精选考研数学一真题与解析

一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．

１．设函数f(x)在(,)上连续，其二阶导数f(x)的图形如右图所示，则曲线yf(x)在(,)的拐点个数为

（A）0（B）1（C）2（D）3

【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点x0．但对于这三个点，左边的二

阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C） 2．设y12x1e(x)ex是二阶常系数非齐次线性微分方程yaybycex的一个23特解，则

（A）a3,b2,c1（B）a3,b2,c1 （C）a3,b2,c1（D）a3,b2,c1

【详解】线性微分方程的特征方程为r2arb0，由特解可知r12一定是特征方程的一个实根．如果r21不是特征方程的实根，则对应于f(x)cex的特解的形式应该为Q(x)ex，其中Q(x)应该是一个零次多项式，即常数，与条件不符，所以r21也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得a(21)3,b212，同时

y*xex是原来方程的一个解，代入可得c1应该选（A）

３．若级数an条件收敛，则x3,x3依次为级数nan(x1)n的

n1n1（Ａ）收敛点，收敛点（Ｂ）收敛点，发散点 (Ｃ）发散点，收敛点（Ｄ）发散点，发散点

【详解】注意条件级数an条件收敛等价于幂级数anxn在x1处条件收敛，也

n1n1an11，所以nan(x1)n的收敛半径就是这个幂级数的收敛为1，即limnan1nRlimnnan1，绝对收敛域为(0,2)，显然x3,x3依次为收敛点、发散

(n1)an1点，应该选（B）

４．设D是第一象限中由曲线2xy1,4xy1与直线yx,y3x所围成的平面区域，函数f(x,y)在D上连续，则f(x,y)dxdy（）

D（Ａ）3d41sin212sin21sin212sin21sin212sin21sin212sin2f(rcos,rsin)rdr（Ｂ）3d4f(rcos,rsin)rdr

（Ｃ）3d4f(rcos,rsin)dr （Ｄ）3d4f(rcos,rsin)dr

【详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程：

34也就是D：

11rsin2sin1sin212sin2所以f(x,y)dxdyDd34f(rcos,rsin)rdr，所以应

该选（B）．

11115．设矩阵A12a,bd，若集合1,2，则线性方程组Axb有无穷

14a2d2多解的充分必要条件是

（A）a,d（B）a,d （C）a,d（D）a,d

【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换： 方程组无穷解的充分必要条件是r(A)r(A,b)3，也就是

(a1)(a2)0,(d1)(d2)0同时成立，当然应该选（D）．

22y36．设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换xPy下的标准形为2y12y2，其中

Pe1,e2,e3，若Qe1,e3,e2，则f(x1,x2,x3)在xQy下的标准形为

2222y3y3（A）2y12y2（B）2y12y2

2222y3y3（C）2y12y2（D）2y12y2

100100100【详解】Qe1,e3,e2e1,e2,e3001P001，QT001PT

010010010所以

QTAQ100001PTAP10000110000121002100110100100101010

故选择（A）．

7．若A,B为任意两个随机事件，则（）

（A）P(AB)P(A)P(B)（B）P(AB)P(A)P(B) （C）P(AB)P(A)P(B)2（D）P(AB)P(A)P(B)2

【详解】P(A)P(AB),P(B)P(AB),所以P(AB)P(A)P(B)2故选择（C）．

8．设随机变量X,Y不相关，且EX2,EY1,DX3，则E(X(XY2))（）

（A）3（B）3（C）5（D）5

【详解】E(X(XY2))E(X2)E(XY)2EXDX(EX)2EXEY2EX5故应该选择（D）．

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上） 9．limln(cosx)x0x2

【详解】limln(cosx)x0x2limtanx1x02x2． 10．2sinxcosxxdx．

21【详解】只要注意

sinx1cosx为奇函数，在对称区间上积分为零，

1 2sinx2所以xdx2xdx.

01cosx42211．若函数zz(x,y)是由方程ezxyzxcosx2确定，则dz|(0,1)． 【详解】设F(x,y,z)ezxyzxcosx2，则

Fy(0,1,0)Fx(0,1,0)zz且当x0,y1时，z0，所以|(0,1)1,|(0,1)0,

xyFz(0,1,0)Fz(0,1,0)也就得到dz|(0,1)dx.

12．设是由平面xyz1和三个坐标面围成的空间区域，则

(x2y3z)dxdydz．

【详解】注意在积分区域内，三个变量x,y,z具有轮换对称性，也就是

20L0212L13．n阶行列式MOO000L0L02MM． 2212【详解】按照第一行展开，得Dn2Dn1(1)n12(1)n12Dn12，有

Dn22(Dn12)

由于D12,D26，得Dn2n1(D12)22n12．

14．设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(1,0;1,1;0)，则PXYY0． 【详解】由于相关系数等于零，所以X，Y都服从正态分布，X~N(1,1),Y~N(0,1)，且相互独立． 则X1~N(0,1)． 三、解答题

15．（本题满分10分）设函数f(x)xaln(1x)bxsinx，g(x)kx3在x0时为等价无穷小，求常数a,b,k的取值．

【详解】当x0时，把函数f(x)xaln(1x)bxsinx展开到三阶的马克劳林公式，得

1a0a由于当x0时，f(x),g(x)是等价无穷小，则有b0，

2ak311解得，a1,b,k.

2316．（本题满分10分）

设函数yf(x)在定义域I上的导数大于零，若对任意的x0I，曲线yf(x)在点

(x0,f(x0))处的切线与直线xx0及x轴所围成区域的面积恒为4，且f(0)2，求

f(x)的表达式．

【详解】yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为yf(x0)(xx0)f(x0) 令y0，得xx0f(x0) f(x0)曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线与直线xx0及x轴所围成区域的面积为 整理，得y11121y，解方程，得Cx，由于f(0)2，得C

y882所求曲线方程为y8. 4x17．（本题满分10分）

设函数f(x,y)xyxy，曲线C:x2y2xy3，求f(x,y)在曲线C上的最大方向导数． 【详解】显然

ff1y,1x． xyfff(x,y)xyxy在(x,y)处的梯度gradf,1y,1x

xyf(x,y)在(x,y)处的最大方向导数的方向就是梯度方向，最大值为梯度的模

gradf(1y)2(1x)2 所以此题转化为求函数F(x,y)(1x)2(1y)2在条件C:x2y2xy3下的条件极值．用拉格朗日乘子法求解如下：

令L(x,y,)(1x)2(1y)2(x2y2xy3)

F2(1x)2xy0x解方程组Fy2(1y)2yx0，得几个可能的极值点

22xyxy31,1,(1,1),(2,1),(1,2)，

进行比较，可得，在点x2,y1或x1,y2处，方向导数取到最大，为93. 18．（本题满分10分）

（1）设函数u(x),v(x)都可导，利用导数定义证明(u(x)v(x))u(x)v(x)u(x)v(x)； （2）设函数u1(x),u2(x),L,un(x)都可导，f(x)u1(x)u2(x)Lun(x)，写出f(x)的求导公式．

【详解】（1）证明：设yu(x)v(x)

由导数的定义和可导与连续的关系 （2）f(x)u1(x)u2(x)Lun(x) 19．（本题满分10分）

z2x2y2已知曲线L的方程为，起点为A(0,2,0)，终点为B(0,2,0)，计

zx算曲线积分(yz)dx(z2x2y)dy(x2y2)dz．

Lxcost【详解】曲线L的参数方程为y2sint,

zcost起点A(0,2,0)对应t2，终点为B(0,2,0)对应t2．

20．（本题满分11分）

设向量组1,2,3为向量空间R3的一组基，

1212k3,222,33(k1)3．

（1）证明：向量组1,2,3为向量空间R3的一组基；

（2）当k为何值时，存在非零向量，使得在基1,2,3和基1,2,3下的坐标相同，并求出所有的非零向量.

2【详解】（1）(1,2,3)1,2,302k201120， 0k10因为02k200k1222k140，且1,2,3显然线性无关，所以1,2,3是k1线性无关的，当然是向量空间R3的一组基．

（2）设非零向量在两组基下的坐标都是(x1,x2,x3)，则由条件

可整理得：x1(12k3)x22x3(1k3)0，所以条件转化为线性方程组

12k3,2,1k3x0存在非零解．

从而系数行列式应该等于零，也就是

101100，也就是k0． 0k由于1,2,3显然线性无关，所以02kx1此时方程组化为1,2,1x2(x1x3)1x220，

x3x1Cx1x30由于1,2线性无关，所以，通解为x20，其中C为任意常数．

x20xC3C所以满足条件的0其中C为任意不为零的常数．

C21．（本题满分11分）

023120设矩阵A133相似于矩阵B0b0．

12a031（1）求a,b的值；

（2）求可逆矩阵P，使P1AP为对角矩阵．

【详解】（1）因为两个矩阵相似，所以有trAtrB，AB．

3a2ba4也就是． 2a3bb51（2）由EB00200(1)2(5)0，得A，B的特征值都为153121,35

解方程组(EA)x0，得矩阵A的属于特征值121的线性无关的特征向量为

2311.20；

01解方程组(5EA)x0得矩阵A的属于特征值35的线性无关的特征向量为

131

1231100令P1,2,3101，则P1AP010.

0110052xln2,x022．（本题满分11分）设随机变量X的概率密度为f(x)

x00,对X进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y为次数．

求Y的分布函数；

（1） 求Y的概率分布； （2） 求数学期望EY.

【详解】（1）X进行独立重复的观测，得到观测值大于3的概率为 显然Y的可能取值为2,3,4,L

1117且P(Yk)Ck1888（2）设S(x)n(n1)xn2k217(k1)648nk2,k2,3,4,L

n2nx22(x)x,x1 31x(1x)n2n223．（本题满分11分）

设总体X的概率密度为

其中为未知参数，X1,X2,L,Xn是来自总体的简单样本． （1）求参数的矩估计量；

（2）求参数的最大似然估计量． 【详解】（1）总体的数学期望为

ˆ2X1． 令E(X)X，解得参数的矩估计量：（2）似然函数为

显然L()是关于的单调递增函数，为了使似然函数达到最大，只要使尽可能大就可以，所以

ˆmin(x,x,L,x). 参数的最大似然估计量为12n