一．选择题（共6小题） 1．函数y=
中，x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D．x≠﹣2 2．已知分式
A．﹣1 B．﹣2 C．1
的值为0，那么x的值是（ ） D．1或﹣2
的值是（ ）
3．已知x2﹣3x﹣4=0，则代数式A．3
B．2
C．
D．
4．化简﹣等于（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
5．化简：÷﹣的结果为（ ）
A． B． C． D．a
6．将甲、乙、丙三个正分数化为最简分数后，其分子分别为6、15、10，其分母的最小公倍数为360．判断甲、乙、丙三数的大小关系为何？（ ） A．乙＞甲＞丙 B．乙＞丙＞甲 C．甲＞乙＞丙 D．甲＞丙＞乙
二．填空题（共7小题） 7．若分式
有意义，则a的取值范围是 ．
8．当a=﹣1时，代数式的值是 ．
9．化简：÷= ．
10．已知x﹣=4，则x2﹣4x+5的值为 ． 11．若a2+5ab﹣b2=0，则
的值为 ．
1
12．若m=
+
+
=+…+
+，对任意自然数n都成立，则a= ，b= ；计算：= ．
13．有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：
则第n次运算的结果yn= （用含字母x和n的代数式表示）．
三．解答题（共15小题） 14．化简：
．
15．计算﹣． ）÷
）
﹣
）
． ．
．
，其中x满足x+x﹣2=0．
﹣x+1）÷
，其中x=
﹣2．
2
16．化简：（x﹣5+17．化简：（18．计算：（
19．先化简再求值：20．先化简，再求值：（
21．有一列按一定顺序和规律排列的数： 第一个数是第二个数是第三个数是…
对任何正整数n，第n个数与第（n+1）个数的和等于（1）经过探究，我们发现：设这列数的第5个数为a，那么
； ； ；
． ，
，
，哪个正确？
2
，，
，
请你直接写出正确的结论；
（2）请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n个数（即用正整数n表示第n数），并且证明你的猜想满足“第n个数与第（n+1）个数的和等于（3）设M表示求证：
，
，
，…，．
﹣
）÷
的值，其中a=2sin60°+tan45°．
，这2016个数的和，即
”；
，
22．先化简，再求代数式（
23．先化简：÷+，再求当x+1与x+6互为相反数时代数式的值．
24．先化简，再求值：（﹣x﹣1）÷，其中x=，y=．
25．先化简，再求值：÷•，其中a=2016．
26．先化简，再求值：÷（1﹣），其中x=．
27．先化简，再求值：28．问题提出
，其中实数x、y满足．
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N=0，则M=N；若M﹣N＜0，则M＜N． 问题解决
如图1，把边长为a+b（a≠b）的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小． 解：由图可知：M=a2+b2，N=2ab． ∴M﹣N=a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2． ∵a≠b，∴（a﹣b）2＞0． ∴M﹣N＞0． ∴M＞N．
3
类比应用
（1）已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为
元/千克和
元/千克（a、b
是正数，且a≠b），试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低． （2）试比较图2和图3中两个矩形周长M1、N1的大小（b＞c）．
联系拓广
小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图4所示（其中b＞a＞c＞0），售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由．
4
答案与解析
一．选择题（共6小题） 1．（2016•重庆）函数y=
中，x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D．x≠﹣2
【分析】由分式有意义的条件得出不等式，解不等式即可． 【解答】解：根据题意得：x+2≠0， 解得x≠﹣2． 故选：D．
【点评】本题考查了函数中自变量的取值范围、分式有意义的条件；由分式有意义得出不等式是解决问题的关键．
2．（2016•天水）已知分式A．﹣1 B．﹣2 C．1
D．1或﹣2
的值为0，那么x的值是（ ）
【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，且分母不为零，进而得出答案． 【解答】解：∵分式
2
的值为0，
∴（x﹣1）（x+2）=0且x﹣1≠0， 解得：x=﹣2． 故选：B．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分母不为零是解题关键．
3．（2016•眉山）已知x﹣3x﹣4=0，则代数式A．3
B．2
C．
D．
2
的值是（ ）
【分析】已知等式变形求出x﹣=3，原式变形后代入计算即可求出值． 【解答】解：已知等式整理得：x﹣=3，
则原式===，
5
故选D
【点评】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（2016•德州）化简
﹣
等于（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【分析】原式第二项约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果． 【解答】解：原式=故选B
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（2016•泰安）化简：
÷
﹣
的结果为（ ）
+
=
+
=
=，
A． B． C． D．a
【分析】先将分式的分子分母因式分解，同时将除法转化为乘法，再计算分式的乘法，最后计算分式的加法即可． 【解答】解：原式=
×
﹣
==
﹣，
故选：C．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．
6．将甲、乙、丙三个正分数化为最简分数后，其分子分别为6、15、10，其分母的最小公倍数为360．判断甲、乙、丙三数的大小关系为何？（ ） A．乙＞甲＞丙 B．乙＞丙＞甲 C．甲＞乙＞丙 D．甲＞丙＞乙
【分析】首先把360分解质因数，可得360=2×2×2×3×3×5；然后根据甲乙丙化为最简
6
分数后的分子分别为6、15、10，6=2×3，可得化简后的甲的分母中不含有因数2、3，只能为5，即化简后的甲为；再根据15=3×5，可得化简后的乙的分母中不含有因数3、5，只能为2，4或8；再根据10=2×5，可得化简后的丙的分母中不含有因数2、5，只能为3或9；最后根据化简后的三个数的分母的最小公倍数为360，甲的分母为5，可得乙、丙的最小公倍数是360÷5=72，再根据化简后的乙、丙两数的分母的取值情况分类讨论，判断出化简后的乙、丙两数的分母各是多少，进而求出化简后的甲乙丙各是多少，再根据分数大小比较的方法判断即可．
【解答】解：360=2×2×2×3×3×5； 因为6=2×3，
所以化简后的甲的分母中不含有因数2、3，只能为5， 即化简后的甲为； 因为15=3×5，
所以化简后的乙的分母中不含有因数3、5，只能为2，4或8； 因为10=2×5，
所以化简后的丙的分母中不含有因数2、5，只能为3或9； 因为化简后的三个数的分母的最小公倍数为360，甲的分母为5， 所以乙、丙的最小公倍数是360÷5=72， （1）当乙的分母是2时，丙的分母是9时， 乙、丙的最小公倍数是：2×9=18， 它不满足乙、丙的最小公倍数是72； （2）当乙的分母是4时，丙的分母是9时， 乙、丙的最小公倍数是：4×9=36， 它不满足乙、丙的最小公倍数是72； 所以乙的分母只能是8，丙的分母只能是9， 此时乙、丙的最小公倍数是：8×9=72， 所以化简后的乙是因为
，丙是，
，
所以乙＞甲＞丙．
7
故选：A．
【点评】（1）此题主要考查了最简分数的特征，以及几个数的最小公倍数的求法，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是分别求出化简后的甲、乙、丙的分母各是多少，进而求出化简后的甲乙丙各是多少． （2）此题还考查了分数大小比较的方法，要熟练掌握．
二．填空题（共7小题） 7．（2016•营口）若分式
有意义，则a的取值范围是 a≠1 ．
【分析】直接利用分式有意义则其分母不为0，进而得出答案． 【解答】解：分式
有意义，则a﹣1≠0，
则a的取值范围是：a≠1． 故答案为：a≠1．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
8．（2016•荆州）当a=
﹣1时，代数式
的值是
．
【分析】根据已知条件先求出a+b和a﹣b的值，再把要求的式子进行化简，然后代值计算即可．
【解答】解：∵a=∴a+b=∴
+1+
=﹣1=2
﹣1，
，a﹣b=
=
+1﹣=
=+1=2， ；
故答案为：．
【点评】此题考查了分式的值，用到的知识点是完全平方公式、平方差公式和分式的化简，关键是对给出的式子进行化简．
9．（2016•永州）化简：
÷
=
．
【分析】将分子、分母因式分解，除法转化为乘法，再约分即可．
8
【解答】解：原式==，
故答案为：．
•
【点评】本题主要考察了分式的除法的知识，解答本题的关键是掌握分式除法的运算法则，此题比较简单．
10．（2016•德阳）已知x﹣=4，则x2﹣4x+5的值为 6 ．
【分析】首先根据x﹣=4，求出x﹣4x的值是多少，然后把求出的x﹣4x的值代入x﹣4x+5，求出算式的值是多少即可． 【解答】解：∵x﹣=4， ∴x﹣1=4x， ∴x2﹣4x=1， ∴x﹣4x+5=1+5=6． 故答案为：6．
【点评】此题主要考查了分式的加减法，要熟练掌握，注意代入法的应用．
11．（2016•毕节市）若a2+5ab﹣b2=0，则
2
2
22
2
2
2
的值为 5 ．
【分析】先根据题意得出b﹣a=5ab，再由分式的减法法则把原式进行化简，进而可得出结论．
【解答】解：∵a2+5ab﹣b2=0， ∴﹣=故答案为：5．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．
=
=5．
9
12．若计算：m=
+
=+
++…+
，对任意自然数n都成立，则a=
=
．
，b= ﹣ ；
【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，根据题意确定出a与b的值即可；原式利用拆项法变形，计算即可确定出m的值． 【解答】解：
可得2n（a+b）+a﹣b=1，即解得：a=，b=﹣； m=（1﹣+﹣+…+故答案为：；﹣；
﹣．
）=（1﹣
）=
，
=
+，
=
，
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：
则第n次运算的结果yn= （用含字母x和n的代数式表示）．
【分析】将y1代入y2计算表示出y2，将y2代入y3计算表示出y3，归纳总结得到一般性规律即可得到结果．
【解答】解：将y1=代入得：y2==；
将y2=代入得：y3==，
依此类推，第n次运算的结果yn=．
10
故答案为：．
【点评】此题考查了分式的混合运算，找出题中的规律是解本题的关键．
三．解答题（共15小题） 14．（2016•十堰）化简：
．
【分析】首先把第一个分式的分子、分母分解因式后约分，再通分，然后根据分式的加减法法则分母不变，分子相加即可． 【解答】解：
=====
+
+
++2
+
+2
【点评】本题考查了分式的加减法法则、分式的通分、约分以及因式分解；熟练掌握分式的通分是解决问题的关键．
15．（2016•南京）计算
﹣
．
【分析】首先进行通分运算，进而合并分子，进而化简求出答案． 【解答】解：===
．
﹣ ﹣
【点评】此题主要考查了分式的加减运算，正确进行通分运算是解题关键．
11
16．（2016•陕西）化简：（x﹣5+
）÷
．
【分析】根据分式的除法，可得答案． 【解答】解：原式==（x﹣1）（x﹣3） =x﹣4x+3．
【点评】本题考查了分式混合运算，利用分式的除法转化成分式的乘法是解题关键．
17．（2016•玉林）化简：（
）
．
2
•
【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后把分子分解因式后约分即可． 【解答】解：原式===1．
【点评】本考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
18．（2016•聊城）计算：（
﹣
）
．
•
•
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【解答】解：原式===﹣
．
•
•
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（2016•乐山）先化简再求值：
，其中x满足x2+x﹣2=0．
12
【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【解答】解：原式==
•
•
=x（x+1） =x+x， ∵x+x﹣2=0， ∴x2+x=2， 则原式=2．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（2016•随州）先化简，再求值：（
﹣x+1）÷
，其中x=
﹣2．
22
【分析】首先将括号里面的通分相减，然后将除法转化为乘法，化简后代入x的值即可求解． 【解答】解：原式=[==当x=原式=
， ﹣2时，
=
=2
．
•
﹣
]•
【点评】本题考查了分式的化简，解题的关键是了解化简的顺序并正确的运算，难度不大．
21．（2016•云南）有一列按一定顺序和规律排列的数： 第一个数是第二个数是第三个数是…
对任何正整数n，第n个数与第（n+1）个数的和等于
； ； ；
．
13
（1）经过探究，我们发现：设这列数的第5个数为a，那么请你直接写出正确的结论；
，，
，
，，
，哪个正确？
（2）请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n个数（即用正整数n表示第n数），并且证明你的猜想满足“第n个数与第（n+1）个数的和等于（3）设M表示求证：
，
，
，…，．
，这2016个数的和，即
”；
，
【分析】（1）由已知规律可得；
（2）先根据已知规律写出第n、n+1个数，再根据分式的运算化简可得； （3）将每个分式根据﹣得结论．
【解答】解：（1）由题意知第5个数a=
（2）∵第n个数为∴===
××
，
；
+
=
，第（n+1）个数为
（+
）
，
=﹣；
=
＜
＜
=
﹣，展开后再全部相加可
即第n个数与第（n+1）个数的和等于
（3）∵1﹣=
=﹣=…
＜＜
＜＜＜
=1， =1﹣， =﹣，
14
﹣﹣∴1﹣即∴
＜＜
==++
++
＜＜+…++…+．
+
＜＜+
＜＜2﹣
==
﹣﹣，
， ，
，
【点评】本题主要考查分式的混合运算及数字的变化规律，根据已知规律得到﹣
22．（2016•哈尔滨）先化简，再求代数式（a=2sin60°+tan45°．
【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把a的值代入进行计算即可． 【解答】解：原式=[====
，
+1=
+1时，原式=
=
．
﹣
]•（a+1）
﹣
）÷
=
＜
＜
=
﹣是解题的关键．
=﹣
的值，其中
•（a+1） •（a+1） •（a+1）
当a=2sin60°+tan45°=2×
【点评】本题考查的是分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．
23．（2016•曲靖）先化简：数式的值．
÷
+
，再求当x+1与x+6互为相反数时代
15
【分析】先把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式=用x+1与x+6互为相反数可得到原式的值． 【解答】解：原式===
+，
•
+
，然后利
∵x+1与x+6互为相反数， ∴原式=﹣1．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
24．（2016•烟台）先化简，再求值：（
﹣x﹣1）÷
，其中x=
，y=
．
【分析】首先将括号里面进行通分，进而将能分解因式的分解因式，再化简求出答案． 【解答】解：（
﹣x﹣1）÷
，
=（﹣﹣）×
==﹣把x=
×， ，y=
代入得： =﹣1+
．
原式=﹣
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确因式分解是解题关键．
25．（2016•黄石）先化简，再求值：
÷
•
，其中a=2016．
【分析】先算除法，再算乘法，把分式化为最简形式，最后把a=2016代入进行计算即可．
16
【解答】解：原式==（a﹣1）•=a+1，
••
当a=2016时，原式=2017．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类问题时要注意把分式化为最简形式，再代入求值．
26．（2016•苏州）先化简，再求值：
÷（1﹣
），其中x=
．
【分析】先括号内通分，然后计算除法，最后代入化简即可． 【解答】解：原式===当x=
，
时，原式=
=
．
•
÷
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键熟练掌握分式的混合运算法则，注意运算顺序，属于基础题，中考常考题型．
27．（2016•凉山州）先化简，再求值：
．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，根据负数没有平方根求出x与y的值，代入计算即可求出值． 【解答】解：原式=∵y=
﹣
•+1，
=
，
，其中实数x、y满足
∴x﹣2≥0，2﹣x≥0，即x﹣2=0， 解得：x=2，y=1， 则原式=2．
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及二次根式有意义的条件，熟练掌握运算法则是解
17
本题的关键．
28．问题提出
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N=0，则M=N；若M﹣N＜0，则M＜N． 问题解决
如图1，把边长为a+b（a≠b）的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小． 解：由图可知：M=a+b，N=2ab． ∴M﹣N=a+b﹣2ab=（a﹣b）． ∵a≠b，∴（a﹣b）＞0． ∴M﹣N＞0． ∴M＞N． 类比应用
（1）已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为
元/千克和
元/千克（a、b
2
2
2
2
2
2
是正数，且a≠b），试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低． （2）试比较图2和图3中两个矩形周长M1、N1的大小（b＞c）．
联系拓广
小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图4所示（其中b＞a＞c＞0），售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由．
18
【分析】类比应用（1）首先得出大小关系；
﹣=，进而比较得出
（2）由图形表示出M1=2（a+b+c+b）=2a+4b+2c，N1=2（a﹣c+b+3c）=2a+2b+4c，利用两者之差求出即可．
联系拓广：分别表示出图5的捆绑绳长为L1，则L1=2a×2+2b×2+4c×2=4a+4b+8c，图6的捆绑绳长为L2，则L2=2a×2+2b×2+2c×2=4a+4b+4c，图7的捆绑绳长为L3，则L3=3a×2+2b×2+3c×2=6a+4b+6c，进而表示出它们之间的差，即可得出大小关系． 【解答】解：类比应用 （1）
﹣
=
，
∵a、b是正数，且a≠b， ∴∴
＞
＞0，
19
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容