2014年-电磁场与电磁波——答案

考试时间 120 分钟

试 题

题号 分数 一 二 三 四 五 六 七 总分 1.考试形式：闭卷；2.本试卷共 7大题，满分100分.3全部答案写在试题纸上。 班级 学号 姓名 任课教师

)ˆxa(yyˆ一、（15分）已知a是常矢，矢径R(xx，a)ya(zˆ)zz求(1) R，(2) R，(3) R，(4)(aR)，R(xx)(yy)(zz)，

222ˆxxyaˆyyzaˆzxz，矢量A是否满足库(5) (aR)，(6) (RaR)，(7)若Aa伦规范。 [解]

ˆ(yy)aˆ(zz)aˆR(xx)a(1) R （2分）

R(xx)(yy)(zz)xyz222(2) R3 （2分） (3) R0 （2分）

R(4) (aR)Raa （2分）

RR(5) (aR)Raa （2分）

RR(6) (RaR)(R)aR(aR)R(Ra)R(a)R0（2分）

Rˆyˆzˆyyzˆzxzˆ)(xxyˆ)yzx0，(7) A(x矢量A不满足库伦xyz规。（3分）

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二、（25分）

1. 写出麦克斯韦方程组微分形式的复数表达式及边界条件的矢量形式，并指出麦克斯韦方程组中独立的方程。 [解]

麦克斯韦方程组微分形式的复数表达式

HJjDEjB （2分） B0D边界条件的矢量形式



ˆE2E10n

ˆH2H1Jsn

（2分） 

ˆD2D1sn



ˆB2B10n

独立方程有三个：

HJjDEjB （1分） D或者

独立方程有三个：

HJjDEjB （1分）

Jj2. 在真空中有一个静止的点电荷q放置于直角坐标系的坐标原点处，写出空间任一点(x,y,z)处的电场强度、电位与等位面方程。 [解]

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E(x,y,z)q40(x2y2z)322ˆyyˆzzˆ) (xx （2分）



q40xyz222 （2分）

x2y2z2c (c0)为等位面方程 （1分）

3. 若一均匀平面电磁波在良导体银中传播，若电磁波的波长为7.3514×10-6m，银的电导率6.1510Sm，求银的集肤深度与表面电阻。

7[解]

Rs111.1710m （3分） 2676110.0139 （2分）

6.15101.17104. 对于非磁性介质，写出斜入射时均匀平面波产生全反射的条件。 [解]

12

arcsin （2分）

（3分）

2i125. 计算自由空间中电流强度为10mA，长度为dl0.1的电基本振子的辐射电阻与辐射功率。 [解]

Rr802(Prdl)20.827.896 （2分）

（2分）

12IRr0.5(102)27.8963.948104W2

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三、（8分）推导无源区域，均匀、线性、各向同性、无耗媒质中时变电磁场的波动方程。 [解]

对于无源区域，均匀、线性、各向同性、无耗媒质中的时变Maxwell方程组为

E H (1) tH E (2) t H0 (3)

E0 (4) （2分）

对(1)两边去旋度，可得

E2(H)H(E )(5) （2分） H tt将(3)和(2)代入(5)中，可得

2H 2H20 (6) （1分）

t类似地，将(2)两边去旋度，可得

H2(E)E(H )(7) （2分） E tt将(4)和(1)代入(7)中，可得

2E 2E20 (8) （1分）

t四、（10分）同心球电容器的内导体半径为a，外导体内半径为b，其间填充两种均匀线性各向同性的电介质，上半部分的介电常数为1，下半部分的介电常数为2，如图1所示。设内外导体带电分别为q和-q，求上半部分与下半部分

的电场强度E和电位移矢量D，以及该电容器的电容C。

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1ab2

图1（第四题用图）

[解]为了满足介质分界面上电场强度切向分量连续的条件，上下两部分的电场强度满足

ˆ （2分） EEE(r)a12r则对应的电位移矢量分别为

ˆr D22E2E2(r)aˆr D11E11E(r)a在半径为r的球面上应用高斯定理，有

2rE2rEq （2分）

2212于是

Eq （1分）

2r()212上下部分的电场强度与电位移矢量分别为

EE12qˆ a2r()2r122D1qqˆ （2分） ˆ Daa2r()2r()12r22r1212内外导体间的电位差为

U最终两导体间的电容为

baEdr11 （2分） 2()ab12qCq2()ab （1分） Uba12五、（12分）如图2所示，一个半径为a的金属半球壳，其底部连接一个接地

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的金属导体版。若内部填充空气，并在距离球心d处放置一个电量为Q的点电荷，采用镜像法求半球壳内部的电位，并说明镜像法的理论基础。

zQd0ax

图2（第五题用图）

[解]首先考虑一个半径为a的接地导体球壳，其内部在距球心距离为d处放置一个点电荷Q的等效问题，如下图所示。

Pa0daQ0r1dr2bQQ

相应的等效问题为去掉导体球壳，在距球心距离为b处放置一个镜像点电荷Q'，镜像电荷与原电荷共同作用在球壳位置处产生的电位为零，即

Q1Q10 (1) （2分）

40r140r2其中r1和r2为球面上一点到Q和Q'的距离。若选择球面上的P点分别为离原电荷最远和最近处，则有

1Q10 (2) （1分）

40ad40abQ 第6页 共7 页

求解(2)和(3)，可得

1Q10 (3) （1分）

40ad40baQa QQ (4) （1分）

da2 b (5) （1分）

d由此，图2中的等效问题如下图所示。

zzaQda2dQd0Qdax0adxQa2daQd

为了同时满足球壳和导体平面的电位为零，则在(0,0,a2/d)的位置处放置镜像电荷-aQ/d（1分），在(0,0,-d)的位置处放置镜像电荷-Q（1分），以及在(0,0,-a2/d) 的位置处放置镜像电荷aQ/d（1分）。这三个镜像电荷与原电荷一起在半球壳内部产生的电位为

其中

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Q1aQ1Q1aQ1（3分） 40r140dr240r34d0r4 r1x2y2(zd)2 (0za,x2y2z2a2)

a22r2xy(z) d22r3x2y2(zd)2

a22r4xy(z) d22

六、（12分），如图3所示，一个右旋圆极化的均匀平面电磁波由空气（z<0）入

射到一个无限大理想介质交界面（z=0），入射波电场强度的复数表达式为

ˆxbaˆy3aˆz)ej2(3xz)（V/m） Ei(a已知理想介质区域（z>0）的相对磁导率r1，若在空气（z<0）中反射波是一个线极化波，求

(1) 工作频率f，入射角i，以及参数b； (2) 理想介质的相对介电常数r；

(3) 透射波的传播矢量k。

tx媒质1入射波媒质2ii反射波0t透射波z

图3（第六题用图）

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[解]

（1）入射波的传播矢量为

ˆxaˆz) （1分） k2(3ai则传播常数为

k4 radm （1分）

i考虑到在空气中传播，则频率为 f进一步，传播方向单位矢量为

1ˆ3aˆaˆ k22ixzkci2610 Hz （1分）

8则与z轴夹角的方向余弦为

1ˆaˆ cosk2iiz从而入射角为

60 （1分）

oiˆ0，以及aˆ0，则可将入射波电场矢量分解为两个分量 ˆx3aˆz)kˆyk由于(aiˆˆEa3aeixzj2(3xz)ˆebayj2(3xz) （1分）

由于它是圆极化波，则

b312 （1分）

又因为是右旋圆极化波，并考虑到

ˆ3aˆ)baˆ3baˆbaˆ (axzyxzˆ平行，则 与kb2j （1分）

（2）由于反射波是一个线极化波，则入射角应为布儒斯特角

tan （1分）

ir 第9页 共7 页

则可得

3 （1分）

r（3）由Snell折射定律可知

sintsini001 （1分） 00r2则折射角为

t30o

透射波的传播常数为

kkti=43 radm （1分）

r则透射波的传播矢量

13ˆxsintaˆzcost)43(aˆxaˆzˆx23aˆz6 （1分） ktkt(a)a22

七、（18分）如图4所示，区域I (z <0)为自由空间，区域II (z>0)为理想介质，其相对介电常数r5与相对磁导率r20。区域I中入射波电场强度的瞬时值为

ˆx60cos(2108tkz)aˆy60sin(2108tkz) Ei(r,t)a求

(1) 传播常数k以及区域I中的波长； (2) 反射电磁波电场强度Er和透射电磁波电场强度Et的复数值表达式；

(3) 反射电磁波磁场强度Hr和透射电磁波磁场强度Ht的瞬时值表达式Hr(z,t)和H(z,t)；

t(4) 判断入射电磁波、反射电磁波和透射电磁波是何种极化波；



(5) 计算反射平均功率密度Sav,r和透射平均功率密度Sav,r。

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x1,1入射波区域I区域II2,2oz

图4（第七题用图）

[解]

（1）入射波的频率f108 Hz，考虑到在空气中传播，则传播常数

21082k rads （1分）

c31083在I区域中的波长为

23 m （1分） k（2）将入射电场表示成复数形式可得

2z2zjj3ˆx60eˆy603 （1分） Ei(r)aja由于分界面是在z=0平面，则入射波是垂直入射到分界面上，相应的反射系数与透射系数为

102001 （1分）

10200340214 （1分）

102003T透射波的常数为

ktkrr20 rads 3 第11页 共7 页

则反射电场与透射电场的复数形式为

2z2z2z2zjjjjˆx60e3jaˆy603)aˆx20e3jaˆy203 （1分） Er(r)(a20z20z20z20zjjjjˆx60e3jaˆy603)aˆx80e3jaˆy803 （1分） Et(r)T(a（3）入射波、反射波、透射波磁场强度的复数表达式为

j2z2zjj1133ˆ60eˆx60ˆxHi(r)(aja)ja0y22z3z1j23ˆyae （1分） 2z1j2ˆyae3 （1分） 62z2zjj11ˆy20e3jaˆx203)jaˆxHr(r)(a06j20z20zjj11ˆy80e3jaˆx803)jaˆxHt(r)(a13j2z320z31j203zˆyae （1分） 3对应的瞬时值为

12z12zˆxˆyHi(r,t)asin(2108t)acos(2108t) （1分） 232312z12zˆxˆyHr(r,t)asin(2108t)acos(2108t) （1分） 6363120z120zˆxˆyHt(r,t)asin(2108t)acos(2108t) （1分） 3333（4）

入射电磁波是右旋圆极化波 （1分） 反射电磁波是左旋圆极化波 （1分） 透射电磁波是右旋圆极化波 （1分）

（5）

EH180010ˆˆˆ （1分） SRe()zEzz222403*rr2av,rr0EH11280080ˆˆˆ （1分） SRe()zEzz224803*tt2av,tt1 第12页 共7 页