随机抽样

【学习目标】

1．能举例说明三种抽样方法的意义； 2．能用不同的抽样方法抽取样本；

3．能根据抽取样本的数据特征判断采用的抽样方法． 【学习重点】

三种不同的抽样方法与其应用． 【学习过程】

一、知识梳理 1．简单随机抽样

（1）定义：设一个总体含有N个个体，从中 抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都 ，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．

（2）最常用的简单随机抽样的方法： 和 ． 2．系统抽样

系统抽样的步骤：假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本． （1）先将总体的N个个体 ．

（2）确定 ，对编号进行 ，当是整数时，取k＝． （3）在第1段用 确定第一个个体编号l (l≤k)．

（4）按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号 ，再加k得到第3个个体编号，依次进行下去，直到获取整个样本．

3．分层抽样

（1）定义：在抽样时，将总体分成 的层，然后按照 ，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．

（2）分层抽样的应用范围当总体是由 组成时，往往选用分层抽样． 二、基础自测

1．用随机数表法从100名学生(男生25人)中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的几率是( C )

1A．

100

1B．

25

1

C．

5

1D．

4

NnNn

解析 从容量N＝100的总体中抽取一个容量为n＝20的样本，每个个体被抽到的几率n1都是＝．

N5

2．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性( C )

A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最大 B．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最小 C．与第几次抽样无关，每一次抽到的可能性相等 D．与第几次抽样无关，与抽取几个样本有关

解析 C在简单随机抽样中，每个个体被抽到的概率是相等的，与第几次抽样无关． 3．要完成下列两项调查：

①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次为( B )

A．①随机抽样法，②系统抽样法；B．①分层抽样法，②随机抽样法 C．①系统抽样法，②分层抽样法；D．①②都用分层抽样法

解析 B ①中总体由差异明显的几部分构成，宜采用分层抽样法，②中总体中的个体数较少，宜采用简单随机抽样法．

4．(2009·陕西文)某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为 ．

160

解析 设老年职工为x人，则430－3x＝160，x＝90，设抽取的样本为m，则m＝32，

430

90

m＝86，则抽取样本中老年职工人数为×86＝18(人)．

430

5．要从其中有50个红球的1 000个形状相同的球中，采用按颜色分层抽样的方法抽取100个进行分析，则应抽取红球的个数为____5____．

解析 根据分层抽样的特点，各层应按同一抽样比抽取样本．设抽取红球的个数为x，50x则＝，解得x＝5． 1 000100

三、典例解析

例1为了考察某校的教学水平，将抽查这个学校高三年级的部分学生本年度的考试成绩．为了全面反映实际情况，采取以下两种方式进行抽查(已知该校高三年级共有20个班，并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号，假定该校每班学生的人数相同)：①从高三年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20名学生，考察他们的学习成绩；②把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从其中共抽取100名学生进行考察(已知该校高三学生共1 000人，若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人)．根据上面的叙述，试回答下列问题：

(1)上面两种抽取方式的总体、个体、样本分别是什么？每一种抽取方式抽取的样本中，样本容量分别是多少？

(2)上面两种抽取方式各自采用的是何种抽取样本的方法？

思路启迪：总体、个体、样本、样本容量这些概念的意义是什么？各种抽样方法的适用范围是帮助你确定何种抽样方法的依据．

解 (1)这两种抽取方式的总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩．其中第一种抽取方式的样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；第二种抽取方式的样本为所抽取的100名学生本年度的考试成绩，样本容量为100．

(2)两种抽取方式中，第一种采用的是简单随机抽样法；第二种采用的是分层抽样法和简单随机抽样法．

解后反思：本题主要考查统计中一些基本的概念和方法．做这种题目时，应该注意叙述的完整性和条理性．

变式训练1 某地区中小学人数的分布如下表： 学段 小学 初中 高中 城市 200 000 170 000 80 000 县镇 150 000 110 000 20 000 农村 180 000 50 000 10 000 若要从中抽取一个容量为总体容量的千分之一的样本，则合适的抽样方法是________，城市高中、县镇初中、农村小学抽取的人数分别是______________．

解：

答：分层抽样；根据抽取比例城市高中、县镇初中、农村小学抽取的人数分别是80,110,180．

例2、从已编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（ B ）

A．5，10，15，20，25 B、3，13，23，33，43 C．1，2，3，4，5 D、2，4，6，16，32 思路启迪：用系统抽样的方法抽取至样本为等距离抽取．

解：导弹编号应该k,k+d,k+2d,k+3d,k+4d,其中d=50/5=10,k是1到10中用简单随机抽样方法得到的数，因此只有选项B满足要求，故选B．

解后反思：1．系统抽样的特征是什么？2．系统抽样的一般步骤如何？ 变式练习：

某小礼堂有25排座位，每排20个座位，一次心理学讲座，礼堂中坐满了学生，会后为了了解有关情况，留下座位号是15的所有25名学生进行测试，这里运用的是 抽样方法．（系统）

例3 某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施抽取．

思路启迪：机构改革关系到各种人不同的利益；不同层次的人员情况有明显差异，应采用什么抽取方法合适．

解 用分层抽样方法抽取．具体实施抽取如下：

107020

(1)∵20∶100＝1∶5，∴＝2，＝14，＝4，

555

∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．

(2)因副处级以上干部与工人的人数较少，他们分别按1～10编号与1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人采用00,01,02，„，69编号，然后用随机数表法抽取14人．

(3)将2人，4人，14人的编号汇合在一起就取得了容量为20的样本． 解后反思：分层抽样的操作步骤及特点分别是怎样的？

变式练习2：(2009·天津理，11)某学院的A，B，C三个专业共有1 200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取________名学生．

400

解析 C专业有学生1200－380－420＝400(名)，则C专业应抽取的学生数为×120

1 200＝40(名)． 三、学习反思

1．简单随机抽样是系统抽样和分层抽样的基础，是一种等概率的抽样，它的主要特点有哪些？

2．系统抽样又称等距抽样，它的特征如何？ 3．分层抽样的分层抽样的操作步骤及特点如何？

4．抽样方法经常交叉使用，比如系统抽样中的第一均衡部分，可采用简单随机抽样，分层抽样中，若每层中个体数量仍很大时，则可辅之以系统抽样． 【学习链接】

1．简单随机抽样的主要特点有：(1)它要求总体个数较少；(2)它是从总体中逐个抽取的；(3)它是一种不放回抽样．

2．系统抽样特征与步骤：特征有（1）当总体容量N较大时，采用系统抽样．

（2）将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样又称等距抽样，这时间隔一般为k＝[n]．

（3）预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加

N上分段间隔的整倍数即为抽样编号．

步骤如下：（1）采用随机抽样的方法将总体中的N个个编号． （2）将整体按编号进行分段，确定分段间隔k(k∈N,L≤k)． （3）在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号L（L∈N,L≤k）．

（4）按照一定的规则抽取样本，通常是将起始编号L加上间隔k得到第2个个体编号L+K，再加上K得到第3个个体编号L+2K，这样继续下去，直到获取整个样本．

3．分层抽样的操作步骤及特点：

(1)分层抽样的操作步骤①将总体按一定标准进行分层；

②计算各层的个体数与总体数的比，按各层个体数占总体数的比确定各层应抽取的样本容量； ③在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样)． (2) 分层抽样的特点

①适用于总体由差异明显的几部分组成的情况； ②更充分地反映了总体的情况；

③等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是

nN．

四、学习测评

1．某市为了分析全市9 800名初中毕业生的数学考试成绩，共抽取50本试卷，每本都是30份，则样本容量是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（ ）

（A）30 （B）50 （C）1 500 （D）9 800 【提示】抽取50本，每本30份，这说明什么？【答案】C．

【点评】样本容量是样本个体的数量．注意：（A）、（B）错在未理解样本容量的意义，（D）是总体中个体的数量．

2．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个，120个，180个，150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②；则完成①②这两项调查采用的抽样方法依次是

（B ）．

A．分层抽样，系统抽样 B．分层抽样，简单随机抽样法

C．系统抽样，分层抽样 D．简单随机抽样法，分层抽样法

3．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取多少人（ ）．

A．7，5，8

B．9，5，6 C．6，5，9

D．8，5，7

解：B 样本容量与总体个数的比为20：100＝1：5 各年龄段抽取的人数依次为：

11499,255,20956(人)

554．某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（ ）．

A．9

B．18 C．27 D． 36

答案B．解析:由比例可得该单位老年职工共有90人，用分层抽样的比例应抽取18人．

5．(2010·四川)一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是( D )

A．12,24,15,9 B．9,12,12,7 C．8,15,12,5

D．8,16,10,6

6．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为为 ． 【答案】：40

【解析】由条件易知B层中抽取的样本数是2，设B层总体数是n，则又由B层中甲、

1，则总体中的个数数位281C22乙都被抽到的概率是2=，可得n8，所以总体中的个数是48840．

Cn287．某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取____名学生．（答：40名）

【考点定位】本小题考查分层抽样，基础题．

380420400，由分层抽样原理，应抽取解析：C专业的学生有120012040040名． 12008．某企业共有3 200名职工，其中中、青、老年职工的比例为5∶3∶2，从所有职工中抽取一个容量为400的样本，应采用哪种抽样方法更合理？中、青、老年职工应分别抽取多少人？

9．某单位有2 000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示： 人数 老年 中年 青年 小计 管理 40 80 40 160 技术开发 40 120 160 320 营销 40 160 280 480 生产 80 240 720 1 040 共计 200 600 1 200 2 000 (1)若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？

(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？ 10．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示： 20至40岁 大于40岁 总计 文艺节目 40 15 55 新闻节目 18 27 45 总计 58 42 100 (1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？

(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？

(3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．

答案

8．解 由于中、青、老年职工有明显的差异，采用分层抽样更合理．

按照比例抽取中、青、老年职工的人数分别为： 532

×400＝200，×400＝120，×400＝80， 101010

因此应抽取的中、青、老年职工分别为200人，120人，80人． 9．解 (1)用分层抽样，并按老年4人，中年12人，青年24人抽取；

(2)用分层抽样，并按管理2人，技术开发4人，营销6人，生产13人抽取． 10．解 (1)因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．

5(2)从题中所给条件可以看出收看新闻节目的共45人，随机抽取5人，则抽样比为＝

45

11

，故大于40岁的观众应抽取27×＝3(人)． 99(3)设“这5名观众中取2名，恰有1名年龄为20至40岁”为事件A，

1C133C2则P(A)＝＝． 25C5