随机抽样与抽样分布基本概念

基 本 内 容 备 注 随机抽样与抽样分布基本概念 前面主要讲的是已知随机变量的分布，求概率或其数字特征。但在实际问题中，随机变量的分布往往是未知的，但其分布是客观存在的。 合理地获得试验数据资料，建立有效的数学方法，根据所获得的数据资料，对研究对象的各种规律作出估计与推断，这就是数理统计所讨论的基本问题。 一、总体与个体 定义1: 我们把对某一个问题的研究对象的全体称作总体, 组成总体的每一个基本单元称为个体。 如：（1）研究某厂生产的元件的寿命 （2）研究某地区职工的年收入情况 注：在数理统计学中，我们是对总体的一个或者若干个数量指标进行研究。这些指标实际上都可以看成前面讲过的随机变量X. 对总体的研究就归结为讨论随机变量X的分布函数及其主要数字特征的研究。通常简单地说成总体X. 二、简单随机样本 抽样的方法很多，常见的由简单随机抽样、分层抽样、分组抽样等等。对于不同的抽样方法，分析推断的方法也不一样。 样本：在总体X中抽取n个个体X1, X2,…,Xn，这n个个体称为总体X的容量为n的样本，它构成一个n维随机变量；n为样本容量。 样本值：对一次具体的抽取得到 n个数值x1,x2, …, xn ，这一组具体的数值叫做样本值或叫样本观察值 简单随机样本: 样本的选取若满足： （1）每个个体X1, X2,…,Xn都与总体X同分布; （2）各个体之间相互独立， 这样的样本称为简单随机样本。 设总体X的分布函数为F(x)，概率密度函数为f(x)，样本的联合分布函数为F*(x1,x2,…,xn)，联合概率密度函数为f*(x1,x2,…,xn) ，对简单随机样本，有下列性质： nnF*(x1,x2,,xn)=F(xi);f*(x1,x2,,xn)=f(xi). i1i1三、统计量 新乡医学院理论课教案

基 本 内 容 定义1: 设X, X, …, X是来自总体X的一个样本, 又设g(X, X, …, 12n12Xn)是一个连续函数, 如果g中不含有未知参数, 则称g(X1, X2, …, Xn)为统计量。 注: 由定义可知, 统计量是样本的函数,也是一个随机变量, 如果x, 1x, …, x是一组样本值, 则g(x, x, …, x)是统计量g(X, X, …, X)的一个2n12n12n观察值。 例 设总体X~N(, )，令g(X1,X2, , Xn)2备 注 (Xni11ni -)，　2则g为统计量， 若未知,则g不是统计量。 若已知，常用的几个统计量: 1.样本均数X1nnXi1i; 2.样本方差S2(Xn-1i11ni2X);注意：分母是n-1，而不是n. 3.样本标准差S(Xn-1i11ni2X) 注：样本均数与总体均数、样本方差与总体方差是不同的概念。 例1 取某型号火箭8枚进行射程试验，测得数据如下（单位：km） 54，52，49，57，43，47，50，51 试计算样本均数和样本方差。 解 Xni11nXi188i1Xi218(5452495743475051)50.375 S2(Xn-1i11niX)(X8-1i118i50.375)18.27 2例2 设X1,X2,…, Xn为来自泊松分布的一个样本,求 1

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基 本 内 容 EX,V(X),E(S). 2备 注 解 EXE(1nni1Xi)1nni1EXi1nnEX1EX1 VXV(1nni1Xi)n1n2nVXii11n2nVX11nVX1n ES1n11n11n11n121n1nE[(XiX)]i1222E[XinX]i1n1n1n 22[EXinEX]i1{[VXi(EXi)]n[VX(EX)]} i1222{n[VX1(EX1)]n[[n()n(2VX1n(EX1)]} 2n)] 2统计量的分布称为抽样分布。 小样问题：对于任一自然数n能求出统计量g的精确分布，讨论在样本容量n较小时的统计问题。 大样问题：无法求出统计量g的精确分布，常求出其在n→∞时的极限分布。利用g的极限分布,讨论在样本容量n较大时的统计问题。 本次课小结： 介绍了总体、个体、简单随机样本、统计量和抽样分布等概念，简单随机样本的特点，统计量的判断方法及常见统计量，了解大样问题与小样问题。 2

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