人教版九年级上册数学期中测试卷 (1)

2017-2018学年广东省湛江市徐闻县九年级（上）期中数学试卷

一、单项选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（ ）

A．（x﹣3）x=x2+2 B．ax2+bx+c=0 C．3x2﹣+2=0 D．2x2=1

2．在抛物线y=2x2﹣3x+1上的点是（ ） A．（0，﹣1） B．

3．若方程2x2﹣5x+m=0有两个相等实数根，则m=（ ） A．﹣2 B．0 C．2 D．

4．下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

C．（﹣1，5） D．（3，4）

A．

B． C． D．

5．已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个根，则代数式m2﹣m+2的值等于（ ） A．4 B．1 C．0 D．﹣1

6．已知点P关于x轴的对称点P1的坐标是（2，3），那么点P关于原点的对称点P2的坐标是（ ）

A．（﹣3，﹣2） B．（2，﹣3） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣2，3）

7．抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）

A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位

8．已知二次函数y=a（x+1）2﹣b（a≠0）有最小值1，则a，b的大小关系为（ ）

A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定

2

9．（非课改）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，则m的值是（ ） A．3 B．1 C．3或﹣1 D．﹣3或1

10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c=0；④a：b：c=﹣1：2：3．其中正确的是（ ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分） 11．若x2=2，则x= ．

12．二次函数y=x2+bx+c的图象上有两点（3，4）和（﹣5，4），则此抛物线的对称轴是直线x= ．

13．若二次函数y=mx2+x+m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为 ．

3

14．如图所示，边长为5的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线EF分别交AD，BC于点E，F，则阴影部分的面积是 ．

15．某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是 ．

16．如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为 ．

三、解答题一（本大题3小题，每小题6分，共18分） 17．解方程：3x2﹣5x+2=0．

4

18．已知x=1是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2=0的根，求代数式

的值．

19．如图，已知：BC与CD重合，∠ABC=∠CDE=90°，△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑），并直接写出旋转角度是 ．

四、解答题二（本大题3小题，每小题7分，共21分）

20．抛物线的图象如图，求这条抛物线的解析式．（结果化成一般式）

21．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围；

5

（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．

22．某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足关系：m=140﹣2x． （1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；

（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

五、解答题三（本大题3小题，每小题9分，共27分）

23．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

24．已知：二次函数为y=x2﹣x+m，

（1）写出它的图象的开口方向，对称轴及顶点坐标； （2）m为何值时，顶点在x轴上方；

（3）若抛物线与y轴交于A，过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B，当S△

AOB

=4时，求此二次函数的解析式．

6

25．把一副三角板按如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6cm，DC=7cm．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙）．这时AB与CD1相交于点O、与D1E1相交于点F． （1）求∠OFE1的度数； （2）求线段AD1的长；

（3）若把△DCE绕着点C顺时针再旋转45°得△D2CE2，这时点B在△D2CE2的内部、外部、还是边上？说明理由．

7

2017-2018学年广东省湛江市徐闻县九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（ ）

A．（x﹣3）x=x2+2 B．ax2+bx+c=0 C．3x2﹣+2=0 D．2x2=1 【考点】一元二次方程的定义；方程的定义． 【专题】方程思想．

【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高常数是2整式方程是一元二次方程．对每个方程进行分析，作出判断． 【解答】解：A：化简后不含二次项，不是一元二次方程； B：当a=0时，不是一元二次方程；

C：是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程； D：符合一元二次方程的定义，是一元二次方程． 故本题选D．

【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，根据定义对每个方程进行分析，作出判断．

2．在抛物线y=2x2﹣3x+1上的点是（ ） A．（0，﹣1） B．

C．（﹣1，5） D．（3，4）

【考点】二次函数图象上点的坐标特征．

8

【专题】计算题．

【分析】分别计算出自变量为0、、﹣1、3所对应的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断． 【解答】解：当x=0时，y=2x2﹣3x+1=1； 当x=时，y=2x2﹣3x+1=2×﹣3×+1=0； 当x=﹣1时，y=2x2﹣3x+1=2×1+3+1=6； 当x=3时，y=2x2﹣3x+1=2×9﹣3×3+1=10；

所以点（，0）在抛物线y=2x2﹣3x+1上，点（0，﹣1）、（﹣1，5）、（3，4）不在抛物线y=2x2﹣3x+1上． 故选B．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．

3．若方程2x2﹣5x+m=0有两个相等实数根，则m=（ ） A．﹣2 B．0 C．2 D．【考点】根的判别式． 【专题】计算题．

【分析】由方程2x2﹣5x+m=0有两个相等实数根，则△=0，得到关于m的方程，解方程即可．

【解答】解：根据题意得，△=52﹣4×2m=0， ∴m=． 故选D．

9

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了不等式的解法．

4．下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确． 故选D．

【点评】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．

5．已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个根，则代数式m2﹣m+2的值等于（ ） A．4 B．1 C．0 D．﹣1 【考点】一元二次方程的解．

10

【分析】把x=m代入方程x2﹣x﹣2=0求出m2﹣m=2，代入求出即可． 【解答】解：把x=m代入方程x2﹣x﹣2=0得： m2﹣m﹣2=0， m2﹣m=2，

所以m2﹣m+2=2+2=4． 故选A．

【点评】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值的应用，能求出m2﹣m=2是解此题的关键．

6．已知点P关于x轴的对称点P1的坐标是（2，3），那么点P关于原点的对称点P2的坐标是（ ）

A．（﹣3，﹣2） B．（2，﹣3） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣2，3） 【考点】关于原点对称的点的坐标；关于x轴、y轴对称的点的坐标． 【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）．

【解答】解：∵点P关于x轴的对称点P1的坐标是（2，3）， ∴点P的坐标是（2，﹣3）．

∴点P关于原点的对称点P2的坐标是（﹣2，3）．故选D．

【点评】考查了平面内两个点关于坐标轴对称和原点对称的坐标关系．

11

7．抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）

A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 【考点】二次函数图象与几何变换．

【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．

【解答】解：抛物线y=x2向左平移2个单位可得到抛物线y=（x+2）2， 抛物线y=（x+2）2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y=（x+2）2﹣3． 故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位． 故选：B．

【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．

8．已知二次函数y=a（x+1）2﹣b（a≠0）有最小值1，则a，b的大小关系为（ ）

A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定 【考点】二次函数的最值． 【专题】压轴题；探究型．

【分析】根据函数有最小值判断出a的符号，进而由最小值求出b，比较a、b可得出结论．

12

【解答】解：∵二次函数y=a（x+1）2﹣b（a≠0）有最小值， ∴抛物线开口方向向上，即a＞0； 又最小值为1，即﹣b=1，∴b=﹣1， ∴a＞b． 故选A．

【点评】本题考查的是二次函数的最值，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．

9．（非课改）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，则m的值是（ ） A．3 B．1 C．3或﹣1 D．﹣3或1 【考点】根与系数的关系；根的判别式． 【专题】压轴题．

【分析】由于方程有两个不相等的实数根可得△＞0，由此可以求出m的取值范围，再利用根与系数的关系和+=﹣1，可以求出m的值，最后求出符合题意的m值． 【解答】解：根据条件知： α+β=﹣（2m+3），αβ=m2， ∴

即m2﹣2m﹣3=0， 所以，得

， =﹣1，

13

解得m=3． 故选A．

【点评】1、考查一元二次方程根与系数关系与根的判别式及不等式组的综合应用能力．一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根．

2、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1•x2=．

10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c=0；④a：b：c=﹣1：2：3．其中正确的是（ ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【专题】计算题．

【分析】由二次函数图象与x轴有两个交点，得到根的判别式大于0，可得出选项①正确；由二次函数的对称轴为直线x=1，利用对称轴公式列出关系

14

式，化简后得到2a+b=0（i），选项②错误；由﹣2对应的函数值为负数，故将x=﹣2代入抛物线解析式，得到4a﹣2b+c小于0，选项③错误；由﹣1对应的函数值等于0，将x=﹣1代入抛物线解析式，得到a﹣b+c=0（ii），联立（i）（ii），用a表示出b及c，可得出a：b：c的比值为﹣1：2：3，选项④正确，即可得到正确的选项．

【解答】解：由二次函数图象与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，选项①正确； 又对称轴为直线x=1，即﹣=1， 可得2a+b=0（i），选项②错误； ∵﹣2对应的函数值为负数，

∴当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＜0，选项③错误； ∵﹣1对应的函数值为0， ∴当x=﹣1时，y=a﹣b+c=0（ii）， 联立（i）（ii）可得：b=﹣2a，c=﹣3a，

∴a：b：c=a：（﹣2a）：（﹣3a）=﹣1：2：3，选项④正确， 则正确的选项有：①④． 故选D

【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a的符合由抛物线的开口方向决定；c的符合由抛物线与y轴交点的位置确定；b的符合由对称轴的位置与a的符合决定；抛物线与x轴的交点个数决定了根的判别式的符合，此外还有注意二次函数图象上的一些特殊点，比如1，﹣1或2对应函数值的正负．

15

二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分） 11．若x2=2，则x= ±

．

【考点】解一元二次方程-直接开平方法． 【分析】直接开平方即可求解． 【解答】解：直接开平方得：x=±故答案为：±

．

．

【点评】此题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，解题的关键是符合直接开平方的形式．

12．二次函数y=x2+bx+c的图象上有两点（3，4）和（﹣5，4），则此抛物线的对称轴是直线x= ﹣1 ． 【考点】二次函数的性质． 【专题】数形结合．

【分析】根据两已知点的坐标特征得到它们是抛物线的对称点，而这两个点关于直线x=﹣1对称，由此可得到抛物线的对称轴． 【解答】解：∵点（3，4）和（﹣5，4）的纵坐标相同， ∴点（3，4）和（﹣5，4）是抛物线的对称点， 而这两个点关于直线x=﹣1对称， ∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1． 故答案为﹣1．

16

【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，

13．若二次函数y=mx2+x+m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为 2 ． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的定义．

【分析】本题中已知了二次函数经过原点（0，0），因此二次函数与y轴交点的纵坐标为0，即m（m﹣2）=0，由此可求出m的值，要注意二次项系数m不能为0．

【解答】解：根据题意得：m（m﹣2）=0， ∴m=0或m=2，

∵二次函数的二次项系数不为零，即m≠0， ∴m=2． 故答案是：2．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的定义．此题属于易错题，学生们往往忽略二次项系数不为零的条件．

14．如图所示，边长为5的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线EF分别交AD，BC于点E，F，则阴影部分的面积是

．

），对称轴直线x=﹣．

【考点】正方形的性质．

17

【分析】根据正方形的性质可以证明△AEO≌CFO，就可以得出S△AEO=S△CFO，就可以求出△AOD面积等于正方形面积的，根据正方形的面积就可以求出结论．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AO=CO，∠EAO=∠FCO， 在△AOE和△COF中，

，

∴△AEO≌CFO（ASA）， ∴S△AEO=S△CFO， ∴S△AOD=S△DEO+S△CFO， ∵S正方形ABCD=52=25， ∴S△AOD=，

∴阴影部分的面积为． 故答案为：．

【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的面积及三角形的面积公式的运用，在解答时证明△AEO≌CFO是关键．

15．某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是 20% ．

【考点】一元二次方程的应用．

18

【专题】增长率问题．

【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是25（1﹣x），第二次后的价格是25（1﹣x）2，据此即可列方程求解． 【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率为x， 由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元， 故25（1﹣x）2=16，

解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去）， 故该药品平均每次降价的百分率为20%．

【点评】本题考查数量平均变化率问题．原来的数量（价格）为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a（1±x），再经过第二次调整就是a（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．

16．如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为 （

，2） ．

【考点】二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-旋转．

19

【分析】先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得D（0，2），且DC∥x轴，从而求得P的纵坐标为2，代入求得的解析式即可求得P的坐标．

【解答】解：∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上， ∴4=4a，解得a=1， ∴抛物线为y=x2， ∵点A（﹣2，4）， ∴B（﹣2，0）， ∴OB=2，

∵将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD， ∴D点在y轴上，且OD=OB=2， ∴D（0，2）， ∵DC⊥OD， ∴DC∥x轴， ∴P点的纵坐标为2， 代入y=x2，得2=x2， 解得x=±，

∴P（

，2）．

故答案为（

，2）．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意求得P的纵坐标是解题的关键．

20

三、解答题一（本大题3小题，每小题6分，共18分） 17．解方程：3x2﹣5x+2=0．

【考点】解一元二次方程-因式分解法． 【专题】计算题．

【分析】利用因式分解法解方程． 【解答】解：（3x﹣2）（x﹣1）=0， 3x﹣2=0或x﹣1=0， 所以x1=，x2=1．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．

18．已知x=1是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2=0的根，求代数式

的值．

【考点】一元二次方程的解． 【专题】计算题．

【分析】根据一元二次方程的解的定义得m2﹣4m+1=0，则m2﹣4m=﹣1，再化简原式得到m2﹣4m+3，然后利用整体思想进行计算． 【解答】解：把x=1代入x2﹣4mx+m2=0得：m2﹣4m+1=0， ∴m2﹣4m=﹣1，

21

∴原式=2m2﹣4m﹣（m2﹣3） =2m2﹣4m﹣m2+3 =m2﹣4m+3 =﹣1+3 =2．

【点评】本题考查了一元二次方程的解：使一元二次方程两边成立的未知数的值叫一元二次方程的解．也考查了整体思想的运用．

19．如图，已知：BC与CD重合，∠ABC=∠CDE=90°，△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑），并直接写出旋转角度是 90° ．

【考点】作图-旋转变换． 【专题】作图题．

【分析】分别作出AC，CE的垂直平分线进而得出其交点O，进而得出答案． 【解答】解：如图所示：旋转角度是90°． 故答案为：90°．

22

【点评】此题主要考查了旋转变换，得出旋转中心的位置是解题关键．

四、解答题二（本大题3小题，每小题7分，共21分）

20．抛物线的图象如图，求这条抛物线的解析式．（结果化成一般式）

【考点】待定系数法求二次函数解析式．

【分析】由图象可知抛物线的顶点坐标为（1，4），所以设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2+4，把点（3，0）代入解析式即可解答． 【解答】解：由图象可知抛物线的顶点坐标为（1，4）， 设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2+4 把点（3，0）代入解析式，得： 4a+4，即a=﹣1

所以此函数的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4 故这条抛物线的解析式y=﹣x2+2x+3．

23

【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法．若题目给出了二次函数的顶点坐标，则采用顶点式求解简单．

21．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围；

（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．

【考点】根的判别式；一元二次方程的解；解一元二次方程-公式法． 【专题】计算题．

【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围；

（2）找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意k的值．

【解答】解：（1）根据题意得：△=4﹣4（2k﹣4）=20﹣8k＞0， 解得：k＜；

（2）由k为正整数，得到k=1或2， 利用求根公式表示出方程的解为x=﹣1±∵方程的解为整数， ∴5﹣2k为完全平方数， 则k的值为2．

【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程的解，以及公式法解一元二次方程，弄清题意是解本题的关键．

24

，

22．某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足关系：m=140﹣2x． （1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；

（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？ 【考点】二次函数的应用． 【专题】压轴题．

【分析】（1）由销售利润=（销售价﹣进价）×销售量可列出函数关系式； （2）应用二次函数的性质，求最大值．

【解答】解：（1）依题意，y=m（x﹣20），代入m=140﹣2x 化简得y=﹣2x2+180x﹣2800． （2）y=﹣2x2+180x﹣2800 =﹣2（x2﹣90x）﹣2800 =﹣2（x﹣45）2+1250． 当x=45时，y最大=1250．

∴每件商品售价定为45元最合适，此销售利润最大为1250元． 【点评】本题考查的是二次函数的应用，难度一般，用配方法求出函数最大值即可．

五、解答题三（本大题3小题，每小题9分，共27分）

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23．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】代数几何综合题．

【分析】（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；

（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；

（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可． 【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形； 理由：∵x=﹣1是方程的根，

∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0， ∴a+c﹣2b+a﹣c=0， ∴a﹣b=0， ∴a=b，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）∵方程有两个相等的实数根， ∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，

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∴4b2﹣4a2+4c2=0， ∴a2=b2+c2，

∴△ABC是直角三角形；

（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为： 2ax2+2ax=0， ∴x2+x=0，

解得：x1=0，x2=﹣1．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识，正确由已知获取等量关系是解题关键．

24．已知：二次函数为y=x2﹣x+m，

（1）写出它的图象的开口方向，对称轴及顶点坐标； （2）m为何值时，顶点在x轴上方；

（3）若抛物线与y轴交于A，过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B，当S△

AOB

=4时，求此二次函数的解析式．

【考点】二次函数的性质．

【分析】（1）根据抛物线的开口方向与a有关，利用对称轴与顶点坐标公式列式计算即可得解；

（2）根据顶点在x轴上方，顶点纵坐标大于0列出不等式求解即可； （3）先求出点A的坐标，再根据抛物线的对称求出AB=1，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．

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【解答】解：（1）∵a=1＞0， ∴抛物线开口方向向上； 对称轴为直线x=﹣

=

顶点坐标为（，

（2）顶点在x轴上方时，解得m＞；

（3）令x=0，则y=m， 所以，点A（0，m）， ∵AB∥x轴，

∴点A、B关于对称轴直线x=对称， ∴AB=×2=1， ∴S△AOB=|m|×1=4， 解得m=±8．

【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴、顶点坐标公式，以及二次函数的对称性．

25．把一副三角板按如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6cm，DC=7cm．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙）．这时AB与CD1相交于点O、与D1E1相交于点F．

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=； ， ）；

＞0，

（1）求∠OFE1的度数； （2）求线段AD1的长；

（3）若把△DCE绕着点C顺时针再旋转45°得△D2CE2，这时点B在△D2CE2的内部、外部、还是边上？说明理由．

【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形．

【分析】（1）根据旋转角求出∠OCB=45°，从而求出∠COB=90°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解； （2）根据等腰直角三角形的性质求出AO=CO=AB，再求出OD1，然后利用勾股定理列式计算即可得解；

（3）设直线CB与D2E2相交于P，然后判断出△CPE2是等腰直角三角形，再求出CP，然后与CB相比较即可得解． 【解答】解：（1）∵旋转角为15°， ∴∠OCB=60°﹣15°=45°， ∴∠COB=180°﹣45°﹣45°=90°， ∴CD1⊥AB，

在Rt△D1OF中，∠OFE1=∠CD1E1+∠D1OF=30°+90°=120°；

（2）∵CD1⊥AB，

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∴AO=CO=AB=×6=3， ∴OD1=DC﹣CO=7﹣3=4，

在Rt△AD1O中，由勾股定理得，AD1=

（3）点B在△D2CE2的内部．

理由如下：设直线CB与D2E2相交于P， ∵△DCE绕着点C顺时针再旋转45°， ∴∠PCE2=15°+30°=45°， ∴△CPE2是等腰直角三角形， ∴CP=

CE2=

，

=

=5；

∵AB=6， ∴CB=

AB=3

＜

，即CB＜CP，

∴点B在△D2CE2的内部．

【点评】本题考查的是勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．

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答题方法：试卷检查五法 重视答案,要对结果负责

不少同学都说,明明题目都会做,然而考试时却不是这里出错就是那里出错,总是拿不了高分。其实,导致这一问题的根本原因就是对答案不够重视。接下来,我们就为同学们介绍五种常用的试卷检查方法。

第一,逐步检查法。从审题开始一步一步地检查,从中发现问题进行纠正。这种方法往往不能发现在解题思路上的根本性错误,但可以检查出计高效学习方法。

第二,结果代入法。将结果代入公式,看看是否能反向求解出原题所给的已知量,或者是从已求得的结论向已知的条件推导,这就是最典型的“逆向确认”的方式。

第三,试题重做法。如果时间允许,可将某些试题重做一遍,如两次解答获得同一答案,这样的题解一般就不会有错。

第四,草稿检查法。要使自己明白,清晰、有序和明了的草稿纸是检查答案最好和最有效的线索。因此,使用草稿纸时事先要设想好和规划好,以利于检查使用。

第五,“毛病”专检法。在检查时间不足的情况下,同学们可以专门检查 自己平时容易出错的老毛病。一般来说,一是查物理单位是否有误;二是看计算公式引用有无错误;三是看结果是否比较“像”,如数字结论是否为整数,或有规则的表达式,若为小数或无规则的,则要重新演算,这是最保险的措施。

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在检查中,不少同学把答案反复检查了好几遍还是发现不了错误,这是怎么回事呢?原因很简单,因为他们一直在用同样的方法检查,这是受了习惯思维的限制。所以,我建议大家以后检查试卷时换个角度,改变顺序或倒过来推演从不同的角度确定答案。

三轮答题法

考场答题要执行三个循环

三轮答题法,即在考场上要完整解答一套试题需执行的三个循环,具体步骤如下：

第一个循环:通览全卷,摸清“题情”。在通览全卷时,顺手把那些一眼就会的题目解决掉。而一般考试这类基础题要占30%左右,所以这一轮做题可获二、三十分的基础分。同时,我们还可以借此机会缓和一下紧张的情绪,尽快进入答题状态。

第二个循环:把会做的题目尽力解答出来。在这个大循环中,要有全局意识,并坚持“四先四后”“一快一慢”的原则。

“四先四后”,即

1.先易后难:先做简单题,后做难题,跳过啃不动的题目,对于分值较少的题目要巧解,尽量减少答题时间;

2.先熟后生:先做那些比较容易掌握、比较熟悉的题目,再做那些比较面生的题目。

3.先高后低:两道都会做的题,应先做分值高的题,后做分值低的题。

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4.先同后异:将同类型的题目集中解答,然后再处理其他类型的题目。快一慢”:审题要慢,答题要快。

三个循环:要分点得分、检查收尾。大多数考生不可能在第二个循环中就答完所有题目。那么,对于那些还没做出来的题目,就可以用“分点得分”的方法解答:尽量写出自己会做的步骤。

另外,做完题目后要进行复查,防止“会而不对,对而不全”的情况发生。这是正常发挥乃至超水平发挥不可缺少的一个步骤,必不可少。

我们平时做题时,可以先大略计算一下自己这三轮做题中每一轮所用的时间。这样,考试时就可以更好地分配答题时间。就我个人而言,我做中考题一般是一头一尾两个小循环,各用时10分钟左右,中间的大循环用时近100分钟。

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