2018-2019学年山东省青岛市西海岸新区八年级下期末数学试卷(解析版)

数学试题

考试时间：120分钟，满分：120分

第Ⅰ卷

一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）

1.下列手机软件图标是轴对称图形的是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】B 【解析】 【分析】

根据轴对称图形的概念求解．

【详解】解：A、不是轴对称图形，故错误； B、是轴对称图形，故正确； C、不是轴对称图形，故错误； D、不是轴对称图形，故错误． 故选：B．

【点睛】本题考查轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

2.中国药学家屠呦呦获2015年诺贝尔医学奖，她的突出贡献是创制新型抗疟药青蒿素和双氢青蒿素，这是中国医学界迄今为止获得的最高奖项，已知显微镜下某种疟原虫平均长度为0.0000015米，该长度用科学记数法可表示为（ ） A. 1.5106米 【答案】A

B. 1.5105米

C. 1.5106米

D. 1.5105米

1

【解析】 【分析】

10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×

使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 10-6， 【详解】解：0.0000015=1.5×故选：A．

10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×个不为零的数字前面的0的个数所决定．

3.下列事件中是必然事件是（ ） A. 明天太阳从西边升起

B. 篮球队员在罚球线投篮一次，未投中 C. 实心铁球投入水中会沉入水底 D. 抛出一枚硬币，落地后正面向上 【答案】C 【解析】 【分析】

必然事件就是一定会发生的事件，即发生的概率是1的事件，依据定义即可解决． 【详解】解：A、明天太阳从西边升起，是不可能事件，故不符合题意； B、篮球队员在罚球线投篮一次，未投中，是随机事件，故不符合题意； C、实心铁球投入水中会沉入水底，是必然事件，故符合题意； D、抛出一枚硬币，落地后正面向上，是随机事件，故不符合题意． 故选C．

4.等腰三角形的一个内角为80，则该三角形其余两个内角的度数分别为（ ） A. 50，50 【答案】D 【解析】 【分析】

B. 80，20

C. 80，50

D. 50，50或80，20

2

已知给出了一个内角是80°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还要用内角和定理去验证每种情况是不是都成立． 【详解】解：分情况讨论：

-80°2=50°（1）若等腰三角形的顶角为80°时，另外两个内角=（180°）÷；

-80°-80°=20°（2）若等腰三角形的底角为80°时，它的另外一个底角为80°，顶角为180°． 故另外两个内角的度数分别为：50°、50°或80°、20°． 故选：D．

【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解题的关键．

5.下列运算正确的是（ ） A. m2m3m6 【答案】C 【解析】

A.m2m3m5m6 ，错误；B.(a)aa ，错误；C.2x16x4 ，正确；D.2m3m322m ，

2365B. (a2)3a5 C. (2x)416x4 D. 2m3m3= 2m

4错误.故选C.

6.如图，12，下列条件中不能使．．．ABDACD的是（ ）

A. ABAC 【答案】D 【解析】 【分析】

B. BC C. ADBADC D. DBDC

根据条件和图形可得∠1=∠2，AD=AD，再根据全等三角形的判定定理分别添加四个选项所给条件进行分析即可．

3

【详解】解：根据条件和图形可得∠1=∠2，AD=AD，

A、添加ABAC可利用SAS定理判定ABDACD，故此选项不合题意； B、添加BC可利用AAS定理判定ABDACD，故此选项不合题意； C、添加 ADBADC可利用ASA定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意； D、添加DBDC不能判定ABDACD，故此选项符合题意； 故选：D ．

【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

7.把一张有一组对边平行的纸条，按如图所示的方式折叠，若EFB32，有下列结论： ①C'EF32 ②AEC148 ③BGE64 ④BFD116.其中正确的有（ ）

A. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】

B. 3个 C. 2个 D. 1个

依据折叠的性质和平行线的性质，即可得到正确结论． 【详解】解：∵AE∥BG，∠EFB=32°， ∴∠C′EF=∠EFB=32°，故①正确； 根据折叠得：∠CEF=∠C′EF=32°， -32°-32°=116°∴∠AEC=180°，故②错误； ∵AE∥GF，

∴∠BGE+∠AEG=180°，

-116°=64°∴∠BGE=180°，故③正确； ∵BGE64，

4

-64°=116°∴∠BGC=180°， ∵EC∥DF，

∴∠BFD=∠BGC=116°，故④正确． 故选：B．

【点睛】本题考查折叠的性质和平行线的性质，能灵活运用性质进行推理是解题的关键．

8.如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是( )

A. B. C. D.

【答案】D 【解析】

【详解】开始一段时间内，乙不进行水，当甲的水到过连接处时，乙开始进水，此时水面开始上升，速度较快，水到达连接的地方，水面上升比较慢，最后水面持平后继续上升， 故选D．

第Ⅱ卷

二、填空题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）

9.有五个面的石块，每个面上分别标记1，2，3，4，5，现随机投掷100次，每个面落在地面上的次数如下表，估计石块标记3的面落在地面上的概率是______. 石块的面 频数

1 17 2 28 3 15 4 16 5 24

5

【答案】【解析】 分析】

根据表中的信息，先求出石块标记3的面落在地面上的频率，再用频率估计概率即可． 【详解】解：石块标记3的面落在地面上的频率是于是可以估计石块标记3的面落在地面上的概率是故答案为：

3 20【3． 20

【答案】50 【解析】 【分析】

【详解】解：∵CDE80， -80°=100°∴∠ADE=180°， ∵DB平分ADE， ∴∠BDE=

315=， 100203． 20【点睛】本题考查用频率来估计概率，在大量重复试验下频率的稳定值即是概率，属于基础题．

10.如图，DB平分ADE，DE∥AB，CDE80，则ABD______.

由DB平分ADE，CDE80可求出∠BDE的度数，根据平行线的性质可得∠ABD=∠BDE.

1∠ADE=50°， 2∵DE∥AB， . ∴∠ABD=∠BDE=50°故答案为：50.

【点睛】本题考查平行线的性质与角平分线的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握两直线平行，

6

内错角相等定理的应用，注意数形结合思想的应用．

11.长方形的周长为24cm，其中一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x的关系可表示为___.

【答案】yx12x 【解析】 【分析】

首先利长方形周长公式表示出长方形的另一边长，然后利用长方形的面积公式求解． 【详解】解：∵长方形的周长为24cm，其中一边长为xcm， ∴另一边长为：（12-x）cm， 则y与x的关系式为yx12x． 故答案为：yx12x．

【点睛】本题考查函数关系式，理解长方形的边长、周长以及面积之间的关系是关键．

12.一大门的栏杆如图所示，BA⊥AE，若CD∥AE，则∠ABC+∠BCD＝_____度．

【答案】270 【解析】

【详解】解：过点B作BF∥AE，

∵CD∥AE， ∴CD∥BF∥AE，

∴∠BCD+∠CBF=180°，∠ABF+∠BAE=180°， ∴∠BAE+∠ABF+∠CBF+∠BCD=360°，

7

即∠BAE+∠ABC+∠BCD=360°， ∵BA⊥AE， ∴∠BAE=90°，

∴∠ABC+∠BCD=270°． 故答案为：270．

13.现有四根长30cm，40cm，70cm，90cm的木棒，任取其中的三根，首尾顺次相连后，能组成三角形的概率为______. 【答案】【解析】 【分析】

先展示所有可能的结果数，再根据三角形三边的关系得到能组成三角形的结果数，然后根据概率公式求解． 40cm、70cm、90cm的木棒，30cm、40cm、【详解】解：∵现有四根长30cm、任取其中的三根，可能结果有：70cm；30cm、40cm、90cm；30cm、70cm、90cm；40cm、70cm、90cm；其中首尾相连后，能组成三角形的有：30cm、70cm、90cm；40cm、70cm、90cm； 共有4种等可能的结果数，其中有2种能组成三角形， 所以能组成三角形的概率=故答案为：

1 221= ． 421． 2m ． n【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=

14.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若CD＝6，则BC的长是____．

【答案】18 【解析】

1BD，点D到边AB的距离为2

8

【分析】

过D作DE⊥AB于E，则DE=6，根据角平分线性质求出CD=DE=6，求出BD即可． 【详解】过D作DE⊥AB于E． ∵点D到边AB的距离为6，∴DE=6．

∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD=DE=6． ∵CD1DB，∴DB=12，∴BC=6+12=18． 2故答案为：18．

【点睛】本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

15.如图，在44正方形网格中有3个小方格涂成了灰色.现从剩余的13个白色小方格中选一个也涂成灰色，使整个涂成灰色的图形成轴对称图形，则这样的白色小方格有______个.

【答案】4 【解析】 【分析】

根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格即可． 【详解】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形．

故答案为：4．

【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能完全

9

重合．

16.1955年，印度数学家卡普耶卡（D.R.Kaprekar）研究了对四位自然数的一种变换：任给出四位数a，用a的四个数字由大到小重新排列成一个四位数m，再减去它的反序数n（即将a的四个数字由小到大排列，规定反序后若左边数字有0，则将0去掉运算，比如0001，计算时按1计算），得出数a1mn，然后继续对a1重复上述变换，得数a2，…，如此进行下去，卡普耶卡发现，无论a是多大的四位数，只要四个数字不全相同，最多进行k次上述变换，就会出现变换前后相同的四位数t，这个数称为Kaprekar变换的核.则四位数9631的Kaprekar变换的核为______. 【答案】6174 【解析】 【分析】

用9631的四个数字由大到小排列成一个四位数9631．则9631-1369=8262，用8262的四个数字由大到小重新排列成一个四位数8622．则8622-2268=6354，类似地进行上述变换，可知5次变换之后，此时开始停在一个数6174上．

【详解】解：用9631的四个数字由大到小排列成一个四位数9631．则9631-1369=8262， 用8262的四个数字由大到小重新排列成一个四位数8622．则8622-2268=6354， 用6354的四个数字由大到小重新排列成一个四位数6543．则6543-3456=3087， 用3087的四个数字由大到小重新排列成一个四位数8730．则8730-378=8352， 用8352的四个数字由大到小重新排列成一个四位数8532．则8532-2358=6174， 用6174的四个数字由大到小重新排列成一个四位数7641．则7641-1467=6174… 可知7次变换之后，四位数最后都会停在一个确定的数6174上． 故答案为：6174.

【点睛】本题考查简单的合情推理．此类题可以选择一个具体的数根据题意进行计算，即可得到这个确定的数．

三、作图题（本题满分4分）

17.用圆规和直尺作图，不写作法，保留作图痕迹.

10

已知ABC及其边BC上一点D.在ABC内部求作点P，使点P到ABC两边的距离相等，且到点B，

D的距离相等.

【答案】见解析. 【解析】 【分析】

作∠ABC的平分线BK，线段BD的垂直平分线MN，射线BK与直线MN的交点P即为所求. 【详解】解：点P是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点，如图点P即为所求.

【点睛】本题考查复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．

四、解答题（本题满分68分，共8道小题）

18.计算：

（1）xyx2y；

（2）2a1a2a2；

22xy2xy22xy2（3）先化简再求值xy，其中x10，y21. 5

11

【答案】（1）xxy2y；（2）3a24a5；（3）xy，2.

22【解析】 【分析】

（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算即可求出值；

（2）原式利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果；

（3）原式利用平方差公式，多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解：（1）xyx2y

x22xyxy2y2 x2xy2y2；

（2）2a1a2a2

24a24a1a24 3a24a5；

22xy2xy22xy2（3）xy

x2y242x2y24xy x2y2xy

xy

当x10，y1时， 5原式102.

故答案为：（1）xxy2y；（2）3a24a5；（3）xy，2.

2215【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．

19.如图，一个可以自由转动的转盘，分成了四个扇形区域，共有三种不同的颜色，其中红色区域扇形的圆心角为120.小华对小明说：“我们用这个转盘来做一个游戏，指针指向蓝色区域你赢，指针指向红色区域我赢”.你认为这个游戏规则公平吗？请说明理由.

12

【答案】游戏公平 【解析】 分析】

直接利用概率公式求得指针指向蓝色区域和红色区域的概率，进而比较得出答案． 【详解】解：∵红色区域扇形圆心角为120， +60°∴蓝色区域扇形的圆心角为60°，

【的P（指针指向蓝色区域）60601， 36031201P， （指针指向红色区域）3603P∴P， （指针指向蓝色区域）（指针指向红色区域）所以游戏公平. 故答案为：游戏公平. 就不公平．

20.图①，图②都是由一个正方形和一个等腰直角三角形组成的图形.

（1）用实线把图①分割成六个全等图形； （2）用实线把图②分割成四个全等图形. 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】

【点睛】本题考查游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则

13

【分析】

设正方形的面积为2，则等腰直角三角形的面积为1，

1 ，分成六等腰个直角三角形即可； 23（2）根据题意，分成的每一个图形的面积为 ，分成四个直角梯形即可．

4（1）根据题意，分成的每一个图形的面积为【详解】解：如图所示：

【点睛】本题考查复杂作图，根据面积确定出分成的每一个图形的面积是解题的关键，难度中等，但不容易考虑．

21.如图，点E，F在CD上，ADPCB，DECF，AB，试判断AF与BE有怎样的数量和位置关系，并说明理由.

【答案】详见解析 【解析】 【分析】

根据平行线的性质得到CD，由DECF得到CEDF，推出AFDBEC，根据全等三角形的性质得到AFBE，AFDBEC，由平行线的判定即可得到结论． 【详解】解：AF与BE平行且相等，理由： 因为ADPCB，所以CD. 因为DECF，所以CEDF.

14

又因为AB， 所以AFDBEC.

所以AFBE，AFDBEC. 所以AFPBE.

【点睛】本题考查平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．注意数形结合思想的应用．

22.如图，在边长为20cm的正方形四个角上，分别剪去大小相等的等腰直角三角形，当三角形的直角边由小变大时，阴影部分的面积也随之发生变化，它们的变化情况如下： 三角形直角边长/cm 1 阴影部分的面积/cm2

398 2 392 3 4 5 350 6 7 302 8 272 9 10 200 （1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？ （2）请将上述表格补充完整；

（3）当等腰直角三角形的直角边长由1cm增加到5cm时，阴影部分的面积是怎样变化的？

（4）设等腰直角三角形的直角边长为xcm，图中阴影部分的面积为ycm，写出y与x的关系式.

2【答案】(1) 自变量：三角形的直角边长，因变量：阴影部分的面积;(2)见解析;(3) y4002x. 【解析】 【分析】

（1）根据定义确定自变量、因变量即可； （2）根据题意计算即可；

（3）观察数据表格确定阴影面积变化趋势；

（4）阴影面积为正方形面积减去四个等腰直角三角形面积．

的

382 368 215

【详解】解：（1）在这个变化过程中，自变量：三角形的直角边长，因变量：阴影部分的面积； 62=328， （2）等腰直角三角形直角边长为6时，阴影面积为202-4× ×92=238； 等腰直角三角形直角边长为9时，阴影面积为202-4××三角形的直角边长/cm 阴影部分的面积/cm2

（3）当等腰直角三角形的直角边长由1cm增加到5cm时，阴影部分的面积由398cm2减小到350cm2； （4）y204x4002x.

2故答案为：(1) 自变量：三角形的直角边长，因变量：阴影部分的面积; (2)见解析; (3) y4002x.

12121 2 3 4 5 6 328 7 8 9 238 10 21222【点睛】本题考查函数关系式，函数求值，涉及到了函数的定义、通过数值变化观察函数值变化趋势．熟练掌握正方形和等腰直角三角形的面积公式是解题的关键．

23.问题：将边长为nn2的正三角形的三条边分别n等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？

探究：要研究上面的问题，我们不妨先从最简单的情形入手，进而找到一般性规律.

探究一：将边长为2的正三角形的三条边分别二等分，连接各边中点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？

如图①，连接边长为2的正三角形三条边的中点，从上往下看：

边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，共有13224个； 边长为2的正三角形一共有1个.

16

探究二：将边长为3的正三角形的三条边分别三等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？

如图②，连接边长为3的正三角形三条边的对应三等分点，从上往下看：边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，共有135329个；边长为2的正三角形共有12个.

12232

探究三：将边长为4的正三角形的三条边分别四等分（图③），连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？ （仿照上述方法，写出探究过程）

结论：将边长为nn2的正三角形的三条边分别n等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？ （仿照上述方法，写出探究过程）

应用：将一个边长为25的正三角形的三条边分别25等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形有______个和边长为2的正三角形有______个. 【答案】探究三：16,6；结论：n²,【解析】

nn12 ;应用：625，300.

17

【分析】

探究三：模仿探究一、二即可解决问题；

结论：由探究一、二、三可得：将边长为nn2的正三角形的三条边分别n等分，连接各边对应的等分点，边长为1的正三角形共有13572n1n个；边长为2的正三角形共有

2123n1nn1 个； 2应用：根据结论即可解决问题. 【详解】解：探究三：

如图3，连接边长为4的正三角形三条边的对应四等分点，从上往下看：边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，第四层有7个，共有13574216个； 边长为2的正三角形有123结论：

连接边长为n的正三角形三条边的对应n等分点，从上往下看：边长为1的正三角形，第一层有1个，第二……，层有3个，第三层有5个，第四层有7个，第n层有2n1个，共有13572n1n个；

边长为2的正三角形，共有123n1应用：

边长为1的正三角形有252=625（个）， 边长为2的正三角形有

21336个.

2nn1个. 225251300 （个）.

2nn12,故答案为：探究三：16,6；结论：n² ;应用：625，300.

【点睛】本题考查规律型问题，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题．

24.如图，在ABC中，D为AB的中点，ABAC10cm，BC8cm.动点P从点B出发，沿BC方向以3cm/s的速度向点C运动；同时动点Q从点C出发，沿CA方向以3cm/s的速度向点A运动，运动

18

时间是t秒.

（1）用含t的代数式表示CP的长度.

（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点C位于线段PQ不存在，请说明理由.

（3）是否存在某一时刻t，使BPDCQP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. （4）是否存在某一时刻t，使BPDCPQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)CP=8-3t;(2)见解析;(3)见解析;(4)见解析. 【解析】 【分析】

（1）直接利用CPCBBP即可求解；

垂直平分线上？若存在，求出t的值；若

（2）根据线段垂直平分线的性质可得CPCQ，列方程求解即可；

BPCQ3t，（3）根据全等三角形的性质可得若BPDCQP，因为CB，所以只需BDCP，

列方程求出t的值即可；

（4）若BPDCPQ，因为CB，所以需满足BPCP且BDCQ，即83t3t且3t5，没有符合条件的t的值，故不存在.

【详解】解：（1）CPCBBP83t； （2）若点C位于线段PQ的垂直平分线上， 则CPCQ， 即83t3t， 解得t的19

4. 34秒时点C位于线段PQ的垂直平分线上. 3

所以存在，t（3）若BPDCQP， 因为CB，BPCQ3t， 所以只需BDCP， 即83t5，解得t1， 所以存在t1.

（4）若BPDCPQ， 因为CB，

所以需满足BPCP且BDCQ， 即83t3t且3t5， 所以t不存在.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质及动点运动问题，对于运动型的问题，关键是用时间t表示出相应的线段的长度，能根据题意列方程求解．

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