一、选择题:(本大题共12个小题，每小题4分，共48分) 1．﹣的相反数是( ) A．﹣ B． C．﹣3 D．3 2．下列运算正确的是( ) A．a6÷a2=a3
B．5a2﹣3a2=2a C．(﹣a)2•a3=a5 D．5a+2b=7ab
3．如图，△ABC中，∠B=40°，过点C作CD∥AB，∠ACD=65°，则∠ACB的度数为( )
A．105° B．95° C．85° D．75°
4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A．
B．
C．
D．
5．下列调查中，适合用普查方式的是( ) A．了解重庆火锅的麻辣程度
B．了解湖南电视台《我是歌手》在全国的收视率 C．了解长江中鱼的种类分布
D．了解初三•7班学生某次语文测验的成绩
6．某居民小区开展节约用电活动，有关部门对该小区100户家庭的节电量情况进行了统计，4月份与3月份相比，节电量情况如下表:
节电量(千瓦时)
30 40 50
20
户 数
10
40
30
20
则4月份这100户家庭节电量的中位数、众数分别是( ) A．35、30 B．30、2020．30、35 D．30、30
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7．“十一”节期间，某商品按成本价提高30%后标价，再打8折(标价的80%)销售，售价为240元．设该商品的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是( ) A．x•30%•80%=240 B．x•(1+30%)•80%=240 C．x•(1+30%)•(1﹣80%)=240 D．x•30%=240•80% 8．抛物线y=﹣3(x+2)2﹣1的顶点坐标是( ) A．(2，﹣1) B．(2，1) C．(﹣2，﹣1) D．(﹣2，1) 9．在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=，则cosA=( ) A． B． C．
D．
10．某星期六上午，小明从家出发跑步去公园，在公园停留了一会儿打车回家．图中折线表 示小明离开家的路程y(米)和所用时间x(分)之间的函数关系，则下列说法中错误的是( )
A．小明在公园休息了5分钟 B．小明乘出租车用了17分 C．小明跑步的速度为180米/分 D．出租车的平均速度是900米/分
11．下列图形都是用同样大小的❤按一定规律组成的，则第(8)个图形中共有❤( )
A．80个 B．73个 C．64个 D．72个
的
12．如图，在Rt△ABO中，∠AOB=90°，且OB=2AO，点A在反比例函数y=
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图象上，点B比在反比例函数y=的图象上，则m的值为( )
A．4
B．6 C．﹣8 D．8
二、填空题:(本题共6小题，每小题4分，共24分)
13．2020年重庆市共有334000名考生报名参加中考，那么334000这个数用科学记数法表示为 ．
14．D为AB边上一点，DE∥BC交AC于点E．如图，在△ABC中，若则BC的长为 ．
=，DE=6，
15．计算(﹣1)2020﹣|
﹣2|+(﹣)﹣1﹣2sin60°的值为 ．
16．从﹣2、﹣1、3、6中随机抽取一个数记为a，再从剩下的三个数中任取一个记为b，则点(a，b)恰好在反比例函数y=﹣的图象上的概率是 ．
17．把函数y=﹣2x2的图象向左平移1个单位，再向上平移6个单位，所得的抛物线的函数关系式 ．
18．如图，矩形ABCD中，E为BC边上一点，且AE⊥DE．将线段AE绕A点逆EF=2时针旋转90°，得到线段AF．连接EF，交AD于点M，连接DF．若BE=1，则点M到DF的距离为 ．
，
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三、解答题(本大题共2个小题，每小题7分，共14分)
19．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，连接DE、BF．
求证:△ADE≌△CBF．
2020015年10月，重庆一中隆重举行了“力帆情系一中、足球放飞梦想”校园足球班级联赛开幕式暨力帆集团捐赠仪式．重庆一中校友尹明善怀着对母校的眷恋和感恩，率重庆力帆全体球员，再次走进一中，为母校校园足球的发展捐款40100多个足球和600多套球服，配齐一中每个班级足球队的准备，并为“重万元、
庆力帆足球俱乐部重庆一中青训基地”授牌．王明同学为了解全校学生对足球的喜爱程度，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查．问卷将喜爱程度分为A(非常喜欢)、B(喜欢)、C(不太喜欢)、D(很不喜欢)四种类型，根据调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请结合统计图信息解答下列问题:
(1)这次调查中，一共调查了 名学生，图1中C类所对应的圆心角度数为 ；
(2)请补全条形统计图；
(3)在非常喜欢足球的同学中，有四名来自初一，其中两名为男生；另外四名来自初二，其中一名为女生．现从非常喜欢足球的同学中，分别抽取初一、初二各一名同学，作为小记者对孙继海进行采访交流，请用列表法或画树状图求出恰好抽到一名男生和一名女生做小记者的概率．
四、解答题:(本大题4个小题，每小题10分，共40分)
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21．化简下列各式:
(1)(﹣2a+1)(2a+1)﹣2a(1﹣2a)； (2)
．
22．为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室．经预算，一共需要筹资30000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊．
(1)筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？
(2)经初步统计，有2020居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150元．镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资20200元．经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在2020的基础上增加了a%(其中a＞0)．则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了
a%，求a的值．
23．重庆是一座美丽的山坡，某中学依山而建，校门A处，有一斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=53°，离B点4米远的E处有一花台，CF的延长线交校门处的水平面在E处仰望C的仰角∠CEF=63.4°，于D点，FD=5米． (1)求斜坡AB的坡度i． (2)求DC的长．
(参考数据:tan53°≈，tan63.4°≈2)
24．在平面直角坐标系中，过一点分別作x轴、y轴的垂线，若与两坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如，图1中过点A(4，4)分別作x轴，y轴的垂线，垂足为B、C，矩形OBAC的周长为16，面积也为16，
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则点A是和谐点．请根据以上材料回答下列问题: (1)若点(5，a)是和谐点，则a= ；
(2)若第一象限内的点M(m，n)与点N(4m， n)均为和谐点，求的值； (3)如图2，若点P为和谐点，且在直线y=x+3上，求所有满足条件的P点坐标．
五.解答题(本大题2个小题，25题12分，26题12分，共24分)
25．如图，已知△ABC，以AC为底边作等腰△ACD，且使∠ABC=2∠CAD，连接BD．
(1)如图1，若∠ADC=90°，∠BAC=30°，BC=1，求CD的长； (2)如图1，若∠ADC=90°，证明:AB+BC=
BD；
(3)如图2，若∠ADC=60°，探究AB，BC，BD之间的数量关系并证明．
26．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(﹣1，0)，C(0，2)． (1)求抛物线的表达式；
(2)点E是线段BC上的一个动点(不与B、C重合)，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如
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果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
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2020-2021学年重庆市沙坪坝区九年级(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:(本大题共12个小题，每小题4分，共48分) 1．﹣的相反数是( ) A．﹣ B． C．﹣3 D．3 【考点】相反数．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【解答】解:﹣的相反数是． 故选:B．
2．下列运算正确的是( ) A．a6÷a2=a3
B．5a2﹣3a2=2a C．(﹣a)2•a3=a5 D．5a+2b=7ab
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据同底数幂的乘除法法则，合并同类项的定义，进行逐项分析解答，用排除法找到正确的答案．
【解答】解:A、原式=a6﹣2=a4，故本选项错误， B、原式=(5﹣3)a2=2a2，故本选项错误， C、原式=a2•a3=a5，故本选项正确，
D、原式中的两项不是同类项，不能进行合并，故本选项错误， 故选C．
3．如图，△ABC中，∠B=40°，过点C作CD∥AB，∠ACD=65°，则∠ACB的度数为( )
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A．105° B．95° C．85° D．75°
【考点】三角形内角和定理；平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质求出∠DCB=140°，计算即可． 【解答】解:∵CD∥AB，
∴∠DCB+∠B=180°，又∠B=40°， ∴∠DCB=140°，
∴∠ACB=∠DCB﹣∠DCA=75°， 故选:D．
4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A．
B．
C．
D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解:A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误． 故选C．
5．下列调查中，适合用普查方式的是( ) A．了解重庆火锅的麻辣程度
B．了解湖南电视台《我是歌手》在全国的收视率 C．了解长江中鱼的种类分布
D．了解初三•7班学生某次语文测验的成绩 【考点】全面调查与抽样调查．
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
【解答】解:A、了解重庆火锅的麻辣程度无法普查，适合抽样调查，故A不符合
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题意；
B、了解湖南电视台《我是歌手》在全国的收视率，调查范围广适合抽样调查，故B不符合题意；
C、了解长江中鱼的种类分布，无法普查，适合抽样调查，故C不符合题意； D、了解初三•7班学生某次语文测验的成绩，适合普查，故D符合题意； 故选:D．
6．某居民小区开展节约用电活动，有关部门对该小区100户家庭的节电量情况进行了统计，4月份与3月份相比，节电量情况如下表:
节电量(千瓦时)
30 40 50
20
户 数
10
40
30
20
则4月份这100户家庭节电量的中位数、众数分别是( ) A．35、30 B．30、2020．30、35 D．30、30 【考点】众数；中位数．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解:中位数=(40+30)÷2=35；
数据30出现了40次，次数最多，所以众数是30． 故选A．
7．“十一”节期间，某商品按成本价提高30%后标价，再打8折(标价的80%)销售，售价为240元．设该商品的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是( ) A．x•30%•80%=240 B．x•(1+30%)•80%=240 C．x•(1+30%)•(1﹣80%)=240 D．x•30%=240•80% 【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【分析】首先理解题意找出题中存在的等量关系:成本价×(1+30%)×80%=售价240元，根据此列方程即可．
第10页（共30页）
【解答】解:设这件商品的成本价为x元，成本价提高30%后的标价为x(1+30%)，再打8折的售价表示为x(1+30%)×80%，又因售价为240元， 列方程为:x(1+30%)×80%=240． 故选B．
8．抛物线y=﹣3(x+2)2﹣1的顶点坐标是( ) A．(2，﹣1) B．(2，1) C．(﹣2，﹣1) D．(﹣2，1) 【考点】二次函数的性质．
【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【解答】解:∵抛物线的解析式为:y=﹣3(x+2)2﹣1， ∴其顶点坐标为(﹣2，﹣1)． 故选C．
9．在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=，则cosA=( ) A． B． C．
D．
【考点】互余两角三角函数的关系．
【分析】根据题意和正切的概念设出b、a，根据勾股定理求出c，根据余弦的概念计算即可． 【解答】解:设b=5x， ∵tanB=， ∴a=3x，
由勾股定理得，c=则cosA==故选:D．
10．某星期六上午，小明从家出发跑步去公园，在公园停留了一会儿打车回家．图中折线表 示小明离开家的路程y(米)和所用时间x(分)之间的函数关系，则下列说法中错误的是( )
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=，
x，
=
A．小明在公园休息了5分钟 B．小明乘出租车用了17分 C．小明跑步的速度为180米/分 D．出租车的平均速度是900米/分 【考点】函数的图象．
【分析】根据情境的叙述，结合图象，逐一分析得出答案即可．
【解答】解:A、在公园停留的时间为15﹣10=5分钟，也就是在公园休息了5分钟，此选项正确，不合题意；
B、小明乘出租车的时间是17﹣15=2分钟，此选项错误，符合题意；
C、小明1800米用了10分钟，跑步的速度为180米/分，此选项正确，不合题意；
D、出租车1800米用了2分钟，速度为900米/分，此选项正确，不合题意． 故选:B．
11．下列图形都是用同样大小的❤按一定规律组成的，则第(8)个图形中共有❤( )
A．80个 B．73个 C．64个 D．72个
【考点】规律型:图形的变化类．
【分析】仔细观察图形，发现n个图形有(n+1)(n+1)﹣1=n2+2n个❤，代入n=8即可求得答案．
【解答】解:第1个图形有2×2﹣1=3个❤， 第2个图形有3×3﹣1=8个❤，
第12页（共30页）
第3个图形有4×4﹣1=15个❤， …
第n个图形有(n+1)(n+1)﹣1=n2+2n个❤， 当n=8时，n2+2n=82+2×8=80， 故选A．
12．如图，在Rt△ABO中，∠AOB=90°，且OB=2AO，点A在反比例函数y=图象上，点B比在反比例函数y=的图象上，则m的值为( )
的
A．4 B．6 C．﹣8 D．8
【考点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】要求函数的解析式只要求出点B的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到OD=2b，BD=﹣2a，
得到B(2b，﹣2a)，问题即可得解． 【解答】解:设点A的坐标是(a，b)，
因为点A在函数y=﹣的图象上，则ab=﹣2， 则AC=B，OC=﹣a， ∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠CAO=90°， ∠CAO=∠BOD， ∴△ACO∽△BDO， ∴
=
=
=
=
=
=求出
∴OD=2b，BD=﹣2a， ∴B(2b，﹣2a)，
第13页（共30页）
∵点B比在反比例函数y=的图象上， ∴2b•(﹣2a)=m， ∴m=8．
二、填空题:(本题共6小题，每小题4分，共24分)
13．2020年重庆市共有334000名考生报名参加中考，那么334000这个数用科学记数法表示为 3.34×105 ． 【考点】科学记数法—表示较大的数．
n为整数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解:将334000用科学记数法表示为3.34×105． 故答案为:3.34×105．
14．D为AB边上一点，DE∥BC交AC于点E．如图，在△ABC中，若则BC的长为 15 ．
=，DE=6，
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】根据相似三角形的判定和性质得到比例式，代入数据即可得到结论． 【解答】解:∵
=，
第14页（共30页）
∴=，
∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴
=，
∵DE=6， ∴BC=15， 故答案为:15．
15．计算(﹣1)2020﹣|
﹣2|+(﹣)﹣1﹣2sin60°的值为 ﹣6 ．
【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】根据绝对值，负整数指数幂、特殊角的三角函数值进行计算即可． 【解答】解:原式=﹣1+=﹣6； 故答案为﹣6．
16．从﹣2、﹣1、3、6中随机抽取一个数记为a，再从剩下的三个数中任取一个记为b，则点(a，b)恰好在反比例函数y=﹣的图象上的概率是 【考点】列表法与树状图法；反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点(a，b)恰好在反比例函数y=﹣的图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解:画树状图得:
．
﹣2﹣3﹣2×
∵共有12种等可能的结果，点(a，b)恰好在反比例函数y=﹣的图象上的有:(﹣2，3)，(﹣1，6)，(3，﹣2)，(6，﹣1)，
第15页（共30页）
∴点(a，b)恰好在反比例函数y=﹣的图象上的概率是:故答案为:．
=．
17．把函数y=﹣2x2的图象向左平移1个单位，再向上平移6个单位，所得的抛物线的函数关系式 y=﹣2(x+1)2+6 ． 【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据图形平移的规律“左加右减，上加下减”，即可得出平移后的函数关系式．
【解答】解:把函数y=﹣2x2的图象向左平移1个单位得到的抛物线的函数关系式为y=﹣2(x+1)2，
将函数y=﹣2(x+1)2向上平移6个单位得到的抛物线的函数关系式为y=﹣2(x+1)2+6．
故答案为:y=﹣2(x+1)2+6．
18．如图，矩形ABCD中，E为BC边上一点，且AE⊥DE．将线段AE绕A点逆EF=2时针旋转90°，得到线段AF．连接EF，交AD于点M，连接DF．若BE=1，则点M到DF的距离为
．
，
【考点】旋转的性质．
【分析】首先利用旋转的性质和等腰三角形的性质求得AE、AF，利用勾股定理放得出AB，证得△ABE∽△ECD，得出CE，进一步得出BC、DE；再由AF∥DE，利用平行线分线段成比例求得DM；过点F作FN⊥AD，点M作MH⊥DF，由△FAN≌△ABE得出AN，FN，求得DN，利用三角形DMF的面积建立方程求得答案即可．
【解答】解:如图，
第16页（共30页）
∵将线段AE绕A点逆时针旋转90°，得到线段AF， ∴AE=AF，∠FAE=90°， ∵EF=2∴AE=AF=∵BE=1， ∴AB=3， ∵AE⊥DE，
∴∠AEB+∠DEC=90°， ∵∠AEB+∠BAE=90°， ∴∠BAE=∠DEC， 又∵∠B=∠C， ∴△ABE∽△ECD， ∴
=
， =
，
，BC=10，
，
，
∴EC=9，则DE=3∵AF∥DE， ∴
=
=， ，
∴DM=
过点F作FN⊥AD，点M作MH⊥DF， 在△FAN和△ABE中，
，
∴△FAN≌△ABE，
∴FN=BE=1，AN=AB=3，则DN=7， ∴DF=
=5
，
第17页（共30页）
∴×DM•FN=×DF•MH， 即×MH=
×1=×5，
． ×MH，
∴点M到DF的距离为故答案为:
．
三、解答题(本大题共2个小题，每小题7分，共14分)
19．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，连接DE、BF．
求证:△ADE≌△CBF．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定．
AD=BC，CD=AB，【分析】根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，进而可得CF=AE，然后利用SAS定理判定△ADE≌△CBF． 【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C，AD=BC，CD=AB， ∵E、F分别为边AB、CD的中点， ∴AE=CF，
在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF(SAS)．
2020015年10月，重庆一中隆重举行了“力帆情系一中、足球放飞梦想”校园足球班级联赛开幕式暨力帆集团捐赠仪式．重庆一中校友尹明善怀着对母校的眷恋和感恩，率重庆力帆全体球员，再次走进一中，为母校校园足球的发展捐款40
第18页（共30页）
，
100多个足球和600多套球服，配齐一中每个班级足球队的准备，并为“重万元、
庆力帆足球俱乐部重庆一中青训基地”授牌．王明同学为了解全校学生对足球的喜爱程度，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查．问卷将喜爱程度分为A(非常喜欢)、B(喜欢)、C(不太喜欢)、D(很不喜欢)四种类型，根据调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请结合统计图信息解答下列问题:
(1)这次调查中，一共调查了 40 名学生，图1中C类所对应的圆心角度数为 54° ；
(2)请补全条形统计图；
(3)在非常喜欢足球的同学中，有四名来自初一，其中两名为男生；另外四名来自初二，其中一名为女生．现从非常喜欢足球的同学中，分别抽取初一、初二各一名同学，作为小记者对孙继海进行采访交流，请用列表法或画树状图求出恰好抽到一名男生和一名女生做小记者的概率．
【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．
【分析】(1)由D的人数除以占的百分比得出调查学生的总数即可；求出C的人数占的百分比，乘以360即可得到结果； (2)求出C的人数，补全条形统计图即可；
(3)列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可确定出所求概率．
【解答】解:(1)根据题意得:4÷10%=40(名)；C的人数为40﹣(8+22+4)=6，占的角度为6÷40×100%×360°=54°． 故答案为:40；54°；
(2)补全条形统计图，如图所示:
第19页（共30页）
(3)设初一两名男生为B1，B2，两名女士为A1，A2，初二男生为B3，B4，B5，女生为A3，
B1 (B1，B3) (B1，B4) (B1，B5) (B1，A3)
B2 (B2，B3) (B2，B4) (B2，B5) (B2，A3)
A1 (A1，B3) (A1，B4) (A1，B5) (A1，A2)
A2 (A2，B3) (A2，B4) (A2，B5) (A2，A3)
B3 B4 B5 A3
所有等可能的情况有16种情况，其中一男一女的情况有8种， 则P(一男一女)=
四、解答题:(本大题4个小题，每小题10分，共40分) 21．化简下列各式:
(1)(﹣2a+1)(2a+1)﹣2a(1﹣2a)； (2)
． =．
【考点】分式的混合运算；整式的混合运算．
【分析】(1)首先计算多项式的乘法以及单项式与多项式的乘法，然后去括号、合并同类项即可；
(2)首先计算括号内的分式，然后把除法转化为乘法，然后进行化简即可． 【解答】解:(1)原式=(1﹣4a2)﹣(2a﹣4a2)=1﹣4a2﹣2a+4a2=1﹣2a； (2)原式===﹣
÷
֥
第20页（共30页）
=﹣
．
22．为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室．经预算，一共需要筹资30000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊．
(1)筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？
(2)经初步统计，有2020居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150元．镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资20200元．经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在2020的基础上增加了a%(其中a＞0)．则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了
a%，求a的值．
【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．
(1)设用于购买书桌、【分析】书架等设施的为x元，则购买书籍的有元，利用“购
买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍”，列出不等式求解即可；
(2)根据“自愿参与的户数在2020的基础上增加了a%(其中a＞0)．则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了即可．
【解答】解:(1)设用于购买书桌、书架等设施的为x元，则购买书籍的有元， 根据题意得:30000﹣x≥3x， 解得:x≤7500．
答:最多用7500元购买书桌、书架等设施；
a%，且总集资额为20200元”列出方程求解
(2)根据题意得:20201+a%)×150(1﹣整理得:a2+10a﹣3000=0， 解得:a=50或a=﹣60(舍去)， 所以a的值是50．
a%)=20200
23．重庆是一座美丽的山坡，某中学依山而建，校门A处，有一斜坡AB，长度
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为13米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=53°，离B点4米远的E处有一花台，CF的延长线交校门处的水平面在E处仰望C的仰角∠CEF=63.4°，于D点，FD=5米． (1)求斜坡AB的坡度i． (2)求DC的长．
(参考数据:tan53°≈，tan63.4°≈2)
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】(1)过B作BG⊥AD于G，则四边形BGDF是矩形，求得BG=DF=5米，然后根据勾股定理求得AG，即可求得斜坡AB的坡度i． (2)在Rt△BCF中，BF=
=
，在Rt△CEF中，EF=
=
，得到方
程BF﹣EF=﹣=4，解得CF=16，即可求得求DC=21．
【解答】解:(1)过B作BG⊥AD于G， 则四边形BGDF是矩形， ∴BG=DF=5米， ∵AB=13米， ∴AG=∴AB的坡度i=
=12米， =1:2.4；
(2)在Rt△BCF中，BF==，
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在Rt△CEF中，EF=∵BE=4米， ∴BF﹣EF═解得:CF=16．
∴DC=CF+DF=16+5=21米．
﹣
=4，
=，
24．在平面直角坐标系中，过一点分別作x轴、y轴的垂线，若与两坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如，图1中过点A(4，4)分別作x轴，y轴的垂线，垂足为B、C，矩形OBAC的周长为16，面积也为16，则点A是和谐点．请根据以上材料回答下列问题: (1)若点(5，a)是和谐点，则a= ±
；
(2)若第一象限内的点M(m，n)与点N(4m， n)均为和谐点，求的值； (3)如图2，若点P为和谐点，且在直线y=x+3上，求所有满足条件的P点坐标．
【考点】一次函数综合题．
【分析】(1)根据题意列出方程，求出方程的解得到a的值即可；
(2)利用和谐点定义列出方程组，求出方程组的解，得出所求式子的值即可； (3)设P(x，x+3)，利用和谐点定义列出方程，分类讨论x的范围求出x的值，即
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可确定出P坐标．
【解答】解:(1)根据题意得:2(|a|+5)=5|a|， 解得:a=±故答案为:±(2)根据题意得:解得: =±；
(3)设P(x，x+3)，则2(|x|+|x+3|)=|x(x+3)|，
当x≤﹣3时，化简得:x2+7x+6=0，解得:x=﹣6或x=﹣1(舍去)； 当﹣3＜x＜0时，化简得:x2+3x+6=0，无解；
当x≥0时，化简得:x2﹣x﹣6=0，解得:x=3或x=﹣2(舍去)， 综上，P的坐标为(﹣6，﹣3)或(3，6)．
五.解答题(本大题2个小题，25题12分，26题12分，共24分)
25．如图，已知△ABC，以AC为底边作等腰△ACD，且使∠ABC=2∠CAD，连接BD．
(1)如图1，若∠ADC=90°，∠BAC=30°，BC=1，求CD的长； (2)如图1，若∠ADC=90°，证明:AB+BC=
BD；
； ；
，
(3)如图2，若∠ADC=60°，探究AB，BC，BD之间的数量关系并证明．
【考点】四边形综合题．
【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质和已知求出CD的长；
(2)作DE⊥AB于E，DF⊥BC交BC的延长线于F，证明△AED≌△CFD，得到DE=DF，
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AE=CF，根据正方形的性质证明结论；
(3)延长BC至G，使CG=AB，证明△DAB≌△DCG，得到△DBG是等边三角形，得到答案．
【解答】解:(1)∵∠ADC=90°，DA=DC， ∴∠CAD=45°，
∴∠ABC=2∠CAD=90°，又∠BAC=30°， ∴AC=2BC=2， ∴CD=AC×sin∠CAD=
；
(2)作DE⊥AB于E，DF⊥BC交BC的延长线于F， ∵∠ADC=90°，DA=DC， ∴∠CAD=45°，
∴∠ABC=2∠CAD=90°， ∴四边形DEBF是矩形， ∵∠ABC=∠ADC=90°， ∴∠BAD+∠BCD=180°， ∴∠BAD=∠FCD， 在△AED和△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD， ∴DE=DF，AE=CF，
∵四边形DEBF是矩形，DE=DF， ∴四边形DEBF是正方形， ∴BE=BF=
BD，又AE=CF，
BD；
∴AB+BC=BE+BF=(3)BD=AB+BC．
延长BC至G，使CG=AB， ∵∠ADC=60°和等腰△ACD， ∴△ACD是等边三角形，
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∴∠ABC=2∠CAD=12020 ∴∠BAD+∠BCD=180°， ∴∠BAD=∠GCD， 在△DAB和△DCG中，
，
∴△DAB≌△DCG，
∴DB=DG，∠CDG=∠ADB，又∠ADB+∠BDC=60°， ∠CDG+∠BDC=60°， ∴△DBG是等边三角形， ∴BD=BG=AB+BC．
26．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(﹣1，0)，C(0，2)． (1)求抛物线的表达式；
(2)点E是线段BC上的一个动点(不与B、C重合)，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
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(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】(1)利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
(2)根据抛物线的解析式求得B点的坐标，然后根据待定系数法求得直线BC的解析式，可设出点E的坐标，则可表示出点F的坐标，进而表示出EF的长度，则可表示出△CBF的面积，从而可表示出四边形CDBF的面积，利用二次函数的性质，可求得其最大值及此时E点的坐标；
(3)可设出P点坐标，从而可表示出PC、PD的长，由条件可得PC=CD或PD=CD，可得到关于P点坐标的方程，可求得点P的坐标． 【解答】解:
(1)抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，A(﹣1，0)，C(0，2)． ∴
，
解得:，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；
(2)令y=0，则﹣x2+x+2=0，解得x1=﹣1，x2=4， ∴B(4，0)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
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∴，解得，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+2，
设E(m，﹣m+2)，则F(m，﹣m2+m+2)，
则EF=(﹣m2+m+2)﹣(﹣m+2)=﹣m2+2m=﹣(m﹣2) 2+2， ∴S△BFC=EF×4=2EF=﹣(m﹣2)2+4=﹣m2+4m， ∵y=﹣x2+x+2=﹣(x﹣)2+∴D(，0)， ∴BD=4﹣=，
∵S△BCD=BD•OC=××2=，
∴S四边形CDBF=S△BFC+S△BCD=﹣m2+4m+=﹣(m﹣2)2+∵﹣1＜0，
∴当m=2时，S四边形CDBF有最大值，最大值为(3)由题意可设P点坐标为(，t)， ∵D(，0)，C(0，2)， ∴CD=
=，PD=|t|，PC=
，
，此时E点坐标为(2，1)；
，
，
∵△PCD是以CD为腰的等腰三角形， ∴有PD=CD或PC=CD，
①当PD=CD时，则有|t|=，解得t=±，此时P点坐标为(，)或(，﹣)；
②当PC=CD时，则有=D重合，舍去，
∴t=4，此时点P坐标为(，4)；
，解得t=0或t=4，当t=0时，点P与点
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为(，)或(，﹣)或(，4)．
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2020年3月4日
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