE＝16﹣∴CM＝∵QH＝4，AQ＝∴QC＝当
＝
＝，
，设PQ＝x，
时，△HQP∽△MCP，
∴，
解得：x＝当
＝
，
时，△HQP∽△PCM，
∴
解得：x＝8或，
是分式方程的解，且符合题意，
或8或
．
经检验：x＝10或
综上所述，满足条件长QP的值为
13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的一个动点（点D不与点B、点C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD
31
交射线DE于点F．
（1）求证：AB•CE＝BD•CD；
（2）当DF平分∠ADC时，求AE的长； （3）当△AEF是等腰三角形时，求BD的长．
（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C，
∠ADC＝∠BAD+∠B，∠ADE＝∠B， ∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠C， ∴△BAD∽△CDE， ∴
＝
，即AB•CE＝BD•CD；
（2）解：∵DF平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∵∠CDE＝∠BAD， ∴∠ADE＝∠BAD， ∴DF∥AB， ∴
＝
，
∵∠BAD＝∠ADE＝∠B， ∴∠BAD＝∠C，又∠B＝∠B， ∴△BDA∽△BAC， ∴
＝
，即
＝
解得，BD＝
，
∴＝，
32
解得，AE＝；
（3）解：作AH⊥BC于H， ∵AB＝AC，AH⊥BC， ∴BH＝HC＝
BC＝8，
由勾股定理得，AH＝＝
＝6，
∴tanB＝
＝
， ∴tan∠ADF＝
＝
，
设AF＝3x，则AD＝4x， 由勾股定理得，DF＝＝5x，
∵△BAD∽△CDE， ∴
＝
，
当点F在DE的延长线上，FA＝FE时，DE＝5x﹣3x＝2x，∴
＝
，
解得，CD＝5， ∴BD＝BC﹣CD＝11，
当EA＝EF时，DE＝EF＝2.5x， ∴
＝
， 解得，CD＝
，
∴BD＝BC﹣CD＝
；
当AE＝AF＝3x时，DE＝
x，
∴＝，
解得，CD＝，
∴BD＝BC﹣CD＝
；
当点F在线段DE上时，∠AFE为钝角，
33
∴只有FA＝FE＝3x，则DE＝8x， ∴
＝
，
解得，CD＝20＞16，不合题意，
∴△AEF是等腰三角形时，BD的长为11或
或
．
14．如图，已知平行四边形ABCD中，AD＝，AB＝5，tanA＝2，点E在射线AD上，过
点E作EF⊥AD，垂足为点E，交射线AB于点F，交射线CB于点G，联结CE、CF，设AE＝m．
（1）当点E在边AD上时，
①求△CEF的面积；（用含m的代数式表示） ②当S△DCE＝4S△BFG时，求AE：ED的值；
（2）当点E在边AD的延长线上时，如果△AEF与△CFG相似，求m的值．
解：（1）①∵EF⊥AD， ∴∠AEF＝90°，
在Rt△AEF中，tanA＝2，AE＝m， ∴EF＝AEtanA＝2m， 根据勾股定理得，AF＝∵AB＝5， ∴BF＝5﹣
m，
＝
m，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝
，AD∥BC，
∴∠G＝∠AEF＝90°，
34
∴△AEF∽△BGF， ∴，
∴， ∴BG＝
﹣m，
∴CG＝BC+BG＝+
﹣m＝2﹣m， ∴S△CEF＝EF•CG＝
•2m•（2
﹣m）＝2
m﹣m2；
②由①知，△AEF∽△BGF， ∴， ∴FG＝
•EF＝
•2m＝2（﹣m）， ∴EG＝EF+FG＝2m+2（﹣m）＝2， ∴S△CDE＝DE•EG＝（
﹣m）•2＝5﹣
m，
S△BFG＝
BG•FG＝
（﹣m）•2（
﹣m）＝（
﹣m）2，S△DCE＝4S△BFG时， ∴5﹣m＝4（
﹣m）2，
∴m＝
（舍）或m＝
， ∴DE＝AD﹣AE＝﹣＝，
∴AE：ED＝
：
＝3，
即：AE：ED的值为3；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝，AD∥BC，
∵EF⊥AD， ∴EF⊥BC，
∴∠AEF＝∠CGF＝90°， ∵△AEF与△CFG相似，
35
∴①当△AEF∽△CGF时，如图1， ∴∠AFE＝∠CFG， ∵EF⊥BC， ∴BG＝
BC＝
，
∵AD∥BC， ∴∠CBF＝∠A， ∵tanA＝2， ∴tan∠CBF＝2，
在Rt△BGF中，FG＝BGtan∠CBF＝，根据勾股定理得， BF＝＝
，∴AF＝AB+BF＝5+＝
，
∵BC∥AD， ∴△BGF∽△AEF， ∴
，
∴，
∴m＝；
②当△AEF∽△CGF时，如图2， ∴∠EAF＝∠GFC， ∵∠EAF+∠AFE＝90°， ∴∠GFC+∠AFE＝90°， ∴∠AFC＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠CBF＝∠A， ∴tan∠CBF＝tanA＝2，
在R△BFC中，CF＝BF•∠CBF＝2BF， 根据勾股定理得，BF2+CF2＝BC2，
36
∴BF2+4BF2＝（∴BF＝1，
）2，
∴AF＝AB+BF＝6， 在Rt△BGF中，同理：BG＝∵AD∥BC， ∴△BGF∽△AEF， ∴
，
，
∴，
∴m＝．
或
．
即：如果△AEF与△CFG相似，m的值为
15．如图，在平面直角坐标系中，过原点O及A（8，0）、C（0，6）作矩形OABC，连接AC，一块直角三角形PDE的直角顶点P始终在对角线AC上运动（不与A、C重合），且保持一边PD始终经过矩形点B，PE交x轴于点Q （1）
＝
；
的值是否发生变化？如果变化，请求出其
（2）在点P从点C运动到点A的过程中，
变化范围，如果不变，请说明理由，并求出其值；
（3）若将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，则PC的长为 2.8 ．
37
解：（1）∵A（8，0）、C（0，6）， ∴OA＝8，OC＝6， ∵四边形OABC是矩形，
∴∠ABC＝∠OAB＝90°，BC＝OA＝8，AB＝OC＝6， ∴
＝
＝
， 故答案为：；
（2）
的值不发生变化，
＝
，理由如下：
∵∠OAB＝∠BPQ＝90°， ∴∠AOB+∠BPQ＝180°， ∴A、B、P、Q四点共圆， ∴∠PQB＝∠PAB， ∵∠ABC＝∠BPQ＝90°， ∴△PBQ∽△BCA， ∴
＝
＝
；
（3）设BQ交AP于M，如图所示： 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝10，
由折叠的性质得：BQ⊥AP，PM＝AM， ∴∠AMB＝90°＝∠ABC， ∵∠BAM＝∠CAB， ∴△ABM∽△ACB， ∴
＝，即＝，
38
解得：AM＝3.6， ∴PA＝2AM＝7.2，
∴PC＝AC﹣PA＝10﹣7.2＝2.8； 故答案为：2.8．
39
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