矩阵特征值在微分方程中的应用

矩阵特征值在微分方程中的应用戚爱玲鞠学伟，天津（中国民航大学理学院，300300）摘要：矩阵的特征值问题是线性代数理论的一个重要内容，在科学研究与工程实践中的应用非常广泛。本文从线性代数中特征值的概念出发，分析特征值在线性微分方程的求解问题、方程解的稳定性问题及共振问题中的应用。

关键词：特征值；线性微分方程；稳定解；共振现象中图分类号：G642.0

文献标志码：A

文章编号：1674-9324（2018）08-0221-02

线性代数这门课程的特点就是抽象，为了让学生喜欢上线性代数，教师应该将抽象的数学概念融入形引导学生从容易理解和象具体的物理或几何问题中，把握的具体问题中发现数学、理解数学和掌握数学，同时，也培养了学生主动去运用数学解决实际问题的能力。矩阵的特征值和特征向量是线性代数里面非常重要的概念，有着深刻的理论价值和广泛的应用价2]值[1，。对一个系统（比如物理系统、生态系统）来说，人而是们最关心的也许并非系统是如何随时间变化的，关心系统的最终发展趋势以及该发展趋势是不是可即稳定性问以在纷繁芜杂的现实世界中保持的问题，题，该问题常可归结为方阵的特征值和特征向量问题。不过工科公共基础课线性代数的教材[3]对该概念而是直的引入只是寥寥数语，并未给出任何的引例，接给出数学的定义，使学生对该部分内容没有足够的感性认识，使特征值与特征向量的概念在学生心中干瘪、不立体，从而很难达到教学要求。本文中，我们首先从交叉学科的角度来认识特征值，以提高大家对特征值概念的进一步理解。学生几乎在同时期学习高等数学课程中的常系数线性微分方程的内容。在这部分内容中也有相应的特征方程概细心的念，我们往往把特征方程的根简称为特征根，同学不免会问，看似不相关的两部分内容却有着类似的名称，他们之间是不是存在着某些联系呢？答案是肯定的。我们举一个二阶常系数齐次线性微分方程的例子：y义-2y忆-3y=0，该方程的特征方程为r2-2r-3=0，从该微中我们可以得到它的特征根为r1=-1，r2=3。另外，分方程还有另外一个常用的处理方法，做变量替换y1=y，y2=y1忆，我们得到与上述微分方程等价的矩阵形式：Y忆=AY，其中Y=微分矩阵A有两个特征值：r1=-1，r2=3。大家不难发现，方程y义-2y忆-3y=0的特征根本质上是某个矩阵的特征值，具体的是其等价矩阵形式Y忆=AY中A的特征值。通过以上的分析，如果我们将学生同时学习的两个看似会加深学生对相关内容的不相关的知识点联系起来，理解和掌握，也会提高学生学习数学的积极性和兴特征值会对微分方趣。另外，我们还要让学生认识到，程的解的变化趋势起到决定性的作用。我们仍以二阶常系数线性微分方程为例，考虑一般形式：y义+py忆+qy=0。我们都知道：（1）当p2-4q＞0时，微分方程有两-p±姨p-4q，个不相等的实特征根：r1，微分方程通2=22蓸蔀蓸蔀y1y2，A=0132。经过简单计算解是y=C1e+C2e；（2）当时，微分方程有两个相等的实rxp，微分方程的通解是y=（C+Cx）特征根：r1，=-e；21221r1xr2x（3）当p2-4q＜0时，微分方程有两个不相等的复特征-p±i姨p-4q，根：r1，微分方程通解是y=C1e+C2e。2=22r1xr2x当方程仔细分析我们不难发现一个非常重要的事实：特征根的实部都小于0时，方程的任意一个解都会随这时候我着x的增大而趋于0，而0也是方程的一个解，们称0解是稳定的；而当方程特征根的实部至少有一个是正实部时，方程的任意一个解都会随着x的增大而趋于无穷。这样的分析是非常重要的，因为在现实收稿日期：2017-07-12

（1983-）研究方向：微分方程与动力系统；戚爱玲（1981-）作者简介：鞠学伟，男（汉族），山东费县人，博士，中国民航大学讲师，，女（汉研究方向：微分方程与动力系统。族），山东临邑人，博士，中国民航大学讲师，

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2018年2月第8期教育教学论坛EDUCATIONTEACHINGFORUMFeb.2018NO.8这种情况问题中，很多问题中的自变量x都表示时间，下，大家最终看到的状态往往就是解对时间的最终变化趋势。最后，我们再举一个具体的例子来说明特征值的重要性。共振是我们现实世界中经常遇到的现象，可是大家会把这种物理现象和特征值联系到一起吗？我们考虑弹簧振子无阻尼强迫振动方程：dx+2dtkx=hsinpt（这个方程高等数学课本上有具体的建模过程[4]），其中hsinpt为周期外力项。该方程是典型的常系数非齐次线性微分方程的形式，它的解法是学习的重点。对应齐次方程的特征根为r1,2=±ik，故齐次方程的通解为X=C1coskt+C2sinkt。如果p≠k，则姿±i棕=±ip不是特征根，从而方程的通解为x=Asin（kt+渍）+2h2k-psinpt。上式表示，当干扰力的角频率p与振动系统的固h有频率k相差很小时，它的振幅22可以很大。k-p22如果p=k，则姿±i棕=±ip是特征根，从而方程的通解为x=Asin（kt+渍）-htcospt。2k上式表示，强迫振动的振幅ht随时间t的增大而2k无限增大，这就发生了所谓的共振现象，在这种情形下，我们称特征根r1,2=±ik为共振点。总之，我们发现常系数线性微分方程的特征根本另外，我们质上是其等价矩阵形式中矩阵的特征值；了解到微分方程的特征根从本质上反映了微分方程的解的变化趋势；最后，我们还知道微分方程的特征根还和共振现象有着本质的联系。参考文献：

[1]曲光辉.矩阵特征值的应用研究[J].中国西部科技,2015,14(5):91-92.

[2]韩卫华.矩阵特征值在线性微分方程组中的应用[J].教学与科技,1998,12(3):51-53.

[3]同济大学数学系.工程数学线性代数[M].第六版.北京:高等教育出版社,2013.

[4]同济大学数学系.高等数学[M].第七版.北京:高等教育出版社,2014.

TheApplicationofMatrixEigenvalueinDifferentialEquationJUXue-wei,QIAi-ling(SchoolofScience,CivilAviationUniversityofChina,Tianjin300300,China)Abstract:Thematrixeigenvalueproblemisoneoftheimportantcontentsofthetheoryoflinearalgebra,iswidelyusedinscientificresearchandengineeringpractice.Fromtheconceptoflinearalgebraeigenvalueofeigenvalueanalysisappliedinthestabilityoftheequations,solvinglineardifferentialequationsandtheresonanceproblem.

Keywords:eigenvalues;lineardifferentialequations;stablesolutions;resonancephenomena

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