二次函数在闭区间的最值问题 2

2最大值为f2将二次函数配方得f(x)x一. 定二次函数在定区间上的最值

解：由已知2x3x，可得0x322219。42232示。函数的最大值为f(2)2，最小值为f(0)2。

例2. 已知2x3x，求函数f(x)xx1的最值。

闭区间上二次函数的最值问题

例1. 函数yx4x2在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

图2

图1

是x2，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所

解：函数yx4x2(x2)2是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程

二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间

开口向上。显然其顶点横坐标不在区间0，内，如图2所示。函数f(x)的最小值为f(0)1，

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33，即函数f(x)是定义在区间0，上的二次函数。2213113，其对称轴方程，顶点坐标x，，且图象

24242若若n（2）当f(x)配方得：

2f(x)x2f(x)的最大值或最小值：

f(m)、f(n)中的较大者。

二. 动二次函数在定区间上的最值

情况是“动二次函数在定区间上的最值”。

bb4acb2、开口向上的抛物线。由数形结合可得在[m，n]上，、对称轴为x2a4a2a由a2可得xbm，n时2aaa23242二次函数f(x)的对称轴方程是x则f(x)的最大值是f(m)，最小值是f(n)则f(x)的最小值是f(m)，最大值是f(n)a22aa2顶点坐标为，3，图象开口向上

24bm，由f(x)在m，n上是增函数2ab，由f(x)在m，n上是减函数2a例3. 已知x1，且a20，求函数f(x)xax3的最值。

解后反思：已知二次函数f(x)axbxc（不妨设a0），它的图象是顶点为

2bb4acb，f(x)的最大值是（1）当m，n时，f(x)的最小值是f2a4a2aa1，显然其顶点横坐标在区间1，1的左侧或左端点上。2解：由已知有1x1，a2，于是函数f(x)是定义在区间1，1上的二次函数，将

二次函数随着参数a的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种

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22函数的最小值是f(1)4a，最大值是f(1)4a。

为(2，a4a1)，图象开口方向由a决定。很明显，其顶点横坐标在区间4，1上。

即f(1)5aa15解得a1或a6故a1(a6舍去)2222若a0，函数图象开口向下，如图4所示，当x2时，函数取得最大值5

若a0时，函数图象开口向上，如图5所示，当x1时，函数取得最大值5

图3

即f(2)a4a15解得a210故a210(a210舍去)2图4

例4. 已知二次函数f(x)ax4axa1在区间4，1上的最大值为5，求实数a的值。

解：将二次函数配方得f(x)a(x2)a4a1，其对称轴方程为x2，顶点坐标

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区间上的最值”。

二次函数的对称轴是固定的，但图象开口方向是随参数a变化的。

函数取得最小值

22三. 定二次函数在动区间上的最值

f(x)minf(t)(t1)21。

函数取得最小值：f(x)minf(1)1。

综上讨论，函数f(x)在区间4，1上取得最大值5时，a210或a1例5. 如果函数f(x)(x1)1定义在区间t，t1上，求f(x)的最小值。

图6

图7

图5

如图6所示，若顶点横坐标在区间t，t1左侧时，有1t。当xt时，函数取得最小值

如图8所示，若顶点横坐标在区间t，t1右侧时，有t11，即t0。当xt1时，

二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数t而变化的，我们称这种情况是“定函数在动

解：函数f(x)(x1)1，其对称轴方程为x1，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。

如图7所示，若顶点横坐标在区间t，t1上时，有t1t1，即0t1。当x1时，

解后反思：例3中，二次函数的对称轴是随参数a变化的，但图象开口方向是固定的；例4中，

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间上的最值”。

(t)的解析式。

综上讨论，f(x)min取得最小值：f(2)8f(x)minf(t1)t21四. 动二次函数在动区间上的最值

小值：f(t1)(t3)8t6t1小值：f(t2)(t4)8t8t8t28t8(t4)综上讨论，得(t)8(3t4)t26t1(t3)解：将二次函数配方得：f(x)x4x4(x2)8其对称轴方程为x2，顶点坐标为(2，8)，图象开口向上

22222(t1)21,t11,0t1t21t022图8

222若顶点横坐标在区间t2，t1上，则t22t1，即3t4。当x2时，函数

若顶点横坐标在区间t2，t1右侧，则t12，即t3。当xt1时，函数取得最

二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区

例6. 设函数f(x)x4x4的定义域为t2，t1，对任意tR，求函数f(x)的最小值

例7. 已知y4a(xa)(a0)，且当xa时，S(x3)y的最小值为4，求参数a

若顶点横坐标在区间t2，t1左侧，则2t2，即t4。当xt2时，函数取得最

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a

12

的值。

求参变数a的值。

1792，a，图象开口向上。5522(32a，12a8a2)，图象开口向上。

若

2S(x3)24a(xa)2解：将y4a(xa)代入S中，得

(x1)2a2代入P中，得解：将y4(x1)2P(x4)a245179xa2455x22(32a)x94a2x(32a)12a8a2此时，a5，或a1（因a1，a1舍去）

综上讨论，参变数a的取值为a1，或a

则P是x的二次函数，其定义域为x12a，，对称轴方程为x若32aa，即a1，则当xa时，S最小a(32a)12a8a417612a，即a551

，或a52

222则S是x的二次函数，其定义域为xa，，对称轴方程为x32a，顶点坐标为

若32aa，即0a1，则当x32a时，S最小12a8a4，此时，a1，或

(x1)2y2a2(a0)，且当x12a时，P(x4)2y2的最小值为1，例8. 已知

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17，顶点坐标为5则当x综上讨论，a此时，a2，或a1（因a2，或a2517922时，P最小a1，此时，a5555179176若12a，即a，则当x12a时，P最小12aa21455556，a1舍去）5最值，验证参数的资格，进行取舍。

解后反思：例7中，二次函数的对称轴是变化的；例8中，二次函数的对称轴是固定的。

另外，若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，

可采用先斩后奏的方法。二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为

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