2019-2020学年安徽省合肥市瑶海区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题
1．二次函数y＝（x﹣2）2+3的图象的顶点坐标是（ ） A．（2，3）
B．（﹣2，3）
C．（﹣2，﹣3）
D．（2，﹣3）
2．如果x：y＝1：2，那么下列各式中不成立的是（ ） A．3．若函数A．m＞﹣2
B．
C．
D．
的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
B．m＜﹣2
C．m＞2
D．m＜2
4．将y＝﹣（x+4）2+1的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得函数最大值为（ ） A．y＝﹣2
B．y＝2
C．y＝﹣3
D．y＝3
5．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在▱ABCD中，AB：BC＝4：3，AE平分∠DAB交CD于点E，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：4 B．9：16 C．4：3 D．16：9
上的点，若∠D＝110°，
7．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是则∠AOC的度数为（ ）
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
A．130° B．135° C．140° D．145°
＝，
8．如图，在△ABC中，AB＝18，BC＝15，cosB＝，DE∥AB，EF⊥AB，若则BE长为（ ）
A．7.5 B．9 C．10 D．5
9．如图，反比例函数y＝（k≠0）第一象限内的图象经过△ABC的顶点A，C，AB＝AC，且BC⊥y轴，点A、C的横坐标分别为1、3，若∠BAC＝120°，则k的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
10．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF中点，连接PC，则PC的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．2 D．4
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．反比例函数y＝﹣的图象经过点P（a+1，4），则a＝ ．
12．某人沿着有一定坡度的坡面前进了6米，此时他在垂直方向的距离上升了2米，则这
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
个坡面的坡度为 ．
13．如图，正方形ABCD中，P为AD上一点，BP⊥PE交BC的延长线于点E，若AB＝6，AP＝4，则CE的长为 ．
x﹣a的图象与x轴的一个交点坐标为14．0）已知关于x的二次函数y＝ax2+（a2﹣1）（m，．若2＜m＜5，则a的取值范围是 ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．计算：|2﹣tan60°|﹣（π﹣3.14）0+（﹣）﹣2+
．
16．如图所示，正方形网格中，ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）． （1）把ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B2C2．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．已知在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED．（1）求证：ED＝DC； （2）若CD＝6，EC＝4
，求AB的长．
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18．观察下列各式：﹣1×＝﹣1+，﹣（1）猜想：﹣
×
＝﹣，﹣＝﹣
＝ （写成和的形式）
＝ ；（n为正整数）
）+（﹣
）+…+（﹣
×
）
（2）你发现的规律是：﹣×
（3）用规律计算：（﹣1×）+（﹣+（﹣
×
）．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，在一笔直的海岸线上有A，B两观景台，A在B的正东方向，BP＝5
（单位：
km），有一艘小船停在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．
（1）求A、B两观景台之间的距离；
（2）小船从点P处沿射线AP的方向进行沿途考察，求观景台B到射线AP的最短距离．（结果保留根号）
20．如图一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（n，﹣1），B（，﹣4）两点．
（1）求反比例函数的解析式； （2）求一次函数的解析式；
（3）若点C坐标为（0，2），求△ABC的面积．
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六、（本题满分12分）
21．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AD的中点，连接CE并延长交边AB于点F，AC＝13，BC＝8，cos∠ACB＝（1）求tan∠DCE的值； （2）求
的值．
．
七、（本题满分12分）
22．公司经销的一种产品，按要求必须在15天内完成销售任务．已知该产品的销售价为62元/件，推销员小李第x天的销售数量为y件，y与x满足如下关系：y＝
（1）小李第几天销售的产品数量为70件？
（2）设第x天销售的产品成本为m元/件，m与x的函数图象如图，小李第x天销售的利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时利润最大，最大利润是多少？
八、（本题满分14分）
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23．如图1，在△ABC中，AB＝BC＝20，cosA＝，点D为AC边上的动点（点D不与点A，C重合），以D为顶点作∠BDF＝∠A，射线DE交BC边于点E，过点B作BF⊥BD交射线DE于点F，连接CF． （1）求证：△ABD∽△CDE；
（2）当DE∥AB时（如图2），求AD的长；
（3）点D在AC边上运动的过程中，若DF＝CF，则CD＝ ．
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参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小題4分，共40分） 1．二次函数y＝（x﹣2）2+3的图象的顶点坐标是（ ） A．（2，3）
B．（﹣2，3）
C．（﹣2，﹣3）
D．（2，﹣3）
【分析】根据顶点式可直接写出顶点坐标． 解：∵抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+3， ∴二次函数图象的顶点坐标是（2，3）． 故选：A．
2．如果x：y＝1：2，那么下列各式中不成立的是（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】根据比例式的性质得出x，y的关系，分别代入四个选项即可得出答案，也可用特殊值法求出． 解：∵x：y＝1：2， ∴＝， A.B，
＝
＝，故本选项正确；
＝1﹣＝1﹣＝，故本选项正确；
C，＝＝＝，故本选项正确；
D，当x＝2，y＝4时，＝＝，
故此选项错误， 故选：D． 3．若函数A．m＞﹣2
的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
B．m＜﹣2
C．m＞2
D．m＜2
【分析】根据反比例函数的性质，可得m+2＜0，从而得出m的取值范围． 解：∵函数
的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，
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∴m+2＜0， 解得m＜﹣2． 故选：B．
4．将y＝﹣（x+4）2+1的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得函数最大值为（ ） A．y＝﹣2
B．y＝2
C．y＝﹣3
D．y＝3
【分析】根据函数图象向右平移减，向下平移减，可得答案．
【解答】解；将y＝﹣（x+4）2+1的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数表达式是y＝﹣（x+4﹣2）2+1﹣3，即y＝﹣（x+2）2﹣2． 所以其顶点坐标是（﹣2，﹣2）． 由于该函数图象开口方向向下， 所以，所得函数的最大值是﹣2． 故选：A．
5．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可． 解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为A、三角形三边2，
，3
，2
，
．
，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；
B、三角形三边2，4，2C、三角形三边2，3，D、三角形三边故选：B．
，4，
，与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确； ，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误； ，与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误．
6．如图，在▱ABCD中，AB：BC＝4：3，AE平分∠DAB交CD于点E，则△DEF的面积
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与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：4 B．9：16 C．4：3 D．16：9
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠DEA＝∠EAB， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE＝∠EAB， ∴∠DAE＝∠DEA， ∴AE＝DE， ∵AB：BC＝4：3， ∴DE：AB＝3：4， ∵△DEF∽△BAF， ∵DE：EC＝3：1，
∴DE+DC＝DE：AB＝3：4， ∴
＝（
）2＝
．
故选：B．
7．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是则∠AOC的度数为（ ）
上的点，若∠D＝110°，
A．130° B．135° C．140° D．145°
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠B的度数，再利用圆周角定理解答即可．
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解：∵∠D＝110°，
∴∠B＝180°﹣110°＝70°， ∴∠AOC＝2∠B＝140°， 故选：C．
8．如图，在△ABC中，AB＝18，BC＝15，cosB＝，DE∥AB，EF⊥AB，若则BE长为（ ）
＝，
A．7.5 B．9 C．10 D．5
【分析】设DE＝x，则AF＝2x，BF＝18﹣2x，利用平行线分线段成比例定理构建方程即可解决问题．
解：设DE＝x，则AF＝2x，BF＝18﹣2x， ∵EF⊥AB， ∴∠EFB＝90°， ∵cosB＝
＝，
∴BE＝（18﹣2x）， ∵DE∥AB， ∴
＝
，
∴＝，
∴x＝6，
∴BE＝（18﹣12）＝10， 故选：C．
9．如图，反比例函数y＝（k≠0）第一象限内的图象经过△ABC的顶点A，C，AB＝AC，且BC⊥y轴，点A、C的横坐标分别为1、3，若∠BAC＝120°，则k的值为（ ）
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A．1 B． C． D．2
【分析】根据等腰三角形的性质以及∠BAC＝120°得到三角形ACD的两边之间的关系，再结合反比例函数解析式得到关于k的方程，解出k即可得出答案． 解：过点A作AD⊥BC，
∵点A、点C的横坐标分别为1，3，且A，C均在反比例函数y＝（k≠0）第一象限内的图象上，
∴A（1，k），C（3，），
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC， ∴∠ACD＝30°，∠ADC＝90°， ∴DC＝即2＝解得k＝故选：C．
10．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF中点，连接PC，则PC的最小值是（ ）
AD， （k﹣）， ．
A．4 B．8 C．2 D．4
【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得
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当CP⊥P1P2时，PC取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知CP1⊥P1P2，故CP的最小值为CP1的长，由勾股定理求解即可． 解：如图：
当点F与点D重合时，点P在P1处，AP1＝DP1， 当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝AP2， ∴P1P2∥DE且P1P2＝DE
当点F在ED上除点D、E的位置处时，有AP＝FP 由中位线定理可知：P1P∥DF且P1P＝DF ∴点P的运动轨迹是线段P1P2， ∴当CP⊥P1P2时，PC取得最小值
∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点， ∴△ABE、△CDE、△DCP1为等腰直角三角形，DP1＝2 ∴∠BAE＝∠DAE＝∠DP1C＝45°，∠AED＝90° ∴∠AP2P1＝90° ∴∠AP1P2＝45°
∴∠P2P1C＝90°，即CP1⊥P1P2， ∴CP的最小值为CP1的长
在等腰直角CDP1中，DP1＝CD＝4， ∴CP1＝4
．
∴PB的最小值是4故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．反比例函数y＝﹣的图象经过点P（a+1，4），则a＝ ﹣3 ． 【分析】此题可以直接将P（a+1，4）代入y＝﹣即可求得a的值．
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解：将点P（a+1，4）代入y＝﹣，解得a＝﹣3． 故答案为：﹣3．
12．某人沿着有一定坡度的坡面前进了6米，此时他在垂直方向的距离上升了2米，则这个坡面的坡度为
．
【分析】直接利用勾股定理得出AC的长，再利用坡角的定义得出答案． 解：由题意可得：AB＝6m，BC＝2m， 则在直角△ACB中， AC＝
＝
＝＝4
（m）， ＝
．
故这个坡面的坡度为：故答案为：
．
13．如图，正方形ABCD中，P为AD上一点，BP⊥PE交BC的延长线于点E，若AB＝6，AP＝4，则CE的长为 7 ．
【分析】利用同角的余角相等可得出∠ABP＝∠DPF，结合∠A＝∠D可得出△APB∽△DFP，利用相似三角形的性质可求出DF的长，进而可得出CF的长，由∠PFD＝∠EFC，∠D＝∠ECF可得出△PFD∽△EFC，再利用相似三角形的性质可求出CE的长． 解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠D＝∠ECF＝90°，AB＝AD＝CD＝6， ∴DP＝AD﹣AP＝2． ∵BP⊥PE， ∴∠BPE＝90°， ∴∠APB+∠DPF＝90°．
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∵∠APB+∠ABP＝90°， ∴∠ABP＝∠DPF． 又∵∠A＝∠D， ∴△APB∽△DFP， ∴
＝
，即
＝，
∴DF＝， ∴CF＝
．
∵∠PFD＝∠EFC，∠D＝∠ECF， ∴△PFD∽△EFC，
∴＝，即＝，
∴CE＝7． 故答案为：7．
x﹣a的图象与x轴的一个交点坐标为14．0）已知关于x的二次函数y＝ax2+（a2﹣1）（m，．若2＜m＜5，则a的取值范围是 ﹣5＜a＜﹣2或＜a＜ ．
【分析】由解析式y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a＝（ax﹣1）（x+a），可求抛物线与x轴的交点为（﹣a，0），（，0），结合已知当a＞0时，2＜＜5，当a＜0时，2＜﹣a＜5，分别求出a的范围即可．
解：y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a＝（ax﹣1）（x+a）， 当y＝0时，x＝﹣a或x＝，
∴抛物线与x轴的交点为（﹣a，0），（，0）， ∵与x轴的一个交点坐标为（m，0）且2＜m＜5，
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当a＞0时，2＜＜5， ∴＜a
；
当a＜0时，2＜﹣a＜5， ﹣5＜a＜﹣2； 故答案为＜a
或﹣5＜a＜﹣2．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．计算：|2﹣tan60°|﹣（π﹣3.14）0+（﹣）﹣2+
．
【分析】涉及绝对值、特殊角的三角函数值、0指数幂、负整数指数幂、二次根式的运算等考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 解：原式 ＝|2﹣＝2﹣＝5．
16．如图所示，正方形网格中，ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）． （1）把ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B2C2．
|﹣1+4+﹣1+4+
， ，
【分析】（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，相当于把△ABC先向右平移3个单位，再向上平移3个单位，利用此平移规律画出B、C的对应点即可； （2）利用旋转的定义和网格的特点画图．
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解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A1B2C2为所作．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．已知在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED．（1）求证：ED＝DC； （2）若CD＝6，EC＝4
，求AB的长．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得出∠DEC＝∠A，根据等腰三角形的性质得出∠A＝∠C，求出∠DEC＝∠C，根据等腰三角形的判定得出即可；
（2）连接BD，根据圆周角定理求出∠ADB＝90°，根据等腰三角形的性质求出AC长，再求出△DEC∽△BAC，得出比例式，即可求出答案． 【解答】（1）证明：∵A、B、E、D四点共圆， ∴∠DEC＝∠A， ∵AB＝BC， ∴∠A＝∠C， ∴∠DEC＝∠C， ∴ED＝DC；
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（2）解：连接BD，
∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， 即BD⊥AC， ∵AB＝BC，CD＝6， ∴AD＝DC＝6， ∴AC＝12，
∵∠A＝∠DEC，∠C＝∠C， ∴△DEC∽△BAC， ∴∴
＝＝
， ， ，
解得：BC＝6∵AB＝BC， ∴AB＝6
．
18．观察下列各式：﹣1×＝﹣1+，﹣（1）猜想：﹣
×
＝ ﹣
+
＝﹣，﹣＝﹣
（写成和的形式）
；（n为正整数）
）+…+（﹣
×
）
（2）你发现的规律是：﹣×＝ ﹣+
（3）用规律计算：（﹣1×）+（﹣+（﹣
×
）．
）+（﹣
【分析】由所给的已知发现乘积的等于和，即可求解． 解：（1）由所给的已知发现乘积的等于和， ∴﹣
×
＝﹣+
； +
，
故答案为﹣
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（2）﹣×故答案为﹣+
＝﹣+；
，
（3）（﹣1×）+（﹣
）＝﹣1+﹣
﹣
）+（﹣﹣…﹣
）+…+（﹣+
＝﹣1+
×）+（﹣＝﹣
．
×
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，在一笔直的海岸线上有A，B两观景台，A在B的正东方向，BP＝5
（单位：
km），有一艘小船停在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．
（1）求A、B两观景台之间的距离；
（2）小船从点P处沿射线AP的方向进行沿途考察，求观景台B到射线AP的最短距离．（结果保留根号）
【分析】（1）过点P作PD⊥AB于点D，先解Rt△PBD，得到BD和PD的长，再解Rt△PAD，得到AD和AP的长，然后根据BD+AD＝AB，即可求解； （2）过点B作BF⊥AC于点F，解直角三角形即可得到结论． 解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．
在Rt△PBD中，∠BDP＝90°，∠PBD＝90°﹣45°＝45°， ∴BD＝PD＝
BP＝5km．
在Rt△PAD中，∠ADP＝90°，∠PAD＝90°﹣60°＝30°， ∴AD＝
PD＝5
km，PA＝12．
）km；
）km；
∴AB＝BD+AD＝（5+5
答：A、B两观景台之间的距离为＝（5+5（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F， 则∠BAP＝30°， ∵AB＝（5+5
），
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∴BF＝AB＝（+）km．
）km．
答：观测站B到射线AP的最短距离为（+
20．如图一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（n，﹣1），B（，﹣4）两点．
（1）求反比例函数的解析式； （2）求一次函数的解析式；
（3）若点C坐标为（0，2），求△ABC的面积．
【分析】（1）将B代入反比例函数y＝（x＞0）利用待定系数法即可求得； （2）求得A的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的解析式；
（3）设一次函数解析式y＝2x﹣5图象交y轴为点D，由S△ABC＝S△ACD﹣S△BCD，可求S
△ABC
．
解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（n，﹣1），B（，﹣4）两点． ∴m＝×（﹣4）＝﹣2， ∴反比例函数的解析式y＝﹣；
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（2）把A（n，﹣1）代入y＝﹣得﹣1＝﹣， ∴n＝2， ∴A（2，﹣1），
∵次函数y＝kx+b的图象经过A（2，﹣1），B（，﹣4），
∴，
解得：
∴一次函数解析式y＝2x﹣5；
（3）设一次函数解析式y＝2x﹣5图象交y轴为点D ∴D（0，﹣5） ∵C（0，2）， ∵S△ABC＝S△ACD﹣S△BCD ∴S△ABC＝
六、（本题满分12分）
21．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AD的中点，连接CE并延长交边AB于点F，AC＝13，BC＝8，cos∠ACB＝（1）求tan∠DCE的值； （2）求
的值．
．
＝
．
【分析】（1）由三角函数定义求出CD＝5，由勾股定理得出AD＝12，求出ED＝AD＝6，由三角函数定义即可得出答案；
（2）过D作DG∥CF交AB于点G，求出BD＝BC﹣CD＝3，由平行线分线段成比例
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定理得出＝＝，＝＝1，得出AF＝FG，设BG＝3x，则AF＝FG＝5x，
BF＝FG+BG＝8x，即可得出答案． 解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，AC＝13，cos∠ACB＝∴CD＝5，
由勾股定理得：AD＝∵E是AD的中点， ∴ED＝AD＝6， ∴tan∠DCE＝
＝；
＝12，
＝
，
（2）过D作DG∥CF交AB于点G，如图所示： ∵BC＝8，CD＝5， ∴BD＝BC﹣CD＝3， ∵DG∥CF， ∴
＝
＝，
＝
＝1，
∴AF＝FG，
设BG＝3x，则AF＝FG＝5x，BF＝FG+BG＝8x ∴
＝．
七、（本题满分12分）
22．公司经销的一种产品，按要求必须在15天内完成销售任务．已知该产品的销售价为62元/件，推销员小李第x天的销售数量为y件，y与x满足如下关系：y＝
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（1）小李第几天销售的产品数量为70件？
（2）设第x天销售的产品成本为m元/件，m与x的函数图象如图，小李第x天销售的利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）根据已知所给y与x的关系式即可求解；
（2）根据函数图象先求出m关于x的一次函数解析式，再根据销售利润＝单件利润×销售量即可得w与x的函数关系式，进而求解． 解：（1）若8x＝70，得x＝则5x+10＝70，解得x＝12．
答：小李第12天销售的产品数量为70件． （2）由函数图象可知： 当0≤x≤5，m＝40，
当5＜x≤15时，设m＝kx+b， 将（5，40）（15，60）代入，得
，解得
∴m＝2x+30．
①当0≤x≤5时，w＝（62﹣40）•8x＝176x， ∵w随x的增大而增大，∴当x＝5时，w最大为880；
②当5＜x≤15时，w＝（62﹣2x﹣30）（5x+10）＝﹣10x2+140x+320， ∴当x＝7时，w最大为810． ∵880＞810，
∴当x＝5时，w取得最大值为880元． 答：第5天时利润最大，最大利润为880元． 八、（本题满分14分）
23．如图1，在△ABC中，AB＝BC＝20，cosA＝，点D为AC边上的动点（点D不与点A，C重合），以D为顶点作∠BDF＝∠A，射线DE交BC边于点E，过点B作BF⊥
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，
＞5，不符合题意；
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
BD交射线DE于点F，连接CF． （1）求证：△ABD∽△CDE；
（2）当DE∥AB时（如图2），求AD的长；
（3）点D在AC边上运动的过程中，若DF＝CF，则CD＝ 14 ．
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）解直角三角形求出BC，由△ABD∽△ACB，推出
＝
，可得AD＝
．
（3）点D在AC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．作FH⊥AC于H，BM⊥AC于M，BN⊥FH于N．则∠NHM＝∠BMH＝∠BNH＝90°，由△BFN∽△BDM，可得
＝
＝tan∠BDF＝tanA＝，推出AN＝AM＝×12＝9，推出CH＝CM﹣
MH＝CM﹣AN＝16﹣9＝7，再利用等腰三角形的性质，求出CD即可解决问题． 【解答】（1）证明：如图1中，
∵BA＝BC， ∴∠A＝∠ACB，
∵∠BDE+∠CDE＝∠A+∠ABD，∠BDE＝∠A， ∴∠BAD＝∠CDE， ∴△ABD∽△CDE．
（2）解：如图2中，作BM⊥AC于M．
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在Rt△ABM中，则AM＝AB•cosA＝20×＝16， 由勾股定理，得到AB2＝AM2+BM2， ∴202＝162+BM2， ∴BM＝12，
∵AB＝BC，BM⊥AC， ∴AC＝2AM＝32， ∵DE∥AB， ∴∠BAD＝∠ADE，
∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB， ∴∠BAD＝∠ACB， ∵∠ABD＝∠CBA， ∴△ABD∽△ACB， ∴
＝
， ＝
．
∴AD＝
（3）点D在AC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．
理由：作FH⊥AC于H，AM⊥AC于M，BN⊥FH于N．则∠NHM＝∠BMH＝∠BNH
＝90°，
∴四边形BMHN为矩形， ∴∠MBN＝90°，MH＝BN，
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∵AB＝BC，BM⊥AC，
∵AB＝20，AM＝CM＝16，AC＝32，BM＝12， ∵BN⊥FH，BM⊥AC， ∴∠BNF＝90°＝∠BMD， ∵∠DBF＝90°＝∠MBN， ∴∠NBF＝∠MBD， ∴△BFN∽△BDM， ∴
＝
＝tan∠BDF＝tanA＝，
∴BN＝BM＝×12＝9，
∴CH＝CM﹣MH＝CM﹣BN＝16﹣9＝7，
当DF＝CF时，由点D不与点C重合，可知△DFC为等腰三角形， ∵FH⊥DC， ∴CD＝2CH＝14． 故答案为14．
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