第一章 数与代数
第一节 数的认识
一、整数
1、整数的分类 正整数
自然数 整数 零
负整数
零既不是正数也不是负数。
2、整数的意义
像-3、-2、-1、0、1、2、3、……这样的数统称为整数。整数的个数是无限的。既没有最小的整数，也没有最大的整数。
（1）自然数：像0、1、2、3、……这样用来表示物体个数的数叫自然数。 ①自然数是整数的一部分。 ②1是自然数的基本单位。
③零是最小的自然数，没有最大的自然数。
（2）负数：在正数前面加上“—”号的数叫作负数，“—”叫作负号。 ①负数的个数是无限的。
②没有最小的负数，最大的的负整数是-1.
（3）大于零的自然数称为正整数。因为自然数是整数的一部分，所以只能说“自然数都是整数”，不能说“整数就是自然数”。
（4）0的作用。 ①表示没有。（一个物体都没有用0表示。） ②在数字中起占位作用，表示该位上没有单位。 ③表示起点。（直尺上的0刻度。） ④表示界线。（温度计、数轴上的0，表示正、负数的分界线。）
3、计数单位、数位与位数
（1）十进制的计数单位有个、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿等。
（2）数位顺序表
按照我国的计数习惯，从右起每四个计数单位是一级。个位、十位、百位、千位是个级；万位、十万位、百万位、千万位是万级；亿位、十亿位、百亿位、千亿位是亿级。
（3）位数表示计数单位所占的位置。
4、整数的读写
先分级从右向左每四位一级，再从高位到低位一级一级地读或写。
5整数的改写
整万或整亿的数改写成以“万”或“亿”为单位的数。
整万、整亿的数改写：把万位后面的4个0或亿位后面的8个0省略，换成一个“万”或“亿”字。
不是整天万或整亿的多位数的改写。 如果要改写的多位数不是整万整似的数，改写的方法是：在万位或亿位数字的右下角点上小数点，去掉小数末尾的0，再在小数后面写上“万”或“亿”字作单位。
6、整数的大小比较
比较两个整数的大小，如果位数不同，那么位数多的数就大；如果倍数相同，先看最高位，最高位上的数大的那个数就大，最高位上的数相同，次高位上的数大的那个数就大……依次类推。
7、准确数与近似数
（1）有的数是与实际数完全符合的，叫作准确数。还有的数只是与实际数大体符合，或者说接近实际的数，这样的数叫作近似数。
（2）求一个数的近似数
四舍五入法 进一法 去尾法
8、改写整数与省略尾数的区别 方法 结果 与原数关系 改写整数 省略尾数 在万位或亿位数字的右下角点上小数点，去掉用四舍五入法省略指定数位小数末尾的0，并写上受益人计数单位“万”后面的尾数，再在后面加上相或“亿” 应的计数单位“万”或“亿” 得到准确数 与原数相等用“=” 得到近似数 与原数近似，用“≈” 二、小数
1、小数的意义
把单位“1”平均分成10份、100份、1000份……这样的几份是十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。
2、小数的数位和计数单位
（1）同整数一样，小数的计数单位也是按照一定顺序排列起来的，它们所占的位置叫作小数的数位。
（2）在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高计数单位“十分之一”和整数部分的最低计数单位“一”之间的进率也是10。
3、小数的分类
纯小数，（0.89） （1）按整数部分分 带小数，（5.32）
有限小数，（10.365）
（2）按小数部分分 无限不循环小数，（π）
无限小数 纯循环小数，（0.4、29.345） 循环小数
混循环小数，（4.2837、0.15973）
4、小数的读写 （1）小数的读法：先读整数部分，它与整数读法相同，如果整数部分是0的就读作“零”；再读小数部分，小数点读作“点”，小数部分按顺序读出每一个数位上的数字。
（2）小数的写法：整数部分按照整数的写法来写，如果整数部分是零的就写作“0”，小数点写在右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。
5、小数的基本性质
（1）小数的基本性质：在小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。 （2）小数点的位置移动引起小数大小变化的规律：小数点向右移动一位、两位、三位……原来小数就扩大到10倍、100倍、1000倍……小数点向左移动一位、两位、三位……原来
●●
●
●
●
●
●
的数就缩小到它的
111、、…… 101001000注意：小数点向右或向左移动，倍数不够时，要用0占位。
6小数大小的比较
比较小数的大小，看它们的整数部分数大的那个数就大；如果整数部分相同，十分位大的那个数就大。如果十分位上的那个数也相同，百分位上的数大的那个数就大……
三、分数与百分数
一、分数
1、分数和意义
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数，叫作分数。其中平均分的份数叫作分母，表示一份或者几份的数叫作分子。
2、分数单位
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数，叫作这个分数的分数单位。
3、分数的分类
真分数：分子小于分母的分数，真分数小于1。 分数
假分数：分子大于分母的分数，假分数大于或等于1。假分数可以改写成带分
数或整数。
4、分数的基本性质
分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
5、约分和通分
（1）约分：把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数叫约分，通常用分子、分母的公因数（1除外）去除分子和分母，要除到得出最简分数为止。
分子、分母是互质数的分数叫作最简分数。
（2）通分：把异分母的分数分别化成与原来分数相等的同分母分数，先求出原来几个分母的最公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。
6、分数与除法的关系
当整数除法得不到整数商时，可以用分数表示。在分数中，分子相当于除法算式中的被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号，分数值相当于商。
7、倒数
（1）乘积是1的两个数互为倒数。1的倒数是1，0没有倒数。 （2）求倒数的方法
①根据倒数的概念，1除以原数（0除外），所得的商。 ②将原数分子、分母互换位置。
8、分数的大小比较
分母相同，分子大的分数就大； 分子相同，分母小的分数就大；
分母、分子都不同，可以先通分，然后进行比较。
二、百分数
1、百分数的意义
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫百分数。百分数也叫百分比或百分率，百分号用“%”表示。
2、百分数的读写
（1）百分数通常不写成分数形式，而用百分号“%”来表示。
（2）百分数的读法与分数的读法相似，分数是先读分母，再读分子；百分数是百分号前面数是几，我们就把这个百分数读作百分之几。
3、分数、小数和百分数的互化
改写成分母是10、100、1000……的分数再约分 小数 分数 用分子除以分母 小数分 点约去向数并掉右分%，式移百形动小成两数数位写分点，再向成添左，写上 移数% 动小两位成 写百分数 先
一个最简分数能不能化成有限小数，关键看它的分母：如果分母只含质因数2和5，就
能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，它就不能化成有限小数。
4、成数与折扣
工农业生产中经常用“成数”来表示生产的增长情况，几成就是十分之几，也就是百分之几十。（六成五=
6.5=65%） 10在进行商品销售时，经常要提到“打折”， 几折就是十分之几，也就是百分之几十。（六五折=
6.5=65%） 10
四、倍数与因数
1、整除与除尽
（1）整数a与整数b（b≠0）,商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a）。
（2）甲数除以乙数，商是整数且没有余数，或商是有限小数时，我们就说甲数能被乙数除尽。
2、因数与倍数
在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。
找因数和倍数的方法：（1）列乘法算式找；（2）列除法算式找。
一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。
3、奇数和偶数
是2的倍数的数叫做偶数（0 也是偶数）， 不是2的倍数的数叫做奇数。
最小的奇数是1，最小的偶数是0。
4、2、5、3的倍数特征
个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。 个位上是0或5的数，是5的倍数。
一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
5、质数和合数
质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。有且只有两个因数，1和它本身
合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。至少有三个因数：1、它本身、别的因数
1： 只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。
6、分解质因数
把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。通常用短除法分解质因数。
7最大公因数和最小公倍数
（1）几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。 用短除法求两个数或三个数的最大公因数 （除到互质为止，把所有的除数连乘起来） （2）公因数只有1的两个数叫作互质数。几个数的公因数只有1，就说这几个数互质。 两数互质的特殊情况：
①1和任何自然数互质；②相邻两个非0自然数互质； ③两个质数一定互质； ④2和所有奇数互质； ⑤质数与比它小的合数互质；
如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数。 如果两数互质时，那么1就是它们的最大公因数。
（3）几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。 用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来） 用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来） 如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。 如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。
第二节 数的运算
一、四则运算
1、四则运算的意义
（1）加法：把两个数合并成一个数的运算。
（2）减法：已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。 （3）乘法
①一个数乘整数就是求几个相同加数的和的简便运算
②一个数乘小数就是求这个数的十分之几、百分之几……是多少。 ③一个数乘分数线就是求这个数的几分之几是多少。
（4）除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
2、估算
（1）估算的方法 ①求平均数法 ②取整求总法
（2）根据估算对事物作出判断
3、四则运算各部分的关系
加数+加数=和； 一个加数=和－另一个加数
被减数－减数=差； 被减数=差+减数； 减数=被减数－差 因数×因数=积； 一个因数=积÷另一个因数
被除数÷除数=商； 被除数=商×除数； 除数=被除数÷商 除不尽时：被除数÷除数=商……余数；被除数=商×除数+余数
4、四则混合运算的顺序
加法、减法、乘法、除法，统称为四则运算。
其中，加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算。 同级运算时，从左到右依次计算； 两级运算时，先算乘除，后算加减。
有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的；
有多层括号时，先算小括号里的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。
二、运算定律和性质
1、运算定律
（1）加法交换律：a＋b=b＋a
（2）加法结合律：(a＋b) ＋c=a＋(b＋c) （3）乘法交换律：a×b=b×a
（4）乘法结合律：(a×b) ×c=a×(b×c) （5）乘法分配律：(a＋b) ×c=a×c＋b×c
2、乘法分配律的推广 (a－b) ×c=ac－bc
(a＋b) ÷c=(a＋b) ×=a×＋b×
3、运算性质
（1）减法的性质：a－b－c=a－(b＋c) a－(b－c)=a－b＋c （2）除法的性质：a÷b÷c=a÷(b×c) a÷(b÷c)=a÷b×c （3）商不变性质：
被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外），商不变。 a÷b=(a×m)÷(b×m) =(a÷m)÷(b÷m) （b、m不为0） （4）奇数和偶数的运算性质
奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数； 奇数×奇数=奇数； 偶数×偶数=偶数； 奇数×偶数=偶数。
4、计算技巧
运用运算定律、性质可以使一些计算简便，计算时，要认真审题，根据题目的结构和数字的特点，灵活运用运算定律，性质，通过对数的分解、组合和凑整，使计算简便。
1c1c1c
三、数的运算在生活中的应用
1、常用数量关系
（1）单价×数量＝总价 总价÷数量＝单价 总价÷单价＝数量 （2）总产量÷面积＝单产量 单产量×面积＝总产量 总产量÷单产量＝面积 （3）路程÷时间＝速度 速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间
路程÷速度和＝相遇时间
（4）工效×时间＝工作量 工作量÷工效=时间 工作量÷时间=工效 （5）单位“1”的量×分率=分率对应量
单位“1”的量×（1 + 分率）=分率对应量
XX率=要求量（就是XX所代表的信息）X100% 单位“1”的量（总量）（6）图上距离÷实际距离＝比例尺 实际距离×比例尺＝图上距离 图上距离÷比例尺＝实际距离 （7）应纳税额：各种收入=税率
利息=本金×利率×存期 （是年利率时，存期是X月的要乘
2、解决问题的一般步骤 （1）理解题意 （2）分析数量关系 （3）列式解答
（4）验算并给出答案
3、解决问题的思考方案
（1）分析法（从问题入手，找解题条件。） （2）图解法（绘图分析数量关系，如线段图。） （3）综合法（从已知条件入手，求出最后的问题。）
x ）12第三节 式与方程
1、用字母表示数
字母与字母表相乘时，乘号可以用“· ”来表示，也可以省略不写。注意数字与字母相乘省略乘号时，数字要写在前面。
2、等式
（1）意义：表示相等的式子叫等式。 （2）等式的性质：
①等式的两边同时加上或减去相同的数，等式仍然成立。 ②等式的两边同时乘或除以相同的数（0除外），等式仍然成立。
3、方程
（1）意义：含有未知数的等式叫方程。 （2）方程和解与解方程：
①使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解。
②求方程解的过程叫解方程。它的依据是利用等式的性质或四则运算各部分的关系。 ③方程的解与解方程的区别：方程的解是一个数，而解方程是一个过程。
4、方程与等式的关系
方程一定是等式，等式不一定是方程。
方程 等式
5、列方程解决问题 （1）列方程解决问题就是用字母代替应用题中的未知数，根据数量韹相等关系列方程，然后解方程。
（2）列方程解应用题的一般步骤： ①弄清题意，找出未知数并用 X表示； ②找出数量的间的相等关系，列方程； ③解方程；
④检验或验算，写出答案。
第四节 比和比例
1、比和比例的意义与性质 意义 比 两个数相除又叫作两个数的比 比例 表示两个比相等的式子叫作比例 基本性质 比的前项和后项同时乘或除以在比例里，两个内项的积等于两个相同的数（0除外），比值不变 外项的积
2、比、分数与除法的关系
比 除法 分数 前项 被除数 分子 ： ÷ — 联系 后项 除数 分母 比值 商 分数值 区别 两个数之间的倍数关系 一种运算 一种数 3、求比值和化简比的区别与联系 一般方法 结果 是一个商，可以是整数、小数或分数 是一个比，它的前项和后项都是整数 求比值 根据比值的意义，用前项除以后项 化简比 根据比的基本性质，把比的前项和后项同时乘或者除以相同的数（0除外）
4、解比例
求比例中的不末知项叫作解比例。
5、比例尺
图上距离和实际距离的比叫作这幅图的比例尺。
图上距离=比例尺
实际距离
比例尺有：数值比例尺和线段比例尺
6、正比例和反比例的区别与联系 相同点 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化 不同点 特征 两种量中相对应的两个数的比值一定 两种量中相对应的两个数的乘积一定 关系式 正比例 反比例
y k(一定）xxy=k(一定) 第二章 图形与几何
第一节 图形的认识与测量
一、 线与角
1、 线
(1) 线的意义和特征 名称 线段 射线 直线
意义 用直尺把两点连接起来，就得到一条线段。线段长就是这两点间的距离 把线段向一边无限延长，就得到一条射线 把线段向两边无限延长，就得到一条直线 特征 有两个端点，长度是有限的，可以度量。两点之间线段最短 有一个端点，长度是无限的，不可以度量 没有端点，长度是无限的，不可以度量 平行 （2）线的位置关系
同一平面内两条直线的相对位置关系如下： 垂直 相交 不垂直
①平行线：在同一平面内永不相交的两条直线叫作平行线。平行线间的距离处处相等。平行线间垂直线段最短。
②垂线：两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直。其中一条叫作另一条的垂线，它们的交点叫作垂足。
③从直线外一点到直线的线段中，垂直线段最短。这条垂直线段叫作点到直线的距离。
2、角
（1）角的意义
从一点引出两条射线所组成的图形叫作角。这个点叫作角的顶点，这两条射线叫作角的边。角的大小与两边张开的大小有关，与两边的长短无关。
（2）测量 利用量角器可以画角或量出角的度数。首先将量角器的中心与角的顶点重合，然后再将量角器的零刻度线与角的一边重合，另一条边所对准的刻度就是这个角的度数。 （3）画角
画角的方法在很多，我们应该学会用量角器画角。首先要确定角的顶点，并画出角的一条边，然后将量角器的中心和零刻度线与角的顶点和画好的一条边重合，数出量角器上所画角的度数，做好标记，然后连接顶点和标记，这样就画好了一个指定度数的角。
（4）角的分类 名称 锐角 直角 钝角 大于90°小于180°的角 等于180°的角 1平角=2直角 等于360°的角 等于90°的角 图形 特征 大于0°小于90°的角 平角 周角 1周角=2平角=4直角 二、平面图形
1、三角形
（1）定义：由三条线段首尾互相连接围成的图形叫三角形。 （2）三角形的分类 （3）各类三角形的关系
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三个角都是锐角的三角形 有一个角是直角的三角形 有一个角是钝角的三角形 按 角 三 分 角 形 按 边 分
（4）三角形三边之间的关系
等腰三角形 两条边相等的三角形 三条边都相等的三角形。每个角都是60° 三条边都不相等的三角形
等边三角形 不等边三角 等边三角形 等腰三角形 三角形
①三角形任意两边的和大于第三边。 ②三角形任意两边的差小于第三边。 （5）三角形内角和等于180°。 （6）三角形具有稳定性。
2、各类四边形的关系、定义和特征 四边形 平行四边形 长方形 正方形 梯形
（1）由四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形叫四边形。 （2）平行四边形
①定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。
②特征：平行四边形的对边平行且相等，对角相等。 （3）长方形
①定义：有一个角是直角的平行四边形叫作长方形。
②特征：对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等。 （4）正方形
①定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
②特征：对边平行且四条边相等，四个角都是直角。 （5）梯形
①定义：只有一组对边平行的四边形叫作梯形。
②特征：只有一组对边平行。
3、圆 （1）定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心。定长称为半径。
（2）圆的位置和大小：圆心决定圆的位置，圆的半径或直径决定圆的大小。
（3）特征：同圆或等圆的所有半径相等，同圆或等圆的所有直径相等，同圆或等圆的直径等于半径的2倍。
4、扇形
（1）圆上A、B两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。 （2）一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 （3）顶点在圆心的角叫做圆心角。
（4）扇形的大小与半径和圆心角的大小有关。
5、平面图形的周长、面积
周长：图形一周的长度，就是图形的周长。常用C表示。
面积：围成的平面图形的大小，叫做它们的面积。常用S表示。
6、周长相等时：S圆形 > S正方形 > S长方形
面积相等时：C长方形>C正方形>C圆形
三、立体图形
1、表面积、体积、容积的含义及体积单位
（1）表面积：物体表面面积的总和。表面积通常用S表示。常用面积单位是km2、m2、dm2、cm2。
（2）体积：物体所占空间的大小。体积通常用V表示。常用体积单位是m3、dm3、cm3。 （3）容积：容器所能容纳物体的体积。常用容积单位是L、mL。
（4）体积与容积的计算方法相同，但它们的意义不同，测量的方法（体积是从物体的外面测量，容积是从容器的里面测量）不同，计量单位不同，计算物体的体积，必须使用体积单位“立方米、立方分米、立方厘米”等，计算容积一般使用容积单位“升、毫升”；但计算较大物体的容积时，也拿体积单位“立方米”来通用，因为升和毫升只限于计量液体，如桶装的汽油、小瓶装的药水。
2、 长方体
特征：6个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）。 相对的面互相平行且面积相等，12条棱相对的4条棱（互相平行）长度相等。 有8个顶点。 相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。 两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。 把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。 长方体或者正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。
3、 正方体
特征：六个面都是正方形；六个面的面积相等； 12条棱，棱长都相等； 有8个顶点； 正
方体可以看作特殊的长方体；
4、 圆柱
圆柱的认识 圆柱的上下两个面叫做底面。 圆柱有一个曲面叫做侧面，展开图是一个长方形（长是底面周长，宽是高）。圆柱两个底面之间的距离叫做高，有无数条高。 把圆柱切开可以拼成一个近似的长方体，拼成长方体的长等于 圆柱底面周长的一半（πr），宽等于圆柱的半径（r），高等于圆柱的高。
5、 圆锥
圆锥的认识 圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。 从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，只有一条。 把圆锥的侧面展开得到一个扇形。
立体图形表面积体积的计算公式
图字母表示 形 正方体 V：体积 S：表面积 a：棱长 V：体积 长方体 S：表面积 a：长 b：宽 h：高 V：体积 圆柱体 h：高 S：面积 r：半径 c：周长 V：体积 h：高 S：底面积 r：半径 侧面积=底面周长×高 底面周长=底面直径×π =底面半径×2×π 表面积=侧面积+底面积×2 S侧面积=ch =πdh =2πrh S表面积= S侧+S底×2 体积=底面积×高 V =πr2h 表面积= （长×宽+长×高+宽×高）×2 S= 2（ab+ah+bh） 表面积=棱长×棱长×6 计算公式 字母公式 S=a×a×6 =a²×6 =6 a² 体积=棱长×棱长×棱长 计算公式 字母公式 V=a×a×a =a³ 表面积 体积 体积=长×宽×高 V=abh V=Sh 圆锥体 体积=底面积×高×1 31Sh 31 =πr2h 3V=
第二节 图形的变换
1、平移
（1）意义：物体沿直线移动，这种现象叫作平移现象。
（2）特征：物体的形状、大小不变，只是物体位置发生变化。
2、旋转
（1）意义：物体以某一点为旋转点，或以某一轴为旋转轴，按一定方向转动，这种现象叫旋转现象。
（2）特征：物体的形状、大小不变，只是物体位置发生变化。
3、轴对称图形
（1）意义：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形叫作思对称图形，这条直线叫作对称轴。
（2）特征：对称轴两边的图形大小完全相等。
（3）轴对称图形
4、放大或缩小
（1）意义：图形按一定的比例放大或缩小。
（2）特征：放大或缩小后的图形与原图形大小不同，形状完全相同。
第三节 图形与位置
1、确定位置的方法
（1）用前、后、左、右确定位置。 （2）用东、西、南、北确定位置。 北
西北
东北
西
西南
东南
东
南
（3）用数对确定位置。
①横行竖列：在生活中我们把横行看成“行”，把竖列看成“列”。 ②确定位置：寻找到行列的交点，就是物体的位置。
③位置的表示方法：列前行后，也就是我们用数对表示位置时，列放在前，行放在后。
（4）将方向和距离结合起来确定位置。 ①选择观测点。 ②确定方向。 ③测量距离。
2、观察测绘要点
（1）掌握方向，按序观察。 （2）看清特征，认识形状。 （3）分别测绘，排列有序。
6、 只有综合一般是从正面、侧面和上面三个方向观察到的平面图形，才能确定立方
体图形的形状。
第四节
常见的量
1、 量、计量和计量单位的意义
(1)量：事物的多少、长短、轻重、快慢等，这些可以测定的客观事物的特征叫作量。 (2)计量：把一个要测定的量同一个作为标准的量相比较叫作计量。 (3)计量单位：用来作为计量标准的量叫作计量单位。
2、 常用的计量单位及进率 量 计量单位 各单位间的进率 千米 米 分米 厘米 毫米 2 量 计量单位 世纪 年 月 日 时 分 秒 各单位间的进率 世纪 年 月 日 时 分 千米 km 米 m 长分米 dm 度 厘米 cm 毫米 mm (1000)(10) (10) (10)(100)(10000)(100) (100)(12)(24)(60)(60)时间 平方千米 km 平方千米 面2公顷 hm 公顷 积 2平方米 m 平方米 平方分米 dm 平方分数 2平方厘米 cm 平方厘米 吨 t 质千克 kg 量 克 g 体积/容积 立方米 m 3立方分米 dm （升） L 3立方厘米 cm （毫升） mL 32(100)秒 有31日的月份是： （1，3，5，7，8，10，12）。 有30日的月份是： （4，6，9，11）。 平年（365天）的二月份有28天， 闰年（366天）的二月份有29天。 公历年份是4的倍数的一般都是闰年，但公历年份是整百（整千）数的，必须是400的倍数才是闰年。如1990年不是闰年，而2000年是闰年。 一年有四个季度，一个季度三个月。 一个月分为上中下旬（上旬10天，中旬10天，下旬为剩下的天数。） 吨 (1000)千克 (1000)克 立方米 (1000)立方分米 (1000)立方厘米 升 (1000)毫升 元 角 分 人元 民角 币 分 (10)(10)3、名数的概念及互化方法
（1）名数的概念
①名数：带有计量单位名称的数量叫作名称。
②单名数：只带一个计量单位名称的名数叫作单名数。
③复名数：带有两个或两个以上计量单位名称的名数叫作复名数。
（2）互化方法
乘以进率
高级单位名称 低级单位名称
除以进率
第三章 统计与概率
第一节 统计
1、统计图表分类
单式统计表
统计表
统 计 图 表
复式统计表
单式条形统计图
条形统计图
复式条形统计图 单式折线统计图
统 计 图 折线统计图
复式折线统计图
扇形统计图
2、各种统计图的特点和作用 条形统计图 折线统计图 用折线的起伏表示数量增减的变化，用点的高低表示数量的多少 不仅能清楚地反映出数量的多少，而且能反映出数量变化的趋势 扇形统计图 用整个圆的面积表示总数量，用圆内各个扇形的面积表示各部分数量占总数量的百分数 能清楚地反映出各部分数量占总数量的百分之几，以及各部分数量之间的关系 用一个单位长度表示相同的数量 特用直条的长度表示数点 量的多少 能清楚地反映出数量作的多少，便于数量间用 的比较
3、制作统计图的步骤
（1）制作条形统计图的一般步骤
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的线条，作为纵轴和横轴。 ②在水平射线(横轴)上适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔。 ③在纵轴上确定单位长度，并标出数量的标记和计量单位。 ④根据数据的大小，画出长短不同的直条，并标上标题。 ⑤若条形太小可适当在条形内画上颜色等区分。 （2）制作折线统计图的一般步骤
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。 ②适当分配各点的位置，确定各点的间隔。
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况,确定单位长度表示多少。 ④按照数据的大小描出各点，再用线段顺次连接起来。
⑤在图纸上方写上统计图的标题，注明制图日期及制图人姓名。 （3）制作扇形统计图的一般步骤 用圆规画一个圆，然后把统计表上的条件计算一遍（例如食品支出占总开支35％），用360°乘以每个条件相对应百分数，求得每个条件在扇形统计图应画多少度。这些工作完成后，确定好这个圆的中心点，然后用量角器分别画出扇形，最后在每个扇形中标出相对应的条件和标上百分数。
4、平均数
（1）两个或两个以上的数相加的和除以相加的数的个数，所得的商叫平均数。 （2）平均数=总数÷总份数
5、众数：是指一组数中个数最多的数，一组数众数可以是1个或几个。
中位数：把一组数从大到小排列后，最中间的数（若总数为偶数，则为中间两数的平均数）。一组数的中位数只有1个。
第二节 可能性
1、可能性
一定发生
能确定 一定不发生
事件 等可能性
不能确定 可能发生（大或小）
用分数表示发生的可能性
可能不发生（大或小）
2、可能性大小的求法
可能性的大小
第四章 数学思考 综合与实践
事件发生的可能的结果总数所有可能的结果总数一、打电话—最优方案
1、逐个法：所需时间最多；2、分组法：相对节约时间；3、同时进行法：最节约时间。
…… 时间 1 2 3 4 …… n 共知道总人数 2 4 8 16 …… 2n 新通知人数 1 2 4 8 …… 2n÷2 已经通知总人数 1 3 7 15 …… 2n－1 已经通知总人数=时间数n个2相乘－1
二、找次品
数目与测试的次数的关系：2～3（31）个物体，保证能找出次品需要测的次数是1次
4～9（32）个物体，保证能找出次品需要测的次数是2次
10～27（33）个物体，保证能找出次品需要测的次数是3次 28～81（34）个物体，保证能找出次品需要测的次数是4次
82～243（35）个物体，保证能找出次品需要测的次数是5次
…… （3n） ……n次 保证能找出次品需要测的次数是待测物品数小于或等于多少个3相乘的个数。 用天平找次品，当待测物品是3个或3个以上时，保证找出次品所称次数最少的方法是：将待测物品分成3份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使多的那一份与少的那一份相差1。
三、确定起跑线
1、每条跑道的长度 = 两个半圆形跑道合成的圆的周长 + 两个直道的长度。 2、每条跑道直道的长度都相等，而各圆周长决定每条跑道的总长度。（因此起跑线不同）
3、相邻两个跑道的差是= C外－C内
=(πD＋两直道)－（πd＋两直道） =2πR－2πr =2×π×跑道的宽度
四、数与形
在数与形之间建立联系，寻找规律，发现规律，运用规律提高计算技能。 例如：
1+3+5+7+9+……+n=[(n+1) ÷2] ² （奇数个数的平方） 2+4+6+8+……+n=（n ÷2）（n ÷2+1） （偶数的个数X偶数的个数多1的数） 1+2+3+4+5+……+n+（n-1）+……+5+4+3+2+1=n ²
11111+++…+=1－ 122334）nn （n-122221+++…+=1－
(n-2)n133557n 111111n-1+++++…+= 2481632nn
11111+++++…=12481632
五、抽屉原理（鸽巢原理） 1、抽屉原理
(1)要保证“至少”必须平均分，余下的数要进行二次平均分，就能保证“至少”。 (2)找准不同情况数看作抽屉数。
把10个苹果要放到9个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。 6只鸽子飞进5个鸽巢，总有一个鸽巢至少飞进2只鸽子，所以也称为“鸽巢原理”。
如果物体的个数除以抽屉数有余数，用所得的商+1，就能确定总有一个抽屉里至少放几个物体了。
物体数÷抽屉数=商……余数 至少数=商＋1 2、抽屉原理逆用
从最不利原则出发，保证“至少”。 商×抽屉数＋1=至少的物体数
六、植树问题的公式
线路上的植树问题主要可分为以下三种情形： 1、如果在线路的两端都要植树，那么： 株数＝段数＋1＝全长÷株距＋1 全长＝株距×(株数－1) 株距＝全长÷(株数－1)
2、如果在线路的一端要植树,另一端不要植树，那么： 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数
3、如果在线路的两端都不要植树，那么： 株数＝段数－1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数＋1) 株距＝全长÷(株数＋1)
七、鸡兔同笼
许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法——“假设法”来求解。因此很有必要学会它的解法和思路。通常是假设法比较简单易懂一点。
今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ 假设法
假设全是鸡：2人教版小学数学知识点2×35=70（只）；鸡脚比总脚数少：94－70=24 （只）；兔子比鸡多的脚数：4-2=2（只）；兔子的只数：24÷2=12 （只）；鸡的只数：35－12=23（只）。
方程法
解：设兔有x只，则鸡有(35-x）只。
4x＋2(35－x)=94；解得 x=12；鸡：35-12=23(只）。
注：通常设方程时，选择腿的只数多的动物，会在套用到其他类似鸡兔同笼的问题上，好算一些。
抬腿法
方法一：假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起2只脚，还有94÷2=47（只）脚。笼子里的兔就比鸡的脚数多1，这时，脚与头的总数之差47-35=12，就是兔子的只数。
方法二：假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下94－35×2=24只脚 ， 这时鸡是屁股坐在地上，地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上，所以有24÷2=12只兔子，就
有35－12=23只鸡。
方法三：我们可以先让兔子都抬起2只脚，那么就有35×2=70只脚，脚数和原来差94-70=24只脚，这些都是每只兔子抬起2只脚，一共抬起24只脚，用24÷2得到兔子有12只，用35-12得到鸡有23只。
公式 1：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=鸡的只数 总只数－鸡的只数=兔的只数 2：（ 总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=兔的只数 总只数－兔的只数=鸡的只数 3：总脚数÷2－总头数=兔的只数 总只数－兔的只数=鸡的只数
4：鸡的只数=(4×鸡兔总只数－鸡兔总脚数）÷2 兔的只数=鸡兔总只数－鸡的只数 5：兔总只数=（鸡兔总脚数－2×鸡兔总只数）÷2 鸡的只数=鸡兔总只数－兔总只数 6：（头数×4－实际脚数）÷2=鸡
7：4x＋2（总数－x）=总脚数 （x=兔，总数－x=鸡数，用于方程）
八、优化
合理安排事情，在生活中可以提高效率，节省时间。在我们的身边还有许许多多需要合理安排的事情，聪明的人总是把事情进行最优的安排来提高效率。
九、自行车里的数学的
前齿轮数×前齿轮转数=后齿轮数×后齿轮转数
蹬一圈的路程=前齿轮齿数÷后齿轮齿数×车轮的周长
十、数字编码
十一、探索图形（棱长为1的小正方体拼成大正方体后）
棱长 2 3 4 5 …… n
十二、找规律
1、第n 幅图有多少个棋子？
三面涂色的块数 8 8 8 8 …… 8 两面涂色的块数 0 12 24 36 …… (n-2) ×12 一面涂色的块数 0 6 24 54 …… (n-2) ×(n-2) ×6 没有涂色的块数 0 1 8 27 …… (n-2) ×(n-2) ×(n-2)
1×1=1 2×2=4 3×3=9 4×4=16 n×n=n²
2、6个点可以连多少条线段 点数 增加条数 2 3 4 5 6 2 3 4 5 1 总条数 1＋2＝3（条） 1＋2＋3＝6（条） 1＋2＋3＋4＝10（条） 1＋2＋3＋4＋5＝15（条）
n个点呢？
1＋2＋3＋……＋（n－1）=n（n－1）÷2
3、六年级有三个班，每班有2个班长。开班长会时，每次每班只要一个班长参加。第一次到会的有A、B、C；第二次有B、D、E；第三次有A、E、F。请问：哪两位班长是同班的？
用数字“1” 表示到会，用数字“0”表示没到会。
第一次 第二次 第三次 A 1 0 1 B 1 1 0 C 1 0 0 D 0 1 0 E 0 1 1 F 0 0 1 第一次到会可以看出A只可能和D、E或F同班；第二次到会可以判断A只可能和D或F同班；第三次到会可以判断A只可能和D同班。同理B和F同班，C和E同班。
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