1．3 三角函数的计算
教学目标
1．经历用计算器由已知锐角求三角函数值的过程． 2．能根据锐角的三角函数值用计算器求出该锐角的度数．
3.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题，提高用现代工具解决实际问题的能力． 重点难点 重点
用计算器解决由已知锐角求三角函数值；能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题． 难点
用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题． 教学过程
一、创设情境，导入新课
问题：如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200米，已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？
[生]在Rt△ABC中，∠α＝16°，AB＝200米，需求出BC. 根据正弦的定义，sin16°＝
BCBC＝， AB200
∴BC＝ABsin16°＝200sin16°(米)．
[师]200sin16°米中的“sin16°”是多少呢？我们知道，三角函数中，当角的大小确定时，三角函数值与直角三角形的大小无关，随着角度的确定而确定．
对于特殊角30°、45°、60°，可以根据勾股定理和含这些特殊角的直角三角形的性质，求出它们的三角函数值，而对于一般锐角的三角函数值，我们需借助于科学计算器求出这些锐角的三角函数值．
怎样用科学计算器求三角函数值呢？ 二、合作交流，探究新知
1 / 7
word
1.用科学计算器求一般锐角的三角函数值．
[师]用科学计算器求三角函数值，要用到sin、cos和tan键．例如sin16°，tan85°和cos72°38′25″的按键顺序如下表所示．(多媒体演示)
按键顺序 显示结果6＝ sin16° sin1tan85° tan85＝ cos72DMS cos72°38′25″ 38DMS 25DMS＝ 同学们可用自己的计算器按上述按键顺序计算sin16°，cos42°，tan85°，sin72°38′25″，看显示的结果是否和表中显示的结果相同．
(教学时应注意不同的计算器按键方式可能不同，可引导学生利用自己所使用的计算器探索计算三角函数值的具体步骤，也可以鼓励同学们互相交流用计算器计算三角函数值的方法)
[师]很好，同学们都能用自己的计算器计算出三角函数值．大家可能注意到用计算器求三角函数值时，结果一般有10个数位．我们的教材中有一个约定，如无特别说明，计算结果一般精确到万分位．
下面就请同学们利用计算器求出本节刚开始提出的问题． [生]用计算器求得BC＝200sin16°≈55.12(m)．
[师]下面请同学们用计算器计算下列各式的值(多媒体演示)． (1)sin56°；(2)sin15°49′； (3)cos20°；(4)tan29°；
(5)tan44°59′59″；(6)sin15°＋cos61°＋tan76°. (以小组为单位，展开竞赛，看哪一组既快又准确) [生](1)sin56°≈0.8290；
cos72°38′25″ 2 / 7
word
(2)sin15°49′≈0.2726； (3)cos20°≈0.9397； (4)tan29°≈0.5543； (5)tan44°59′59″≈1.0000；
(6)sin15°＋cos61°＋tan76°≈0.2588＋0.4848＋4.0108＝4.7544. [师]你能用计算器计算说明下列等式成立吗？(用多媒体演示) 下列等式成立吗？
(1)sin15°＋sin25°＝sin40°； (2)cos20°＋cos26°＝cos46°； (3)tan25°＋tan15°＝tan40°. [生]上面三个等式都不成立．
(1)sin15°＋sin25°≈0.2588＋0.4226＝0.6814； sin40°≈0.6428，
∴sin15°＋sin25°≠sin40°；
(2)cos20°＋cos26°≈0.9397＋0.8988＝1.8385， cos46°≈0.6947，
∴cos20°＋cos26°≠cos46°；
(3)tan25°＋tan15°≈0.4663＋0.2679＝0.7342， tan40°≈0.8391，
∴tan25°＋tan15°≠tan40°. [师]由此，你能得出什么结论？
[生]两个锐角的正弦的和不等于这两个锐角的和的正弦．对于余弦、正切也一样． 2.用计算器辅助解决含有三角函数值计算的实际问题．
[师]看来同学们已能很熟练地用计算器计算一个锐角的三角函数值．下面我们运用计算器辅助解决一个含有三角函数值计算的实际问题．
议一议：多媒体演示本节开始的问题
当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200 m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角是∠
3 / 7
word
β＝42°，由此你能想到还能计算什么？
[生]可以计算缆车从B点到D点垂直上升的高度．
[生]可以计算缆车从A点到D点，一共垂直上升的高度、水平移动的距离．
[师]下面我们就请三位同学分别就上面的问题用计算器辅助计算出结果．其余同学可在小组内交流、讨论完成．
[生]在Rt△DBE中，∠β＝42°，BD＝200 m，缆车上升的垂直高度DE＝BDsin42°＝200sin42°≈133.83(米)．
[生]由前面的计算可知，缆车从A→B→D上升的垂直高度为BC＋DE＝55.12＋133.83＝188.95(米)． [生]在Rt△ABC中，∠α＝16°，AB＝200米，AC＝ABcos16°≈200×0.9613＝192.26(米)． 在Rt△DBE中，∠β＝42°，BD＝200米，BE＝BD·cos42°≈200×0.7431＝148.62(米)． 缆车从A→B→D移动的水平距离为BE＋AC＝192.26＋148.62＝340.88(米)．
想一想：随着人民生活水平的提高，农用小轿车越来越多，为了交通安全，某市政府要修建10 m高的天桥，为了方便行人推车过天桥，需在天桥两端修建40 m长的斜道(如图所示)．这条斜道的倾斜角是多少？
BC1
[生]在Rt△ABC中，BC＝10 m，AC＝40 m，sinA＝＝.可是不能求出∠A的大小．
AC4
[师]我们知道，给定一个锐角的度数，这个锐角的三角函数值都唯一确定．给定一个锐角的三角函数值，这个锐角的大小也唯一确定吗？为什么？
[生]我们曾学习过两个直角三角形的判定定理——HL定理．在上图中，斜边AC和直角边BC是定值，根据HL定理可知这样的直角三角形形状和大小是唯一确定的，当然∠A的大小也是唯一确定的．
1
[师]这位同学能将前后知识联系起来很有条理地解释此问题，很不简单．我们知道了sinA＝时，锐角
4
A是唯一确定的．现在我要告诉大家的是要解决这个问题，我们可以借助于科学计算器来完成．
3．用计算器由锐角三角函数值求相应锐角的大小．
[师]已知三角函数求角度，要用到sin、cos、tan键的第二功能“sin，cos，tan”和2ndf键．
例如：已知sinA＝0.9816；cosB＝0.8607；tanC＝56.78，求∠A，∠B，∠C.
－1
－1
－1
4 / 7
word
按键顺序如下表．(多媒体演示)
按键顺序 显示结果sinA 2ndfsin8 1 6 ＝ cosB 607 ＝ tanC 7 8＝ Ｋ
上表的显示结果是以“度”为单位的．再按2ndfDMS键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果． (教学时，给学生以充分交流的时间和空间，教师要引导学生根据自己使用的计算器，探索具体操作步骤)
[师]你能求出上图中∠A的大小吗？
1
[生]sinA＝2ndfsin0·2 5 ＝，显示结果为14.47751219°，再按2ndfDMS 键可
4显示14°28′39″.所以∠A＝14°28′39″.
[师]很好．我们以后在用计算器求角度时如果无特别说明，结果精确到1″即可． 三、运用新知，深化理解
例1 已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A，∠B的度数(结果精确到0.1°)： (1)sinA＝0.7，sinB＝0.01； (2)cosA＝0.15，cosB＝0.8；
5 / 7
sin 2ndf cos0·8 cos 2ndftan56 · tan －1－1－10·9 word
(3)tanA＝2.4，tanB＝0.5.
分析：熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据题目要求用四舍五入取近似值． 解：(1)由sinA＝0.7，得∠A≈44.4°；由sinB＝0.01，得∠B≈0.6°； (2)由cosA＝0.15，得∠A≈81.4°；由cosB＝0.8，得∠B≈36.9°； (3)由tanA＝2.4，得∠A≈67.4°；由tanB＝0.5，得∠B≈26.6°.
例2 (1)通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想： ①sin30°______2sin15°cos15°； ②sin36°______2sin18°cos18°； ③sin45°______2sin22.5°cos22.5°； ④sin60°______2sin30°cos30°； ⑤sin80°______2sin40°cos40°.
猜想：已知0°＜α＜45°，则sin2α______2sinαcosα；
(2)如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α，请根据提示，利用面积方法验证(1)中提出的猜想．
分析：(1)利用计算器分别计算①至⑤各式中左边与右边的值，比较大小；(2)通过计算△ABC的面积来验证．
解：(1)①＝；②＝；③＝；④＝；⑤＝.猜想：＝ (2)已知0°＜α＜45°，则sin2α＝2sinαcosα.
11
证明：S△ABC＝AB·sin2α·AC，S△ABC＝×2ABsinα·ACcosα，∴sin2α＝2sinαcosα.
22
例3 如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC＝10千米，∠CAB＝25°，∠CBA＝45°.因城市规划的需要，将在A，B两地之间修建一条笔直的公路．
(1)求改直后的公路AB的长；
(2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1千米)?
6 / 7
word
分析：(1)过点C作CD⊥AB于D，根据AC＝10千米，∠CAB＝25°，求出CD，AD，根据∠CBA＝45°，求出BD，BC，最后根据AB＝AD＋BD列式计算即可；(2)根据(1)可知AC、BC的长度，即可得出公路改直后该段路程比原来缩短的路程．
解：(1)过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝10千米，∠CAB＝25°，∠ADC＝90°，∴CD＝sin∠CAB·AC＝sin25°×10≈0.42×10＝4.2(千米)，AD＝cos∠CAB·AC＝cos25°×10≈0.91×10＝9.1(千米)．∵∠
CBA＝45°，∴BD＝CD＝4.2(千米)，BC＝
＝错误!≈5.9(千米)，∴AB＝AD＋BD＝9.1＋4.2＝13.3(千
sin∠CBACD米)．所以，改直后的公路AB的长约为；
(2)∵AC＝10千米，BC＝5.9千米，∴AC＋BC－AB＝10＋5.9－13.3＝2.6(千米)．所以，公路改直后该段路程比原来缩短了约2.6千米．
四、课堂练习，巩固提高 1．教材P14“随堂练习”．
2．《探究在线·高效课堂》“自主检测”部分． 五、反思小结，梳理新知
本节课我们学习了用计算器由三角函数值求相应的锐角的过程，进一步体会三角函数的意义，并且用计算器辅助解决含有三角函数值计算的实际问题．
六、布置作业
1．《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分． 2．教材P15习题1.4第1～3题．
7 / 7
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容