浅谈抽象函数的解题思路

浅谈抽象函数的解题思路

作者：杨贵礼 李振东

来源：《成才之路》2008年第17期

一、 利用特殊模型的解题思想

在中学函数部分教材中可以找到一些抽象型函数的特殊模型，充分利用这些模型解题，既可使学生掌握解决数学问题的规律，培养了解题能力，又使学生体会到人们对事物的认识，总是在感性认识的基础上，通过抽象概括上升为认识认识再认识，最终提示事物的本质，这样一种认识规律。

1. 利用特殊模型直接解抽象函数客观题

（A）奇函数非偶函数，（B）偶函数非奇函数， （C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇函数非偶函数

分析：由三角公式联想，令f(x)tanx，再计算f(x1-x2)与f(x2-x1)，比较得（A）成立。 评注：借助特殊函数直接解抽象函数客观题是常用的解题处理方法，可以迅速得到正确答案。

2. 借助特殊模型为解抽象函数问题铺路

对于抽象函数解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可借助特殊模型理解题意，同时，对于有些对应的特殊模型不是学生熟悉的基本初等函数的抽象函数解答题，要启发学生通过适当变通去求特殊模型，从而得到抽象函数问题的求解方法。

例2. 设函数f(x)是奇函数，对任意x,y?缀R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)、f(1)=-2且当x>0时,f(x)

解：分析：取特例函数f(x)＝-2x，欲求函数f(x)在[－3，3]上的最值，只要证明函数f(x)在R上为递减函数即可，设x1>x2>0,?专f(x1)=f(x2+x1-x2)=f(x2)+f(x1-x2)，∴f(x1)-f(x2)=f(x1-x2),?专f(x1-x2)>0，∴f(x1-x2)

二、 利用函数性质的解题思想

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函数的特征是通过各种各样的性质反映出来的，抽象函数也不例外，只有充分利用题设已表明或隐含的函数，运用适当的数学方法，才能顺利解决抽象型函数问题。 1. 利用奇偶性，整体思考

例3. 已知函数f(x)＝ax3+bsinx+3，求f(3)的值。

分析：f(x)的解析、式中含有两个参数a、b，却只有一个条件f(-3)＝7，无法用待定系数法确定a、b的值，因此解析式不确定，注意到?准(x)=ax3+bsinx=f(x)-3是奇函数，可得?准(-3)＝-?准(3)，即f(-3)-3=[f(3)-3],f(3)=6-f(-3)=-1。

评注：这种解法运用了整体思想，优化整体为局部，再由各局部的解决使整体问题得解。 2. 利用单调性，等价转化

例4. 已知函数f(x)在定义域（-∞,1）上是减函数，问是否存在实数k，使f(k-sinx)?叟f(k2-sin2x)对一切实数x恒成立，并说明理由。

分析：由单调性，脱掉抽象的函数记号，原不等式等价于：k-sinx?燮k2-sinx?燮1,最后可求得：存在k=-1适合题设条件。

评注：抽象函数与不等式的综合题常需利用单调性，脱掉函数记号。又如： 4. 利用对称性，数形结合

例5. 已知函数f(x)对一切实数x都有f(2+x)=f(2-x)，如果方程f(x)＝0恰好有四个不同的实根，求这些实根之和。

分析：由f(2+x)=f(2-x)知直线x=2是函数图像的对称轴，又f(x)＝0有四根，现从大到小依次设为x1,x2,x3,x4，则x1与x4，x2,与x3均关于x=2对称，∴x1+x4＝2×2=4∴x1+x2+x3+x4=8。

评注：一般地，若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x)或f(2a-x)=f(x)，则直线x=a是函数图像的对称轴，利用对称性，数形结合，可使抽象函数问题迎刃而解。

三、 利用特殊方法的解题思想

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对于用常规解法难以解决的数学问题，若利用一些特殊的数学思想方法求解，有时会收到事半功倍的效果。 1. 合理赋值，构造方程

例6. 已知函数f(x)满足f(xy)＝f(x)+f(y)对任意x,y?缀R成立。

评注：方程观点是处理数学问题一个基本观点，挖掘隐含条件，合理赋值，构造方程（组），化函数问题为方程问题，可使这类抽象函数问题迅速获解。 2. 正难则反，逆推反正

例7. 已知函数f(x)在区间（-∞，+∞）上是增函数，a,b?缀R，若f(a)+f(b)?叟f(-a)+f(-b)，求证：a+b?叟0

分析：欲证上述命题，正向推理，不易用上题设条件，转而逆思考。 若a+b

评注：本题若用直接法，显然无从下手，但若考虑用反证法，则问题很快解决。正难则反是处理“是否存在”型抽象函数问题的常用方法。(山东省沂水四中)