韦达定理的应用

根的判别式与韦达定理

模块一根的判别式

b2b24ac1、定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到(x)，显然只有当b24ac0时，才22a4abb24ac能直接开平方得：x．

2a4a2注：一元二次方程ax2bxc0(a0)只有当系数a、b、c满足条件b24ac0时才有实数根．这里b24ac叫做一元二次方程根的判别式． 2、判别式与根的关系

在实数范围内，一元二次方程ax2bxc0(a0)的根由其系数a、b、c确定，它的根的情况（是否有实数根）由b24ac确定．

设一元二次方程为ax2bxc0(a0)，其根的判别式为：b24ac则 ①0方程axbxc0(a0)有两个不相等的实数根x1,22bb24ac． 2a②0方程ax2bxc0(a0)有两个相等的实数根x1x2③0方程ax2bxc0(a0)没有实数根． 练习：运用判别式，判定方程实数根的个数

【例1】 不解方程，判断下列方程的根的情况：

b． 2a（1）2x23x40；（2）ax2bx0（a0）

【巩固】不解方程，判别一元二次方程2x26x1的根的情况是（）

A．有两个不相等的实数根B．没有实数根 C．有两个相等的实数根D．无法确定

【巩固】不解方程判定下列方程根的情况： （1）2x23x40；（2）3x2226x；（3）322x1x； 22（4）(2m21)x22mx20；（5）x22axa10；（6）3x22x20； （7）4x(x1)30；（8）(x1)(x2)m2

【例2】 已知a，b，c是不全为0的3个实数，那么关于x的一元二次方程

x2(abc)x(a2b2c2)0的根的情况（）．

A．有2个负根 B．有2个正根

D．无实根

C．有2个异号的实根

利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围

【例3】 m取什么值时，关于x的方程x22(3mx)26有两个相等的实数根

【巩固】如果关于x的一元二次方程kx26x90有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（） A．k1B．k0C．k1且k0D．k1

【巩固】方程kx26x10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是

【巩固】若关于x的二次方程(m1)x22mxm20有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 【巩固】若关于x的一元二次方程(k1)x22x10有实数根，则k的最小整数值为 【巩固】已知方程m2x2(2m1)x10有实数根，求m的范围． 【例4】 关于x的一元二次方程(12k)x22k1x10有两个不相等的实数根，求k的取值范围．

【巩固】关于x的方程x22kx10有两个不相等的实数根，则k的取值范围（） 【巩固】已知关于x的方程x22(m1)xm250有两个不相等的实数根，化简： 【巩固】已知关于x的一元二次方程x21mxm0有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 【巩固】k为何值时，方程(k1)x2(2k3)x(k3)0有实数根． 【例5】 关于x的方程a6x28x60有实数根，则整数a的最大值是． 【巩固】若方程x22(a1)xa24a50有实数根，求：正整数a．

【例6】 已知关于x的方程x2abx12b2b10有两个相等的实数根，且a、b为实数，则23a2b________．

【巩固】当a、b为何值时，方程x221ax3a24ab4b220有实根？

【例7】 已知a，b，c为正数，若二次方程ax2bxc0有两个实数根，那么方程a2x2b2xc20的

根的情况是（）

A．有两个不相等的正实数根B．有两个异号的实数根 C．有两个不相等的负实数根D．不一定有实数根

【巩固】若方程(m2)x22(m1)xm0只有一个实数根，那么方程(m1)x22mxm20（）．

A．没有实数根

B．有2个不同的实数根

D．实数根的个数不能确定

C．有2个相等的实数根

通过判别式，证明与方程相关的代数问题

【例8】 对任意实数m，求证：关于x的方程(m21)x22mxm240无实数根．

【巩固】求证：关于x的一元二次方程x2(2m)x1m0有两个实数根．

【巩固】已知实数a、b、c、r、p满足pr2，pc2bra0，求证：一元二次方程ax22bxc0必有实根．

【巩固】证明：无论实数m、n取何值时，方程mx2(mn)xn0都有实数根

【巩固】已知：方程mx22m2xm50没有实数根，且m5，求证：m5x22m2xm0有两个实数根．

模块二韦达定理

如果ax2bxc0(a0)的两根是x1，x2，则x1x2，x1x2．（隐含的条件：0）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设x1，x2是方程x2pxq0的两个根，则x1x2p，x1x2q．

baca利用韦达定理求代数式的值

【例9】 不解方程2x2(34)x230，求两根之和与两根之积 【巩固】设方程4x27x30的两个根为x1、x2，不解方程求下列各式的值 （1）(x13)(x23)；（2）x2x（3）x1x2 1；x11x21【巩固】已知方程2x24x30的两个根为x1、x2 （1）x1x2；（2）x1x2_______； （3）11（4）x12x22_______ _______；x1x2【巩固】已知、是方程x25x20的两根，求利用韦达定理求参数的值

的值． 【例10】方程kx26x10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 【例11】若3、2是方程x2pxq0的两个根，则pq________ 【巩固】若方程x2px10的一个根为12，则它的另一根等于，p等于 【巩固】关于x的方程x22bx10的一个根为2，则另一个根是，b______ 【巩固】方程3x28xm0的两个根之比为3:1，则m_______ 【巩固】已知23是方程x24xk0的一个根，求另一个根和k的值 【例12】已知方程x24xm0的两个根的平方和是10，求m的值。

【巩固】已知关于x的方程x2mxm10有两个不相等的实根x1、x2，且

11m，求m的值 x1x2【巩固】设x1、x2是方程x22k1xk220的两个不同的实根，且x11x218，则k的值是＿＿＿＿．

【巩固】已知关于x的方程k2x2(2k1)x10有两个不相等的实数根x1、x2

（1）求k的取值范围。（2）是否存在实数k，使方程的实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由

【例13】是否存在常数k，使关于x的方程4x2(3k5)x6k20的两个实数根x1、x2，满足如果存在，试求出所有满足条件的k值；如果不存在在，请说明理由 利用韦达定理构造一元二次方程 【例14】已知两个数的和为2，积为，求这两个数 【巩固】以3和2为根，二次项系数为1的一元二次方程为____________ 【巩固】求作一个一元二次方程，使它的两根分别是5x22x30各根的负倒数若方程

ax2bxc0(a0)的一个根是另一个根的3倍，则a、b、c的关系是（） x23，x1214A.3b216acB.3b216acC.16b23acD.16b23ac 【例15】方程2(k4)xx22k20没有实数根，那么k的最小正整数值是 【例16】一元二次方程ax2bxc0中，a0，b0，c0，且0，则两个根的符号（） A.同为正B.同为负C.一正一负D.同号 【例17】如果方程2x24x3k0的两个根的平方和等于7，那么k_______ 【例18】若一元二次方程(m1)x25m25mxm10有两个相等的实数根，则m_____ 【例19】已知实数x1和x2满足x126x120和x226x220，求

x2x1的值 x1x2【例20】已知a、b、c是三角形的三边长，求证：b2x2(b2c2a2)xc20没有实数根 课后练习：

1、关于x的二次方程mx22(3m1)x9m10有两个实数根，求m的取值范围

2、已知方程x2kx60的两个实数根是x1、x2，同时方程x2kx60的两实数根是x15，x25，则k的值等于（） A.5B.5C.7D.7

3、已知m、n是一元二次方程x23x10的两根，那么代数式2m24n26n1999的值为 4、已知方程x22xm10没有实数根

求证：方程x2mx12m1一定有两个不相等的实数根

5、当m是什么实数时，关于x的二次方程mx24x40与x24mx4m24m50都有实数