颍州区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

颍州区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”，已知函数f（x）=A． C． D．

2． 已知a＞0，实数x，y满足：A．2

B．1

C．

D．

，若z=2x+y的最小值为1，则a=（ ）

是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（ ）

3． 已知函数f（x）=x2﹣6x+7，x∈（2，5]的值域是（ ） A．（﹣1，2]

B．（﹣2，2]

C．[﹣2，2] D．[﹣2，﹣1）

4． 某校新校区建设在市二环路主干道旁，因安全需要，挖掘建设了一条人行地下通道，地下通道设计三视图中的主（正）视力（其中上部分曲线近似为抛物）和侧（左）视图如图（单位：m），则该工程需挖掘的总土方数为（ ）

A．560m3

A．第12项

B．540m3 C．520m3 D．500m3

，则5是这个数列的（ ）

5． 已知数列

B．第13项

2C．第14项 D．第25项

6． 已知抛物线C：y4x的焦点为F，定点A(0,2)，若射线FA与抛物线C交于点M，与抛 物线C的准线交于点N，则|MN|:|FN|的值是（ ）

A．(52):5 B．2:5 C．1:25 D．5:(15) 7． 冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调查结果如下表所示． 旧设备

杂质高 37

杂质低 121

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新设备 22 202

C．3个

D．4个

根据以上数据，则（ ） A．含杂质的高低与设备改造有关 B．含杂质的高低与设备改造无关 C．设备是否改造决定含杂质的高低 D．以上答案都不对 A．1个

9． 已知双曲线C：

B．2个 ﹣

8． 满足条件{0，1}∪A={0，1}的所有集合A的个数是（ ）

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线l⊥x轴交双曲线C

的渐近线于点A，B若以AB为直径的圆恰过点F2，则该双曲线的离心率为（ ） A．

B．

C．2

D．

210．已知集合A{xx3x20,xR}，B{x0x5,xN}，则满足条件ACB的集合C的

个数为

A、 B、2 C、3 D、4

11．已知函数f（x）=2x﹣2，则函数y=|f（x）|的图象可能是（ ）

A． B．C．

D．

12．已知2a=3b=m，ab≠0且a，ab，b成等差数列，则m=（ ） A．

B．

C．

D．6

二、填空题

13．若双曲线的方程为4x2﹣9y2=36，则其实轴长为 ． 14．已知fx12x8x11,则函数fx的解析式为_________.

22

15．函数f(x)x2(a1)x2在区间(,4]上递减，则实数的取值范围是 ．

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16．如图，已知m，n是异面直线，点A，Bm，且AB6；点C，Dn，且CD4.若M，N分 别是AC，BD的中点，MN22，则m与n所成角的余弦值是______________.

【命题意图】本题考查用空间向量知识求异面直线所成的角，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力.

17．若实数x，y满足x+y﹣2x+4y=0，则x﹣2y的最大值为 ． 18．不等式

的解为 ．

2

2

三、解答题

19．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC． （Ⅰ）若a=b，求cosB； （Ⅱ）设B=90°，且a=

20．如图，已知椭圆C：

+y2=1，点B坐标为（0，﹣1），过点B的直线与椭圆C另外一个交点为A，且，求△ABC的面积．

线段AB的中点E在直线y=x上 （Ⅰ）求直线AB的方程

（Ⅱ）若点P为椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，BP分别交直线y=x于点M，N，证明：OM•ON为定值．

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21．已知函数f（x）=（1）求f（x）的定义域； （2）判断并证明f（x）的奇偶性； （3）求证：f（）=﹣f（x）．

22．已知a＞0，a≠1，设p：函数y=loga（x+3）在（0，+∞）上单调递减，q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1的图象与x轴交于不同的两点．如果p∨q真，p∧q假，求实数a的取值范围．

23．在△ABC中，D为BC边上的动点，且AD=3，B=（1）若cos∠ADC=，求AB的值；

（2）令∠BAD=θ，用θ表示△ABD的周长f（θ），并求当θ取何值时，周长f（θ）取到最大值？

．

．

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24．（本小题满分12分）

已知平面向量a(1,x)，b(2x3,x)，(xR). （1）若a//b，求|ab|；

（2）若与夹角为锐角，求的取值范围.

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颍州区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立， 由于f（x）=

=1+

，

①当t﹣1=0，f（x）=1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长， 满足条件．

②当t﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t﹣1=t， 同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，

由f（a）+f（b）＞f（c），可得 2≥t，解得1＜t≤2． ③当t﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1， 同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，

由f（a）+f（b）＞f（c），可得 2t≥1，解得1＞t≥综上可得，

≤t≤2，

，2]，

．

故实数t的取值范围是[故选D．

【点评】本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．

2． 【答案】 C

【解析】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分） 由z=2x+y，得y=﹣2x+z，

平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小． 即2x+y=1， 由

即C（1，﹣1），

∵点C也在直线y=a（x﹣3）上， ∴﹣1=﹣2a， 解得a=

．

，解得

，

故选：C．

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【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．

3． 【答案】C

22

【解析】解：由f（x）=x﹣6x+7=（x﹣3）﹣2，x∈（2，5]． ∴当x=3时，f（x）min=﹣2． 当x=5时，

2

．

∴函数f（x）=x﹣6x+7，x∈（2，5]的值域是[﹣2，2]． 故选：C．

4． 【答案】A

【解析】解：以顶部抛物线顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，易得抛物线过点（3，﹣1），其方程为y=﹣S1=

下部分矩形面积S2=24，

故挖掘的总土方数为V=（S1+S2）h=28×20=560m．

3

，那么正（主）视图上部分抛物线与矩形围成的部分面积=2

=4，

故选：A．

【点评】本题是对抛物线方程在实际生活中应用的考查，考查学生的计算能力，属于中档题．

5． 【答案】B

【解析】

由题知，通项公式为

答案：B

，令

得

，故选B

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6． 【答案】D 【解析】

考点：1、抛物线的定义； 2、抛物线的简单性质.

【 方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.本题就是将M到焦点的距离转化为到准线的距离后进行解答的. 7． 【答案】 A

【解析】

独立性检验的应用． 【专题】计算题；概率与统计．

【分析】根据所给的数据写出列联表，把列联表的数据代入观测值的公式，求出两个变量之间的观测值，把观测值同临界值表中的数据进行比较，得到有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．

【解答】解：由已知数据得到如下2×2列联表

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旧设备 新设备 合计

2

由公式κ=

杂质高 37 22 59

杂质低 121 202 323

合计 158 224 382

≈13.11，

由于13.11＞6.635，故有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的． 【点评】本题考查独立性检验，考查写出列联表，这是一个基础题． 8． 【答案】D

集合A⊆{0，1} 故选D 础题．

9． 【答案】D

【解析】解：由{0，1}∪A={0，1}易知：

2

而集合{0，1}的子集个数为2=4

【点评】本题考查两个集合并集时的包含关系，以及求n个元素的集合的子集个数为2个这个知识点，为基

n

【解析】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），则l的方程为x=﹣c， 双曲线的渐近线方程为y=±x，所以A（﹣c， c）B（﹣c，﹣ c） ∵AB为直径的圆恰过点F2 ∴F1是这个圆的圆心 ∴AF1=F1F2=2c ∴c=2c，解得b=2a ∴离心率为=故选D．

【点评】本题考查了双曲线的性质，如焦点坐标、离心率公式．

10．【答案】D

=

【解析】A{x|(x1)(x2)0,xR}{1,2}， Bx|0x5,xN1,2,3,4． ∵ACB，∴C可以为1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4． 11．【答案】B

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【解析】解：先做出y=2的图象，在向下平移两个单位，得到y=f（x）的图象，

x

再将x轴下方的部分做关于x轴的对称图象即得y=|f（x）|的图象． 故选B

【点评】本题考查含有绝对值的函数的图象问题，先作出y=f（x）的图象，再将x轴下方的部分做关于x轴的对称图象即得y=|f（x）|的图象．

12．【答案】C．

ab

【解析】解：∵2=3=m，

∴a=log2m，b=log3m， ∵a，ab，b成等差数列， ∴2ab=a+b， ∵ab≠0， ∴+=2，

∴=logm2， =logm3， ∴logm2+logm3=logm6=2， 解得m=故选 C

【点评】本题考查了指数与对数的运算的应用及等差数列的性质应用．

．

二、填空题

13．【答案】 6 ．

22

【解析】解：双曲线的方程为4x﹣9y=36，即为： ﹣

=1，

可得a=3， 故答案为：6．

则双曲线的实轴长为2a=6．

【点评】本题考查双曲线的实轴长，注意将双曲线方程化为标准方程，考查运算能力，属于基础题．

214．【答案】fx2x4x5 【解析】

22试题分析：由题意得，令tx1，则xt1，则ft2(t1)8(t1)112t4t5，所以函数fx第 10 页，共 16 页

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的解析式为fx2x24x5. 考点：函数的解析式. 15．【答案】a3 【解析】

试题分析：函数fx图象开口向上，对称轴为x1a，函数在区间(,4]上递减，所以1a4,a3. 考点：二次函数图象与性质． 16．【答案】【

5 12解

析

】

17．【答案】10 【解析】

【分析】先配方为圆的标准方程再画出图形，设z=x﹣2y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x﹣2y过图形上的点A的坐标，即可求解．

2222

【解答】解：方程x+y﹣2x+4y=0可化为（x﹣1）+（y+2）=5， 即圆心为（1，﹣2），半径为的圆，（如图）

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设z=x﹣2y，将z看做斜率为的直线z=x﹣2y在y轴上的截距， 经平移直线知：当直线z=x﹣2y经过点A（2，﹣4）时，z最大， 最大值为：10． 故答案为：10．

18．【答案】 {x|x＞1或x＜0} ．

【解析】解：

即

即x（x﹣1）＞0 解得x＞1或x＜0

故答案为{x|x＞1或x＜0} 以解集形式写出

【点评】本题考查将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式、考查二次不等式的解法．注意不等式的解

三、解答题

19．【答案】

2

【解析】解：（I）∵sinB=2sinAsinC，

由正弦定理可得：

2

代入可得（bk）=2ak•ck， 2

∴b=2ac，

＞0，

∵a=b，∴a=2c， 由余弦定理可得：cosB=

2

（II）由（I）可得：b=2ac，

==．

∵B=90°，且a=∴S△ABC=

，

．

222

∴a+c=b=2ac，解得a=c=

=1．

20．【答案】

【解析】（Ⅰ）解：设点E（t，t），∵B（0，﹣1），∴A（2t，2t+1），

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∵点A在椭圆C上，∴

2

整理得：6t+4t=0，解得t=﹣或t=0（舍去），

，

∴E（﹣，﹣），A（﹣，﹣）， ∴直线AB的方程为：x+2y+2=0； （Ⅱ）证明：设P（x0，y0），则

，

直线AP方程为：y+=（x+），

联立直线AP与直线y=x的方程，解得：xM=直线BP的方程为：y+1=

，

，

，

联立直线BP与直线y=x的方程，解得：xN=∴OM•ON==2•|

|xM|

|xN| |•|

|

=||

=||

=|=．

|

【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求直线的方程、线段乘积为定值等问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．

21．【答案】

2

【解析】解：（1）∵1+x≥1恒成立，∴f（x）的定义域为（﹣∞，+∞）；

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（2）∵f（﹣x）=∴f（x）为偶函数； （3）∵f（x）=

．

==f（x），

∴f（）===﹣=﹣f（x）．

即f（）=﹣f（x）成立．

【点评】本题主要考查函数定义域以及函数奇偶性的判断，比较基础．

22．【答案】

【解析】解：由题意得 命题P真时0＜a＜1，

2

命题q真时由（2a﹣3）﹣4＞0解得a＞或a＜，

由p∨q真，p∧q 假，得，p，q一真一假 即：

或

，

解得≤a＜1或a＞．

【点评】本题考查了复合命题的判断，考查对数函数，二次函数的性质，是一道基础题．

23．【答案】

【解析】（本小题满分12分） 解：（1）∵∴∴∵

，

…2分（注：先算∴sin∠ADC给1分） ，…3分

，

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∴

（2）∵∠BAD=θ， ∴

由正弦定理有∴∴=当

，即

，…5分

，…6

，…7分

，…8分

，…10分

，…11分

时f（θ）取到最大值9．…12分

【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．

24．【答案】（1）2或25；（2）(1,0)【解析】

试题分析：（1）本题可由两向量平行求得参数，由坐标运算可得两向量的模，由于有两解，因此模有两个值；（2）两向量a,b的夹角为锐角的充要条件是ab0且a,b不共线，由此可得范围． 试题解析：（1）由a//b，得x0或x2， 当x0时，ab(2,0)，|ab|2， 当x2时，ab(2,4)，|ab|25.

2（2）与夹角为锐角，ab0，x2x30，1x3，

(0,3)．

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又因为x0时，a//b， 所以的取值范围是(1,0)(0,3).

考点：向量平行的坐标运算，向量的模与数量积．

【名师点睛】由向量的数量积ababcos可得向量的夹角公式，当为锐角时，cos0，但当cos0时，可能为锐角，也可能为0（此时两向量同向），因此两向量夹角为锐角的充要条件是

abab0且a,b不同

向，同样两向量夹角为钝角的充要条件是

abab0且a,b不反向．

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