第一部分 选择题（共40分）
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合 ≤ ≤ , ≤ ≤ ，则（ ） 2. 计算： （ ） A． B．- C. 2 D. -2
3. 已知 是奇函数，当 时， ，则 （ ） A. 2 B. 1 C. D.
4. 已知向量 ,则 的充要条件是（ ） A． B． C． D．
5. 若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为 ，则该几何体的俯视图可以是（ ） 6. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 此函数的图象关于直线 对称 B. 此函数的值为1 C. 此函数在区间 上是增函数 D. 此函数的最小正周期为 7. 某程序框图如图所示，该程序运行后， 输出的 值为31，则 等于（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8. 已知 、 满足约束条件 ， 若 ，则 的取值范围为（ ） A. [0，1] B. [1，10] C. [1，3] D. [2，3] 第二部分 非选择题（共100分）
二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分）。
（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答。
9. 已知等比数列 的公比 为正数，且 ，则 = . 10. 计算 .
11. 已知双曲线 的一个焦点是（ ），则其渐近线方程为 . 12. 若 n的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 . 13. 已知
依此类推，第 个等式为 . （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的只算前一题得分。
14. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为 (θ为参数)，则曲线C上的点到直线3 -4 +4=0的距离的值为 15.（几何证明选讲选做题）如图，⊙O的直径AB＝6cm，P是AB
延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC， 若∠CPA＝30°，PC＝_____________
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分12分）
如图，角 为钝角，且 ，点 、 分别是在角 的 两边上不同于点 的动点. （1）若 =5， = ，求 的长； （2）设 的值.
17.（本小题满分12分）
某连锁超市有 、 两家分店，对该超市某种商品一个月30天的销售量进行统计： 分店的销售量为200件和300件的天数各有15天； 分店的统计结果如下表： 销 售量（单位：件） 200 300 400 天 数 10 15 5
（1）根据上面统计结果，求出 分店销售量为200件、300件、400件的频率；
（2）已知每件该商品的销售利润为1元， 表示超市 、 两分店某天销售该商品的利润之和，若以频率作 为概率，且 、 两分店的销售量相互独立，求 的分布列和数学期望. 18.（本小题满分14分）
如图， 为矩形， 为梯形，平面 平面 ， ， .
（1）若 为 中点，求证： ∥平面 ； （2）求平面 与 所成锐二面角 的大小． 19.（本小题满分14分） 已知数列 中， ，且当 时， ， . 记 的阶乘 ！
（1）求数列 的通项公式；（2）求证：数列 为等差数列； （3）若 ，求 的前n项和. 20.（本小题满分14分）
已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为 . （1）求椭圆 的方程；
（2）设椭圆 的左焦点为 ，右焦点为 ，直线 过点 且垂直于椭圆的长轴，动直线 垂直 于点 ，线段 的垂直平分线交 于点M，求点M的轨迹 的方程； 标签：
（3）设O为坐标原点，取 上不同于O的点S，以OS为直径作圆与 相交另外一点R，求该圆面积的最小值时点S的坐标． 21.（本小题满分14分）
已知函数 ，函数 是函数 的导函数.
（1）若 ，求 的单调减区间；
（2）若对任意 ， 且 ，都有 ，求实数 的取值范围； （3）在第（2）问求出的实数 的范围内，若存在一个与 有关的负数 ，使得对任意 时 恒成立，求 的最小值及相应的 值. 茂名市2013年第一次高考模拟考试数学试卷（理科） 参考答案及评分标准
一、选择题(每小题5分，共40分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B A C C D B
二、填空题（每小题5分，共30分） 9. ； 10. ； 11. ； 12. ； 13. ； 14. 3； 15. 33.
三、解答题（共80分）
16. 解：（1） 是钝角， ， 。。1分 在 中，由余弦定理得： 所以 。。4分
解得 或 （舍去负值），所以 。。6分 （2）由 。。7分 在三角形APQ中， 又 。。8分
。。9分 。11分 。。12分
17. 解：（1）B分店销售量为200件、300件、400件的频率分别为 ， 和 。3分
（2）A分店销售量为200件、300件的频率均为 ， 。4分 的可能值为400 ，500，600，700，且 。5分 P（ =400）= ， P（ =500）= ， P（ =600）= ， P（ =700）= ， 。9分 的分布列为 400 500 600 700 P 。10分
=400 +500 +600 +700 = （元） 。。12分 18.（1）证明：连结 ,交 与 ,连结 ， 中， 分别为两腰 的中点 ∴ 。。2分 因为 面 ,又 面 ，所以 平面 。。4分
（2）解法一：设平面 与 所成锐二面角的大小为 ，以 为空间坐标系的原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，则 。6分
设平面 的单位法向量为 ，则可设 。。。7分 设面 的法向量 ，应有 即：
解得： ，所以 。。。。12分 ∴ 。。。。13分
所以平面 与 所成锐二面角为60°。。。14分
解法二：延长CB、DA相交于G，连接PG，过点D作DH⊥PG ，垂足为H，连结HC 。。6分
∵矩形PDCE中PD⊥DC，而AD⊥DC，PD∩AD=D ∴CD⊥平面PAD ∴CD ⊥PG，又CD∩DH=D ∴PG⊥平面CDH，从而PG⊥HC 。。8分
∴∠DHC为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的平面角 。。。。10分
在 △ 中， ， 可以计算 。12分 在 △ 中， 。。。13分
所以平面 与 所成锐二面角为60°。。。14分 19. 解：（1） , ， ！ 。。。。2分 又 ， ！ 。。。。。3分
（2） 由 两边同时除以 得 即 。4分
∴数列 是以 为首项，公差为 的等差数列 。。5分
，故 。。。6分 （3）因为 。。8分 记 = 。10分
记 的前n项和为 则 ① ∴ ② 由②-①得： 。。。。。。。13分 ∴ = 。14分
20. 解：（1）解：由 ，得 ，再由 ，解得 。1分 由题意可知 ，即 。。。2分 解方程组 得 。。。3分 标签：
所以椭圆C1的方程是 。。。。3分
（2）因为 ，所以动点 到定直线 的距离等于它到定点 （1，0）的距离，所以动点 的轨迹 是以 为准线， 为焦点的抛物线，。6分
所以点 的轨迹 的方程为 。。。。7分
（3）因为以 为直径的圆与 相交于点 ，所以∠ORS = 90°，即
。。。。。。。8分
设S （ ， ），R（ ， ）， ＝（ - ， - ）， =（ ， ） 所以
因为 ， ，化简得 。。。10分 所以 ，
当且仅当 即 ＝16，y2＝±4时等号成立. 。。12分 圆的直径|OS|=
因为 ≥64，所以当 ＝64即 =±8时， ， 。13分 所以所求圆的面积的最小时，点S的坐标为（16，±8）。。14分
21. 解：（1）当 时， ， 。。1分 由 解得 。。2分
当 时函数 的单调减区间为 ；。。3分 （2）易知 依题意知 。。。。。5分
因为 ，所以 ，即实数 的取值范围是 ；。。6分 （3）解法一：易知 ， .
显然 ，由（2）知抛物线的对称轴 。。7分 ①当 即 时， 且 令 解得 。。8分
此时 取较大的根，即 。。9分 ， 。。10分 ②当 即 时， 且 令 解得 。。11分
此时 取较小 的根，即 。。12分 ， 当且仅当 时取等号 。13分
由于 ，所以当 时， 取得最小值 。。14分 解法二：对任意 时，“ 恒成立”等价于“ 且 ” 由（2）可知实数 的取值范围是
故 的图象是开口向上，对称轴 的抛物线。7分 ①当 时， 在区间 上单调递增， ∴ ，
要使 最小，只需要 。8分
若 即 时，无解 若 即 时，。。9分 解得 （舍去） 或
故 （当且仅当 时取等号）。10分
②当 时， 在区间 上单调递减，在 递增， 则 ，。。11分 要使 最小，则 即
。。。。。12分 解得 （舍去）
或 （当且仅当 时取等号）。13分
综上所述，当 时， 的最小值为 . 。。。14分
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