参数估计习题课

教学目的：1. 通过练习使学生进一步掌握矩估计和最大似然估计的计算方法； 2. 通过练习使学生理解无偏性和有效性对于评价估计量标准的重要性； 3. 通过练习使学生进一步掌握正态总体参数的区间估计和单侧置信限。 教学重点：矩估计和最大似然估计，无偏性与有效性，正态总体参数的区间估计。 教学难点：矩估计，最大似然估计，正态总体参数的区间估计。 教学时数：2学时。 教学过程：

一、知识要点回顾

1. 矩估计

1nk用各阶样本原点矩Vkxi 作为各阶总体原点矩EXk的估计,k1,2,L。若有参

ni1（X）,E(X2),L,E（Xk）)，则参数的矩估计为 数g(E1n1n21nkˆ(Xi,Xi,L,Xi)。

ni=1ni=1ni=12. 最大似然估计

似然函数L()f(xi;)，取对数ln[L()]，从

i1ndln()=0中解得的最大似然估dˆ。 计3. 无偏性,有效性

ˆDˆ时，称估计量ˆ比ˆ有效。 ˆ时，称ˆ为的无偏估计。 当D当E1212二 、典型例题解析

ex,x01．设f(x)，求的矩估计。

0, x0解 EXxexdx,设ux,x011则EXueu(du)ueu001u,dx1du

01eudu0(e)0=1

故1ˆ1。 ，所以xEX2. 设总体X在a,b上服从均匀分布，求a和b的矩估计。

解 由均匀分布的数学期望和方差知

1E(X)(ab) （1）

2D(X)1(ba)2 （2）

12由（1）解得b2EXa，代入（2）得DX解得

11 整理得DX(EXa)2，(2EX2a)2，

123aE(X)3D(X) bE(X)3D(X)故得a,b的矩估计为

2ˆˆax32ˆx3ˆb

1nˆ(xix)2。 其中ni123．设总体X的密度函数为f(x;)xii1nxex!，求的最大似然估计。

en解 设L()f(xi,)，则

(x1!)(x2!)...(xn!)i1nlnL()(xi)lnnln(xi!)

i1i1nndlnL()1n1nˆxin0, xix

di1ni14．设总体X的密度函数f(x,)(a)xa1ex(a已知），求参数的最大似然估计。 解 L()f(xi,)a(x1x2...xn)nni1na1aexiai1n

lnL()nlnnlna(a1)lnxixia

i1i1nndlnL()nnaxi0 di11na解得 xi。

ni1ˆ2Dˆ，求常数c和5. 设ˆ1和ˆ2为参数的两个的无偏估计量，且假定D12ˆcˆdˆ为的无偏估计，并使方差Dˆ最小。 d，使12ˆE(cˆdˆ)cEˆdEˆ(cd),且知Eˆ，故得c+d=1。 解 由于E1212又由于

ˆD(cˆdˆ)c2Dˆd2Dˆ2c2Dˆd2Dˆ(2c2d2)Dˆ D1212222并使其最小，即使f2c2d2，满足条件c+d=1的最小值。 令d=1-c，代入得f2c2(1c)2，fc'4c2(1c)0, 6c20

12解得c,d1c。

337. 设某电子元件的寿命服从正态分布N(,2)，抽样检查10个元件，得样本均值x1200(h)，样本标准差s14(h)。求 (1) 总体均值置信水平为99%的置信区间；

(2) 用x作为的估计值，求绝对误差值不大于10（h）的概率。

解 (1)由于未知，s=14（h）,根据求置信区间的公式得 (xsst(n1),xt(n1)) n2n2(12001414t0.005(9),1200t0.005(9)) 1010查表得t0.005(9)3.25，故总体均值置信水平为99%的置信区间为

(120014.388, 120014.388)(1185.612, 1214.388)

(2)

P(x10)P(x101010)P(t(n1))ss14nn

P(t(9)2.2588)P(t(9)t0.025(9))12=

8. 设X1,X2,...,Xn为正态总体N(,2)的一个样本，确定常数c的值，使

n1Qc(xi1xi)2为2的无偏估计。

i1解

n1n1EQc(x2i1xi)cE[(xi1)(xi)]2i1i1n1 cE[(x2i1)2(xi1)(xi)(xi)2]

i1n1c[E(xi1)22E(xi1)E(xi)E(xi)2]i1由于E(xi)Exi0，所以有

n1n1 EQc[Dxi10Dxi]c(22)c2(n1)2

i1i1由EQ2（无偏性），故有2c(n1)1，所以c12(n1)。

二、计算题

解. 设滚珠的直径为X, 平均直径为μ,均方差为σ. 由矩估计法可知

,

而

1.某工厂生产滚珠.从某日生产

的产品中随机抽取9个,测得直 ∴ 径(单位:mm)如下:

,

.

,

用矩估计法估计该日生产的滚

而 珠的平均直径和均方差.

=,

∴

.

2.设总体X的密度函数为

解. 设(X1, X2,…, Xn)是来自X的一样本. 由极大似然估计原理,参数θ的似然函数为:

,

,

其中 (θ＞0), 求θ的极大似

上式两边取对数

然估计量.

,

似然方程为

,

解似然方程得θ的极大似然估计量是

.

解. 设(X1, X2,…, Xn)是来自X的样本. (1)由矩估计法

,

3.设总体X的密度函数为

∴

.

即参数α的矩估计量是

,

.

求α的极大似然估计量和 (2) 由极大似然估计原理, 参数α的似然函数为 矩估计量.

,

上式两边取对数

,

似然方程为

解似然方程得到参数α的极大似然估计量是

,

.

ex,x01．设f(x)，求的矩估计。

0, x0解 EXxexdx,设ux,x01u,dx01du

0则EX故

01ue(du)ueuu11eudu0(e)0=1

1ˆ1。 ，所以xEX3. 一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这100次观察相互，并由过去经验知，它们都服从参数为n=10，P的二项分布。P是该地区一块石子是石灰石的概率。求p的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如下

样品中属石灰石的石子数 观察到石灰石的样品个数 0 0 1 1 2 6 3 7 4 5 6 7 8 3 9 1 10 0 23 26 21 12 解：λ的极大似然估计值为λˆ=X=

4. 设X1，X1，…，Xn为总体的样本，求各未知参数的极大似然估计值和估计量

θcθx(θ1),xc（1）f(x)

0,其它θxθ1,0x1（2）f(x)

0,其它.n其中c>0为已知，θ>1，θ为未知参数。

其中θ>0，θ为未知参数。

L(θ)f(xi)θncnθ(x1x2xn)θ1 解（1）似然函数

i1dlnL(θ)θlnL(θ)nln(θ)nθlnc(1θ)lnxi,nlncdθni1nlnxi1ni0

θˆnlnxi1n （解唯一故为极大似然估计量）

inlnc（2）L(θ)f(x)θii1nn2(x1x2xn)θ1n,lnL(θ)ln(θ)(θ1)lnxi

2i1ndlnL(θ)n11dθ2θ2θi1nlnxi0,θˆ(nlnx)ii1n2。(解唯一)故为极大似然估计量。

6. 设样本X1,X2,LXn来自总体X~N(u,0.25)，如果要以%的概率保证Xu0.1，试

问样本容量n应取多大

解

：

Xu~N(0,1)0.5/nXu0.5/n。现要求n,使

P{Xu0.1}P{0.2n}2(0.2n)10.997

即(0.2n)0.9985，查表得，(0.2n)2.96，所以n=219，即样本容量为219。

8. 设总体X具有分布律

X Pk 1 2 2θ(1－θ) 3 (1－θ) 2θ2 其中θ(0<θ<1)为未知参数。已知取得了样本值x1=1，x2=2，x3=1，试求θ的矩估计值和最大似然估计值。

解：（1）求θ的矩估计值

E(X)1θ222θ(1θ)3(1θ)2[θ3(1θ)][θ(1θ)]32θ 令E(X)32θX

ˆ3X 则得到θ的矩估计值为θ2（2）求θ的最大似然估计值 似然函数L(θ)312153

26P{Xi13ixi}P{X11}P{X22}P{X31}

θ22θ(1θ)θ22θ(1θ)5

ln L(θ )=ln2+5lnθ+ln(1－θ) 求导

dlnL()510

d1得到唯一解为θˆ5 6