教师设计 中学数学开放式教学的基本理念与策略 泉州市泉港区山腰中学 王兴山 摘要数学开放式教学已成为基础教育教学改革及研究的一个热点，在数学教学中引进开放式问题， 尝试开放型教学的方式和策略是必要的和有益的。 关键词 开放性问题设计；课堂开放式教学模式；开放式教学方式；理念策略的研究 由于受经济条件、传统教育思想和教育模式的 来说，好的数学开放题往往需要更有深厚的实践积 影响。农村初中数学课堂教学中仍普遍存在以“教师 淀和数学理论基础。很难一蹴而就，然而教学需要开 讲析为主”的教学模式，学生的主体性没有得到尊 放和设计大量的数学开放题，以适应不同层次的学 重。探索尊重、发挥学生主体性的有效措施有助于 生和不同数学内容的需要。因此，根据教材和已有资 扭转农村数学课堂教学的现状。数学开放性问题在 料。把传统数学问题改编成教学开放题是必要的，也 开放的时代应运而生。与之相应的开放性课堂教学 是可行的，我从以下几个方面人手，编制了一些新颖 模式、开放型教学方式、方法的探索研究也相继成为 别致的开放题。 全面推进素质教育，深入开展教学改革的热点。在 例如：几何第二册 数学学科教学中“引进”开放性问题。尝试开放性教 已知：点Ｃ是线段ＡＢ上的一点，△ＡＣＭ、 学，研究开放性教学方式方法，开展研究性学习实践 △ＣＢＮ都是等边三角形。 是必要的和有益的。本文密切结合教学实际，从实 求证：ＡＮ＝ＢＭ 践、操作层面对上述问题作一些探讨和分析。 １．不改变题目的题设，把结论隐去，探索新结 一、开放性问题的设计 论，使其待定或多样化，可以得到一些开放题。 数学开放题的含义。何谓数学开放题？笔者认为 ［问题１】已知，点Ｃ是线段ＡＢ上一点，ＡＡＣＭ、 开放题应包含：能激发发散思维，且解决方向（思路） △ＣＢＮ都是等边三角形，ＡＮ与ＣＭ交于点Ｐ，ＢＭ 不唯一的数学问题。它着眼于培养数学的发现能力、 与ＣＮ交于点Ｑ，ＡＮ与ＢＭ交于点Ｓ 创造能力。并强调具有教育功能的创新性。强调数 （１）求证：ＡＮ＝ＢＭ（２）根据上述条件，你能得出 学教学的整体性和思维性、着重解决问题的过程，注 哪些结论？并给予证明。 重学生在教学活动中的主体作用。 通过启发、归纳、总结出以下４个结论：①ＣＰ＝ 数学开放题的设计。开放题进入了中考试题， ＣＱ，＠）ＰＱ／，／ＢＣ，③ＡＣＰＱ是等边三角形，④求／＿Ｍ． 说明开放题教学已经有了相当的实践基础，诸如“花 ＳＡ的度数。 圃设计”、“方案选优”等都是非常经典的案例。一般 ２．可把题目的条件进行弱化。 ・６７・ ［问题２］已知：点Ｃ是线段ＡＢ上一点，ＡＭ＝ ＣＭ，ＣＮ＝ＢＮ，ＺＡＭＣ＝／ＣＮＢ，分别交于Ｐ、Ｑ。 求证：（１）ＡＮ＝ＢＭ（２）上述①②的结论是否成 立，请给予证明。 ３．把题目的条件进行强化。 【问题３］ＡＡＢＣ中，／＿ＡＣＢ＝９０。，以ＡＣ、ＢＣ为边 分别作为等边ａＡＣＭ和等边ＡＢＣＮ，连结ＡＮ、ＭＮ， 求证：ＡＮ＝ＭＮ 在此基础上还可进一步提出问题：“试判断线段 ＣＮ与ＡＭ的位置关系，并给予证明。”以此引发思 考、讨论，提升对概念的理解，渗透特殊化与一般化 的数学思想方法，形成一个较为完备的知识体系。 这样无论对认识结构的构建．还是对思维能力的培 养都十分有益。 ４．把一些传统的优秀题目恰当地赋予情景。进 行“包装”改造，设计出一些有质量的开放题。下面 的题目是上海数学会考卷第２１题： 已知：ａＡＢＣ是正三角形。ＡＢ＝２，Ｐ、Ｑ依次是 ＡＢ、ＡＣ上的点，且线段ＰＱ将ａＡＢＣ分成面积相等 的两部分，设ＡＰ＝Ｘ，ＰＱ＝Ｙ （１）求Ｙ是关于Ｘ的函数关系式。 此题综合考查了面积公式，余弦定理，函数概念 和分式函数最值，是一个很好的传统题。 若把线段ＰＱ分ＡＡＢＣ．改为一条直线水渠分 三角形地块，把求函数最值改为要使水渠造价最低， 希望路线最短，或使水渠成为观光游览线路，希望其 最长．这样就有： 【问题４１某现代化农业园区有一边长２ａ的等边 三角形地块。计划分种等面积的经济作物和观赏植 物中间以直线型水渠分隔。（不计水渠宽度） （１）为使水渠造价最低，希望它最短，问应如何确 定水渠位置．说明理由。 （２）若造渠是为观光，乘船游览，希望它最长。问 应如何确定水渠位置．说明理由。 若把最优的标准隐去．让同学利用已知情景开 放地提出最优的目标，这将更有利于问题的讨论开 展。 若进一步把其中“直线型”的条件去掉，那就构 成了开放度更高的开放问题。 ・６８・ 『问题５］尝试用以上方法，构造和“发现”几何中 的一个书本上没有的公式或定理。 这是一个开放度相当高的问题，留给学生非常 广阔的思维空间，如引导得法，可以形成一系列“研 究性”课题。 二、开放性课堂教学模式探索 好的开放性问题是激发发散思维．培养创新能 力的良好载体。开放性问题的教学，要求有开放式的 教学模式与之相适应，即使一般的数学知识的传授， 若采用“开放式”教学。也可进一步优化课堂教学结 构，提高教学效益。笔者在教学工作中尝试这种模 式，体会到要努力创设开放式的问题情景，组织学生 个体、小组或群体对问题展开讨论辨析，并在这一探 究过程中或补充条件或判断结论真伪或探究解题思 路．使学习过程成为一种特殊的开放性研究活动。 一是概念与公式的教学。如七年级数学下学期 的一堂《实践与探索》课。本堂课的目的是促进学生 的思维发展，培养学生自主探索能力，于是，我以下 列问题作为情景，进而引入课题： ｆ问题６】某校科技小组的学生在３名教师带领 下，准备前往国家森林公园考察，采集标本。当地有 甲、乙两家旅行社，其定价都一样，但表示对师生都 有优惠。甲旅行社表示带队教师免费，学生按８折收 费；乙旅行社表示师生一律按７折收费。经核算，甲、 乙两家旅行社的实际收费正好相同。问该科技小组 共有多少学生？问题作为思考题课前完成。对于问题 的解答。大多的学生都能得出学生２１人。此时进而 提出：“科技小组增加学生人数，那么选哪旅行社较 合算？”对于问题的解答，多数学生从逐一增加人数 的方法得出结论，选乙旅行社，这一方法说明学生已 有相应的观察分析和逻辑能力。但特殊情况下的猜 想。没有严密的证明、说明过程。进而提出“增加更多 的人口呢？”对这一更具有挑战性的问题，进行了启 发和质疑。有的学生主动发言，“增加的全是学生，学 生在甲旅行社打８折，而在乙旅行社打７折，断定乙 旅行社便宜。”（多么大的进步啊！）教师进一步问， “其他条件不变，选甲旅行社合算，学生人数应有什 么变化？”这是学生应发而未发，无疑而应疑之处，在 前面学习的基础上补充适当的开放性问题：“老师人 数变为２人时，打折情况不变，又如何呢？”学生对 此问题进行探索讨论、辩证，使课堂气氛空前热烈， 达到高潮。 学生在上述讨论的过程中，领悟到探索的价值， 认识到在这种获取新知识的方法与传统演绎方法的 差异。体现了群体中的个体优势，鼓励和倡导了创造 性思维，至此开放的目的已经达到，学生的思维被激 活．充分体现出开放的活力。 二是解题教学。解题是数学教学一个重要组成 部分，对一些有典型意义的传统题目，采用课堂讨论 方式，启发引导学生变换不同的角度寻求解决问题 的不同思路和方法。并通过对各种方法特点的对比。 反思和辨析．寻找问题本质解法，进而构建解决同类 型问题的基本模式。既重视个性特点，鼓励独辟蹊 径，标新立异，又要学生对比、归纳，探索通性、通法 和一般规律，“发散一集中一再发散一再集中”，这是培 养学生创新意识和能力的一种十分可取的开放性解 题教学模式。 【问题７１求证：等腰三角形底边上任一点与两腰 的距离的和等于腰上的高。（试从不同角度，尽量多 的方法去求通证） 已知：在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｐ为ＢＣ上任一点， ＰＤ上ＡＢ于Ｄ．ＰＥ上ＡＣ于Ｅ．ＢＦ是ＡＣ边上的高 求证：ＰＤ＋ＰＥ＝ＢＦ 问题以课外作业的形式给出．在课堂上组织和 展开讨论，集思广益，合作交流，互相启发，最终总结 整理出“截长法、延短法、面积法、相似法”等四大类 的多种解法。在此基础上对题目进行“结论延伸”、 “逆命题的探索”、“变式探索”等近十种类型题。并通 过比较、分析，明确各种题各种解法的优点和不足， 进而找出通性、通法和特点鲜明的匠心之处……使 同学们感受到数学方法的独特魅力。 三、开放型教学方式实践与探索 “课改”提出的基础课、拓展课、研究课，这种多 元互补的课程结构和以多媒体网络教学为主要标志 的现代化教育技术的应用推广．使我们可能以更加 开放的形式和方法组织教学．为不同层次、有不同需 求的学生提供更加理想的教学内容。选择更加合理 的教学过程，使他们在尝试、探究、实验、学习、讨论 交流、百审思辨、拓展、推广中，感受理解知识产生和 发展过程。培养科学精神和创新思维习惯，增强收集 处理信息、获取新知识、发现问题、提出问题进而分 析解决问题的能力，提高数学语言表达、数学思维能 力，以及团结协作和社会活动能力。 四、开放式数学教学策略 策略一，促进性的教学评价。主体教育是素质教 育的核心内容．强调的是在教育过程中促进人的发 展。因此，新的《基础教育课程改革纲要（试行）》中关 于基础课程改革的具体目标中明确强调“改变课程 评价过分强调甄别和选拔功能。发挥评价促进学生 发展、教师提高和改进教学实践的功能”。因此，课堂 教学中．对学生的评价要以鼓励为主，以能促进学生 主体性的全面发展为原则，以能充分发挥学生的主 体性为宗旨。通过教师对学生的评价，把表扬和奖励 带进课堂，评出学生的自信心，评出学生的成功感， 评出师生情感的交流，评出学生主动要求发展的欲 望。帮助学生认识自我，建立自信。使教学评价成为 学生主体性充分发挥和发展的手段。 ． 策略二。学生活动设计。学生活动的设计是教学 设计的重点。活动设计中应充分尊重学生的主体性， 教师要给学生活动的时间和空间．为学生的活动和 发展创造条件。课堂上是否充分发挥学生的主体性， 要看学生是否参与，如何参与，参与多少，因此，在学 生活动设计中应解决学生参与度的问题。著名教育 家朱永新在《我心中的理想智育》一书中提出了学生 的主体性是否充分发挥，是否成为学习的主人的六 个特征中，首要的就是参与度，即有学生的全员参 与、全程参与和有效参与。把学生要参与、要活动、要 思考、要发展、要创新的需求融于活动中。这里要说 明的是学生活动并不是单指学生形体上的运动．而 是学生作为主体对课堂教学的参与。在设计活动时。 教师应注意调动学生的多种感观．即让学生动眼看 教师的板书和演示；动耳听教师的讲授的同学的回 答；动脑思考课堂上的问题；动口回答教师的提问； 动手演算例题、习题和作图。只有让“活动”贯穿教学 的始终，才能让学生参与教学的全过程，才能充分发 挥学生的主体作用，最终实现让学生在活动中发展． 在活动中学会学习、学会求知、学会思维。通过活动， ・６９・ 激发了学生强烈的求知欲望．学生积极主动参与到 教学中，真正成为课堂的主人。因此在教学中，我们 主张学生在活动中学习，在活动中发展。 学生都能学到他迫切需要的感兴趣的数学知识。在 暂时不具备条件的的学校，也可充分利用课程、教材 改革提供的舞台，通过积极开设拓展课和活动课，使 教学内容和方式方法更加开放。教师可适时根据教 学内容的特点，组织多种形式的教学方式进行教学。 策略三，运用现代教育技术手段。随着科技的 发展和现代教育的要求，利用现代化的教学媒体对 改变学生学习方式和充分发挥学生的主体性有着重 要的作用。现代化的教学手段能使课堂教学生动、 如活动式（实践模型，调查统计，情景活动）、探讨式 （师生共探，多向交流）、启发式、学生提问式、讨论 “会诊”式等。使学生在自主的氛围中．展现解决问题 形象，感染力强，总能使学生在趣味盎然的情景中去 接受知识。因此，恰当、有效地运用现代教育技术手 段能激发学生的学习兴趣和内部参与动机，能使不 同水平、不同层次的学生都参与到课堂教学中。因 此，使自己的课生动有趣是教师最基本的策略。例 如：在进行《直线和圆的位置关系》的教学时，如果光 讲理论，让学生凭空想象，会使学生觉得枯燥无味， 不利于学生主体性的充分发挥。但是，如果联系生 活用多媒体播放小学语文中巴金的《海上日出》的情 景，学生主体参与动机就会一下被激发出来。因此， 在教学中要注意恰当、直观、有效地运用现代化的教 育技术手段，要利用网络技术、多媒体技术将文字、 图形、图象、声音、动画等有机结合起来呈现在学生 面前，使学生大脑交替处于兴奋状态，充分调动学生 的主体性。通过加强现代教育技术的应用，促进人 的主体性的实现。 策略四，创设开放式课堂环境。开放的教学环 境能充分体现学生的主体作用。能把学生的主体性 发挥到最高境界。要培养开放的环境，关键是师生 关系开放，其中亲和度和自由度是两个重要的指标。 亲和度就是师生之间愉快的情感沟通与智慧交流。 教师应当是学生的良师、益友、伙伴。只有建立民主 平等的新型师生关系，才有利于学生主体性的充分 发挥。 在多媒体网络设施比较好的学校。借助于互联 网，可以突破时空的界限，充分吸纳网内外优质教育 资源，用以改进教学形式、教学内容和教学方法；借 助于互联网．可以实现教学活动各个环节的更广义 的开放。进而突破班级授课制的约束和局限，使每个 ・７Ｏ・ 的探索过程、思维过程和解决策略．充分发挥学生的 主动性、探索性、创造性．提高学生的学习情趣及高 层次的思维，以促进数学素质教育的开展。目前正在 试验推广的研究性学习活动正是开放型教学方式最 璀璨的亮点。 设计更多、更好的开放性问题。探究开放性的课 堂教学模式，尝试开放型教学组织形式，其共同点都 是要为学生提供这样的机会：应用他们的数学知识 和技能，组织小组活动、合作学习，表现其创造性、想 象力、创新精神和探究精神，从而使数学学习达到更 高的层次。 参考文献： １、戴再平．时代的呼唤——数学开放题研究进 展综述Ⅱ］，《中学数学参考教学》，１９９９年第６期． ２、张彦．数学开放题及其编制方法Ｕ］，《数学教 学》，１９９９年第６期． ３、任升录，张远增．对数学开放性问题的认识及 －ｇ－￣￣尝试Ｕ］，《数学教学》，２０００年第６期． ４、张奠宙．《数学素质教育教案精编》［Ｍ］，中国 青年出版社． ５、陆佩萍．《福建中学数学》Ⅱ］，２００２年第２期． ６、朱永新．《我心中的理想智育》（上）［Ｍ】，人民 教育出版社． ７、《基础教育课程改革纲要（试行）》． ８、王道俊，王汉澜．《教育学》［Ｍ］，人民教育出版 社．
