(完整word版)广义积分习题课

第十一次习题课讨论题解答

本次习题课主要讨论广义积分的计算及其收敛性判定。具体有三方面的内容：

一. 广义积分计算

二. 广义积分的收敛性判定 三. 三个重要的广义积分

两点说明：

（1）为了判断广义积分J:f(x)dx的收敛性,我们常常将被积函数f(x)作分解f(x)f1(x)f2(x)，使

I得广义积分J1:g(x)dx和J2:f2(x)dx的收敛性比较容易判断。根据积分J1和J2的收敛性，我们可以

I I确定积分J的收敛性。具体有如下结论:

（i）

如果积分J1和J2都收敛,则积分f(x)dx也收敛。

I（ii） 如果积分J1和J2一个收敛，一个发散，则积分J发散。

（iii） 如果两个积分都发散,则积分J收敛性尚不能确定。此时只能说分解式f(x)f1(x)f2(x)不管用.

sin2x例:广义积分 dxx1bdxcos2xdx。 2x2x11b(2）对于正常积分,积分f(x)dx存在意味着f(x)dx存在；反之不然。而对于广义积分情形则刚好相反：

aa广义积分f(x)dx存在（收敛）意味着f(x)dx存在(收敛），反

I I之不然。

一．

计算下列广义积分

说明：以下广义积分的收敛性不难证明，故略去.但同学们自己作为练习应该考虑。

b题1。 Iadx,其中ba。

(xa)(bx)xabxxabxxa1,且0，0。sin2t，受此启发，我们作变换bababababa解：对于x[a,b]，我们又等式

于是

bxcos2t，且dx2sintcost。因此 ba/2I2dt。解答完毕。

0注:值得注意的是，这个积分的值与上下限a和b无关。

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题2．

dx 31x011，由此可以判断所求无穷积分收敛。为计算积分，可以利用有理函数积分321x1x解:注意x1时0法：1x3(1x)(1xx2)，……（较繁琐)。

1另解：原式 = 01,在其中无穷积分中引入积分变量代换x1/t：

011dx1dttx ()dtdx， 33233t11x11t0t101x原式化为两个普通积分的和，且都在[0,1]区间上：

1xdxdx 原式 =  dx322201x01xx0(x1/2)(3/2)22(x1/2)2112 . arctan(arctanarctan())33333330解答完毕。

1111题3． Idx, 其中a0。 2a1x)0(1x)(1dxdx解：将积分分成两个部分 I1:和 I:22a2a1x)1x)1(1x)(0(1x)(yady对积分I1作变换x1/y得 I12a1x)(y1)(1xadx。 2a1x)1(1x)(于是II1I2

dx. 2411x解答完毕。（注：积分值与参数值a无关)

1x2题4． dx（有理函数积分或者变量代换) 41x01x2解法一：dx41x01x2dx 2212xx)0(12xx)(111 ()dx 222012xx12xx 解法二：令tx则dt(112x22x2. (arctanarctan)222201（评：这变换有点怪异,很难想到。这样的特别技巧并不是很多，我们最好都能记住），x1)dx， 2x且 x0时t-,x时t，

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x2111/x2dt/dx1212此外 t(x)x22， 4 222xxx1x1/xt221x2dt1tdxarctan t2221x420

2.解答完毕。

二、判断广义积分的收敛性

ln(1x)dx 题1． p0x解：该积分既有奇点x0，又是无穷区间上积分，是混合型的广义积分。需要分别处理。

ln(1x)1ln(1x)~在奇点x0附近 ，所以dx仅当p2时收敛. pxpxp1x01以下考察无穷积分

ln(1x)dx的收敛性。 px1当p1时，取0充分小,使得p1,从而 而且limxpx11pdx收敛,

ln(1x)ln(1x)ln(1x)lim0，这说明dx收敛； ppxxxxx1ln(1x)limx1pln(1x)， 当p1时，limxpxxx1ln(1x)由于 dx 发散，所以dx发散。 pxx11ln(1x)dx收敛。解答完毕。 综上,当且仅当1p2时， 积分0xp题2．0xdx,其中0。

1x1解：当0被积函数没有奇点,当0时，x0为奇点，

xx1这时，可见当且仅当1时，积分~（x0）dx收敛; 1xx1x0x为考察无穷积分 dx,注意无论的符号如何,都有 11xx1~ （x)。 1xxx由此可见仅当1时积分dx收敛。 1x1x 综上，当且仅当1，且1时， 积分dx收敛。解答完毕。 01x题3。 0sin2xdx （第六章复习题题2(1）,p。206） px(完整word版)广义积分习题课

解:先考积分在奇点x0处的收敛性。我们将被积函数写作

sin2x1sinx. pp2xxx由此可见，积分在点x0处的收敛，当且仅当p21，即p3. 我们再来考虑积分在无穷远处的收敛性。我们将被积函数写作

2sin2x1cos2x。 pppx2x2x显然积分而积分11dx收敛，当且仅当p1 p2x1cos2xdx收敛，当且仅当p0. 2xp1由此可知积分sin2xdx收敛，当且仅当p1。 xp0综上所述，积分sin2xdx收敛,当且仅当1p3。解答完毕。 px题4。 xcos(x3)dx.（习题6。2题9（2）,p。206)

11cosy解:对积分作变量替换yx3，我们得到 xcos(x3)dx1/3dy。

31y1由此可见，积分为条件收敛。解答完毕。

AA3注：对于无穷区间型的广义积分而言，积分收敛，并不意味着被积函数有界，当然更遑论被

积函数有趋向于零的极限。

题5. sinxsin01dx(第六章复习题题3，p。206) x1单调减趋于0.根据Dirichlet判别法可知积分收敛.x解：注意被积函数没有有限奇点，而在x时 sin我们进一步积分的绝对收敛性。

注意当x时，sin1111~。从而存在A1，使得xA时sin。于是

x2xxx1sin2x1cos2xsinxsin。

x2x2x2x由此可知积分|sinxsin01|dx发散。综上可知原广义积分条件收敛.解答完毕。 x(完整word版)广义积分习题课

题6. 讨论如下广义积分的绝对收敛性和条件收敛性， 其中p0。

sin2x(i) I1ppdx

x(xsinx)2（ii) I2sinxdx pxsinx2（iii) I30sinxdx pxsinx解：(i）由于被积函数为非负的，因此它收敛即为绝对收敛。

sin2x1pp当p1/2 时， 根据不等式 pp，可知积分I1收敛.

x(xsinx)x(x1)当0p1/2 时,根据不等式

1cos2xsin2xsin2x pppppppp2x(x1)2x（x1）x(x1)x(xsinx)可知积分I1发散.

(ii）我们将积分I2的被积函数作如下表示

sinxsinxsin2xppp，因为右边的两个函数的收敛性比较容易判断。 pxsinxxx(xsinx)不难看出广义积分当p1/2时。

sinxdx对任意p0均收敛。 再根据结论（i）,我们可以断言，积分I2收敛，当且仅px2再来考虑绝对收敛性。当0p1时，根据不等式

|sinx|sin2x11cos2x，

xpsinxxp12xp1xp1我们可以断言

|sinx|dx发散. pxsinx2|sinx|1p当p1时，根据不等式 p, 我们可以断言

xsinxx1仅当1/2p1；积分I2绝对收敛,当且仅当p1.

|sinx|dx收敛。于是积分I2条件收敛,当且pxsinx2（iii）注意对于任意p0，

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1, p1sinxlim1/2, p1 px0xsinx0, 0p 1这表明点x0并不是被积函数的奇点. 因此积分I3与积分I2的收敛性相同，即积分I3条件收敛，当且仅当

1/2p1；积分I3绝对收敛，当且仅当p1。解答完毕.

三．三个重要的广义积分

/2（1）计算Euler积分Ilncosx dx。

0（2）计算Froullani广义积分

0f(ax)f(bx) dx

x2（3）证明概率积分（也称Euler—Poisson积分）ex dx0. 2/2(证明有点长，已超出要求，可略去。但证明不超出我们所学，也不难懂。） （1）. （课本第六章总复习题9，p。207 ) 计算Euler积分I/2lncosx dx。

0提示：用配对法求积分值.考虑另一个积分Jlnsinx dx。

0解：易见x/2是Euler积分的瑕点。这里我们略去证明收敛性的证明(不难），只专注

/2如何求出积分I的值。我们尝试用配对法来求积分值。考虑相关积分J相等,即IJ。于是我们有

/2/2/2lnsinx dx。不难证明这两个积分

02Ilncosx dxlnsinx dxlncosxsinx dx2ln2lnsin2xdx。

0000/21对于积分lnsin2x dx，作变量替换得 lnsin2x dxlnsiny dy。

2000/2/2/2显然lnsinx dx2lnsinx dx.由此得 2I002/2ln2lnsin2x dx02ln2I。

于是I

2ln2。解答完毕。

注：可利用上述Euler积分计算以下积分的值

/2i)

xtanx dx

0(完整word版)广义积分习题课

/2ii)

xlnsinx dx

0/2iii)

0x dx sinx22/2iv)

sin0xlnsinx dx

（2） 设函数f(x)在[0,)上连续且极限limf(x)存在，记作f().证明Froullani广义积分

x0f(ax)f(bx)b dxf（0）f()ln，其中a,b为两个正数。

xa提示:将积分分成两部分之和II1I2，这两个部分分别为从0到1和1到的积分。

对于积分I1，考虑从到1的积分，将被积函数拆开，并作适当的变量替换。对于积分I2可作类似处理。

证明：我们将积分I分为两个部分II1I2，

1I10f(ax)f(bx) dx，I2x1f(ax)f(bx) dx.

x考虑I1。对于任意，我们有 （0, 1）f（ax）f(bx)f（ax）f(bx)f(u)f(u)  dxdxdxdudu

xxxuuabb111ababf(u)f(u)dudu。 uuaf(u)1bbduf()duf()lnf(0)ln，0。 uuaaa1bb而a因此

I10f(ax)f(bx)f(ax)f(bx)bf(u) dxlimdxf(0)lndu。 0xxaau1b考虑I2.对于任意A1，我们类似有

A1f(ax)f(bx)f（u）f(u) dxdxdu.

xuuaaAbAbAbbAf(u)dubb而duf(A)f(A)lnf()ln，A.故

uuaaaAaA(完整word版)广义积分习题课

AI2limA1f(ax)f(bx)f(u)b dxduf()ln。

xuaab因此原积分为

bII1I2f(0)f()ln。证毕.

aR注1：我们可以直接对积分

rf(ax)f(bx) dx作分拆，然后分别做变量替换。然后令R和r0，得

x到相同的结论.这样处理更简洁。

注2：利用上述Froullani积分，同学们可以计算如下积分，其中a，b为两个正数。

i）

arctan axarctanbx dx x0e-ax-e-bx dx ii）x0（3) 证明概率积分(也称Euler-Poisson积分）ex dx022.

1/2）。因为 注1：根据概率积分公式,我们立刻得到（1/2x（1/2）x0edx2etdt。

02注2：下个学期我们将学习多重积分。届时我们将用更简单的方法证明概率积分公式.

x2tx2t2t1提示： 回忆函数e的定义:e:lim1 .令tx,则 elim。 nnnnnn因此我们有理由期待ex02x2x2 dxlim1dxlim1dx。 （注：第二个等式的成立是需要证nnnn00nnx2明的）。由于积分1ndx不方便处理，所以我们考虑它的截断积分

0x21ndx, 这里积分上限取为

02nnxn， 理由是这样的截断积分有一个较整齐的计算结果。于是我们有理由期待e0x2 dxlim1ndx.n0nn（这不是证明，而是希望）。

按以下步骤完成计算.

x2(2n)!!1dxStep1. 记In:。证明 Innn(2n1)!!0/2nnStep2。 记Jn:nsinxdx，并回忆公式J2n0(2n1)!!(2n)!!，J2n1,

(2n)!!2(2n1)!!(完整word版)广义积分习题课

JJ1(2n)!!证明 （i) lim2n21； (ii） lim2n21; （iii） lim

2nJ2nnJ2n1n2n1(2n1)!!2（注:公式（iii）称作华莱士公式即Wallis公式) Step3. 证明limInn2.

aStep4. 证明1taet，a0,t[0,a]。

aStep5. 证明 et1tt2taae，a1，t[0,a]。

2nStep6。 由Step4，5可知 0ex21xx4x2nne,n1，x[0,n]。nnlimex2x2n10ndx0。 Step7. 证明 ex2 dx02。

nn解： 定义Ix2n:1n0dx。

Step 1. 作变量代换xnsint得

/2I(2n)!!nncos2n1tdtn0(2n1)!!。 （1）

/2/2Step2。 记Jnn:sinxdx. 注意Jn还可以写作Jn0cosnxdx.回忆关于积分Jn公式 0J(2n1)!!(2n(2n)!!2,J2n)!!2n1(2n1)!!. （2）

由此得

J2n2J(2n1)!!(2n)!!2n1n2)!!(2n1)!!2n21，n。即式(i)成立。 2n(2另一方面容易看出 Jn1. 因此J2n22n2J2n1J2n,nlimJ1。即式(ii）成立。 2n12将公式（2）代入式（ii）,我们就得到1(2n)!!nlim2n1(2n1)!!2, 即式（iii）成立。

Step3。 根据Wallis公式，我们立刻得到limInn2.

此证明 由(完整word版)广义积分习题课

tStep4. 证明 1et,a0，t[0,a]。

a证：当ta时，不等式显然成立。考虑情形t[0,a). 易见所要证的不等式成立

att当且仅当 ln1-，a0，t[0,a). aa根据熟知的不等式 ln(1x)x，x1，可知上述不等式成立。

t2ttStep5。 证明 e1e,a1，t[0,a].

aata证明: 显然要证的不等式成立，

tt2t当且仅当1e1，a1,t[0,a]。 aa2tt考虑函数f(t):e1。要证f(t)1。t[0,a]。

aataa显然f(0)1,f(a)a1.我们来考虑f(t)在[0,a]上的最小值。 设f(t)在点[0,a]处取得最小值。

若0或a，则f(t)f()1，t[0,a]。结论得证. 设(0,a),则f()0。对f(t)求导得

tt12t2ttettttf(t)e1ae11aaaaaaaaa1a1。

由此可知e1aa12。于是

f()2-2/a2/a1[(1)2a1]/a1。

因此f(t)f()1，t[0,a]。结论得证。

2Step6。 在Step4和5的结论中,取an,tx，我们就得到

0ex2x2x4x21nne，n1，x[0,n]。 2n2x2n容易证明广义积分x4exdx收敛。 由此证明 limex1ndx0。 n00Step7。 根据Step6中的不等式，我们有

n(完整word版)广义积分习题课

n2x2nxx20lime1dxlimedxnnn00概率积分公式得证.证毕。

nx21ndx0nne0x2 dx2。