高考数学复习压轴题专题讲解28 有关三角形中线、角平分线、高线问题

专题28 有关三角形中线、角平分线、高线问题

【方法点拨】

1.中线长定理：ABC中,AD是边BC上的中线，则AD2BD2(AB2AC2).

122.内角平分线定理： AD为△ABC的内角∠BAD平分线，则

ABBD. ACDC说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合爪形结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中的“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷.

【典型题示例】

例1 （2021·江苏南京金陵中学期末·8）在△ABC中，角A､B､C所对的边分别为a､b､c，角A的角平分线交BC于点D，若asinA＝bsinB＋(c－b)sinC，且AD＝3，b＝3c，则a的值为( )

747

A．2B．3C．3D．23 【答案】B 【分析】易求得A=3，利用内角平分线定理及爪形结构将向量AD用AB、AC线性表示为

AD=31ABAC，这是本题之关键. 44【解析】由asinA＝bsinB＋(c－b)sinC、正弦定理得：a2＝b2＋(c－b) c，

b2+c2a21由余弦定理得cosA=，A=

32bc2由三角形内角平分线定理得：所以AD=BDAB1= DCAC331ABAC 441 / 13

2231931两边取模方得：AD=ABACABABACAC

441681622即3=2923114cc3c(3c)2，解得c 16821632222241112474. 由余弦定理得ab+c2bccosA4+24，a32933例2 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC

于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________． 【答案】9

【分析】本题的关键是探究出a、c间的关系. 【解析一】(由等面积法探究a、c间关系)

∵SABCSABDSBCD ，即acsin1201211a1sin60c1sin60 22∴acac，即

111 ac1a1cc4ac4a“＝”成立） 529（当且仅当c2a时，

acac所以4ac(4ac)()5所以4ac的最小值为9．

【解析二】 (由三角形内角平分线定理、向量法探究a、c间关系)

由三角形内角平分线定理得：

ADABc DCBCa所以BDacBABC， acac22a2c2acca2两边取模得：1accos120

acacacac化简得：acac，即

111 ac2 / 13

所以4ac(4ac)()51a1cc4ac4a“＝”成立） 529（当且仅当c2a时，

acac所以4ac的最小值为9．

【解析三】(利用建系、三点共线法探究a、c间关系)

c3ca3a以B为坐标原点，BD作为x轴正半轴，建立直角坐标系，则D(1,0)，A(,)，C(,)

22223c3a2 化简得111 ∵A,C,D三点共线 ∴2caac1122所以4ac(4ac)()51a1cc4ac4a“＝”成立） 529（当且仅当c2a时，

acac所以4ac的最小值为9．

例3 在三角形ABC中，D为BC边上一点，且BD2CD，ADBD，则tanBACcos2B的最大值为__________． 【答案】

3 2【分析一】为将已知中相关线段间的关系往所求之角的关系转化，利用“爪形结构”得出

AD12ABAC，从而将已知中所有条件“据于一式”之中.为出现所求，对其进行“求模”33运算起到“化边”的作用，最后运用三角函数知识解决.

【解析一】在ABC中，由BD2CD得：AD212ABAC 3312两边取模得：ADABAC，又ADBD

332代入都转化为边得：

4212424acbbccosBAC 99993 / 13

即4a2c24b24bccosBAC，4cba2223c24bccosBAC0

由余弦定理得：8bccosBAC3c24bccosBAC0，即4bcosBACc 再由余弦定理得：4sinBcosBACsinCsinBBAC 即4sinBcosBACsinBcosBACcosBsinBAC， 所以tanBAC3tanB

22所以tanBACcosB3tanBcosB33sin2B（当B时，“=”成立）. 224【分析二】设BDx,则ADx,CDx,在△ABD和△ACD中,由正弦定理化简可得23xxsinB2sinBcosB32,,tanBACcosBsin2B,根由两角差的正弦公式化简可得222sinBACsin(BACB)据正弦函数的值域即可求解tanBACcos2B的最大值. 【解析二】如图,由已知,设BDx,则ADx,CDx, 23xb, 在△ABC中,由正弦定理可得:2sinBACsinBxb. 在△ACD中,由正弦定理可得:2sin(BACB)sin2B3xxxsinB2sinBcosB2sinBcosB 所以222=sinBACsin(BACB)sinBACcosBcosBACsinB化简可得:tanBACcosB3sinB,可得: tanBACcosB233sin2B. 22可得tanBACcos2B的最大值为

3. 24 / 13

【分析三】注意到三角形ABD是等腰三角形，联想所求，作底边AB上的高，过C作AB上的高，“化

斜为直”，充分运用“平几”知识解题.

【解析三】如下图，分别过D、C作AB边上的高DE、CF，故DE∥CF

在△ABD中，由三线合一知BE=AE

由DE∥CF，BD=2CD得BF=2AF， DE：CF=2：3

3DECF23tanB， 所以tanBAC1AFBE23322所以tanBACcosB3tanBcosBsin2B（当B时，“=”成立）.

224

AB＝10，AC＝15，例4 在△ABC中，∠A的平分线与边BC的交点为D，点E为边BC的中点，若ABAD＝90，则ABAE的值是． 【答案】

AFEBDC175 2【分析】基底法，由于已知AB，AC的长度，应考虑以AB、AC为基底.本题的关键是将向量AD如何

用基底向量AB、AC线性表示？——利用三角形内角平分线性质定理为最简途径，易求得

5 / 13

CDAC3，用“爪形”结构即可. BDAB2【解析】由角平分线定理可知

ACCD3 ABBD223ACAB 55在△ABC中，由“爪形”结构得：AD∵ABAD90 ∴AB(AC252332AB)ABACAB，求得ACAB75 5552111175∴ABAEAB(ABAC)ABABAC．

2222例5 已知D是△ABC边AC上一点，且CD3AD，BD2，cosABC最大值为． 【答案】

【解析一】设ADt，则CD3t，AC4t，

在△ABD中，cosADBADC1，则3ABBC的4165 5Bt2(2)2c222t，

在△BDC中，cosBDC(3t)2(2)2a2223t，

又cosADBcosBDC， 所以t2(2)2c222t(3t)2(2)2a2223t，解得12t23c2a28，①

1222在△ABC中，AC2(4t)2a2c22accosB，即16tacac，②

26 / 13

322由①②可得a9cac32．

233a3c2522)(a3c)2， 所以32(a3c)a(3c)≥(a3c)(22282即(a3c)≤832165，所以a3c≤， 55当且仅当a3c，即a8585时等号成立， ,c515165． 5所以3ABBC的最大值为【解析二】因为CD3AD，所以CD3DA，即BDBC3(BABD)，

整理得到BD22231913BABC，两边平方后有BDBABCBABC， 4416168所以222229139131BABCBABC即2BABC|BA||BC|， 16168161684322整理得到329|BA||BC||BA||BC|，

239222a|BC|，所以329caac(3ca)ac， 设c|BA|，22因为

9ac33ac33ca2≤()， 22229352222所以32(3ca)ac≥(3ca)(3ca)(3ca)，

2883ca≤8321658585，当且仅当a时等号成立， ，c55515165． 5所以3ABBC的最大值为例6 已知点G是△ABC的重心，且GA⊥GC，若111，则tanB的值为． tanAtanC 2A(o,n1)GB(-m,-n)7 / 13 212C(m,0）4683【答案】2 【分析】由已知中的垂直条件想建系设点，角的关系转化为边的关系，利用余弦定理求cosB. 【解析】建立如图所示直角坐标系（其中G是坐标原点），设A（0，n），C（m，0），则B（－m，－n）

1

将

11cosAcosCcosAsinCcosCsinA1切化弦得：1，即1， tanAtanCsinAsinCsinAsinC故sinAsinCsinB

222m24n24m2n2m2n2BABCAC 又由余弦定理得cosB2BABC2BABC2AC22sin2B

2BABCBABCsinAsinC12sin2B所以cosB2sinB，故tanB.

2sinB

【巩固训练】

4m2n21.在△ABC中，∠A＝

2BC，则sinBsinC的最大值为． ，D是BC的中点．若AD≤

32144，252.在△ABC中，AD为边BC上的高，∠BAC的平分线交BC于E，已知AB＝4，ADAEABAE48，则ABBC＝. 73.已知ABC中,AD,BE分别为BC,AC边的中线且ADBE,则cosC的最小值为.

4.在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＋c2＝b2－ac，若∠BAC的平分线AD交BC边于点D，AD＝23，BD＝1，则cos C＝________.

x2y25.已知F1，F2是椭圆1的左，右焦点，A是椭圆上一点，M(2,0)，且AM平分F1AF2，

2598 / 13

则AF2________．

65

6. 在△ABC中，AB＝12，AD为∠BAC的平分线，D在BC上，CD＝17，已知AC＝5，则AD＝________. 7. （2021·浙江·14）在ABC中，B60,AB2，M是BC的中点，AM23，则AC___________，cosMAC___________.

E，F分别为AB，8.已知点G为ABC的重心，点D，BC，CA的中点.若ABGD6，ACGF则BCGE________.

9.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a2b)sinA(cb)(sinCsinB)，设D是AB的中点，若CD1，则ABC面积的最大值是．

3，2

【答案与提示】

381.【答案】

【解析】abcbc2AD22221232aa 22113bca2sinBsinCsin2A．

2282.【答案】16 3.【答案】

4. 5【解法一】如下图建立直角坐标系，设A(a,0),B(0,b)则C(a,b)，

CA(2a,b),CB(a,2b),cosCCACBCACB2(a2b2)4aba4b2222 9 / 13

4(a2b2)24a44b48a2b29a2b214442244224a4b17ab4a4b17ab4a4b417a2b29441,122(cosC)，. ab5min54(22)17ba

【解法二】如下图，设ODa,OEb,则OA2a,OB2b，

ab,tan3tan4，要使得cosC最小，只要角C最大. 2b2aabtan1tan32ab4tan(13)2b2a()

11(tan1)(tan3)3ba314444sin(13),即cosC，所以cosC的最小值为.

555tan1tan2

10 / 13

【解法三】

11ADBE(ACCB)(BCCA)0，

2222512BCAC4ACBC(BCAC),cosC(). 425ACBC5点评：解题的切入点很重要“中线”、“垂直”对向量工具的使用是一种强烈的暗示，无疑，法三是我们追求的方法. 7＋354.【答案】16

a2＋c2－b2ac1

222

【解析】因为a＋c＝b－ac，所以cos B＝2ac＝－2ac＝－2.

2π

因为B∈(0，π)，所以B＝3.

3

ADBDBDsin B1×21

如图，在△ABD中，由正弦定理得sin B＝sin∠BAD，则sin∠BAD＝AD＝23＝4，所以17

cos∠BAC＝cos 2∠BAD＝1－2sin∠BAD＝1－2×16＝8，所以sin∠BAC＝1－cos2∠BAC＝

2

15ππ1731572π

1－8＝8，所以cos C＝cos3－∠BAC＝cos 3cos∠BAC＋sin 3sin∠BAC＝2×8＋2×87＋35＝16.

5.【答案】

5 2602

6.【答案】17

ABBDACCD

【解析】在△ABD，△ADC中，由正弦定理可得sin∠ADB＝sin∠BAD，sin∠ADC＝sin∠CAD.

ABBD12156

又∠BAD＝∠CAD，∠ADB＋∠ADC＝π，所以有AC＝CD＝5，即BD＝17，

11 / 13

65156

故BC＝17＋17＝13.

π

即AC＋AB＝144＋25＝169＝BC，所以△ABC为直角三角形且A＝2. 2

2

2

65

CDAD1217602

在△ADC中，由正弦定理可得sin∠DAC＝sinC，即AD＝13×2＝17.

2

7.【答案】 (1). 213 (2).

239 13【解析一】由题意作出图形，如图，

在ABM中，由余弦定理得AM2AB2BM22BMBAcosB， 即124BM2BM221，解得BM=4（负值舍去）， 2所以BC=2BM=2CM=8，

222在ABC中，由余弦定理得ACABBC2ABBCcosB464228152， 2所以AC213；

AC2AM2MC2521216239. 在AMC中，由余弦定理得cosMAC2AMAC13223213故答案为：213；98.【答案】

2239. 13【解析】

111GDCDCACBAB2AC，

36612 / 13

2111ABGDABAB2ACABABAC6①,

663111GFBFBABCAC2AB，

36621113ACGFACAC2ABACACAB②，

663222111BCGEBAACAEBAACABACACAB，

36622199ACAB，所以BCGE. ②①得：

262

9.【答案】21 【提示】易求得C4，由中线长定理得2(a2b2)c24，而c2a2b22ab

422422 所以a2b22ab40，0a2b22ab42ab2ab4，ab1SabsinC21（当且仅当a=b时，“=”成立）.或求得C后，利用“形”易得，当中线即

24为高线时，面积最大，下一步求出此时的面积，则更简单.

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