大衍筮法的概率结构

大雅久不作，吾衰竟谁陈？

本文从概率统计的角度对大衍筮法进行思考，提出大衍筮法多项式，并由此探讨大衍筮法的概率结构及其内蕴的大衍筮法之心。

大衍筮法出自周易系辞传，其文甚简“大衍之数五十，其用四十有九。分而为二以象两。挂一以象三。揲之以四，以象四时。归奇于扐以象闰。五岁再闰，故再扐而后挂。”其中分、挂、揲、扐称作四营。又有“是故四营而成易，十有八变而成卦。”意为四营一变，三变得一爻，十八变得六爻之卦。

对于广义的大衍筮法而言，实际使用的初始策数W0为首变揲前的合策数。亦即分挂之后，揲前左手策数与揲前右手策数的和。若将揲数记为m，而揲得一爻的变数记为n。则系辞传里的狭义大衍筮法对应为m=4、n=3，这将在本文第三部分中详细论述。

一、分揲运算

虽然n变成一爻，诸变皆四营，但操作上具有一致性。对任意一变而言，实际使用的揲前合策之数W为分挂之后的策数。揲前左手策数记为U，右手策数记为V，则W=U+V。而W又可记为

W=km-ε

其中m称作揲数，k称作揲前筮数，而ε是实际所挂之数，ε的取值范围是0≤ε≤m-2[1]。

分别以揲数m对揲前左手策数U，揲前右手策数V求同余，有 U≡μ (mod m) V≡v (mod m)

其中，μ是左手余策之数，其取值范围是1≤μ≤m；ν是右手余策之数，其取值范围是1≤ν≤m[2]。以揲数m对揲前合策之数W求同余，有

W≡ω (mod m)

由W=mk-ε=m(k-1)+m-ε，可知ω=m-ε，由前述0≤ε≤m-2得，

ω的取值范围是2≤ω≤m。因而左手余策之数与右手余策之数之和μ+ν满足

μ+ν≡ω (mod m)

亦即μ+ν=λm+ω，其中λ≥0。考虑到1≤μ≤m和1≤ν≤m，得2≤λm+ω≤2m，亦即2-ω≤λm≤2m-ω。再由2≤ω≤m，可得2-ω≤0，m≤2m-ω。因此有0≤λm≤m，推出λ=0或1。当λ=0时，μ+ν=m-ε；当λ=1时，μ+ν=2m-ε。这就是罗见今首先提出的分揲定理[3][4]，只是符号记法略异。

将揲后合策之数记为W'，其为揲前合策之数W减去揲后两手余策之数的和μ+ν所得的整策数

W'=W-(μ+ν)

记揲后整策数W'除以揲数m的商为揲后筮数k'，则W'=k'm。当μ+ν=m-ε时，W'=km-ε-(m-ε)=(k-1)m；这对应着k'=k-1，筮数降1。当μ+ν=2m-ε时，W'=km-ε-(2m-ε)=(k-2)m；这对应着k'=k-2，筮数降2。

通过仔细分析两手合策之数的取值，不难得知：当μ+ν=m-ε时，筮数降1的概率为(m-ε-1)/m。当μ+ν=2m-ε时，筮数降2的概率为(ε+1)/m。下表可供参考。

二、大衍筮法的概率多项式

可以论证，所谓太极，就是大一[5]；记之以1。初始揲前之数k0，标记以1k0的幂次。对任意一变而言，比如第i变，揲后筮数降1记作

1-1，其系数就是揲后筮数降一的概率αi，名之以阳率；揲后筮数降2记作1-2，其系数就是揲后筮数降二的概率βi，名之以阴率；显然αi+βi=1。这种处理手法在数学上称作生成函数法或母函数法。那么i自1遍历至n，相应地筮数从k0降为k0-n到k0-2n。而所得诸筮数，皆有相应概率。故而大衍筮法的概率结构为：

其中，Pk0-j表示n变之后筮得筮数为k0-j的概率。这个概率结构的核心，可称作“大衍筮法之心”，它是一个多项式。其形式为：

比较可得Pk0-j=A-j，而A-j则可以由n变的阳率与阴率完全确定。这整个结构其实是1的恒等变形。

三、大衍筮法的概率结构 3.1 爻的八态概率

以文章开头的m=4，n=3所对应的狭义大衍筮法为例，其概率结构多项式也就是大衍筮法之心的展开：

其核心结构为，

由于在操作中诸变阳率及阴率的先后顺序不可交换，因此乘法交α1β2α3为离率，α1β2β3为震率，β1α2α3为巽率，β1α2β3为坎率，

换律受限，从而展开式包含八项。记α1α2α3为乾率，α1α2β3为兑率，β1β2α3为艮率，β1β2β3为坤率，是为爻的八态概率。如果作变量代换，使αi=1/2+δi，则βi=1/2-δi。其中δi=[(m/2)-(εi+1)]/m，εi为第i变的揲前实际所挂之数。由0≤εi≤m-2可知，1/m-1/2≤δi≤1/2-1/m。从而八态概率如下：

3.2 爻的四象概率

在狭义大衍筮法中，初始揲前筮数k0=12。从而三变之后，筮数为老阳九的的概率对应为乾率；筮数为老阴六的概率对应为坤率；筮数为少阳七的概率对应为震率、坎率和艮率的和；筮数为少阴八的概率对应为巽率、离率和兑率的和。因而三变之后生成的一爻所具有的四象的概率为：

将前述爻的八态概率带入化简可得：

记

则

3.3 爻率阴阳守恒问题

筮得一爻，凡遇老阳则变为阴，遇老阴则变为阳，而少阳少阴的阴阳属性不变。因此在爻变之前，筮得阴爻的概率P8+P6，筮得阳爻的概率P7+P9；称为先天爻率。在爻变之后，阴爻的概率P9+P8，阳爻的概率P6+P7；称为后天爻率。而动爻概率为P9+P6，静爻的概率为P7+P8。将前述四象概率带入化简可得：

不难得出，先天爻率阴阳守恒意味着θ3=δ1δ2δ3=0。它表明三变率相等。后天爻率阴阳守恒意味着

θ1=θ3/4，即

之中只要满足其中任一变δi=0，即αi=βi=1/2，则筮得的阴爻阳爻概δ1+δ2+δ3=(δ1δ2δ3)/4。若要同时满足先天、后天爻率均阴阳守恒，则需要其中一变δi=0，其余两变δj、δk互为相反数。特别地，三变δ1=δ2=δ3=0对应着标准概率结构。可以参考下表。

3.4 动爻概率

筮得老阳九和老阴六为动爻，筮得少阳七少阴八为静爻，那么动爻的概率为P9+P6=1/4+θ2，静爻的概率为P7+P8=3/4-θ2。那么筮得六爻的卦中，动爻的数可由下式计算：

因此，任起一个六爻卦，其动爻数的期望值就是诸动爻的概率与值为3/2+6θ2。

动爻数的和。其结果可以直接计算，也可以用上述母函数对J求导可得，

对于标准概率结构，则有δ1=δ2=δ3=0，由此推出θ2=0，进而可得：

这意味着，一个六爻卦的动爻数对应于一个分布。其表如下：

标准概率结构动爻分布表 动爻 符号 含义

概率

分数表示 百分比表示

17.80% 35.60% 29.66% 13.18% 3.30% 0.44% 0.02%

Q0 六静〇动 729/4096 Q1 五静一动 1458/4096 Q2 四静二动 1215/4096 Q3 三静三动 540/4096 Q4 二静四动 135/4096 Q5 一静五动 18/4096 Q6 〇静六动

1/4096

亦即连筮4096个六爻卦，其中静卦有729个、一爻动卦1458个、二爻动卦1215个、三爻动卦540个、四爻动卦135个、五爻动卦18个、六爻动卦1个。连筮4096个六爻卦意味着筮得24576爻，历73728变，而有294912之营！

从标准概率结构动爻分布表中概率的百分比表示上可以看出：Q0略大于1/6；Q1=2Q0，大于1/3；Q2=(5/3)Q0，约为3/10。Q1+Q2

接近于2/3，Q3+Q4+Q5+Q6≈0.95Q0略大于1/6，而小于Q0。

3.5 标准概率结构与八次循环

标准概率结构是指δi≡0的情况，在n=3时，意味着爻的八态概率皆为1/8。在这种特殊的概率结构中，爻变有着极其深刻的规律，爻变前后的四象概率是不变的。不仅如此，爻的八态分布之中存在着内在的循环结构。

因为筮得少阳七的概率包含震率、坎率和艮率，筮得少阴八的概率包含巽率、离率和兑率，再考虑到筮得老阳九的概率就是乾率，筮得老阴六的概率就是坤率；因此筮得一爻所具有的四象，就是八态。从而爻变中的遇老阳则变阴、遇老阴则变阳、遇少阳少阴则无改其阴阳属性，可以更加细致的表述为八态循环。在《周易·说卦传》中，乾称父、坤称母、震谓长男、巽谓长女、坎谓中男、离谓中女、艮谓少男、兑谓少女。显然这里是拟阳为男，拟阴为女的表述了。因此老阳乾态，老阴坤态；少阳按长、中、少别作震态、坎态、艮态；少阴按长、中、少别作巽态、离态、兑态。

因此爻变的八态循环为：起初处于少阳艮态，进而变为少阳坎态，进而变为少阳震态，进而变为老阳乾态；阳极阴生，进而变为少阴兑态，进而变为少阴离态，进而变为少阴巽态，进而变为老阴坤态。阴极阳生，进而变为少阳艮态。因为变化发生在时间中，所以爻变的八态循环，抑或四象循环都是对事物发展变化的模拟。从而得知，筮得的任意一个六爻卦都将处于一个八态循环中。而传统所认为的变卦过程仅是其一个环节。比如下面这个循环：

因此在四象循环中，筮得老阳九的乾态，将变为少阴八的兑态，这是筮得老阳九为动爻的细致表述。筮得老阴六的坤态，将变为少阳七的艮态，这是筮得老阴六为动爻的细致表述。而筮得少阳七的艮态，将变为少阳七的坎态；筮得少阳七的坎态，将变为少阳七的震态；筮

得少阳七的震态，将变为老阳九的乾态；是故虽然筮得少阳七的概率为3/8，但其中只有震态发生少阳变老阳，并且变后仍然为阳，这是筮得少阳七为静爻的细致表述。而筮得少阴八的兑态，将变为少阴八的离态；筮得少阴八的离态，将变为少阴八的巽态；筮得少阴八的巽态，将变为老阴六的坤态；是故虽然筮得少阴八的概率为3/8，但其中只有巽态发生少阴变老阴，并且变后仍然为阴，这是筮得少阴八为静爻的细致表述。

以上诸变必然严格要求八态的概率均等，亦即八态概率皆为1/8；否则变化前后的概率就不相等了。

附录：大衍筮法之心的探索之旅

以下所列图文与前文不尽相同，因为是过去所记，故不作改正，仅以批注说明。

2006年7月10日至12日

我听取了三天的周易与中国古代文化讲座。该讲座原拟讲一周，只是那位老师刚讲完大衍筮法起卦，就不知何故地终止了。

2013年11月19日

我在道德经群里与人聊及占卜事，遂忆旧时所学之大衍筮法，乃入周易群。

2013年11月28日

我思考用蓍草占卜的时候，因为占得的六爻阴阳概率不等，则占得的卦概率也不同。

因为50策弃1策，49策挂1策，所以两仪合48策；揲得44策、40策的概率之比为3:1。而由48策揲得44策、40策，由44策揲得40策、36策，由40策揲得36策、32策，由36策揲得32策、28策，由32策揲得28策、24策，是皆递减以4策与递减以8策的概率之比皆为3:1；这是唯首变挂一的情况。三变之后，揲得36策、32策、28策、24策的概率之比为27:27:9:1。在得到这个比值之后，我立刻联想到一个展开式：(3+1)3=27+27+9+1。

但是，很快我就陷入困惑之中。乃是49策分二，若属地者唯1策，挂1策而无所剩矣。此者不合所余1策，2策，3策，4策的普遍情景。为此四处求问，未果；或曰只手所余不少于3策，或曰不少于5策，或曰不少于6策；凡此种种，不一而足。

故而夜半之后，我写下了心情“本卦作为生成元，爻变作为一种运算，64卦可以划分成不同的子群。诸卦生成的概率有细微的区别。针对蓍草占卜而言。”

（注：上文展开式(3+1)3=27+27+9+1是我进行的所有思考的根源，唯首变挂一会带来严重的阴阳失衡，但其概率分布却激发了我对大衍筮法的概率结构的探索历程。）

2013年12月20日

在此之前，我遍查资料以求佐证。我推广6爻至12爻，又推广3变至12变，又计算全部4096卦各卦所得之概率，使用三种方法计算。到了深夜临睡的时候，顿悟！

2013年12月21日

我用太极作为生成元，得到叁天两地的数学表达，又得九八七六的数学表达。不仅可以表述蓍草法，亦可以表述铜钱法。随后，我又将太极视作大一，即大一为1，进而叁天两地的表述更加清晰。

2013年12月24日

因为在蓍草法唯首变挂一的情况下，递减以4策与递减以8策的概率之比皆为3:1。我称递减以4策的概率3/4为天率，称递减以8策的概率1/4为地率。称13为叁天，12为两地。从而其概率结构为多项式：

[(3/4)13+(1/4)12]3

=(27/64)19+(27/64)18+(9/64)17+(1/64)16

其中，以19表示老阳九、18表示少阴八、17表示少阳七、16表示老阴六；是皆四象之数的数学表达。而其系数，是四象之数的概率，我称作爻率。从而在蓍草法唯首变挂一的情况下，筮得老阳九的爻率为27/64，少阴八的爻率为27/64，少阳七的爻率为9/64，老阴六的爻率为1/64。

而在铜钱法的情况下，我取其阳面数3以示叁天，阴面数2以示两地。因为在抛掷过程中，两面的概率均等，皆为1/2。故铜钱法中天率为1/2，地率为1/2。从而其概率结构为多项式：

[(1/2)13+(1/2)12]3

=(1/8)19+(3/8)18+(3/8)17+(1/8)16

在铜钱法的情况下，三钱同掷得一爻。此爻为老阳九的爻率为1/8，少阴八的爻率为3/8，少阳七的爻率为3/8，老阴六的爻率为1/8。

我考虑了蓍草法三变皆挂一的情况，从而得到更加清晰的表述。在前两种情况下，我的思维尚局限在3次幂的状态。而在蓍草法三变皆挂一的情况下，首变天率为3/4，地率为1/4；次变及第三变天率地率则都是1/2。为此，我将多项式表示成三项的乘积。从而其概率结构为多项式：

[(3/4)13+(1/4)12][(3/4)13+(1/4)12]2 =(3/16)19+(7/16)18+(5/16)17+(1/16)16

这个三变皆挂一，甚有合理之处。因为老阳九的爻率3/16与少阳七的爻率5/16之和为1/2，是筮得阳爻的概率；而少阴的爻率5/16与老阴六的爻率1/16之和为1/2，是筮得阴爻的概率。亦即，筮得阴阳爻的概率是平衡的。事实上，三变之中只要有一变天率1/2，地率1/2，便能得到阴阳之率相等的结论。我称之为先天爻率阴阳平衡。因为筮得老阳变为阴，老阴变为阳；少阴仍为阴，少阳仍为阳。则爻变之后，阳爻的概率为5/16与1/16的和3/8，而阴爻的概率为3/16与7/16的和5/8；两者之比为3:5。颇有叁伍以变的味道。我称之为后天爻率阴阳失衡。

得到这些之后，每卦卦率亦求得。所谓卦率是指，十八变成六爻，筮得该卦的概率。显然爻有静动，卦也有原卦及其变卦之分。爻变之前，我称原卦卦率为先天卦率，而爻变之后，我称变卦卦率为后天卦率。于是，我又裁定先天4096卦，进而每卦皆有对应之变卦（有64卦没有变卦，亦可视其变卦为其原卦），是为后天4096卦。先天后天各重为64卦。先天卦率皆同，后天卦率不同。

（注：上文所称的天率、地率，在正文中称阳率、阴率。）

2013年12月26日

我写了“天机之钥”，记述之前对蓍草法三变皆挂一的概率结构的思考。

一、叁天两地：太极是为大恒，是为太一；叁之成天，两之成地。大衍之数，四营一变。为之一变，天率3/4，地率1/4；为之二变，天率1/2，地率1/2；为之三变，天率1/2，地率1/2。三变得一爻，爻有四：老阳，爻率3/16；少阴，爻率7/16；少阳，爻率5/16；老阴，爻率1/16。一十八变成一卦，爻位有六： 初，二，三，四，五，上。

二、本卦：重阳爻率，老阳之率并少阳之率3/16+5/16=1/2；重阴爻率，少阴爻率并老阴爻率7/16+1/16=1/2。重阳爻率与重阴爻率相同。爻有四，位有六，全其数，得4096本卦。重阳重阴，合得64重卦；卦率皆为1/64。任取一重卦，皆对应64本卦；诸本卦卦率皆不同。六爻皆少阴，卦率为最大117648/16777216；六爻皆老阴，卦率为最小1/16777216；余皆介于其间。

三、叁伍以变：爻有四，少阳、少阴不可变，老阳可变为阴，老阴可变为阳。变阳爻率，少阳爻率并老阴所变之阳爻率5/16+1/16=3/8；变阴爻率，少阴爻率并老阳所变之阴爻率7/16+3/16=5/8；变阳爻率与变阴爻率不等，其比3:5。故曰叁伍以变，错综其数。4096本卦，皆有之卦，诸之卦亦重合为64卦，是为变卦。任取一变卦，皆对应64本卦；诸变卦卦率皆不同。坤卦卦率为最大15625/262144；乾卦卦率为最小729/262144；余皆介于其间。

（注：上文以3:5附会叁伍以变，仅为当时所想。） 2014年04月11日

经过漫长的思考，我得到了称为“大衍筮法之心”的知识。我将大衍筮法实际使用的48策揲四所得的商12表示为112，而递减以4策揲四所得的商-1记为1-1，递减以8策揲四所得的商-2记为1-2。首变记为(α11-1+β11-2)，次变记为(α21-1+β21-2)，第三变记为(α31-1+β31-2)。进而得到大衍筮法的概率结构的多项式表达：

112(α11-1+β11-2)(α21-1+β21-2)(α31-1+β31-2)

其中，α1为初变天率，β1为初变地率，且α1+β1=1；同理，α2为再变天率，β2为再变地率，且α2+β2=1；α3为末变天率，β3为末变地率，且α3+β3=1。而112所乘的部分，就可称作“大衍筮法之心”。

还可以将112分别乘进每项，进而可得： (α113+β112)(α213+β212)(α313+β312) =P919+P818+P717+P616 其中，

P9=α1α2α3，P8=α1α2β3+α1β2α3+β1α2α3， P7=α1β2β3+β1α2β3+β1β2α3，P6=β1β2β3；

是四象筮数的爻率。这就与之前的探讨对应起来了。对比如下： 在蓍草法唯首变挂一的情况下， α1=α2=α3=3/4，β1=β2=β3=1/4。 在蓍草法三变皆挂一的情况下，

α1=3/4，β1=1/4；α2=α3=1/2，β2=β3=1/2。 在铜钱法的情况下，

α1=α2=α3=β1=β2=β3=1/2。

显然，我之所以要将它们都用代数量表示，就是要脱离具体操作对天率地率的束缚。意味着三变之中，天率地率的取值并不局限于以

上三种情况。一般而言，αi与βi皆可取自{1/4，1/2，3/4}。在“周易筮法的概率研究”（详见《周易研究》1997年第四期）一文中，向传

三先生详备地罗列了各种可能的概率取值，只是没有使用多项式来表达。由此可以看出大衍筮法的概率结构的多项式的简洁性。

（注：上文图片是日记拍照截图。） 2014年05月08日

我将“大衍筮法之心”由三变生四象推广为n变生n+1象，并用更加简洁的表达式表示。

我亦将揲数由4推广为一般意义的m，这样一来，天率与地率的取值范围就扩大了。我仔细地考察各种取值，计算先天爻率阴阳平衡与后天爻率阴阳平衡之后，将之退藏于密。

（注：上文图片是日记拍照截图，其中等式右边的幂次-m应该作m。）

注释：

1. 对实际所挂之数ε的取值范围的思考，过程如下：

首先，初步可以将ε的范围定为0≤ε≤m-1，ε≠m。否则由W=km-ε知，ε=m意味着：W=(k-1)m-0，就与下一个范围的表示重复了。其次，ε≠m-1。否则由W=km-ε知，ε=m-1意味着：W=km-(m-1)=(k-1)m+1。在这种情况下，左右合策数之数模m同余于1，揲前左手策数U与揲前右手策数V分别模m的同余之和一定是m+1。揲后合策之数为W-(m+1)=(k-2)m，亦即揲后合策之数相对于揲后合策之数降8，不存在降4的可能。因此，ε的取值范围为：0≤ε≤m-2。

2. 因为在揲算过程中，若策数恰为揲数m的正整数倍，则不以0为余策之数，而以m为余策之数。否则，若余策之数用0，揲后左手余策与揲后右手余策的和仍为m-ε，如此揲后合策之数为W-(m-ε)=(k-1)m，亦即揲后合策之数相对于揲后合策之数降4，不存在降8的可能。

3. 在吴文俊主编的“秦九韶与《数书九章》”（北京：北京师范大学出版社，1987）一书中第89页至102页，收录了罗见今的文章“《数书九章》与《周易》”。该文第二部分为“《周易》揲法”，文中引入并证明了“分揲定理”。

4. 在吴文俊主编，李迪分主编的《中国数学史大系》第一卷“上古到西汉”（北京：北京师范大学出版社，1998.9）的第二编“中国数学的萌芽”的第四章“先秦古籍中的数学思想”的第一节“《周易》中的数学思想”中收录了罗见今的“分揲定理”。见书中第202页至207页。

5. 《周易·系辞传》中的记载有“是故易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦。”（在马王堆汉墓出土的帛书周易易传中，此句作“是故易有大恆，是生兩檥，兩檥生四馬，四馬生八卦。”）此外，在《吕氏春秋·仲夏纪·大乐》中记载有“太一出两仪，两仪出阴阳。”在《礼记·礼运》中记载有“是故夫礼，必本于大一，分而为天地，转而为阴阳，变而为四时。”诸篇对照，不难推知，所谓太极，就是大一。