上海市2022年中考数学试卷解析版

上海市2022年中考数学试卷

一．选择题

1. 8的相反数是（ ） A

B. 8

C.

D.

2. 下列运算正确的是……（ ） A. a²+a³=a6

3. 已知反比例函数y=为（ ） A. （2，3）

B. （-2，3）

C. （3，0）

D. （-3，0）

B. （ab）2 =ab2

C. （a+b）²=a²+b²

D. （a+b）（a-b）=a² -b2

（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的

4. 我们在外卖平台点单时会有点餐用的钱和外卖费6元，我们计算了点单的总额和不计算外卖费的总额的数据，则两种情况计算出的数据一样的是（ ） A. 平均数

B. 中位数

C. 众数

D. 方差

5. 下列说法正确的是（ ）

A. 命题一定有逆命题 B. 所有的定理一定有逆定理 C. 真命题的逆命题一定是真命题 6. 有一个正n边形旋转A 6

D. 假命题的逆命题一定是假命题

后与自身重合，则n为（ ）

C. 12

D. 15

B. 9

二．填空题

7. 计算：3a－2a＝__________． 8. 已知f（x）=3x，则f（1）=_____． 9. 解方程组

的结果为_____．

10. 已知x-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_____．

11. 甲、乙、丙三人参加活动，两个人一组，则分到甲和乙的概率为_____．

12. 某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，6月的增长率相同，已知5、则增长率为_____． 13. 为了解学生阅读情况，对某校六年级部分学生的阅读情况展开调查，并列出了相应的频数分布直方图（如图所示）（每组数据含最小值，不含最大值）（0-1小时4人，1-2小时10人，2-3小时14人，3-4小时16人，

4-5小时6人），若共有200名学生，则该学校六年级学生阅读时间不低于3小时的人数是_____．

14. 已知直线y=kx+b过第一象限且函数值随着x的增大而减小，请列举出来这样的一条直线：_____． 15. 如图所示，在口ABCD中，AC，BD交于点O，

则

=_____．

16. 如图所示，AC=11，BC=21，OC=13，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，则这个花坛的面积为_____．（结果保留

）

17. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，，则_____．

18. 定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为_____．

三．解答题

19. 计算：

20. 解关于x的不等式组

21. 一个一次函数的截距为1，且经过点A（2，3）． （1）求这个一次函数的解析式；

B在某个反比例函数上，（2）点A，点B横坐标为6，将点B向上平移2个单位得到点C，求cos∠ABC的值． 22. 我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．

（1）如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示）

（2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度

23. 如图所示，等腰三角形ABC中，AB=AC，F在线段BC上，AE²=AQ·AB点E，点Q在线段AB上，且CF=BE，求证：

（1）∠CAE=∠BAF； （2）CF·FQ=AF·BQ 24. 已知：

经过点

，

．

（1）求函数解析式；

（2）平移抛物线使得新顶点为

①倘若②

，且在

（m＞0）．

的右侧，两抛物线都上升，求的取值范围；

，

交

于点

时，求，连接

点坐标． ．

在原抛物线上，新抛物线与轴交于

，若

为

25. 平行四边形中点，

（1）若①证明②若（2）以

， 为菱形； ，为圆心，

，求

的长．

为半径作圆，两圆另一交点记为点

，且

．若

为半径，为圆心，

在直线

上，求值．

2022年上海市中考数学试卷

一．选择题

1. 8的相反数是（ ） A.

B. 8

C.

D.

【答案】A 【解析】

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：8的相反数是故选A．

，

【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键． 2. 下列运算正确的是……（ ） A. a²+a³=a6 【答案】D 【解析】

【分析】根据整式加法判定A；运用积的乘方计算关判定B；运用完全平方公式计算并判定C；运用平方差公式计算并判定D．

【详解】解：A.a²+a³没有同类项不能合并，故此选项不符合题意； B.（ab）2 =a2b2，故此选项不符合题意； C.（a+b）²=a²+2ab+b²，故此选项不符合题意 D（a+b）（a-b）=a² -b2，故此选项符合题意 故选：D．

【点睛】本题考查整理式加法，积的乘方，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 3. 已知反比例函数y=为（ ） A. （2，3） 【答案】B 【解析】

【分析】根据反比例函数性质求出k<0，再根据k=xy，逐项判定即可． 【详解】解：∵反比例函数y=∴k=xy<0，

A、∵2×3>0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； B、∵-2×3<0，∴点（2，3）可能在这个函数图象上，故此选项符合题意； C、∵3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； D、∵-3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； 故选：B．

【点睛】本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的

（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，,

B. （-2，3）

C. （3，0）

D. （-3，0）

（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的B. （ab）2 =ab2

C. （a+b）²=a²+b²

D. （a+b）（a-b）=a² -b2

关键．

4. 我们在外卖平台点单时会有点餐用的钱和外卖费6元，我们计算了点单的总额和不计算外卖费的总额的数据，则两种情况计算出的数据一样的是（ ） A. 平均数 【答案】D 【解析】

【分析】根据平均数，中位数，众数和方差的特点，这组数据都加上6得到一组新的数据，方差不变，平均数，中位数改变，众数改变，即可得出答案．

【详解】解：将这组数据都加上6得到一组新的数据，

则新数据的平均数改变，众数改变，中位数改变，但是方差不变； 故选：D．

【点睛】本题主要考查平均数、中位数、众数、方差的意义．理解求解一组数据的平均数，众数，中位数，方差时的内在规律，掌握“新数据与原数据之间在这四个统计量上的内在规律”是解本题的关键． 5. 下列说法正确的是（ ）

A. 命题一定有逆命题 B. 所有的定理一定有逆定理 C. 真命题的逆命题一定是真命题 【答案】A 【解析】

【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案． 【详解】解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意；

B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意；

C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意；

D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意． 故选：A．

【点睛】本题考查了命题与定理，掌握好命题的真假及互逆命题的概念是解题的关键．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题． 6. 有一个正n边形旋转A. 6

后与自身重合，则n为（ ）

C. 12

D. 15

D. 假命题的逆命题一定是假命题

B. 中位数

C. 众数

D. 方差

B. 9

【答案】C 【解析】

【分析】根据选项求出每个选项对应的正多边形的中心角度数，与【详解】如图所示，计算出每个正多边形中心角，

是

一致或有倍数关系的则符合题意．

的3倍，则可以旋转得到．

A.

B.

C.

D.

观察四个正多边形的中心角，可以发现正12边形旋转90°后能与自身重合 故选C．

【点睛】本题考查正多边形中心角与旋转的知识，解决本题的关键是求出中心角的度数并与旋转度数建立关系．

二．填空题

7. 计算：3a－2a＝__________． 【答案】a 【解析】

【详解】根据同类项与合并同类项法则计算：3a－2a=（3－2）a=a 8. 已知f（x）=3x，则f（1）=_____． 【答案】3

【解析】

【分析】直接代入求值即可． 【详解】解：∵f（x）=3x， ∴f（1）=3×1=3， 故答案为：3

【点睛】本题主要考查了求函数值，直接把自变量的值代入即可． 9. 解方程组

的结果为_____．

【答案】【解析】

【分析】利用平方差公式将②分解因式变形，继而可得可． 【详解】解：

④，联立①④利用加减消元法，算出结果即

由②，得：将①代入③，得：①+②，得：解得：

，

，

，

，

③， ，即

④，

①−②，得：解得：

∴方程组的结果为 ．

【点睛】本题考查解二元二次方程组，与平方差公式分解因式，能够熟练掌握平方差公式分解因式是解决本题的关键． 10. 已知x-【答案】m<3 【解析】

x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_____．

【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则Δ>0，即(-2【详解】解：∵x-∴Δ=(-2

)2-4m>0

x+m=0有两个不相等的实数根，

)2-4m>0，求解即可．

解得：m<3， 故答案为: m<3．

【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握“当方程有两个不相等的实数根，Δ>0；当方程有两个相等的实数根，Δ=0；当方程没有实数根，Δ<0”是解题的关键．

11. 甲、乙、丙三人参加活动，两个人一组，则分到甲和乙的概率为_____． 【答案】【解析】

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与分到甲和乙的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树形图如下：

由树形图可知所有可能情况共6种，其中分到甲和乙的情况有2中， 所以分到甲和乙的概率为

，

故答案为：

【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，注意概率=所求情况数与总情况数之比．

12. 某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，6月的增长率相同，已知5、则增长率为_____． 【答案】20% 【解析】

【分析】根据该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x结合5月、7月营业额即可得出关于x的一元二次方程，解此方程即可得解．

【详解】解：设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，根据题意得，

解得，

所以，增长率为20% 故答案为：20%

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键． 13. 为了解学生的阅读情况，对某校六年级部分学生的阅读情况展开调查，并列出了相应的频数分布直方图（如图所示）（每组数据含最小值，不含最大值）（0-1小时4人，1-2小时10人，2-3小时14人，3-4小时16人，4-5小时6人），若共有200名学生，则该学校六年级学生阅读时间不低于3小时的人数是_____．

（舍去）

【答案】88 【解析】

【分析】由200乘以样本中不低于3小时的人数的百分比即可得到答案． 【详解】解：该学校六年级学生阅读时间不低于3小时的人数是

故答案为：

【点睛】本题考查的是利用样本估计总体，求解学生阅读时间不低于3小时的人数的百分比是解本题的关键． 14. 已知直线y=kx+b过第一象限且函数值随着x的增大而减小，请列举出来这样的一条直线：_____． 【答案】【解析】

【分析】直接根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论． 【详解】∵直线

过第一象限且函数值随着x的增大而减小， （答案不唯一）

∴，，

（答案不唯一）．

（

），当

，

时，函

∴符合条件的一条直线可以为：

【点睛】本题考查一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数数图象过第一象限且函数值随着x的增大而减小． 15. 如图所示，在口ABCD中，AC，BD交于点O，

则

=_____．

【答案】【解析】

【分析】利用向量相减平行四边形法则：向量相减时，起点相同，差向量即从后者终点指向前者终点即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC，BD交于点O， 又∴∴故答案为：

．

，

， ，

，

【点睛】本题考查平行四边形的性质，向量相减平行四边形法则，解题的关键是熟练掌握向量相减平行四边形法则．

16. 如图所示，AC=11，BC=21，OC=13，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，则这个花坛面积为_____（．结果保留

）

【答案】400π 【解析】

【详解】解：过点O作OD⊥AB于D，连接OB，如图，

∵AC=11，BC=21， ∴AB=AC+BC=32， ∵OD⊥AB于D， ∴AD=BD=AB=16， ∴CD=AD-AC=5，

在Rt△OCD中，由勾股定理，得 OD=

=12,

在Rt△OBD中，由勾股定理，得 OB=

=20，

∴这个花坛的面积=202π=400π， 故答案为：400π．

【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，圆的面积，熟练掌握垂径定理与勾股定理相结合求线段长是解题的关键．

17. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，

，则

_____．

【答案】或【解析】

【分析】由题意可求出，取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，满足，

进而可求此时，然后在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则，证明△DE1E2是等边三角

形，求出E1E2＝，即可得到，问题得解．

【详解】解：∵D为AB中点， ∴

，即

，

取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，此时DE1∥BC，，

∴，

在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则∵∠A=30°，∠B=90°， ∴∠C=60°，BC＝∵DE1∥BC， ∴∠DE1E2=60°， ∴△DE1E2是等边三角形， ∴DE1＝DE2＝E1E2＝

， ，

，

∴E1E2＝，

∵∴

， ，即

，

综上，的值为：或，

故答案为：或．

【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质等，根据

进行分情况求解是解题的关键．

18. 定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为_____． 【答案】【解析】

【分析】如图，当等弦圆O最大时，则OE，DK，再证明

经过圆心，

经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接，分别求解AC，BC，CF， 设

的半径为

再分别表示

##

再利用勾股定理求解半径r即可．

【详解】解：如图，当等弦圆O最大时，则接OE，DK，

经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连

过圆心O，

，

设∴

的半径为

整理得：解得：

不符合题意，舍去，

∴当等弦圆最大时，这个圆的半径为故答案为：

【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，弦，弧，圆心角之间的关系，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解本题的关键．

三．解答题

19. 计算：

【答案】【解析】

分析】原式分别化简，再进行合并即可得到答案．

【详解】解：

==

【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

20. 解关于x的不等式组

【答案】-2【分析】分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再确定出公共部分，即可求解．

【详解】解：，

解①得：x>-2， 解②得：x<-1， ∴-2【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握根据“大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找”的原则性确定不等式组的解集是解题的关键． 21. 一个一次函数的截距为1，且经过点A（2，3）． （1）求这个一次函数的解析式；

B在某个反比例函数上，（2）点A，点B横坐标为6，将点B向上平移2个单位得到点C，求cos∠ABC的值． 【答案】（1）y=x+1 （2）

【解析】 【小问1详解】

解：设这个一次函数的解析式y=kx+1， 把A（2，3）代入，得3=2k+1， 解得：k=1，

∴这个一次函数的解析式为y=x+1； 【小问2详解】 解：如图，

设反比例函数解析式为y=，

把A（2，3）代入，得3=解得：m=6，

∴反比例函数解析式为y=

，

，

当x=6时，则y=∴B（6，1）， ∴AB=

=1，

，

∵将点B向上平移2个单位得到点C， ∴C（6，3），BC=2， ∵A（2，3），C（6，3）， ∴AC

x轴，

∵B（6，1），C（6，3）， ∴BC⊥x轴， ∴AC⊥BC， ∴∠ACB=90°，

∴△ABC是直角三角形， ∴cos∠ABC=

．

【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，点的平移，解三角形，坐标与图形，求得AC⊥BC是解题的关键．

22. 我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．

（1）如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示）

（2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度 【答案】（1）atanα+b米 （2）3.8米 【解析】

【分析】（1）由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α，根据四边形CDBE为矩形，得到BE=CD=b，BD=CE=a，在Rt∆ACE中，由正切函数tanα=

，即可得到AB的高度；

（2）根据AB∥ED，得到∆ABF~∆EDF，根据相似三角形的对应边成比例得到 ，又根据AB∥GC，

得出∆ABH~∆GCH，根据相似三角形的对应边成比例得到【小问1详解】 解：如图

联立得到二元一次方程组解之即可得；

由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α ∠B=∠D=∠CEB=90° ∴四边形CDBE为矩形， 则BE=CD=b，BD=CE=a， 在Rt∆ACE中，tanα=

，

得AE=CE=CE×tanα=a tanα 而AB=AE+BE， 故AB= a tanα+b

答：灯杆AB的高度为atanα+b米 【小问2详解】

由题意可得，AB∥GC∥ED，GC=ED=2，CH=1，DF=3，CD=1.8 由于AB∥ED， ∴∆ABF~∆EDF， 此时

即∵AB∥GC ∴∆ABH~∆GCH， 此时

①，

，

②

联立①②得

，

解得：

答：灯杆AB的高度为3.8米

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，锐角三角函数的应用，以及二元一次方程组，解题的关键是读懂题意，熟悉相似三角形的判定与性质．

23. 如图所示，AB=AC，F在线段BC上，AE²=AQ·AB在等腰三角形ABC中，点E，点Q在线段AB上，且CF=BE，求证：

（1）∠CAE=∠BAF； （2）CF·FQ=AF·BQ

【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】

【分析】（1）利用SAS证明△ACE≌△ABF即可；

（2）先证△ACE∽△AFQ可得∠AEC=∠AQF，求出∠BQF=∠AFE，再证△CAF∽△BFQ，利用相似三角形的性质得出结论． 【小问1详解】 证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵CF=BE， ∴CE=BF，

在△ACE和△ABF中，，

∴△ACE≌△ABF（SAS）， ∴∠CAE=∠BAF； 【小问2详解】

证明：∵△ACE≌△ABF， ∴AE＝AF，∠CAE=∠BAF，

∵AE²=AQ·AB，AC＝AB， ∴

，即

，

∴△ACE∽△AFQ， ∴∠AEC=∠AQF， ∴∠AEF=∠BQF， ∵AE＝AF， ∴∠AEF=∠AFE， ∴∠BQF=∠AFE， ∵∠B=∠C， ∴△CAF∽△BFQ， ∴

，即CF·FQ=AF·BQ．

【点睛】本题考查了等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 24. 已知：

（1）求函数解析式； （2）平移抛物线使得新顶点为①倘若②

，且在

（m＞0）．

经过点

，

．

的右侧，两抛物线都上升，求的取值范围；

，

时，求

点坐标．

在原抛物线上，新抛物线与轴交于

【答案】（1）（2）①k≥2 ②P的坐标为（2【解析】 【分析】（1）把

，3）或（-2，3）

，代入，求解即可；

（2）①由，得顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点，由平移得抛物线向右平移了m个

单位，根据k取值范围； ②把P（m，n）代入

，求得m=2，在的右侧，两抛物线都上升，根据抛物线的性质即可求出

，得n=，则P（m， ），从而求得新抛物线解析式为：y=

(x-m)2+n=x2-mx+m2-3，则Q(0，m2-3)，从而可求得BQ=m2，BP2=，PQ2=

，即可得出BP=PQ，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|，根据等

腰三角形的性质可得BC=BQ=m2，∠BPC=∠BPQ=×120°=60°，再根据tan∠BPC= tan 60°=

，即可求出m值，从而求出点P坐标．

【小问1详解】 解：把

，

代入

，得

，解得：，

∴函数解析式为：【小问2详解】 解：①∵

，

；

∴顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点， ∵平移抛物线使得新顶点为∴抛物线向右平移了m个单位， ∴

，

（m＞0）．

∴m=2，

∴平移抛物线对称轴为直线x=2，开口向上， ∵在

的右侧，两抛物线都上升，

又∵原抛物线对称轴为y 轴，开口向上， ∴k≥2，

②把P（m，n）代入

，得n=

，

∴P（m， ）

根据题意，得新抛物线解析式为：y=(x-m)2+n=x2-mx+m2-3， ∴Q(0，m2-3)， ∵B（0，-3）， ∴BQ=m2，BP2=

，

PQ2=∴BP=PQ，

如图，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|，

，

∵BP=PQ，PC⊥BQ，

∴BC=BQ=m2，∠BPC=∠BPQ=×120°=60°，

∴tan∠BPC= tan 60°=，

解得：m=±2，

∴n==3，

故P的坐标为（2，3）或（-2，3）

【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线的平移，抛物线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，本题属抛物线综合题目，属中考常考试题目，难度一般． 25. 平行四边形

，若

为

中点，

交

于点

，连接

．

（1）若①证明②若（2）以

， 为菱形； ，为圆心，

，求

的长．

为半径作圆，两圆另一交点记为点

，且

．若

为半径，为圆心，

在直线上，求的值．

【答案】（1）①见解析；②

（2）【解析】

【分析】（1）①连接AC交BD于O，证△AOE≌△COE(SSS)，得∠AOE=∠COE，从而得∠COE=90°，则AC⊥BD，即可由菱形的判定定理得出结论；

②先证点E是△ABC的重心，由重心性质得BE=2OE，然后设OE=x，则BE=2x，在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,从而得9-x2=25-9x2，

解得：x=,即可得OB=3x=3，再由平行四边形性质即可得出BD长；

在直线

上，则CG是△ABC的AE，在Rt△AGE中，由勾

（2）由⊙A与⊙B相交于E、F，得AB⊥EF，点E是△ABC的重心，又中线，则AG=BG=AB，根据重心性质得GE=CE＝

AE，CG=CE+GE=

股定理，得AG2=AE2-GEE=AE2-(AE)2=AE2,则AG=AE,所以AB=2AG=AE，在Rt△BGC中，由勾

股定理，得BC2=BG2+CG2=AE2+（【小问1详解】

①证明：如图，连接AC交BD于O，

AE）2=5AE2，则BC=AE，代入即可求得的值．

∵平行四边形∴OA=OC，

，

∵AE=CE，OE=OE， ∴△AOE≌△COE(SSS)， ∴∠AOE=∠COE， ∵∠AOE+∠COE=180°， ∴∠COE=90°， ∴AC⊥BD， ∵平行四边形∴四边形②∵OA=OC，

∴OB是△ABC的中线， ∵

为

中点，

， 是菱形；

∴AP是△ABC的中线，

∴点E是△ABC的重心， ∴BE=2OE， 设OE=x，则BE=2x，

在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2, 在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2, ∴9-x2=25-9x2， 解得：x=∴OB=3x=3∵平行四边形∴BD=2OB=6【小问2详解】 解：如图，

； , ，

，

∵⊙A与⊙B相交于E、F， ∴AB⊥EF，

由（1）②知点E是△ABC的重心， 又

在直线

上，

∴CG是△ABC的中线， ∴AG=BG=AB，GE=CE， ∵CE=

AE，

∴GE=AE，CG=CE+GE=AE，

在Rt△AGE中，由勾股定理，得 AG2=AE2-GEE=AE2-(

AE)2=AE2,

∴AG=AE,

∴AB=2AG=AE，

在Rt△BGC中，由勾股定理，得 BC2=BG2+CG2=AE2+（

AE）2=5AE2，

∴BC=AE，

∴．

【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，重心的性质，勾股定理，相交两圆的公共弦的性质，本题属圆与四边形综合题目，掌握相关性质是解题的关键，属是考常考题目．