公共课数学三模拟题2020年(283)_真题-无答案

公共课数学三模拟题2020年(283) (总分150,考试时间180分钟)

选择题

1. 1.设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(I)Ax=0和(Ⅱ)ATAx=0，必有( )

A. (Ⅱ)的解是(I)的解，(I)的解也是(Ⅱ)的解． B. (Ⅱ)的解是(I)的解，但(I)的解不是(Ⅱ)的解． C. (I)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(I)的解． D. (I)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(I)的解．

2. 2.设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系( ). A. 不存在．

B. 仅含有一个非零解向量． C. 含有两个线性无关的解向量． D. 含有三个线性无关的解向量．

3. 3.设A=(α1，α2，α3，α4是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若(1，0，1，0)T是方程组AX=0的一个基础解系，A*x=0的基础解系为( ) A. α1，α3． B. α1，α2．

C. α1，α2，α3． D. α1，α3，α4．

4. 4.设非齐次线性方程组Ax=β的通解为x=k1(1，0，0，1)T+k2(2，1，0，1)T+(1，0，1，2)T，其中k1，k2为任意常数．A=(α1，α2，α3，α4)，则( ) A. β必可由α1，α2线性表示． B. β必可由α1，α2，α4线性表示． C. β必可由α3，α4线性表示． D. β必可由α4，α1线性表示．

填空题

5. 5.设4元非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩r(A)=3，且它的3个解向量η1，η2，η3满足η1+η2=(2，0，－2，4)T，η1+η3=(3，1，0，5)T，则Ax=b的通解为__________． 6. 6.设

其中ai≠aj(i≠j，i，j=1，2，…，n)，则线性方程组ATx=b的解是x=___________．

7. 7.设A为n阶方阵，且A的各行元素之和为0，A*为A的伴随矩阵，A*≠O，则A*x=0基础解系的解向量的个数为____________．

解答题

8. 8.已知α1，α2，α3，α4是线性方程组Ax=0的一个基础解系，若β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+tα4，β4=α4+tα1，讨论实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也是Ax=0的基础解系．

9. 9.设向量组α1，α2，…，αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关． 10. 10.已知线性方程组

的一个基础解系为(b11，b12，…，b1,2n)T，试写出线性方程组

的通解，并说明理由．

设矩阵A=(α1，α2，α3)，其中α1，α2，α3是4维列向量，已知非齐次线性方程组Ax=b的通解为

x=k(1，－2，3)T+(1，2，－1)T，k为任意常数．

11. 11.试求α1，α2，α3的一个极大线性无关组，并把向量b用此极大线性无关组线性表示； 12. 12.令矩阵B=(α1，α2，α3，b+α3)，证明方程组Bx=α1－α2有无穷多组解，并求其通解． 13. 13.已知n维向量组α1，α2，…，αn中，前n－1个线性相关，后n-1个线性无关，若令β=α1+α2+…+αn，A=(α1，α2，…，αn)．试证方程组Axβ必有无穷多组解，且其任意解(α1，α2，…，αn)T中必有αn=1．

14. 14.已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，其中α1，α2，α3，α4均为4维列向量，且α2，α3，α4线性无关，α1=2α2－α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组ax=β的通解．

15. 15.已知3阶矩阵A的第一行是(a，b，c)，a，b，c不全为零，矩阵且AB=O，求线性方程组Ax=0的通解．

16. 16.设n阶方阵A=(aij)n×n的每行元素之和为0，其伴随矩阵A*≠O，若a11的代数余子式A11≠0，求方程组A*x=0的通解． 已知非齐次线性方程组

有3个线性无关的解．

17. 17.证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2； 18. 18.求a，b的值及方程组的通解．

19. 19.设α1，α2，α3，α4β为4维列向量，A=(α1，α2，α3，α4)，已知Ax=β的通解为

其中为对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系，k1，k2任意常数，令B=(α1，α2，α3)，试求By=β的通解．

20. 20.设当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC－CA=B，并求所有的矩阵C．

设矩阵

21. 21.若向量都是方程组Ax=0的解，试证r(A)=2；

22. 22.求m、n的值及满足AB=C的所有矩阵B．