六年级下册数学试题-余数问题人教版

余数问题

【方法梳理】

一、有规律问题的解法口诀：和同加和，差同减差，余同取余，最小公倍加

（一）和同加和：如果不同被除数和余数的和相同，那么就把这个和，加到最小公倍数上。 （二）差同减差：如果不同被除数和余数的差相同，那么就把这个差，用最小公倍数减掉。 （三）余同取余：如果余数都相同，直接把余数加到最小公倍数上。

二、无规律问题的解法

一筐苹果，如果按5个一堆放，最后多出2个；如果按6个一堆放，最后多3个；如果按7个一堆放，还多出1个。这筐苹果至少有几个？ （一）逐步约束法

5余2的最小数字是7，看看7除以6是余1不是3，所以要看看7上面加多少个5才能除以6余3。

通常的做法是，7+5=12，余0，不对；12+5=17，余5，不对；17+5=22，余4，不对；22+5=27，余3，对了！所以是27。

27这个数字出来了，还没结束，下面考虑27除以7余6，不是余1。要在27上面加多少个30（5和6的最小公倍数）才能余1？

同样的思路，要余1，相当于余8（1＋7＝8），由于30除以7余2，问题就转换为，要从余6变成余8，需要多少个2，答案是1个，也就是27上面加1个30即可，最终数字是57。

（二）中国剩余定律

先找出6和7的公倍数，从中选取一个最小的、能够除以5余1的数字，为42×3＝126，用这个数乘以5的余数。题目中除以5余2，所以126×3＝252；

再找出5和7的公倍数，从中选取一个最小的、能够除以6余1的数字，为35×5＝175，用这个数乘以6的余数。题目中除以6余3，所以175×3＝525；

再找出5和6的公倍数，从中选取一个最小的、能够除以7余1的数字，为30×4＝120，用这个数乘以7的余数。题目中除以7余1，所以120×1＝120；

252＋525＋120＝897 ，897除以5、6、7三个数的最小公倍数210的余数，即为最终答案：897－210×4＝57

同余定理1 、如果a，b除以c的余数相同，那么我们说a，b对于c是同余的。并且我们说a，b之间的差能被c整除。（a b c三个数都是自然数）

例1：有一个大于1的数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数可能是多少？

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举一反三：已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.

同余定理2、a和b的积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积或者这个余数的积再除以c所得的余数。（a b c均为自然数）

例2：3145368765987657的积,除以4的余数是多少？

例3：今有一类数，除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是2.试问这个类数最小那个又什么？

举一反三：有一类数，除以7余2，除以8余4，除以9余3。问这类数中最小的是什么？

例4：有三个吉利数字，888，518，666，用他们同时除以一个相同的自然数，所得的余数为a，a+7，a+10.试问这

个自然数是多少？

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举一反三：140，225，293同时除以某一个自然数得到的余数相同，试问这个自然数是多少？余数又是多少？

例5：如果时针现在表示的时间是18点整,那么分针旋转1990圈之后是_____点钟.

举一反三：1999年1月1日是星期五，试问2002年6月1日是星期几？

例6：节日的街上挂起了长长的一排彩灯，共2013盏。从第一盏开始，按照5盏红灯，4盏黄灯，3盏蓝灯，2盏

绿灯不断地排下去。问： (1)第1982盏灯的颜色是什么？ (2)蓝灯共有多少盏？

举一反三：甲乙丙丁四个小朋友玩报数游戏，规定，甲报1乙报2丙报3丁报4甲报5乙报6丙报7……，问报

2012的那个人是谁？、

例题7、一个三位数除以41余11，除以37余5，那么这个三位数是多少？

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【巩固练习】

1．小东在计算除法时，把除数87写成78，结果得到的商是54，余数是8.正确的商是_____,余数是_____.

2、a24=121……b,要使余数最大，被除数应该等于_____.

3、一个三位数被37除余17,被36除余3,那么这个三位数是_____.

4、3145368765987657的积,除以5的余数是_____.

【难题挑战】

1．自然数n除63，91，129所得余数之和为25，则n是多少？

2、韩信点兵：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人，成六行纵队，则末行五人，成七行纵队，则末行四人，成十一行纵队，则末行十人.求兵数.

3、有一堆棋子，三个三个地数剩下2个，五个五个地数剩下4个，七个七个地数剩下6个.问这堆棋子最少有多少个？

4、一猴子数一堆桃子.两个两个地数剩下1个，三个三个地数剩下1个，五个五个地数剩下3个，七个七个地数剩下3个.问这堆桃子最少是多少个？

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5、有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果？

真题练习： （2017麓山国际）：

1、一筐苹果每人分4个少2个，每人分5个少2个，每人分7个少2个，这筐苹果至少 个。

2、有若干个苹果和梨，如果5个苹果和3个梨装一袋的话，还余4个苹果，梨恰好装完；如果7个苹果和3个梨装一袋的话，则还余12个梨，苹果恰好装完，请问苹果和梨各有多少个？

（2018中雅培粹）：

3、某个三位数是2的倍数，除以3余2，除以4余2，除以5余2，除以6余2，那么这个数最小为 。

（2017怡雅中学）：

4、有一堆西瓜，第一只猴子拿走了这堆西瓜的一半加半个，第二只猴子拿走剩下西瓜的一半加半个，第三只猴子拿走最后剩下的西瓜一半加半个，西瓜正好被拿光。这堆西瓜原来有 个。

5、六（1）班学生人数不足50人，排队时，每排3人，结果多一人；每排4人，结果多3人；每排7人，结果多1人。六（1）班共 。

（2017长郡双语）：

6、王老师有一盒铅笔，如果平均分给2名同学则余1支，如果平均分给3名同学余2支，平均分给4名同学余3支，如果平均分给5名同学余4支。王老师这盒铅笔最少有 支。

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