一、选择题（共12小题）
1．在﹣3，﹣，0，2四个数中，是负整数的是（ ） A．﹣3
B．﹣
C．0
D．2
2．根据中国铁路总公司3月13日披露，2018年铁路春运自2月1日起至3月12日止，为期40天全国铁路累计发送旅客3.82亿人次，这个数用科学记数法可以表示为（ ） A．3.82×107
B．3.82×108
C．3.82×109
D．0.382×1010
3．下列运算正确的是（ ） A．a10÷a5＝a2
C．4a3•（﹣3a3）＝﹣12a6 4．函数y＝A．x＞1
B．（x﹣y）2＝x2﹣y2 D．（a3）4＝a7
的自变量x的取值范围是（ ）
B．x≥0
C．0≤x≤1
D．x≥0且x≠1
5．已知l1∥l2，一个含有30°角的三角尺按照如图所示位置摆放，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．90° B．120° C．150° D．180°
6．某几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体的俯视图可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，是根据九年级某班50名同学一周的锻炼情况绘制的条形统计图，下面关于该班50名同学一周锻炼时间的说法错误的是（ ）
A．平均数是6.5 B．中位数是6.5 C．众数是7
D．平均每周锻炼超过6小时的人占总数的一半
8．如图是正方形网格，除A，B两点外，在网格的格点上任取一点C，连接AC，BC，能使△ABC为等腰三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的A′处，若AO＝OB＝2，则阴影部分面积为（ ）
A．π B．π﹣1 C．+1 D．
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝6cm，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则圆O的半径为（ ）
A．3.5cm B．2.5cm C．2cm D．2.4cm
11．若关于x的二次函数y＝﹣x2+2ax+3的图象与端点为（﹣3，6）和（6，3）的线段只有一个交点，则a的值可以是（ ） A．﹣
B．﹣2
C．1
D．3
12．一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）
A．5cm2 B．6cm2 C．7cm2 D．8cm2
二、填空题（每小题4分，共2分） 13．正十二边形每个内角的度数为 ．
14．通过平移把点A（2，﹣3）移到点A′（4，﹣2），按同样的平移方式可将点B（﹣3，1）移到点B′，则点B′的坐标是 ．
15．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tanA的值为 ．
16．已知一次函数的图象与直线y＝x+3平行，并且经过点（﹣2，﹣4），则这个一次函数的解析式为 ．
17．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，∠AEC＝45°，若AC＝2，tan∠ACB＝，则AB的长为 ．
18．如图，直线y＝﹣x+2与两坐标轴交于A，B两点，以AB为直径作⊙M，P（a，b）为第一象限内⊙M上一动点，则b﹣a的最大值为 ．
三、解答题（有8小题，共78分） 19．先化简，再求值：（
+x﹣3）÷
，其中x＝
+2．
20．某校英语社团举行了“单词听写大赛”，每位参赛选手共听写单词100个．现从参加比赛的男女选手中分别随机抽取部分学生进行调查，对答对的情况进行分组如下：A组：x＜60，B组：60≤x＜70，C组：70≤x＜80，D组：80≤x＜90，E组：90≤x≤10．并绘制了如下不完整的统计图：
请根据以上信息解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了多少名学生，并将条形统计图补充完整； （2）求出A组所对的扇形圆心角的度数；
（3）若从D、E两组中分别抽取一位学生进行采访，请用画树状图或列表法求出恰好抽到两位女学生的概率．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于B，A两点，与反比例函
数y＝（k≠0）的图象交于点C（在第二象限），连结CO，过C作CD⊥x轴于D．已知OD＝OA＝2，OB＝2OA．
（1）求直线AB和反比例函数的表达式；
（2）在x轴上有一点E，使△CDE与△COB的面积相等，求点E的坐标．
22．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，F分别是AC，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC．
（1）求证：四边形DBEC是菱形；
（2）若AD＝3，DF＝1，求四边形DBEC面积．
23．如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，OD⊥AB于点O，且∠ODC＝2∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝6，tan∠A＝，求CD的长．
24．“低碳生活，绿色出行”，2020年1月，某公司向宁波市场新投放共享单车640辆． 3月份新投放共享单车1000（1）若1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，辆，请问该公司4月份在宁波市场新投放共享单车多少辆？
（2）考虑到自行车场需求不断增加，某商城准备用不超过70000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．假设所进车辆全部售完，为了使利润最大，该商城应如何进货？
25．如果三角形的两个内角α与β满足α﹣β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠A＞90°，∠B＝20°，求∠C的度数； （2）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝5，点D是BC延长线上一点．若△ABD是“准互余三角形”，求CD的长；
（3）如图②，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，AC＝4，CD＝5，∠BAC＝90°，∠ACD＝2∠ABC，且△BCD是“准互余三角形”，求BD的长．
26．如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（2，0）、B（8，0）两点，交y轴于点C（0，8），P是抛物线在x轴上方一动点，且在对称轴右侧，连结PA，PB，作BD⊥AP于点D，PE⊥x轴于点E，直线BD与直线PE相交于点F． （1）求抛物线的函数表达式．
（2）AD•BF的值是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请求出这个定值． （3）如图②，若抛物线的对称轴交x轴于点H，∠PAB≠45°，作∠ADB的平分线交抛物线的对称轴于点M，连结AM，BM，求△ABM的面积．
参考答案
一、选择题（每小4分，共48分，在每小型给出的四个选项中，只有一项符合目要求） 1．在﹣3，﹣，0，2四个数中，是负整数的是（ ） A．﹣3
B．﹣
C．0
D．2
【分析】根据有理数的分类进行分析即可求解． 解：﹣3是负整数， 故选：A．
【点评】本题主要考查学生有理数的分类以及各类数的概念，要求学生熟练掌握各类数的概念．
2．根据中国铁路总公司3月13日披露，2018年铁路春运自2月1日起至3月12日止，为期40天全国铁路累计发送旅客3.82亿人次，这个数用科学记数法可以表示为（ ） A．3.82×107
B．3.82×108
C．3.82×109
D．0.382×1010
【分析】根据题目中的数据可以用科学记数法表示出来，本题得以解决． 解：3.82亿＝3.82×108， 故选：B．
【点评】本题考查科学记数法﹣表示较大的数，解答本题的关键是明确科学记数法的表示方法．
3．下列运算正确的是（ ） A．a10÷a5＝a2
C．4a3•（﹣3a3）＝﹣12a6
B．（x﹣y）2＝x2﹣y2 D．（a3）4＝a7
【分析】根据幂的运算法则与单项式乘单项式的法则及完全平方公式计算可得． 解：A、a10÷a5＝a5，此选项错误； B、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，此选项错误； C、4a3•（﹣3a3）＝﹣12a6，此选项正确； D（a3）4＝a12，此选项错误； 故选：C．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握幂的运算法则与单项式乘单
项式的法则及完全平方公式． 4．函数y＝A．x＞1
的自变量x的取值范围是（ ）
B．x≥0
C．0≤x≤1
D．x≥0且x≠1
【分析】让二次根式的被开方数为非负数，分母不为0，列不等式求解即可． 解：根据题意得：x≥0，且x﹣1≠0； 解得：x≥0且x≠1， 故选：D．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
5．已知l1∥l2，一个含有30°角的三角尺按照如图所示位置摆放，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．90° B．120° C．150° D．180°
【分析】先利用平行线的性质得出∠1＝∠3，∠2＝∠4，最后利用直角三角形的性质即可． 解：如图，
过直角顶点作l3∥l1， ∵l1∥l2， ∴l1∥l2∥l3，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°． 故选：A．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，角度的计算，解本题的关键是作出辅助线，是一道基础题目．
6．某几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体的俯视图可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由几何体的主视图和左视图可得出其组成部分，进而得出答案． 解：由题意可得：
该几何体是球体与立方体的组合图形，则其俯视图为圆形中间为正方形，故选项B正确．故选：B．
【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体，正确得出几何体的组成是解题关键． 7．如图，是根据九年级某班50名同学一周的锻炼情况绘制的条形统计图，下面关于该班50名同学一周锻炼时间的说法错误的是（ ）
A．平均数是6.5 B．中位数是6.5 C．众数是7
D．平均每周锻炼超过6小时的人占总数的一半
【分析】根据中位数、众数和平均数的概念分别求得这组数据的中位数、众数和平均数，由图可知锻炼时间超过6小时的有20+5＝25人．即可判断四个选项的正确与否． 解：A、平均数为：意；
＝6.46（分），故本选项错误，符合题
B、∵一共有50个数据，
∴按从小到大排列，第25，26个数据的平均值是中位数， ∴中位数是6.5，故此选项正确，不合题意；
C、因为7出现了20次，出现的次数最多，所以众数为：7，故此选项正确，不合题意； D、由图可知锻炼时间超过6小时的有20+5＝25人，故平均每周锻炼超过6小时的人占总数的一半，故此选项正确，不合题意； 故选：A．
【点评】此题考查了中位数、众数和平均数的概念等知识，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．
8．如图是正方形网格，除A，B两点外，在网格的格点上任取一点C，连接AC，BC，能使△ABC为等腰三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，可知按照点C所在的直线分两种情况：①点C以点A为标准，AB为底边；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边． 解：如图，∵AB＝
＝
，
∴①若AB＝BC，则符合要求的有：C1，C2，C3，C4，C5，共5个点； ②若AB＝AC，则符合要求的有：C6，C7，C8共3个点； 若AC＝BC，则不存在这样格点． ∴这样的C点有8个．
∴能使△ABC为等腰三角形的概率是故选：D．
．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的A′处，若AO＝OB＝2，则阴影部分面积为（ ）
A．π B．π﹣1 C．+1 D．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AC＝BC，由AO＝OB＝1求出AB＝2，再根据旋转的性质可得A′B＝AB，然后求出∠OA′B＝30°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠A′BA＝60°，即旋转角为60°，再根据S阴影＝S扇形BAA′+S△A′BC′﹣S△ABC﹣S
扇形BCC′
＝S扇形BAA′﹣S扇形BCC′，然后利用扇形的面积公式列式计算即可．
解：∵∠ACB＝90°，OA＝OB＝2， ∴AC＝BC＝
AB＝2
，
∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AB＝2OA＝4，
∵△ABC绕点B顺时针旋转点A在A′处， ∴BA′＝AB＝4， ∴BA′＝2OB， ∴∠OA′B＝30°， ∴∠A′BA＝60°，
即旋转角为60°，
S阴影＝S扇形BAA′+S△A′BC′﹣S△ABC﹣S扇形BCC′ ＝S扇形ABA′﹣S扇形CBC′ ＝
﹣
＝π， 故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质、扇形面积计算、中垂线的性质，掌握直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，表示出阴影部分的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键，难点在于求出旋转角的度数．
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝6cm，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则圆O的半径为（ ）
A．3.5cm B．2.5cm C．2cm D．2.4cm
【分析】连接OD、OE，根据已知条件证明四边形CDOE为正方形，得到OD＝CD，证明OD∥BC，得到解：连接OD、OE， ∵AC、CB为⊙O的切线， ∴OD⊥AC，OE⊥BC， 又∠ACB＝90°， ∴四边形CDOE为矩形， CD＝CE，
∴四边形CDOE为正方形， ∴OD＝CD，
∵OD⊥AC，∠ACB＝90°， ∴OD∥BC，
，求出OD的长，得到答案．
∴，
OD＝2.4， 故选：D．
【点评】本题考查的是切线的性质，掌握切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键，注意：平行线分线段成比例定理的正确运用．
11．若关于x的二次函数y＝﹣x2+2ax+3的图象与端点为（﹣3，6）和（6，3）的线段只有一个交点，则a的值可以是（ ） A．﹣
B．﹣2
C．1
D．3
【分析】当a＝﹣时，二次函数y1＝﹣x2﹣5x+3，端点为（﹣3，6）和（6，3）的线段表达式为：y2＝﹣x+5（﹣3≤x≤6），根据图象即可判断． 解：当a＝﹣时，二次函数y1＝﹣x2﹣5x+3， 端点为（﹣3，6）和（6，3）的线段表达式为： y2＝﹣x+5（﹣3≤x≤6）， 当x＝0时，y1＜y2；
当x＝﹣3时，y1＝9，y2＝6，y1＞y2， 根据函数图象可知：
此时二次函数y＝﹣x2+2ax+3的图象与端点为（﹣3，6）和（6，3）的线段只有一个交点， 符合题意． 故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
12．一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）
A．5cm2 B．6cm2 C．7cm2 D．8cm2
【分析】设矩形的长为xcm，宽为ycm，根据矩形的面积公式结合按图①②两种放置时y的方程组，未被覆盖部分的面积，即可得出关于x，利用（②﹣①）÷3可得出x＝y+1③，将③代入②中可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出y值，进而可得出x的值，再利用矩形的面积公式求出按图③放置时未被覆盖的两个小矩形的面积和即可得出结论．
解：设矩形的长为xcm，宽为ycm， 依题意，得：
（②﹣①）÷3，得：y﹣x+1＝0，
，
∴x＝y+1③．
将③代入②，得：y（y+1）＝16+3（y﹣4）+11， 整理，得：y2﹣2y﹣15＝0， 解得：y1＝5，y2＝﹣3（舍去）， ∴x＝6．
∴按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（x﹣4）（y﹣3）+（x﹣3）（y﹣4）＝2×2+3×1＝7． 故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共2分）
13．正十二边形每个内角的度数为 150° ．
【分析】首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解． 解：正十二边形的每个外角的度数是：
＝30°，
则每一个内角的度数是：180°﹣30°＝150°． 故答案为：150°．
【点评】本题考查了多边形的计算，掌握多边形的外角和等于360度，正确理解内角与外角的关系是关键．
14．通过平移把点A（2，﹣3）移到点A′（4，﹣2），按同样的平移方式可将点B（﹣3，1）移到点B′，则点B′的坐标是 （﹣1，2） ．
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．注意平移前后坐标的变化． 解：把点A（2，﹣3）移到A′（4，﹣2）的平移方式是先把点A向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到．
按同样的平移方式来平移点B，点B（﹣3，1）向右平移2个单位，得到（﹣1，1），再向上平移1个单位，得到的点B′的坐标是（﹣1，2）， 故答案为：（﹣1，2）．
【点评】考查平移的性质和应用；注意点平移后坐标的变化．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
15．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tanA的值为 ．
【分析】首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解． 解：连接CD． 则CD＝则tanA＝
，AD＝＝
， ＝．
故答案是：．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键． 16．已知一次函数的图象与直线y＝x+3平行，并且经过点（﹣2，﹣4），则这个一次函数的解析式为 y＝
﹣3 ．
【分析】根据互相平行的两直线解析式的k值相等设出一次函数的解析式，再把点（﹣2，﹣4）的坐标代入解析式求解即可．
解：∵一次函数的图象与直线y＝x+3平行， ∴设一次函数的解析式为y＝x+b， ∵一次函数经过点（﹣2，﹣4）， ∴×（﹣2）+b＝﹣4， 解得b＝﹣3，
所以这个一次函数的表达式是：y＝x﹣3． 故答案为y＝x﹣3．
【点评】本题考查了两直线平行的问题，熟记平行直线的解析式的k值相等设出一次函数解析式是解题的关键．
17．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，∠AEC＝45°，若AC＝2，tan∠ACB＝，则AB的长为
．
【分析】过点B作BF⊥CA交CA的延长线于F．想办法证明△AFB≌△ADB（ASA），推出BD＝BF＝3k，CD＝2k，推出AF＝AD＝4k﹣2，在Rt△ADC中，根据AD2+CD2＝AC2构建方程即可解决问题．
解：过点B作BF⊥CA交CA的延长线于F．
∵tan∠ACB＝＝，
∴可以假设BF＝3k，CF＝4k，则BC＝5k， ∵CE平分∠ACB，∠AEC＝45°，
∴∠FBC＝90°﹣∠ACB＝2（45°﹣∠ECB）＝2∠ABC， ∴AB平分∠FBC，
∵∠F＝∠ADB＝90°，BA＝BA，∠ABF＝∠ABD， ∴△AFB≌△ADB（ASA）， ∴BD＝BF＝3k，CD＝2k， ∴AF＝AD＝4k﹣2，
在Rt△ADC中，∵AD2+CD2＝AC2， ∴（4k﹣2）2+（2k）2＝4， ∴k＝或0（舍弃）， ∴BD＝∴AB＝故答案为
． ，AD＝，
＝
＝
．
【点评】本题考查解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确
寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
18．如图，直线y＝﹣x+2与两坐标轴交于A，B两点，以AB为直径作⊙M，P（a，b）为第一象限内⊙M上一动点，则b﹣a的最大值为
﹣1 ．
【分析】连接PM，作PH⊥x轴于点H，作∠HPC＝45°交x轴于点C，交y轴于点K，作MF∥x轴交PC于点F，交y轴于点E，由题意可得，A（0，2），B（4，0），M（2，1），得⊙M的半径为＝
，当PC与⊙M相切时，OK最大，此时KE＝FE＝FM﹣EM
﹣2，进而可求b﹣a的最大值．
解：如图，
连接PM，作PH⊥x轴于点H，
作∠HPC＝45°交x轴于点C，交y轴于点K， 作MF∥x轴交PC于点F，交y轴于点E， 由题意可知：
A（0，2），B（4，0），M（2，1）， ∴⊙M的半径为
，
∴b﹣a＝PH﹣OH＝CH﹣OH＝OC＝OK，
当PC与⊙M相切时，∠FPM＝90°，∠PFM＝45°，OK最大， 此时KE＝FE＝FM﹣EM＝∴OK＝KE+OE＝即b﹣a的最大值为
﹣2+1＝﹣1．
﹣2， ﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解决本题的关键是掌握一次函数的性质． 三、解答题（有8小题，共78分） 19．先化简，再求值：（
+x﹣3）÷
，其中x＝
+2．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 解：当x＝原式＝＝＝＝1+2
+2时， •
【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
20．某校英语社团举行了“单词听写大赛”，每位参赛选手共听写单词100个．现从参加比赛的男女选手中分别随机抽取部分学生进行调查，对答对的情况进行分组如下：A组：x＜60，B组：60≤x＜70，C组：70≤x＜80，D组：80≤x＜90，E组：90≤x≤10．并绘制了如下不完整的统计图：
请根据以上信息解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了多少名学生，并将条形统计图补充完整； （2）求出A组所对的扇形圆心角的度数；
（3）若从D、E两组中分别抽取一位学生进行采访，请用画树状图或列表法求出恰好抽到两位女学生的概率．
【分析】（1）由C组所占的百分比及C组有6人即可求得总人数，然后求得B组的女生数及E组的男生数，从而补全直方图； （2）用360°乘A组人数所占比例可得；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所抽的两位学生恰好是两位女生的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 解：（1）本次调查的学生总人数为（2+4）÷30%＝20人，
则B项目中女生人数为20×25%﹣3＝2，E组男生有20﹣（2+5+6+4+2）＝1人， 补全图形如下：
（2）A组所对的扇形圆心角的度数为360°×
（3）画树状图如下：
＝36°；
由树状图知共有12种等可能结果，其中恰好抽到两位女学生的有2种结果， 所以恰好抽到两位女学生的概率为
＝．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及直方图的知识．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于B，A两点，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点C（在第二象限），连结CO，过C作CD⊥x轴于D．已知OD＝OA＝2，OB＝2OA．
（1）求直线AB和反比例函数的表达式；
（2）在x轴上有一点E，使△CDE与△COB的面积相等，求点E的坐标．
【分析】（1）根据已知条件求得点A、点B以及点C的坐标，利用A、B两点的坐标求得一次函数解析式，利用点C的坐标求得反比例函数解析式；
（2）根据△CDE与△COB的面积相等，求得DE的长，即可得出点E的坐标． 解：（1）∵OD＝OA＝2，OB＝2OA， ∴OB＝4， ∴DB＝2+4＝6， ∵CD⊥x轴， ∴tan∠ABO＝∴CD＝3，
∴A（0，2），B（4，0），C（﹣2，3） 设直线AB解析式为y＝kx+b，则
，
＝，
解得
∴直线AB解析式为y＝﹣x+2， 将C（﹣2，3）代入，得k＝﹣2×3＝﹣6 ∴反比例函数解析式为y＝﹣；
（2）∵△CDE与△COB的面积相等， ∴×CD×DE＝×CD×OB， ∴DE＝OB＝4，
∴点E的坐标为（﹣6，0）或（2，0）．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，需要掌握根据待定系数法求两个函数解析式的方法．解答此类试题时注意：求一次函数解析式需要图象上两个点的坐标，而求反比例函数解析式需要图象上一个点的坐标即可．
22．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，F分别是AC，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC．
（1）求证：四边形DBEC是菱形；
（2）若AD＝3，DF＝1，求四边形DBEC面积．
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理首先推知四边形DBEC为平行四边形，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到其邻边相等：CD＝BD，得证； （2）由三角形中位线定理和勾股定理求得AB边的长度，然后根据菱形的性质和三角形的面积公式进行解答．
【解答】（1）证明：∵CE∥DB，BE∥DC， ∴四边形DBEC为平行四边形．
又∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC的中点， ∴CD＝BD＝AC，
∴平行四边形DBEC是菱形；
（2）∵点D，F分别是AC，AB的中点，AD＝3，DF＝1， ∴DF是△ABC的中位线，AC＝2AD＝6，S△BCD＝S△ABC ∴BC＝2DF＝2． 又∵∠ABC＝90°， ∴AB＝
＝
＝4
．
∵平行四边形DBEC是菱形，
∴S四边形DBEC＝2S△BCD＝S△ABC＝AB•BC＝×4
×2＝4
．
【点评】考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线以及勾股定理，熟练掌握相关的定理与性质即可解题，难度中等．
23．如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，OD⊥AB于点O，且∠ODC＝2∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝6，tan∠A＝，求CD的长．
【分析】（1）连接OC，求出∠ODC＝∠BOC，求出∠OCD＝90°，根据切线的判定得出即可；
（2）过点C作CH⊥AB于点H，解直角三角形求出BC，解直角三角形求出CH和BH，证Rt△DOC∽Rt△OCH，得出比例式，即可求出答案．
解：（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO， ∴∠BOC＝2∠A， 又∵∠ODC＝2∠A， ∴∠ODC＝∠BOC，
∵OD⊥AB，即∠BOC+∠COD＝90°， ∴∠ODC+∠COD＝90°，
∴∠OCD＝90°， 即CD⊥OC，
又∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线；
（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H，
∵AB为⊙O的直径，点C在⊙O上， ∴∠ACB＝90°， 又∵∠CBH＝∠ABC， ∴∠BCH＝∠A，
在Rt△ABC中，AB＝6，tan∠A＝＝
，
设BC＝x，则AC＝3x，由勾股定理得：x2+（3x）2＝62， 解得：x2＝即BC2＝
， ，
，
又在Rt△BCH中，tan∠BCH＝＝BH2+CH2＝BC2， 即BH2+（3BH）2＝
，
解得：BH＝CH＝， ∵OB＝OC＝3， ∴OH＝
，
又∵Rt△DOC∽Rt△OCH， ∴
＝
，
＝3×
÷＝4．
则CD＝
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，切线的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键．
24．“低碳生活，绿色出行”，2020年1月，某公司向宁波市场新投放共享单车640辆． 3月份新投放共享单车1000（1）若1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，辆，请问该公司4月份在宁波市场新投放共享单车多少辆？
（2）考虑到自行车场需求不断增加，某商城准备用不超过70000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．假设所进车辆全部售完，为了使利润最大，该商城应如何进货？
【分析】（1）设1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率为x，根据该公司1月份及3月份新投放共享单车数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出月平均增长率，再利用4月份新投放共享单车数量＝3月份新投放共享单车数量×（1+增长率），即可求出该公司4月份在宁波市场新投放共享单车的数量；
（2）设购进A型车m辆，则购进B型车（100﹣m）辆，根据总价＝单价×数量结合总价不超过70000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设车辆全部售完所获利润为w元，根据总利润＝每辆车的利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题． 解：（1）设1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率为x， 依题意，得：640（1+x）2＝1000，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去），
∴4月份在宁波市场新投放共享单车：1000×（1+25%）＝1250（辆）． 答：该公司4月份在宁波市场新投放共享单车1250辆． （2）设购进A型车m辆，则购进B型车（100﹣m）辆， 依题意，得：500m+1000（100﹣m）≤70000， 解得：m≥60．
设车辆全部售完所获利润为w元，则w＝（700﹣500）m+（1300﹣1000）（100﹣m）＝﹣100m+30000， ∵﹣100＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝60时，w取得最大值，最大值＝﹣100×60+30000＝24000．
答：为了使利润最大，该商城应购进60辆A型车、40辆B型车．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
25．如果三角形的两个内角α与β满足α﹣β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠A＞90°，∠B＝20°，求∠C的度数； （2）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝5，点D是BC延长线上一点．若△ABD是“准互余三角形”，求CD的长；
（3）如图②，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，AC＝4，CD＝5，∠BAC＝90°，∠ACD＝2∠ABC，且△BCD是“准互余三角形”，求BD的长．
【分析】（1）由“准互余三角形”定义可求解；
（2）由勾股定理可求AC＝3，分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和相似三角形的性质可求解；
（3）如图，将△ABC沿BC翻折得到△EBC，可得CE＝AC＝4，∠BCA＝∠BCE，∠CBA＝∠CBE，∠E＝∠BAC＝90°，通过证明△CEB∽△BED，可求BE＝6，由勾股定理可求解．
解：（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠A＞90°，∠B＝20°， 若∠A﹣∠B＝90°，则∠A＝110°， ∴∠C＝180°﹣110°﹣20°＝50°， 若∠A﹣∠C＝90°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝35°；
（2）∵∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝5， ∴AC＝
＝
＝3，
∵△ABD是“准互余三角形”，
∴∠BAD﹣∠B＝90°，或∠BAD﹣∠ADB＝90°， 当∠BAD﹣∠ADB＝90°， ∴∠BAC+∠CAD﹣∠ADB＝90°， ∴∠CAD＝∠ADB， ∴AC＝CD＝3， 当∠BAD﹣∠B＝90°， ∴∠BAC+∠CAD﹣∠B＝90°， ∴∠B＝∠CAD， ∵∠ADC＝∠BDA， ∴△ADC∽△BDA， ∴∴∴CD＝
；
， ，
（3）如图，将△ABC沿BC翻折得到△EBC，
∴CE＝AC＝4，∠BCA＝∠BCE，∠CBA＝∠CBE，∠E＝∠BAC＝90°， ∴∠ABE+∠ACE＝180°， ∵∠ACD＝2∠ABC＝∠ABE， ∴∠ACD+∠ACE＝180°， ∴点D，点C，点E三点共线，
∵∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝2∠ABC+∠ACB＝90°+∠ABC， ∴∠BCD﹣∠CBD＝90°， ∵△BCD是“准互余三角形”，
∴∠BCD﹣∠CDB＝90°， ∴90°+∠ABC﹣∠CDB＝90°， ∴∠CDB＝∠ABC＝∠EBC， 又∵∠E＝∠E， ∴△CEB∽△BED， ∴即
， ，
∴BE＝6， ∴BD＝
＝
＝3
．
【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，理解“准互余三角形”的定义并能运用是本题的关键．
26．如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（2，0）、B（8，0）两点，交y轴于点C（0，8），P是抛物线在x轴上方一动点，且在对称轴右侧，连结PA，PB，作BD⊥AP于点D，PE⊥x轴于点E，直线BD与直线PE相交于点F． （1）求抛物线的函数表达式．
（2）AD•BF的值是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请求出这个定值． （3）如图②，若抛物线的对称轴交x轴于点H，∠PAB≠45°，作∠ADB的平分线交抛物线的对称轴于点M，连结AM，BM，求△ABM的面积．
【分析】（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x﹣8），将点C的坐标代入上式，即可求解；
（2）证明△AEP∽△FEB，则即可求解；
，求出EF＝2；证明△ADB∽△FEB，则
，
（3）如图，在DF上截取DK＝DA，连接MK，证明△ADM≌△KDM（SAS），得到∠AMB＝90°，即可求解．
解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x﹣8）， 将点C的坐标代入上式得：16a＝8，解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）（x﹣8）＝x2﹣5x+8；
（2）是，理由：
设点P（x，y），则y＝（x﹣2）（x﹣8）， ∵BD⊥AP，PE⊥x轴， ∴∠ADB＝∠FEB＝90°， ∵∠ABD＝∠FBE，
∴△ADB∽△FEB，∠F＝∠DAB， ∵∠AEP＝∠FEB＝90°， ∴△AEP∽△FEB， ∴
，即
，
解得：EF＝2， ∵△ADB∽△FEB， ∴
，
∴AD•BF＝AB•EF＝6×2＝12， 即AD•BF的值是定值；
（3）如图，在DF上截取DK＝DA，连接MK，
∵DM平分∠ADB， ∴∠ADM＝∠KDM， ∵DM＝AM，
∴△ADM≌△KDM（SAS）， ∴MA＝MK，∠DAM＝∠BKM， ∵点M在抛物线的对称轴上， ∴MB＝MA， ∴MK＝MB， ∴∠MBK＝∠MKB， ∵∠DBM+∠MBK＝180°， ∴∠DBM+∠DAM＝180°， ∴∠AMB+∠ADB＝180°， ∵∠ADB＝90°， ∴∠AMB＝90°， ∴HM＝AB＝3，
∴△ABM的面积＝×AB×MH＝
6×3＝9．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等和相似、面积的计算等，综合性较强，有一定的难度．
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