解含参集合问题的几个注意点

解含参集合问题的几个注意点

河南 陈长松

同学们在集合学习中，由于对有关概念 、知识理解不深，经常出现某些模糊认识，特别在解含有参数问题时往往顾此失彼，造成失误．笔者根据以往教学经验，提醒同学们在解含参集合题时，必须注意以下几点：

1．注意空集的特殊作用

例1 已知集合A={x∣x+（a+2）x+1=0, 求a的取值范围．

解析：由AB知，A中的元素为非正数，即方程 x+（a+2）x+1=0只有非正数解．

22xR}．B={x∣x>0}, 若AB，

a2240 ∴  解得 a0

a20 实际上,这个结果是不完整的，上述解法只注意到Ａ为非空解集，当Ａ为空集时，仍满足AB． 当Ａ=时，a240，解得－4＜a＜０，

2 综上可得 ：

a＞－4

评注：空集是任何非空集合的子集，且A， AA.， 在解有关含有参数的集合题时，忽视了空集的特殊性，就会造成解题解结果的残缺不全． ２．注意题中的隐含条件

例２设全集Ｕ＝｛２，３，a＋２a－３｝，Ａ＝｛∣２a－１∣，２｝，CUA＝｛５｝， 求实数a的值．

错解：∵CUA＝｛５｝，∴ ５Ｓ且 ５Ａ，从而，a＋２a－３＝５，解得a＝２，或a＝－４．

分析 导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为Ｕ是全集，所以ＡＵ．当a＝２时，∣２a－１∣＝３Ｓ，符合题意；当a＝－４时，∣２a－１∣＝９Ｓ，不符合题意；故a＝２．

评注：在解有关含参数的集合时，需要进行验证结果是否满足题设条件，包括隐含条件． ３．注意端点值的舍取

22

例３ 已知集合A＝{x∣x≥４，或x＜－５}，Ｂ＝｛x∣a＋１≤x≤a＋３｝，若Ａ∪Ｂ＝Ａ，求a得取值范围．

错解：由Ａ∪Ｂ＝Ａ得 ＢＡ．

∴a＋３≤－５，或a＋１≥４，解得a≤－８，或a≥３．

分析：上述解法忽视了等号能否成立，事实上，当a＝－８时，不符合题意；当a＝３时，符合题意，故正确结果应为a＜－８，或a≥３．

评注：在求集合中字母取值范围时，要特别注意该字母在取值范围的边界能否取等号，否则会导致解题结果错误．

４．注意参数的分类讨论 例４ 设A＝{

x∣2xa}，Ｂ＝{y∣y2x3,xA}，Ｃ＝{z∣

zx2,xA}，且CB，求实数a的取值范围．

解析：∵ A＝{x∣2xa}，

∴ Ｂ＝{y∣y2x3,xA}＝｛y∣1y2a3｝．

2①当2a0时，Ｃ＝｛z∣az4｝． ∵ CB，

∴ 42a3，解得a1，这与2a0矛盾． 211a2． ． ∴

22②当0a2时，Ｃ＝｛z∣0z4｝． ∵ CB， ∴ 42a3，解得a2③当a2时，Ｃ＝｛z∣0za｝． ∵ CB，

∴ a2a3，解得－１a3． ∴2a3． 综上得，实数a的取值范围是

21a3． 2 评注：对含有参数的问题，求解时常常要对其中的参数进行分类讨论，这也是集合中体现出来的重要数学思想之一．