绝对值函数和绝对值不等式
【知识点】 一、绝对值的性质 a，a≥0，1.|a|= －a，a<0推论①：|ab|≥ab(当且仅当ab≥0时，“=”成立)； 推论②：|ab|≥－ab(当且仅当ab≤0时，“=”成立). 2.|a|2=a2； 二、绝对值不等式 3.若a2≥b2，则|a|≥|b|； 证明：由性质2，a2≥b2|a|2≥|b|2|a|≥|b|. 4.|a|≥a，(当且仅当a≥0时等号成立)； 推论③：|ab|≥ab. 推论④：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|. 证明：(1) ||a|－|b||≤|a－b|： 因为 |ab|≥ab，所以：－2|ab|≤－2ab，所以：a2+b2－2|ab|≤a2+b2－2ab，由性质2，则：(|a|－|b|)2≤(a－b)2，由性质3即证. 此时，当且仅当ab≥0时等号成立. (2) ||a|－|b||≤|a+b|. 证明：由推论②：|ab|≥－ab，所以：－2|ab|≤2ab，从而：(|a|－|b|)2≤(a+b)2，由性质2即证.此时，“=”成立的条件为ab≤0. (3)由2ab≤2|ab|=2|a||b|，则(a+b)2≤(|a|+|b|)2，由性质2即证.等号成立的条件为ab≥0.同理可证：|a－b|≤|a|+|b|.等号成立的条件为ab≤0. 推论⑤：|a1+a2 +…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|. 证明：当n=2时，显然成立； 设当n=k时，有：|a1+a2 +…+ak|≤|a1|+|a2|+…+|ak|； 则当n=k+1时，|a1+a2 +…+ak+ak+1|=|(a1+a2 +…+ak)+ak+1|≤|a1+a2+…+ak|+|ak+1|≤|a1|+|a2|+…+|ak|+|ak+1|. |a+b|，ab≥0，推论⑥：|a|+|b|=|a|+|b|=max{|a+b|，|a－b|}. |a－b|，ab<0，证明：若ab≥0，显然有|a|+|b|=|a+b|， 文案大全
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且此时：|a+b|≥|a－b|，所以：|a|+|b|=max{|a+b|，|a－b|}； ab<时，同理可证. 5.对任意a，b∈R，a+b+|a－b|=2max{a，b}. 证明：由于对称性，不妨设a≥b，则：a+b+|a－b|=a+b+a－b=2a=2max{a，b}. 6.对任意a，b∈R，a+b－|a－b|=2min{a，b}. 证明：a+b=max{a，b}+min{a，b}，由性质5，|a－b|=2max{a，b}－(a+b)，从而： a+b－|a－b|=a+b－[2max{a，b}－(a+b)]=2(a+b)－2max{a，b}=2max{a，b}+2min{a，b}－2max{a，b}=2min{a，b}. 7. 对任意实数a，b，|a+b|+|a－b|=2max{|a|，|b|}. 证明①：不妨设a≥b，则|a－b|+|a+b|=a－b+|a－(－b)|=2max{a，－b}； 若b≤a≤0，则2max{a，－b}=2(－b)=2max{|a|，|b|}； 若b≤0≤a，则2max{a，－b}=2max{|a|，|b|}； 若0≤b≤a，则2max{a，－b}=2a=2max{|a|，|b|}. 综上：命题得证. 证明②：由轮换性，不妨设ab≥0，则|a+b|=|a|+|b|=max{|a|，|b|}+min{|a|，|b|}； |a－b|=max{|a|，|b|}－min{|a|，|b|}，两式相加即得. 2min{|a|，|b|}，ab≥08.对任意的实数a，b，|a+b|－|a－b|= －2min{|a|，|b|}，ab<0证明：若ab≥0，则|a+b|=|a|+|b|=max{|a|，|b|}+min{|a|，|b|}； |a－b|=max{|a|，|b|}－min{|a|，|b|}， 两式相减得：|a+b|－|a－b|=2min{|a|，|b|}. 若ab<0，则|a+b|=|a－(－b)|=max{|a|，|b|}－min{|a|，|b|}； |a－b|=|a+(－b)|=max{|a|，|b|}+min{|a|，|b|}； 两式相减得：|a+b|－|a－b|=－2min{|a|，|b|} 四、绝对值函数 1.f (x)=a|x－m|+b (1)函数y=f (x)以点(m，b)为顶点；注意这个点的轨迹往往可以帮助我们简化解题； (2)当a>0时，函数有最小值b，无最大值；当a<0时，函数有最大值b，无最小值. 2.f (x)=a|x－m|+b|x－n|. (1)函数的图像是以A(m，f (m))，B(n，f (n))为折点的折线； 文案大全
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(2)当a+b>0时，图像的两端无限向上延伸，y=f (x)的值域为[min{f (m)，f (n)}，+∞)； (3)当a+b<0时，图像的两端无限向下延伸，y=f (x)的值域为(－∞，max{f (m)，f (n)}]； (4)当a+b=0时，函数的图像两端无限平行于x轴，函数的值域为[min{f (m)，f (n)}，max{f (m)，f (n)}]. 五、绝对值不等式的其他形式 1.向量形式 ①||a|－|b||≤|a+b|≤|a|+|b| ||a|－|b||≤|a+b|当且仅当a·b≤0时等号成立； |a+b|≤|a|+|b|当且仅当a·b≥0时等号成立. ②||a|－|b||≤|a－b|≤|a|+|b|. λian③i≤|λ1||ai|. i=1i=12.复数形式 ①|z1－z2|≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|； ②nz邋i=1ni£ni=1zi. 【方法概论】 遇到绝对值的问题时，方法主要以下几种： 1.分类讨论：即去掉绝对值；这种方法是解决绝对值问题的基本办法。一般说来，分类讨论主要是用“零点分类讨论”的方法，即绝对值内什么时候非负，什么时候为负，要做到“不重不漏”； 2.几何意义：绝对值的几何意义主要分为两块，一个是表示函数图象的翻折，另一个则表示数轴上两点之间的距离； 3.用绝对值不等式：将含有绝对值的不等式或者函数转化为我们上面的结论或者推论，从而直接应用前面的结论或者推论. 无论应用上面的哪一种方法，拿到题目以后尽量先画出函数的草图是很重要的.
典型例题： 文案大全
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题型一、分类讨论 核心技能：分类讨论是解决绝对值函数问题的主要的方法，解题时，注意函数的的定义域，做到“不重不漏”. 【例题1】【2016年浙江高考，19】已知a≥3，函数 F(x)=min{2|x－1|，x2－2ax+4a－2}. (1)求使得F(x)=x2－2ax+4a－2成立的x的取值范围； (2)①求F(x)的最小值m(a)； ②求F(x)在区间[0，6]上的最大值M(a). 【例题2】【浙江省衢州市2015年4月高三教学质量检测，15】已知函数f (x)=x2－2x，若关于x的方程|f (x)|+|f (a－x)|=t有四个不同的实数解，且四个根之和为2，则实数t的取值范围为 . 【例题3】【2015高考湖北，文17】a为实数，函数f(x)|x2ax|由于a的值不同，从而先由函数的对称性性质求出a的值，然后写出分段函数的形式，最后由函数的图象即可得出答案. 此题的解法显然是分类讨论，去掉题中的绝对值. 文案大全
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在区间[0,1]上的最大值记为g(a). 当a_________时，g(a)的值g(a)的表达式也不一最小. 【例题4】【2015年浙江省金华一中全真模拟考试(理)，20】已知函数f (x)=x2－|ax－b|(其中，a∈R+，b∈R) (1)若a=2，b≥2，且函数f (x)的定义域和值域均为(1，b)，求b的值； (2)若函数f (x)的图像于直线y=1在(0，2)上有两个不同的交点，试b求的取值范围. a 题型二、数形结合 适当转化思路，即可得到比较简便的解答. 样，需要分情况讨论. 文案大全
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核心技能：掌握绝对值的两种几何意义，并能应用. 【例题5】【2017年浙江省台州市高三期末质量评估，17】已知函设g(x)=x+1， x11x+－ax－b，当x∈，2时，设f (x)的最大值为M，则h(x)=ax+b，则f (x)表示数f (x)=x2M的最小值为 . 3【例题6】【2017年9+1联盟期中，17】当x∈2，4，不等式 |ax2+bx+4a|≤2x 恒成立，则6a+b的最大值是 . 【例题7】【2015年浙江高考理，14】已知实数x，y满足x2+y2≤1，一样是一道线性规划则|2x+y－2|+|6－x－3y|的最小值是 . 【例题8】【2011年北约考试】求函数 考察绝对值的几何意的问题. 先将等式两边同除以x然后应用线性规划的方法加以解决，当然，也可以用“线性表出”的方法. 为在同一个x0条件下，g(x0)、h(x0)(即两个纵坐标之差的绝对值)的大小. 文案大全
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f (x)=|x－1|+|2x－1|+…+|2011x－1| 的最小值. 义. 【例题9】【2010年新疆预赛，1】由曲线|x|－|y|=|2x－3|所围成的几考虑绝对值的几何意何图形的面积为 . 题型三、转化和放缩 核心技能：掌握【知识点】部分的各个结论及其推论，包括等号成立的条件. 【例题10】【2017年浙江高考，17】已知a∈R，函数 4x+－a+a f (x)=x在区间[1，4]上的最大值为5，则实数a的取值范围是 . 【例题11】【2017年湖州、丽水、金丽衢联考】设m∈R， f (x)=|x3－3x－2m|+m 在x∈[0，2]上的最大值和最小值之差为3，则m= . 【例题12】【2017年浙江省嵊州市高三第一学期质调】已知 文案大全
义. 4令t=x+，t∈[4，5]，x则原题转化为g(t)=|t－a|+a≤5在t∈[4，5]上恒成立的问题. 巩固例题9的方法，并应用数形结合的方法. 不妨设g(x)+h(x)=x2+(a标准实用
f (x)=x2+(a－4)x+1+|x2－ax+1| 1的最小值为，则是实数a的值为 . 2 【例题13】【浙江省杭州市2017届高三二模，17】已知 －4)x+1，g(x)－h(x)=x2－ax+1，然后即可发现问题的本质. 令g(x)=f (x)－1，则原条件转化为 |g(x)+g(x+l)|+|g(x)－g(x－l)|≥2. 注意到g(x+l)(l>0)是将函数g(x)的图像向左平移l个单位所得到.这种图象的平移要重视，比如已知f (x)为R上的奇函数，当x>0时， 1f (x)=(|x－a2|+|x－2a2|2－3a2)，若对任意的实数x∈R都有f (x－1)≤f (x)，则实数a的取值范围为 . ìpï2cosx,|x|£1,f(x)=í 2ï2ïîx-1,|x|>1,实数l>0，若|f (x)+f (x+l)－2|+|f (x)－f (x+l)|≥2恒成立，则l的最小值为 . 这一道题的解法比较→→→【例题14】【浙江省2016年高考，15】已知向量a，b满足：|a|=1，文案大全
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→→→→→→→→|b|=2，若对任意的单位向量e，都有|a·e|+|b·e|≤6，则a·b的最大值是 . 1z+≤2，则|z|【例题15】【2014年安徽预赛】已知复数z满足z的取值范围是 . 多，唯独用绝对值不等式比较简便： 由2(a2+b2)=10，而 →→|a+b|≤ →→→→|a·e|+|b·e|≤6， 而4a·b=(a+b)2－(a－b)2即可解出答案. 设|z|=r，则 r－1≤2，考虑其意r义是什么? 【例题16】【浙江省2015年高考，18】已知函数f (x)=x2+ax+b(a，注意基本不等式： b∈R)，记M(a，b)是|f (x)|在区间[－1，1]上的最大值. (1)证明：当|a|≥2时，M(a，b)≥2； ≤(2)当a，b满足M(a，b)≤2时，求|a|+|b|的最大值. 【例题17】【2014年河北预赛，6】已知对x∈[0，1]，都有|ax+b|令f (x)=ax+b，则 b}. min{a，b}≤ab≤a+b2a2+b2≤max{a，2文案大全
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≤1，则|bx+a|的最大值为 . 【例题18】【2018年浙江省预赛，12】设a∈R，且对任意实数b均有 x∈[0，1]f (0)=b，a=f (1)－f (0). 此题的解法比较多，应用绝对值不等式是最max|x2+ax+b|≥1， 简的解法. 求a的取值范围. 【例题19】【2017年全国联赛，9】设k、m为实数，不等式 |x2－kx－m|≤1 对所有x∈[a，b]成立.证明：b－a≤22. 【过关习题4】
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1.【2018年学考选考十校联盟，☆☆】已知a，b是实数，则“|a|≤1且|b|≤1”是“|a+b|+|a－b|≤2”的 .
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.【2018年绍兴高三适应性考试，，☆☆】已知a>0，函数f (x)=|x2+|x－a|－3|在区间[－1，1]上的最大值是2，则a= .
3.【2018年温州二模，17，，☆☆☆】已知f (x)=x2－ax，|f (f (x))|≤1在[1，2]上恒成立，则实数a的最大值为 .
4.【2017年绍兴诸暨二模，，☆☆☆☆】已知函数f (x)=|x2+ax+b|在区间[0，c]内的最大值为M(a，b∈R，c>0为常数)且存在实数a，b，使得M取最小值2，则a+b+c= . 1
5.【☆☆】设正实数x，y，则|x－y|++y2的最小值为 .
x
6.【2017年杭州二模，10，☆☆】设函数f (x)=x2+ax+b(a、b∈R)的两个零点为x1、x2，若|x1|+|x2|≤2，则 .
A.|a|≥1 B.|b|≤1 C.|a+2b|≥2 D.|a+2b|≤2
1
－b的最小值为 . 7.【2017年浙江4月份学考，☆☆】已知a，b∈R，a≠1，则|a+b|+a+18.【2017年浙江绍兴市柯桥中学5月质检，8，☆☆】已知x，y∈R，则 . 12123
x++y－≤ A.若|x2+y|+|x－y2|≤1，则22212123x－+y－≤ B.若|x2－y|+|x－y2|≤1，则22212123x++y+≤ C.若|x+y2|+|x2－y|≤1，则22212123x－+y+≤ D.若|x+y2|+|x2+y|≤1，则222
9.【2016年浙江高考，8，☆☆☆】已知实数a、b、c，下面四个选项中正确的是 . A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2<100 B.若|a2+b+c|+|a2+b－c|≤1，则a2+b2+c2<100 C.若|a+b+c2|+|a+b－c2|≤1，则a2+b2+c2<100 D.若|a2+b+c|+|a+b2－c|≤1，则a2+b2+c2<100
+2y－3z|≤6，
||xx－2y+3z|≤6，
10.【2017年杭州高级中学最后一模，17，☆☆】设实数x，y，z满足则
|x－2y－3z|≤6，|x+2y+3z|≤6，
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|x|+|y|+|z|的最大值为 .
|a+1|－|2a－1|
11.【2017年浙江名校协作体，7，☆】设f (x)=|2x－1|，若f (x)≥对任意的a
|a|≠0恒成立，则x的取值范围为 .
12.【2016年浙江样卷，☆】已知f (x)=ax2+bx+c，a、b、c∈R，且a≠0，记M(a，b，c)为|f (x)|在[0，1]上的最大值，则
a+b+2c
的最大值是 .
M(a，b，c)
13.【☆☆】设函数f (x)=|x2+ax+b|，若对任意的实数a、b，总存在x0∈[0，4]使得f (x0)≥m成立，则实数m的取值范围是 .
14.【2017年浙江缙云、富阳、长兴联考，☆☆☆】已知函数f (x)=－x3－3x2+x，记M(a，b)为函数g(x)=|ax+b－f (x)|(a>0，b∈R)在[－2，0]上的最大值，则M(a，b)的最小值为 . 15.【2017年杭州一模，9，☆☆☆】设函数f (x)=x2+ax+b，记M为函数y=|f (x)|在[－1，1]上的最大值，N为|a|+|b|的最大值，则 . 11
A.若M=，则N=3 B.若M=，则N=3
32C.若M=2，则N=3 D.若M=3，则N=3
1
16.【2017年诸暨，☆☆☆】设函数f (x)=|ax+2x+b|，若对任意的x∈[0，4]，函数f (x)≤
2恒成立，则a+2b= .
17.【浙江省绍兴市2017届高三二模，17，☆☆☆】已知对任意实数x都有|acos2x+bsinx+c|≤1恒成立，则|asinx+b|的最大值为 .
18.【浙江省嘉兴市2016届高三教学质量测试(二)，14，☆☆】
a (a≥b)22
设max{a，b}=b (a 的最小值为 ． 19.【☆☆】已知f (x)=ax2+bx+c(a≠0)，若对任意的|x|≤1，都有|f (x)|≤1，则|a|+|b|+|c|的最大值为 . 20.【2014年湖南高考，☆☆】在直角平面坐标系xOy中，O为原点，A(－1，0)，B(0，3)，→→→→ C(3，0)，动点D满足|CD|=1，则|OA+OB+OD|的最大值为 . －2x， x<0， 21.【浙江省2017年预赛，10，☆☆☆】已知f (x)=2若方程f (x)+21－x2+|f (x) x－1，x≥0， －21－x2|－2ax－4=0有三个不等的实数根x1，x2，x3，且x1 标准实用 11 22.【2006年辽宁，☆】已知函数f (x)=(sinx+cosx)－|sinx－cosx|，则f (x)的值域为 . 22π3π23.【2008年江西，☆】函数y=tanx+sinx－|tanx－sinx|在区间2，2内的图像是 . y2π2Ay2Oπ3π2x Oπ2Bπ3π2x yπ2O-2π3π2yπ2π3π2xO-2xC D 24.【浙江省绍兴市2015年高三教学质量调测，15，☆☆☆】当且仅当x∈(a，b)∪(c，d)(b≤c)时，函数f (x)=2x2+x+2的图像在函数g(x)=|2x+1|+|x－t|的下方，则b－a+d－c的取值范围为 . 25.【2016高考浙江文数，☆☆】已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a·b=1．若e为平面单e|+|b·e|的最大值是______． 位向量，则|a· 26.【2014年四川预赛，9，☆☆】已知a、b为实数，对任何满足0≤x≤1的实数x，都有|ax+b|≤1成立，则|20a+14b|+|20a－14b|的最大值是 . －x+x，x≤1， 27.【2014年黑龙江预赛，14，☆☆】已知f (x)=log1x， x>1，g(x)=|x－k|+|x－1|，若对任 2 意的x1，x2∈R，都有f (x1)≤g(x2)成立，则实数k的取值范围为 . 28.【2014年全国联赛，3，☆☆】若函数f (x)=x2+a|x－1|在[0，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是 . 29.【2015年湖北预赛，1，☆☆】若对任意实数x，|x+a|+|x+1|≤2a恒成立，则实数a的最小值为 . 30.【2016年山东预赛，1，☆☆☆】方程x=|x－|x－6||的解为 . 文案大全 2 标准实用 31.【2016年陕西预赛，12，☆☆】设x∈R，则函数f (x)=|2x－1|+|3x－2|+|4x－3|+|5x－4|的最小值为 . 32.【2016年浙江预赛，11，☆☆☆】设a∈R，方程||x－a|－a|=2恰有三个不同的实数根，则a= . 33. 【1982年全国，4，☆☆】由曲线|x－1|+|y－1|=1确定的曲线所围成的图形的面积是 . A.1 B.2 C.π D.4 34.【2017年江苏预赛，5，，☆☆】定义区间[x1，x2]的长度为x2－x1.若函数y=|log2x|的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]的长度的最大值和最小值的差为 . 35.【2018年浙江预赛，8，☆】设f (x)=|x+1|+|x|－|x－2|，则f (f (x))+1=0有 个不同的解. 36.【2015年全国，6，☆☆】在平面直角坐标系xOy中，点集 K={(x，y)|(|x|+3|y|－6)(3|x|+|y|－6)≤0} 所对应的平面区域的面积为 . 37.【2008年湖南预赛，9，☆☆☆】在平行直角坐标系中，定义点P(x1，y1)，Q(x2，y2)之间的“直角距离”为d(P，Q)=|x1－x2|+|y1－y2|.若C(x，y)到点A(1，3)、B(6，9)的“直角距离”相等，其中实数x、y满足0≤x≤10，0≤y≤10，则所有满足条件点C的轨迹的长度之和为 . 38.【2014年湖北预赛，4，☆☆】在直角坐标系中，曲线|x－1|+|x+1|+|y|=3围成的图形的面积是 . 39.【2017年金华十校期末调研考试，9，☆☆】设x、y∈R，下列不等式成立的是 . A.1+|x+y|+|xy|≥|x|+|y| B.1+2|x+y|≥|x|+|y| C.1+2|xy|≥|x|+|y| D.|x+y|+2|xy|≥|x|+|y| y，x≥y，40.【2017年绍兴市高三教学质量调测，9，☆☆☆】记min{x，y}= x，x A.存在t>0，|f (t)+f (－t)|>f (t)－f (－t) B.存在t>0，|f (t)－f (－t)|≥f (t)－f (－t) C.存在t>0，|f (1+t)+f (1－t)|>f (1+t)+f (1－t) D.存在t>0，|f (1+t)－f (1－t)|>f (1+t)－f (1－t) 41.【浙江省2016届高三下学期第二次五校联考(理)，18，☆☆☆】已知函数f (x)=ax2+bx+c， 文案大全 标准实用 1 g(x)=c|x|+bx+a，对任意x∈[－1，1]，|f (x)|≤. 2(I)求|f (2)|的取值范围； (II)证明：对任意的x∈[－1，1]，都有|g(x)|≤1 42.【浙江省嘉兴市2016届高三期末考试，20，☆☆☆】已知函数f (x)=－x2+2bx+c，，设函数g(x)=|f (x)|在区间[－1，1]上的最大值为M． (I)若b=2，试求出M； (II)若M≥k对任意的b，c恒成立，试求出k的最大值． 43.【2016四川预赛，16，☆☆☆☆】已知a为实数，函数f (x)=|x2－ax|－lnx，请讨论函数f (x)的单调性. 文案大全 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容