5．2.1 三角函数的概念
1．能用三角函数的定义进行计算．
2．熟记正弦、余弦、正切在各象限的符号，并能进行简单的应用． 3．会利用诱导公式一进行有关计算．
1．任意角的三角函数的定义
前提 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y) 正弦 余弦 点P的纵坐标y叫做α的正弦，记作sinα，即y＝sinα 点P的横坐标x叫做α的余弦，记作cosα，即x＝cosα 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tanα，即正切 tanα＝(x≠0) 定义 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数、正切函数三角 函数 统称为三角函数，记为 正弦函数y＝sinx(x∈R) 余弦函数y＝cosx(x∈R) yxyxπ正切函数y＝tanxx≠＋kπ，k∈Z 2温馨提示：(1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确α是一个任意角． (2)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和P(x，y)所在终边上的位置无
关，而由角α的终边位置决定．
(3)要明确sinx是一个整体，不是sin与x的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的．
2．三角函数值的符号 如图所示：
正弦：一二象限正，三四象限负； 余弦：一四象限正，二三象限负； 正切：一三象限正，二四象限负．
简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．诱导公式一
即终边相同的角的同一三角函数值相等．
1．若角α与β的终边相同，根据三角函数的定义，你认为sinα与sinβ，cosα与cosβ，tanα与tanβ之间有什么关系？
[答案] sinα＝sinβ，cosα＝cosβ，tanα＝tanβ 2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若α＝β＋720°，则cosα＝cosβ.( ) (2)若sinα＝sinβ，则α＝β.( )
(3)已知α是三角形的内角，则必有sinα>0.( )
(4)任意角α的正弦值sinα、余弦值cosα、正切值tanα都有意义．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
题型一任意角的三角函数的定义及其应用
【典例1】 (1)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________.
(2)已知角α的终边落在直线3x＋y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值． [思路导引] 利用三角函数的定义求解．
[解析] (1)∵x＝5，y＝－12，∴r＝5＋－12＝13，
2
2
y12x5y12
则sinα＝＝－，cosα＝＝，tanα＝＝－.
r13r13x5
(2)直线3x＋y＝0，即y＝－3x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，3)，则r＝－1＋3＝2，所以sinα＝
2
2
2
31
，cosα＝－，tanα＝－3；在第四象22
2
限取直线上的点(1，－3)，则r＝1＋－3＝2，所以sinα＝－＝－3.
12512
[答案] (1)－ － (2)见解析
13135
求任意角的三角函数值的2种方法
31
，cosα＝，tanα22
方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值．
方法二：第一步，取点：在角α的终边上任取一点P(x，y)，(P与原点不重合)； 第二步，计算r：r＝|OP|＝x＋y；
第三步，求值：由sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)求值． 在运用上述方法解题时，要注意分类讨论思想的运用． [针对训练]
1．已知角α的终边经过点P(1，－1)，则sinα的值为( ) 1
A. 2C.2 2
B.3 22 2
2
2
yrxryxD．－[解析] ∵α的终边经过点P(1，－1)，
∴sinα＝[答案] D
2＝－. 22
21＋－1
－1
12．已知角α的终边与单位圆的交点为－，y(y<0)，则sinαtanα＝________.
21[解析] ∵α的终边与单位圆的交点为－，y， 2
31222
∴－＋y＝1，即y＝.
42
又∵y<0，∴y＝－∴sinα＝－3. 2
3
，tanα＝3， 2
33×3＝－. 22
sinαtanα＝－3
[答案] －
2
题型二三角函数在各象限的符号问题 【典例2】 判断下列各式的符号： (1)sin105°·cos230°；
2π(2)cos3·tan－. 3
[思路导引] 利用三角函数在各象限的符号判断．
[解] (1)因为105°，230°分别为第二、三象限角，所以sin105°>0，cos230°<0.于是sin105°·cos230°<0.
π2π
(2)因为<3<π，所以3是第二象限角，所以cos3<0，又因为－是第三象限角，所23
2π2π以tan－>0，所以cos3·tan－<0. 33
判断三角函数值正负的2个步骤
(1)定象限：确定角α所在的象限．
(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．
注意：若sinα>0，则α的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在y
轴的非负半轴上．
[针对训练]
3．设θ是第三象限角，且满足sin＝－sin，则角为第________象限角．
2223πθ[解析] 因为θ是第三象限角，所以π＋2kπ<θ<π＋2kπ，k∈Z，所以＋kπ<
2223θθθ<π＋kπ，k∈Z，所以角为第二、四象限角．又因为sin＝－sin，
2422
所以sin<0，所以为第四象限角．
22[答案] 四
题型三诱导公式一的应用 【典例3】 求下列各式的值： 25π15π；
(1)cos＋tan－
43(2)sin810°＋tan1125°＋cos420°.
[思路导引] 利用诱导公式将角化到0°～360°范围内，再求解． ππ[解] (1)原式＝cos8π＋＋tan－4π＋
34ππ13
＝cos＋tan＝＋1＝.
3422
(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋ 15cos(360°＋60°)＝sin90°＋tan45°＋cos60°＝1＋1＋＝. 22
θ
θθθθ
(1)公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等．利用它可将大角转化为[0,2π)范围内的角，再借助特殊角的三角函数值达到化简求值的目的．
(2)熟记一些特殊角的三角函数值．
[针对训练]
4．计算下列各式的值：
(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；
11π＋cos12π·tan4π. (2)sin－
65
[解] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝1＋6＝. 4
π2ππ2π1(2)原式＝sin－2π＋＋cos2π＋·tan(4π＋0)＝sin＋cos×0＝. 65652
课堂归纳小结
1．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数． 2．角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
3．公式一的理解
(1)公式一的实质：是说终边相同的角的三角函数值相
等，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次，体现了三角函数特有的“周而复始”的变化规律．
(2)公式一的作用
利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0～2π间角的三角函数，亦可把大于2π的角的三角函数化为0～2π间角的三角函数，即实现了“负化正，大化小”.
1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα＝( ) 4
A. 53C．－ 5
2
2
231161×＋×＝＋222244
3
B. 54D．－ 5
[解析] ∵x＝－4，y＝3，∴r＝－4＋3＝5，
x－44
∴cosα＝＝＝－，故选D.
r55
[答案] D
35π的值等于( )
2．sin－
6
1
A. 2C.3 2
1B．－ 2D．－3 2
35π＝sin－6π＋π＝sinπ＝1，∴选A.
[解析] ∵sin－6662
[答案] A
3．若sinα<0且tanα>0，则α的终边在( ) A．第一象限 C．第三象限
B．第二象限 D．第四象限
[解析] 由于sinα<0，则α的终边在第三或第四象限或y轴非正半轴上，又tanα>0，则α的终边在第一或第三象限，所以α的终边在第三象限．
[答案] C
4
4．已知角α的终边经过点P(m，－6)，且cosα＝－，则m＝________.
5
4
[解析] ∵cosα＝－<0，∴α角应为第二或第三象限角，又∵y＝－6<0，∴α为第
5三象限角，∴m<0
4m又∵－＝2，∴m＝－8.
5m＋－62[答案] －8
5．求值：tan405°－sin450°＋cos750°. [解] tan405°－sin450°＋cos750°
＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°) ＝tan45°－sin90°＋cos30° ＝1－1＋
33
＝ 22
课后作业(三十九)
复习巩固
一、选择题
34则tanα1．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点－，，
55
的值为( )
4A．－ 34C．－ 5
3B．－ 43D．－ 5
4
[解析] 由正切函数的定义可得，tanα＝＝－.
33－5[答案] A
π
2．若－<α<0，则点Q(cosα，sinα)位于( )
2A．第一象限 C．第三象限
π
[解析] 因为－<α<0，
2所以cosα>0，且sinα<0，
所以点Q(cosα，sinα)在第四象限，选D. [答案] D
3．若角α的终边过点(2sin30°，－2cos30°)，则sinα的值等于( ) 1A. 2C．－3 2
1B．－ 2D．－3 3B．第二象限 D．第四象限
45
[解析] ∵x＝2sin30°＝1，y＝－2cos30°＝－3， ∴r＝1＋－3＝2，∴sinα＝＝－[答案] C
4．若sinθ 2 2 yr3 ，选C. 2 [解析] 由条件可知cosθ>0，sinθ<0，则θ为第四象限角，故选D. [答案] D π5．给出下列函数值：①sin(－1000°)；②cos－；③tan2，其中符号为负的个数4 为( ) A．0 C．2 B．1 D．3 [解析] ①sin(－1000°)＝sin(－1080°＋80°) ＝sin80°>0 π②cos－>0 4 π ③∵<2<π，∴tan2<0，只有③符合，∴选B. 2[答案] B 二、填空题 176．tan－π等于________． 3 ππ17[解析] tan－π＝tan－6π＋＝tan＝3. 333[答案] 3 7．设a<0，角α的终边经过点P(－3a,4a)，则sinα＋2cosα的值等于________． [解析] ∵a<0，角α的终边经过点P(－3a,4a)，∴点P与原点的距离r＝－5a，sinα432 ＝－，cosα＝，∴sinα＋2cosα＝. 555 2[答案] 5 sinα|sinα| 8．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋＝________. |cosα|cosα[解析] ∵角α的终边在直线x＋y＝0上 ∴角α的终边落在二、四象限角平分线上， 且|sinα|＝|cosα| 若α在第二象限，sinα>0，cosα<0 ∴ sinα|sinα|sinαsinα＋＝＋＝0 |cosα|cosα－cosαcosα若α在第四象限，sinα<0，cosα>0 ∴ sinα|sinα|sinα－sinα＋＝＋＝0. |cosα|cosαcosαcosα[答案] 0 三、解答题 9．化简下列各式： 75π(1)sinπ＋cosπ＋cos(－5π)＋tan； 224(2)asin810°－bcos900°＋2abtan1125°. 3π [解] (1)原式＝sinπ＋cos＋cosπ＋1 22＝－1＋0－1＋1＝－1. (2)原式＝asin90°－bcos180°＋2abtan(3×360°＋45°) ＝a＋b＋2abtan45°＝a＋b＋2ab＝(a＋b). 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10．已知角θ的终边上一点P(－3，m)，且sinθ＝[解] 由题意得sinθ＝2 m.求cosθ与tanθ. 4 m2 ＝m， m2＋34 若m＝0，则cosθ＝－1，tanθ＝0. 若m≠0，则m＝±5. 当m＝5时，cosθ＝－ 615，tanθ＝－； 43615 ，tanθ＝. 43 综合运用 11．sin2·cos3·tan5的值( ) A．大于0 C．等于0 B．小于0 D．不能确定 当m＝－5时，cosθ＝－ [解析] ∵2 rad为第二象限角，∴sin2>0；3 rad为第二象限角，∴cos3<0；5 rad为第四象限角，∴tan5<0， ∴sin2·cos3·tan5>0，选A. [答案] A 12．若△ABC的两内角A，B满足sinA·cosB<0，则此三角形的形状为( ) A．锐角三角形 C．直角三角形 B．钝角三角形 D．不能确定 π [解析] 由题意知0 [答案] B 13．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sinα>0，cosα≤0，则实数a的取值范围是________． a＋2>0 [解析] ∵点(3a－9，a＋2)在角α的终边上，sinα>0，cosα≤0，∴ 3a－9≤0 解 得－2 13π13π23π的值为________． 14．sin＋cos－tan－ 46313π13π23π [解析] sin＋cos－tan－ 463 πππ＝sin2π＋＋cos4π＋－tan－6π＋ 634πππ ＝sin＋cos－tan 63411 ＝＋－1＝0. 22[答案] 0 11 15．已知＝－，且lgcosα有意义． |sinα|sinα(1)试判断角α是第几象限角； 3(2)若角α的终边上一点是M，m，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sinα的 5 值． 11 [解] (1)因为＝－，得|sinα|＝－sinα，且sinα≠0，所以sinα<0. |sinα|sinα由lgcosα有意义可知cosα>0， 所以角α是第四象限角． 4322 (2)因为|OM|＝1，所以＋m＝1，解得m＝±. 554 又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－. 5由正弦函数的定义可知， 4－5ym4 sinα＝＝＝＝－. r|OM|15 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容