关于圆锥曲线的中点弦问题
直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题,是解析几何中的重要内容之一,也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型:
(1)求中点弦所在直线方程问题; (2)求弦中点的轨迹方程问题;
(3)求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。 一、求中点弦所在直线方程问题
x2y21内一点M(2,1)引一条弦,使弦被点M平分,求这条弦所在的直线方程。 例1、过椭圆1解法一:设所求直线方程为y-1=k(x-2),代入椭圆方程并整理得:
(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160
又设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程的两个根,于是
8(2k2k)x1x2,
4k21x1x24(2k2k)2, 又M为AB的中点,所以224k11解得k,
2故所求直线方程为x2y40。
解法二:设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),M(2,1)为AB的中点, 所以x1x24,y1y22,
又A、B两点在椭圆上,则x14y116,x24y216, 两式相减得(x1x2)4(y1y2)0,
22222222y1y2xx2111,即kAB,
x1x24(y1y2)22故所求直线方程为x2y40。
解法三:设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y),由于中点为M(2,1),
所以
则另一个交点为B(4-x,2y),
x24y216因为A、B两点在椭圆上,所以有, 22(4x)4(2y)16两式相减得x2y40,
由于过A、B的直线只有一条,
故所求直线方程为x2y40。 二、求弦中点的轨迹方程问题
x2y21上一点P(-8,0)作直线交椭圆于Q点,求PQ中点的轨迹方程。 例2、过椭圆
36解法一:设弦PQ中点M(x,y),弦端点P(x1,y1),Q(x2,y2),
9x1216y12576则有, 229x216y2576第1页
两式相减得9(x1x2)16(y1y2)0,
又因为x1x22x,y1y22y,所以92x(x1x2)162y(y1y2)0, 所以
2222y1y29x,
x1x216y而kPQy9xy0,故。 16yx8x(8)22化简可得9x72x16y0 (x8)。 解法二:设弦中点M(x,y),Q(x1,y1), 由xx18y,y1可得x12x8,y12y, 2222xy又因为Q在椭圆上,所以111,
3(x4)24y21, 即
36(x4)2y21 (x8)。 所以PQ中点M的轨迹方程为
169三、弦中点的坐标问题
例3、求直线yx1被抛物线y4x截得线段的中点坐标。
解:解法一:设直线yx1与抛物线y4x交于A(x1,y1), B(x2,y2),其中点P(x0,y0),由题意得
22yx1, 2y4x2消去y得(x1)4x,即x6x10,
2所以x0x1x23,y0x012,即中点坐标为(3,2)。 22解法二:设直线yx1与抛物线y4x交于A(x1,y1), B(x2,y2),其中点P(x0,y0),由题意得
y124x122,两式相减得y2y14(x2x1), 2y24x2所以
(y2y1)(y2y1)4,
x2x1第2页
所以y1y24,即y02,x0y013,即中点坐标为(3,2)。
上面我们给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些基本解法。下面我们看一个结论
22AxCyDxEyF0上的两点,P(x0,y0)为弦AB的中点,则 引理 设A、B是二次曲线C:
kAB2Ax0D(2Cy0E0)2Cy0E。
22设A(x1,y1)、B(x2,y2)则Ax1Cy1Dx1Ey1F0……(1)
22AxCy2Dx2Ey2F0 ……(2) 2(1)(2)得A(x1x2)(x1x2)C(y1y2)(y1y2)D(x1x2)E(y1y2)0
∴∴
2Ax0(x1x2)2Cy0(y1y2)D(x1x2)E(y1y2)0 (2Ax0D)(x1x2)(2Cy0E)(y1y2)0
2Ax0D2Ax0Dy1y2kAB2Cy0E0∴x1x2 ∴x1x22Cy0E。 2Cy0E即∵
B时,上面的结论就是过二次曲线C上的点P(x0,y0)的切线斜率公式,即(说明:当A2Ax0Dk2Cy0E)
22(x,y)y0),
推论1 设圆xyDxEyF0的弦AB的中点为P00(0kAB则
2x0D2x0D2y0E。k(假设点P在圆上时,则过点P的
2y0E切线斜率为)
b2x0x2y2kAB2•212(x,y)y0)ay0。b推论2 设椭圆a的弦AB的中点为P00(0,则(注:对a≤b也成
b2x0k2•ay0) 立。假设点P在椭圆上,则过点P的切线斜率为
b2x0x2y2kAB2•212(x,y)y0)ay0。b推论3 设双曲线a的弦AB的中点为P00(0则(假设点P在双曲线
b2x0k2•ay0) 上,则过P点的切线斜率为
2y2px的弦AB的中点为P(x0,y0)(y00)则推论4 设抛物线
kABpy0。
(假设点P在抛物线上,则
k过点P的切线斜率为
我们可以直接应用上面这些结论解决有关问题,下面举例说明。
p)y0
x2y21例1、求椭圆2516斜率为3的弦的中点轨迹方程。
3解:设P(x,y)是所求轨迹上的任一点,则有
16x•25y,故所示的轨迹方程为16x+75y=0
(7575x)241241
第3页
x2y221(ab0),2(x,0),ab例2、已知椭圆A、B是椭圆上两点,线段AB的垂直平分线l与x轴相交于P0a2b2a2b2x0aa。 求证:
证明:设AB的中点为T(x1,y1),由题设可知AB与x轴不垂直,∴y10,
b2x1a2y1kAB2•kl2•ay1 ∵l⊥AB ∴bx1 ∴
a2y1a2y1yy12•(xx1)0y12•(x0x1)bxbx11∴l的方程为: 令y=0 得
a2a2x122•x0|22•x0|a|x|aab∴ ∵1 ∴ab
a2b2a2b2x0aa ∴
例3、已知抛物线C:yx,直线
2l:yk(x1)1,要使抛物线C上存
在关于l对称的两点,k的取值范围是什么?
解:设C上两点A、B两点关于l对称,AB的 中点为P
(x0,y0)(y00)
1p11kAB2y0ky0y0k ∴2∵P∈l∴y0k(x01)1, ∴111111kk(x01)1,x0P(,k)2k ∴2k2 ∴2 ∴
1211k32k4k0,4k2k ∴∵P在抛物线内 ,∴4
(k2)(k22k2)0,4k∴ ∴2k0.
第4页
因篇幅问题不能全部显示,请点此查看更多更全内容
怀疑对方AI换脸可以让对方摁鼻子 真人摁下去鼻子会变形
女子野生动物园下车狼悄悄靠近 后车司机按喇叭提醒
睡前玩8分钟手机身体兴奋1小时 还可能让你“变丑”
惊蛰为啥吃梨?倒春寒来不来就看惊蛰
男子高速犯困开智能驾驶出事故 60万刚买的奔驰严重损毁
Copyright © 2019-2025 yule263.com 版权所有 湘ICP备2023023988号-1
违法及侵权请联系:TEL:199 1889 7713 E-MAIL:2724546146@qq.com
本站由北京市万商天勤律师事务所王兴未律师提供法律服务