第９卷第１期 ２０１４年１月 中国科技论文 ＣＨＩＮＡ ＳＣＩＥＮＣＥＰＡＰＥＲ ＶｏＬ ９ Ｎｏ．Ｉ Ｊａｎ．２０１４ 基于符号函数的蔡氏电路设计及其应用 吕恩胜，孙彩云 （河南化工职业学院机械与电子系，郑州４５００４２） 摘 要：针对蔡氏电路中蔡氏二极管物理实现复杂的缺陷，设计了一种基于符号函数的蔡氏电路。对采用符号函数的蔡氏电路 状态方程，按照方程各状态变量的对应关系用模块电路连接对其硬件实现，设计出了一种无电感能产生二涡卷蔡氏混沌吸引子 的蔡氏电路。用驱动一响应式同步制式对蔡氏电路进行研究，结果表明同步得很好。理论分析、仿真结果和硬件电路测试结果一 致，证明了电路的正确性和设计的有效性。 关键词：蔡氏电路；混沌系统；混沌电路；混沌同步 中图分类号：ＴＭ１３２ 文献标志码：Ａ 文章编号：２０９５—２７８３（２０１４）Ｏ１～００３７～０３ Ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ Ｃｈｕａ’Ｓ ｃｉｒｃｕｉｔ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｓｉｇｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｔｈｅｒｅｏｆ ＬＵ Ｅｎｓｈｅｎｇ，Ｓｕｎ Ｃａｉｙｕｎ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ＆Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ。Ｈｅｎａｎ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｃｈｅｍｉｃａｌ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ ４５００４２，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ ｎｏｖｅｌ ａｐｐｒｏａｃｈ ｔＯ Ｃｈｕａ’Ｓ ｃｉｒｃｕｉｔ ｂａｓｅｄ Ｏｉｌ ｓｉｇｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｗｈｉｃｈ ｏｖｅｒｃｏｍｅｓ ｔｈｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ ｏｆ Ｃｈｕａ’Ｓ ｄｉｏｄｅ ｉｎ Ｃｈｕａ’Ｓ ｃｉｒｃｕｉｔ．Ｔｈｅ Ｃｈｕａ’Ｓ ｃｉｒｃｕｉｔ ｓｔａｔｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｂｙ ｓｉｇｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｌｉｎｋｓ ｍｏｄｕｌａｒ ｃｉｒｃｕｉｔｓ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔＯ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｓ ａｍｏｎｇ ｓｔａｔｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｏｆ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｈａｒｄｗａｒｅ ｃｉｒｃｕｉｔ。ＳＯ ａｓ ｔｏ ｄｅｓｉｇｎ ａ Ｃｈｕａ’Ｓ ｃｉｒｃｕｉｔ ｔｈａｔ ｃａｎ ｐｒｏｄｕｃｅ ｔｗｏ－ｓｃｒｏｌｌ Ｃｈｕａ’Ｓ ｃｈａｏｔｉｃ ａｔｔｒａｃｔｏｒ ｗｉｔｈｏｕｔ ｉｎｄｕｃｔｏｒ．Ｔｈｅ ｓｔｕｄｙ ｏｆ ｔｈｅ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｃｉｒｃｕｉｔ ｂｙ ｄｒｉｖｅ－ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａ— ｔｉｏｎ ｆｏｒｍａｔ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ｇｏｏｄ．Ｔｈｅ ｔｅｓｔ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｈａｒｄｗａｒｅ ｃｉｒｃｕｉｔ ａｎｄ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｒｅ ｉｎ ｇｏｏｄ ａｇｒｅｅ— ｍｅｎｔ ｗｉｔｈ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ，ｗｈｉｃｈ ｃｏｎｆｉｒｍｓ ｔｈｅ ｖａｌｉｄｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｓｉｇｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｃｈｕａ’Ｓ ｃｉｒｃｕｉｔ；ｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍ；ｃｈａｏｔｉｃ ｃｉｒｃｕｉｔ；ｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ 蔡氏电路（Ｃｈｕａ’Ｓ ｃｉｒｃｕｉｔ）＿１ 是一种非线性电 路，在１９８３年由美国学者蔡少棠（Ｌｅｏｎ．Ｏ．Ｃｈｕａ） 发明，第一次在混沌理论和混沌电路之间架起桥梁， 它们的结合具有明确的工程背景。蔡氏电路虽然结 构简单，但是混沌动力学行为非常丰富，通过对线性 电阻的调节，从电路中可以观察到不动点、倍周期、 极限环、单涡卷混沌吸引子和双涡卷混沌吸引子等 非线性物理现象，因此是研究混沌电路的一个经典。 现有的文献表明，研究人员在试图改进与探索一些 新型蔡氏电路的过程中取得了许多研究成果，但始 终都是遵循经典蔡氏电路的模型，即用线性电容、线 性电感、线性电阻和非线性蔡氏二极管来构建蔡氏电 路。经典蔡氏电路的模型已被国内外许多学者广泛接 受，并用于双涡卷和多涡卷蔡氏电路的设计，通过理论 和实践围绕蔡氏电路研究取得了许多成果＿２ ］。另外， 些学者还进一步研究了蔡氏电路的其他形式，如多 涡卷蔡氏电路［４－ｓ］、三次方蔡氏电路＿＿６ ］、无感蔡氏电 路ｌ＿８］、对偶蔡氏电路 和超混沌蔡氏电路［１ｏ］等，但这 些电路的工作电压非常受限，或者蔡氏二极管物理实 现非常复杂，电路实现非常困难。 针对上述设计的缺陷，本文设计的蔡氏电路：电 感的电流以电压的形式表现，蔡氏二极管非线性部 分电路用符号函数电路实现，蔡氏电路只有线性电 阻、线性电容和集成运算放大器元器件构成，结构简 一单，可以很好地应用于混沌同步。 １典型蔡氏电路结构与状态方程 典型的蔡氏电路结构如图１所示，是由两个线 性电容Ｃ 和Ｃｆ２、一个线性电阻Ｒ、一个线性电感Ｌ 以及一个称为“蔡氏二极管”的分段线性电阻ＲＮＬ组 成的三阶自治电路。 图１典型蔡氏电路方框图 Ｆｉｇ．１ Ｂｌｏｃｋ ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ ｔｙｐｉｃａｌ Ｃｈｕａ’Ｓ ｃｉｒｃｕｉｔ 在图１所示的电路中，设 是通过线性电感Ｌ 的电流，ｚ、Ｙ分别是线性电容Ｃ 、Ｃ。两端的电压，则 图１所示蔡氏电路归一化的状态方程为Ｅ６］： ｆ＆ｃ／ｄｒ—ａ（ｙ— 一厂（ｚ））； ｄｙ／ｄｒ—ｚ—Ｙ＋ｚ； ｌｄｚ／ｄｒ一一＆。 （１） 式（１）的．厂（ｚ）实际是归一化的蔡氏二极管，分段 收稿日期：２０１３—１１ ２１ 基金项目：河南省教育厅科学技术研究重点项目（１２Ａ５１ｏｏｏ９） 作者简介：吕恩胜（１９８１一），男，讲师，主要研究方向为电路理论与应用、通信信号处理，ｌｖｅｎｓｈｅｎｇ＠１２６．ｃｏｍ ３８ 中国科技论文 第９卷 ｆｍ１３７－ｔ－（ｍ１一ｍ。）， ≤一１； ，、（ ）一 ０ ， 一１＜ｚ＜１；（２ａ） 【 １３２４－（ ０一，７２１），１≤ 。 或者 厂（ ）一 １ｚ ４－０．５（ｍ。一 １）（１ ＋１ ｆ—ｌ 一１『）。 （２ｂ） 归一化的蔡氏电路状态方程，参数Ｏｄ一１０、Ｉ９— １５、ｍ。一一１／７、ｍ 一－－５／７Ｅ“］是用数学语言来表达 的方程式，系统状态由ｚ、Ｙ、２状态变量描述。构成三 维相空间，等式的右端不含显时间的自治常微分方 程组。 ２蔡氏电路结构设计 ２．１ 归一化蔡氏电路方程非线性项分析 在式（２ｂ）方程中，不考虑线性项 和系数 （ 一 ）的影响，方程的非线性函数为 Ｎ（ ）一０．５（Ｉ ｚ＋１ ｌ—ｌ ｚ一１ １）。 （３） 分析可得： ｆ ｌ， ≥ｌ； Ｎ（ｚ）一 ， 一１＜ ＜１； （４） 【一１， ｚ≤一ｌ。 图２是式（４）的输入项ｚ和输出项Ｎ（ ）关系示 意图。式（３）看似简单，但是在物理实现时，集成运算 放大器需工作在特定的电压下，工作电压受限制［７］。 图２蔡氏二极管的非线性部分特性曲线 Ｆｉｇ．２ Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｃｕｒｖｅ ｆｏｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｐａｒｔ ｏｆ Ｃｈｕａ’Ｓ ｄｉｏｄｅ ２．２用符号函数设计的蔡氏状态方程非线性项 如果将图２中定义域在（一１，１）区间，直线的斜 率由１变成∞，那么定义域将压缩为（０一＜ｚ＜Ｏ４－） 区间，图２便成了符号函数的输入一输出关系特性曲 线图。符号函数又称阶跃非线性函数，用ｓｇｎ（ｘ）表 示，它的定义域Ｄ一（一ＣＸＤ，４－。。），值域Ｗ一｛一１，０， １），符号函数ｓｇｎ（ｘ）是不严格递增的非周期函数， 一 ０是其唯一的跳跃间断点，是连续函数，由于１ １一 ＊ ｓｇｎ（ｘ），称ｓｇｎ（ｘ）为符号函数，由ｓｇｎ（－－ｘ）＝一ｓｇｎ （ ）可知是奇函数，它在非原点处，处处可导且导数为 零，任意闭区间 ， 上是Ｒｉｅｍａｎｎ可积的。 ㈩ ㈣ 将式（５）的ｓｇｎ（ ）代替式（３）的Ｎ（ｚ），新蔡氏 二极管的表达式为 图３所示的电路为符号函数的物理电路，输入 项 和输出项ｓｇｎ（ｘ）的关系曲线如图４所示。 ＲＩ 繁 图３符号函数电路 Ｆｉｇ．３ Ｃｉｒｃｕｉｔ ｏｆ ｓｉｇｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ 图４符号函数特性曲线 Ｆｉｇ．４ Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｃｕｒｖｅ ｏｆ ｓｉｇｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ２．３蔡氏电路的电路设计 图１所示的个性化蔡氏电路是电容的电压和电 感的电流之间的状态关系，实际上整个电路是电压一 电流型两端器件。现将蔡氏二极管的非线性部分用 符号函数代替，蔡氏电路转换成电压一电压型两端器 件，对图１所示的个性化蔡氏电路用简洁的模块电 路表示，即对式（１）、（６）进行硬件实现，按照式（１）、 （６）各状态变量的对应关系，用反相加法器、积分器 和反相器三大模块电路ＥｌＺ］将各模块联结起来即可构 成图５所示蔡氏混沌电路。 链 ３ 』 Ｌ ｌＯｋｌＩ Ｒ Ｒ ￣￣— ｌ 心 Ｊ三＝ 日器 １分器 图５基于符号函数的蔡氏电路图 Ｆｉｇ．５ Ｃｈｕａ’Ｓ ｃｉｒｃｕｉｔ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｓｉｇｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ 在图５所示的电路中，变量 以电压的形式输 出，不再是经典蔡氏电路的电流，避免了线性电感误 差大的影响，可以提高电路精度；模块化设计电路， 直观性强；可通过调节积分电阻或积分电容的大小 来改变混沌信号的频谱分布范围。整个电路的调试 很方便，可广泛应用。 ２．４ ＥＷＢ（ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ ｗｏｒｋｂｅｎｃｈ ＥＤＡ）仿真 为了检验电路设计的正确性，用ＥＷＢ对图５所 示的电路进行仿真，运行结果如图６所示。由仿真 图可见，结果呈双涡卷形状，这正是蔡氏电路要求的 输出结果。 ｌａ）ｘ 相图 （ｂｊ －ｚ相图 （・）ｚ叫棚图 网６ ＥＷＢ仿真的蔡氏电路相图 Ｆｉｇ．６ Ｐｈａｓｅ ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ Ｃｈｕａ’Ｓ ｃｉｒｃｕｉｔ ｂｙ ＥＷＢ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ